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概率与数列递推30题（马尔科夫链）人教A版数学选择性必修三【P81】如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔IS等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率.o00OOOO-QO-00-6-5-4-3-2-101234（1）质点回到原点;（2）质点位于4的位置.【解析】（1）质点回到原点，说明质点向左、向右各移动3次，其对应的概率q二C：m3.m3_ 5"T6332（2）质点位于4的位置,说明质点向左移动1次,向右移动5次,其对应的概率6=C：P91甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求次传球后球在甲手中的概率.【解析】记第次传球后球在甲手中的概率为Pn9则第-1次传球后球在甲手中的SE率为PQ,开始时球在甲手中，则=1.若第次传球后球在甲手中，则第-1次传球后球不在甲手中，即第-1次传球后球在乙或丙手中，所以第11-次传球后球不在甲手中的概率为1-ET,又乙或丙在第次把球传到甲手上的概率为:，于是有：（Tl）=%即），*，于是数列匕-;,是首项为=公比为-g得等比数列,所以小那'卜扪所以TXH）+?£，）1.（单选）设一个正三棱柱ABC-。所，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面A3C的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为九，则%为（）【详解】由题意，设第次爬行后仍然在上底面的概率为匕.2若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为,Ee2）;若上一步在下面，则第-1步不在上面的概率是I-K”，（2）.如果爬上来，其概率是g（i）,52）,?I11Ilf1A两种事件又是互斥的，",二寺+q（aj,即匕=MT+三，二心5=W文5数列I匕一是以;为公比的等比数列，而=g,所以=g（g+g，I（I丫°1当/7=10时，P0=-.-+-,故选：D.,02UJ22.甲乙二人轮流掷一枚质地均匀的骰子，由甲先掷.规定：若甲出1点，则由甲继续掷，否则下一次由乙掷；若乙掷出3点，则由乙继续掷，否则下一次由甲掷.两人始终按此规则进行.记第次由甲掷的概率为匕，则G=，P11=.【解析】“甲掷到1点”或“乙掷到3点”的概率为,，"甲未掷到1点”或“乙未掷到3点”的概率为66设第次由甲掷的率为匕，则由乙掷的概率为1-匕，第一次由甲掷，故第二次由甲的概率R=，61552于是，第+1次由甲掷的概率为匕+1=”+/一片）=/：匕，所以Pw=T，n2 £ N二当 =3 时,11OK-E是以一；为首项，为公比的等比数列(“2),11（2Y-2当=1,时6=1也满足上式，于是匕=L-Lx-2313）3.某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0,1,2,3,将这个玩具抛掷次，记第次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为，数列伍”的前和为5“记S”是3的倍数的概率为P(i).(1)求尸，P(2);(2)求产().解：(D抛掷一次，一共有4个结果，出现一个0和一个3时符合要求，故P(I)=g,抛掷两次，一共有42=16个结果，出现1+2,2+1,0+0,3+3,O÷3,3+0时，符合要求，故计6种情况，故尸(2)=2=.(2)设工被3除时余1的概率为月()，S”被3除时余2的概率为鸟()，则p(+i)=gp()+；4()+；25),4(+l)=；P()+g()+；2()，2(+l)=；P()+；q()+JgS),-(+)，得：P(n+1)-I(n+l)+5(w+l)=一；4()+鸟5),化简，得4尸5+l)=M")+l,所以P5+D-g=;&)-：,又P(I)=L所以是以!为首项，为公比的等比数列，得&)=：+声4.2IJJ643344. (2023佛山二模)有个编号分别为1,2,3,的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子均为1个白球1个黑球，现从第1个盒中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是,从第个盒子中取到白球的概率是.【答案】记事件Aj表示从第Q=12,)个盒子中取出白球，则P（八）=|，P（八）=4，P(4)=P(A4)+P伍&)=P（八）P(A2A)+P(4)p(4Q=gg+gW=FP（八）=P(4)P(AI4)+P(4)P(AI4)=；P(4)+；=果P(A4)=P(4)P(4l4)+P（八）P(4lA)=gp(4)+；,P（八）=；P(4,i)+；,p()-=P(Al)，f（八）-=>3jZ31_Zj20*(4)一:是以，为首项,，为公比的等比数列'*4)一，=4乂化=-×f->v72j63'26l3j2UP（八）=XX5. (2023唐山调研)甲、乙、丙三人玩传球游戏，第1次由甲传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人.设第k次传球后球在甲手中的概率为1"，%£N*,则下列结论正确的有()APi=OB.P2=gC0+2PaM=ID.P2023>I【答案】Pl表示第1次传球后球在甲手中的概率，所以P=0,A选项正确.P2表示第2次传球后球在甲手中的概率，则%=；，B选项错误.P"=PJ<O+(1-0)X，即Pa+2Phi=1,C选项正确.1111If32 k 2 3 2111Pk+=FPk+万，Pz-所以数列J"一1是首项为公比为一;的等比数列,苗D即111(Y,11(Y,所以所以0a=_3乂a=-×-，=-×-j=-×4-<-D选项错误.333312J33220223一顶点，其中顺时针的概率为士，逆时针的概率为；33%（wN"）.下列说法正确的有（ACD）13F二万271B.P2n+=1C（IYT1cP2n-l=7xo+Ok22022A>505=/【解析】有四种情形：AfBfe-B,A-DfAfB2211222121111：33333333333332”对于B,当为偶数时，从顶点A出发，只能到达A设蚂蚁经过n步到达B、D两点的概率分别为P.,B,A-*B-*A-*B,AfDfCfB,故选项A正确；点或C点，此时pn+qn=0,pn=0；6.（多选）如图，一只蚂蚁从正方形ABCD的顶点A出发每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另当为奇数时，从顶点A出达B、D两点为不可能事件:对于选项C,当为偶数时率，分别为PX=+现计论从顶点A出发经过I发，只能到达B点或D点，此时P+%=l,即从顶点A出发经过2步到，即0=%=°，故选项B错误；,pn=09当为奇数时，先计算从B点或D点出发经过两步到达B点的概12411225339DTB33339步到达B点的两种情形：D从顶点A出发经过-2步到达B从顶点A出发经过-2步到达D点,所以P“=gP”-2+§%-2=§P”-2+§（1-rr1If1所以几Pi-=露再经过两步到达B点的概率为p,再经过两步到达B点的概率为。/_2，-Pn-2），一一1弓一;=:，易得凡+；,故选项C正确;3260792(IY(IY(IYTpk=ppN+N+N+55 A=-× 201011 31011UCU十4>>5059故选项D正确.2027 .（多选）如图，有一只青蛙在正方形池塘的顶点ABCD之间跳跃，假设青蛙它跳向相邻顶点的概率为跳向不相邻顶点的概率为!.若青蛙一开始位于顶点A处，记青蛙跳跃次后仍位于顶点A上的概42率为匕，则下列结论中正确的是（）A.青蛙跳跃2次后位于B点的概率为L48 .得一：是等比数列C.青蛙跳动奇数次后只能位于点A的概率始终小于LD.存在整数N',使得青跳动次后位于C点和D点的概率相等【答案】ABC【解析晴蛙跳跃次后仍位于顶点A上的概率为Ptlt则青蛙跳跃/2-1次后仍位于顶点A的概率为PQ,不位于顶点A的概率为I-Kt，位于B、C>D的概率都为:（1-Kt）,第次跳跃，为D跳跃至A的概率是g（l一4）x；,为B跳跃至A的概率是g（l一）x；,为C跳跃至A的概率是g（l一4）g,于是有,K=g（1e“）x；x2+；（lK_Jxg=g（l-匕.J,即匕一;=Y11l（neN）,Po=,是以4一；='为首项，一；为公比的等比数列，=,nl,4J4434413J131Y当=O时，代入验证成立，于是=±+2一±,n0.443J设青蛙跳跃次后位于顶点C上的概率为Qfl,则青蛙跳跃-1次后位于顶点C的概率为Qa,不位于顶点C的概率为1一2一，位于A、B、D的概率都为：(1一。“)，第次跳跃，为A跳跃至C的概率是(1-f.1)×p为B跳跃至C的概率是:(lQ-Jx；,为D跳跃至C的概率是,于是有，l=0-,-1)×(1-a-.)×7×2=(1-)*11/11即0-7=_鼻,-1-7，"2("N*),Q=-,Jr!是以为首项，为公比的等比数列，,-=-×f-l，4J44344I3J设青蛙跳跃次后位于顶点B上的概率为Rn,则青蛙跳跃-1次后位于顶点C的概率为Re,不位于顶点C的概率为1一47,位于A、B、D的概率都为g(l-R,),第次跳跃，为A跳跃至B的概率是1(1为C跳跃至B的概率是:(1为D跳跃至B的概率是:(1于是有，R“J(l即RH=TRT)"2("WN,),K=；,R“二%即青蛙跳跃次后位于顶点B上的概率为卜于是青蛙跳跃次后位于顶点D上的概率为1-1 ( IYT× 综上，易得答案为ABC8. (2024武汉9调)甲，乙，丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3,则甲将球传给乙，若点数不大于3,则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4,则乙将球传给甲，若点数不大于4,则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3,则丙将球传给甲，若点数不大于3,则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中，投掷"("N*)次骰子后，记球在甲手中的概率为2，则鸟=，P11=.【解析】记第次球在甲手中的概率为乙，记第次球在手中的SE率为Q”，记第次球在丙手中的概率为R.,则有*R“，Qe=S”，R角=4。，121由，得QN÷+1=l-+1=-÷-1÷-R，由，得"2%LM,"*1-2Rx+1-2R,即&Wm片=;，*=(P（三）Y中-)+99. (2019全国I卷)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得7分；若都治愈或都未治愈则两种药均得O分.甲、乙两种药的治愈率分别记为和仍一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列.(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，,6=0,1,2,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则Po=O,p8=1»pi=+bpi+z+l(/=L2,.,7),其中4Z=P(X=-I),b=p(=o)C=P(X=I).假设=0.5,=0.8证明：P+-Pj(i=j2,7)为等比数列；求几，并根据几的值解释这种试验方案的合理性.【解析】(1)M的所有可能取值为一1,0,1.P(X=f=Q-a)0,P(X=O)=的+(1)(l-4)，P(X=)=a(-),所以X的分布列为X-101P("a)a+(-a)(-)a("0)(2)(Dffi明由(1)得"=0.4,人=0.5,c=().l.因此pi=0.4PI+0.5pi+0,1Pr,故0.1(A+1-/?,)=0.4(pi-Pl),则p,+1-pi=4(p,-PiT).又因为Pl-PO=P产0,所以-pr(i=0,l,2,7)为公比为4,首项为Pl的等比数列.由得48-1Ps=PP+PLPg+.+PPo+Pq=(PLPj+出-Ps)+Po)+Pu=P3由于8=1，故PI=不二/44-11所以，4=(，4-，3)+(。3-凸)+(。2-Pj+(PLP)+A)=？-P二后凡表示最终认为甲药更有效的率.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为/2=白0039,此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.10.(2023杭州二模)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，Xr,2,X-,X1,x+l,那么X”时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态天,即P(XIM,x.2,N/Xt)=P(XtJXJ.现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型.假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏,每一局赌徒赌赢的概率为50%,且每局赌惠可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%,且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为()元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博.记赌徒的本金为4人£".,48)元，赌博过程为如图所示的数轴.当赌徒手中有元(0"B,"N)时，最终输光的概率为P()，请回答下列问题：0.50.50VVB0SOS(1)请直接写出P(O)与P(B)的数值；(2)证明是一个等差数列，并写出公差",(3)当A=100时，分别计算B=200,B=IOoO时，P（八）的数值，并结合实际，解释当8f+8时，P（八）的统计含义.【解答】(D当=0时，赌徒已经输光了，因此P(O)=I.当=4时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率P(B)=0.(2)记事件/W="赌徒有元是最后输光的"，事件N="赌徒有元下一场赢”,由全概率公式，P(M)=P(N)P(MN)+P(町P(MR),即夕()=；。(一l)+p(+l),所以2(/1+1)P(九)二尸()一尸(一1),所以P(»是一个等差数列.设P()尸(l)=d,则P()尸(O)=故P(B)P(O)=及/,得"=LBA(3)由P（八）-P(O)=Ad,即P(4)=l+4d=l-2,=100,当8=200时，P（八）=50%,当BB=1000,P（八）=90%,当Bfy时，P（八）1,因此可知久赌无赢家，即便是一个这样看似公平的游戏，只要赌徒一直玩下去就会有100%的概率输光.11.校足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到。记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为2,即6=L(1)求巴；(2)证明：数列;勺-；为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小.【解析】(1)由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，第二次触球者传给包括甲的三人中的一人，故传给甲的概率为故B=L33(2)第次触球为甲的概率为匕，则当2时，第次触球为甲的概率为，第-1次触球不是甲的概率为1-匕，JWq=O.月+；(1_巴_)=:(1_勺一)，从而=JJXZ又所以|?一；|是以,为首项，-g为公比的等比数列，n3fIYT1n3f1丫811n3(1丫11n43)4,94I.3J44204k3J44%鸟0,故第19次触球者是甲的概率大.12.马尔可大链是因俄国数学家安德烈马尔科夫得名，其过程具各“无记亿”的性质，即第+1次状态的概率分布只跟第次的状态有关，与第-1,-2,-3广次状态是“没有任何关系的”.现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球，从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行次操作后，记甲盒子中黑球个数为X”，甲盒中恰有1个黑球的概率为“，恰有2个黑球的概率为勿.(1)求x分布列；(2)求数列4的通项公式；(3)求X”的期望.【解析】(1)由题可知，X的可能取值为0,1,2.由相互独立事件概率乘法公式可知:八、122八11225c212p(=0)=-×-=-,P(X1=l)=-×-÷-×-=-,P(Xl=2)=-×-=-,7339',33339'7339Xi012P295929(2)由全概率公式可知P(Xw=I)=P(Xn=1)P(XN=IlZ=1)+P(X“=2)P(x,1+1=H2)+P(Xzf=O).P(XN=IlX“=0)=O泊P(x=MMP(X=2)+回)p=0)S22=Wl(X“=1)+§(X“=2)+§1(冗=0)h52,2,1,x3(3A32即。+1=6"”+3"+4(_"”一)，所以/三，7J。7JJUT所以是以_2_为首项，为公比的等比数列，=Im5J459"545I9J519J(3)由全概率公式可知P(X向=2)=P(Z=I)P(Xm=2Xw=l)+P(Xn=2)P(X+1=2Xn=2)+P(XZl=0)P(Xw+1=2Xn=0)I p(XfI = 2) +。尸(X71=O)2132(1、"1232(1Y即%=铲“+#又。“mH所以%i+3rH,71ifV+,IL1if1Y-,+,-5+5C9j=3m5+51-9J，2又 4 = p(X=2)=§,="4l，所以E(X=4+为+0(J4-%)=4+绞=L13.(2023济南开学考试)甲、乙两人进行抛掷股子游戏，两人轮流地掷一枚质均匀的骰子.规定：先掷出点数6的获胜，游戏结束.(D记两人抛掷股子的总次数为X,若每人最多抛掷两次IR子，求比赛结束时，X的分布列和期望;(2)已知甲先掷，求甲恰好抛掷Ii次骰子并获得胜利的概率.【解析】(1)依题意，抛掷骰子一次获胜的概率=L,X的可能值为1,2,3,4,62 1_ 25X 一 = 96 216P(X=I)=I,6P(X=4) =125216(1、P(X=3)=1(6J所以X的分布列为:X1234P653625216125216期望E(X)=l×-+2×-+3×-+4×-=636216216216(2)设甲抛掷第n次骰子且不获胜的事件的概率为(nNj,业、C25525n-1I ,当2时，甲抛掷第次骰子当2时，%=%W=B%,、3255，25因此数列是以;为首项，W为公比的等比数列，atl=×W6366136且获胜的事件的概率为K=%><W()X'XWx(Ij),显然当=1时，：=*满足上式，所以甲恰好抛次骰子并获得胜利的概率为C,=J(纪,"N'.6136J14.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X”，恰有2个黑球的概率为与，恰有1个黑球的概率为Q.（1）求片,和巴，q2；（2）求2K+Q“与2E+Q,的递推关系式和X的数学期望£（X）（用表示）.【解析】E=le2+o(-ijf+，=2=÷f-+-Q+(-Q)=-Q÷-2Cy,1c；C3C；C；),cy',"913C1C1C1C119(2)当心2时，匕=#才Q+O(l以21)=4文1+6。“”，0=ll+f+MlHQ+lm(i一么2-)=一(QT+：，2412122+，得4+2,=2÷f-1-,-1÷-=-(21÷,-1)÷T从而有+Q1=；(24t+Q1),所以2匕+0-1是以2+Q-l=g为首项，3为公比的等比数列，21+1-l=×fl所以有+2, XfeS“GN*.由,31又QLg=Ir所以23H95N*.有4 =T有电-,Z I J7ZNe.故 t-qliHT 4x)"N*.Xn的概率分布为Xn012PaQnp,1R!E(Xw)=0×(l-,)+l×+2×=l+),"N".15.(2020,湖北武汉9月起点质量监测)武汉又称江城，是湖北省省会，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，黄鹤楼与东湖便是其中的两个.为合理配置旅游资源，现对已参观黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否参观东湖的概率均为游客之间选择意愿相互独立.2(1)从游客中随机抽取3人，记这3人的总得分为随机变量X,求X的分布列与数学期望；(2)若从游客中随机抽取MmeN)人，记这m人的总分恰为m分的概率为Aw,求数列4,的前10项和；在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的人的累计得分恰为分的概率为%,探讨纥与gi(,22)之间的关系，并求数列纥的通项公式.【解析】(DM的所有可能取值为3,4,5,6.P(X=3)=(Jq,P(X=4)=c$(I、3P(X=5) = C刃p(x=6)=qg_8所以X的分布列为X3456P18383818I3319所以E(X)=3×+4×+5×÷6×=2(2)总分恰为加分的概率A,”=,所以数列4是首项为上公比为;的等比数列.其前10项和SK) =110242因为已调查过的人的累计得分恰为分的概率为反,得不到分的情况只有先得(一1)分，再得2分,概率为:纥452)所以1一纥=BB,52),即用=gBa+15N2)21(2、所以&一鼻=一不纥耳(2)JZI3)2 所以纥-；易知BI=L, 22 If 1所以 L- 3 6( 221(IY2(-1)n3+3l-2J=3+3x2”16.某商场拟在年末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：每轮游戏都抛掷一枚质地均匀的骰子(形状为正方体，六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6),若向上点数不超2点，获得1分，否则获得2分，进行若干轮游戏，若累计得分为19分，则游戏结束，可得到200元礼券，若累计得分为20分，则游戏结束，可得到纪念品一份，最多进行20轮游戏.(1)当进行完3轮游戏时，总分为X,求X的期望；(2)若累计得分为i的概率为亿，(初始得分为0分，P0=O.证明数列加-Pz(i=123,19)是等比数列,求活动参与者得到纪念品的概率.【详解】12(1)由题意可知每轮游戏获得1分的概率为：，获得2分的概率为,，设进行完3轮游戏时，得1分的次数为八所以丫,p(y=A)=u(m晨W2,3,三x=r÷2(3-y)=6-y,即随机变量X可能取值为3,4,5,6,HX=3)=©4，P(X=4)=4)用,P(X=5)=鸣目哆P(X=M©4X的分布列为：X34P1272949827I24XE(X)=3×-+4×-+5×-+6×-=5.v7279927(2)证明：=1,即累计得分为1分，是第1次掷骰子，向上点数不超过2点，=g,则2A-=-p累计得分为，分的情况有两种：2()i=(Z-2)+2,即累计得-2分，又掷骰子点数超过2点，其概率为1几2，()累计得分为-1分，又掷骰子点数没超过2点，得1分，其概率为:匕I,212所以匕2+§为a=2,3.,19),"%=_§(*_d)，22所以数列Pi-Pz,是首项为-；，公比为-(的等比数列.piPi=(：)，累加法得，所以活动参与者得到纪念品的概率为：0=p18=×-j=×÷17.安庆市某学校高三年级开学之初增加晚自习，晚饭在校食堂就餐人数增多，为了缓解就餐压力，学校在原有一个餐厅的基础上增加了一个餐厅，分别记做餐厅甲和餐厅乙，经过一周左右统计调研分析：前一天选择餐厅甲就餐第二天选择餐厅甲就餐的概率是25%、选择餐厅乙就餐的概率为75%,前一天选择餐厅乙就餐第二天选择餐厅乙就餐的概率是50%、选择餐厅甲就餐的概率也为50%,如此往复.假设学2 1生第一天选择餐厅甲就餐的概率是:，择餐厅乙就餐的概率是记某同学第天选择甲餐厅就餐的概率为4(1)记某班级的3位同学第二天选择餐厅甲的人数为X,求X的分布列，并求(2)请写出七I与KScN*)的递推关系；(3)求数列K的通项公式并帮助学校解决以下问题：为提高学生服务意识和团队合作精神，学校每天从20个班级中每班抽调一名学生志愿者为全体学生提供就餐服务工作，根据上述数据，如何合理分配到餐厅甲和餐厅乙志愿者人数？请说明理由.【详解】(1)某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率4=!+!=!,3 432323112某同学第二天选择餐厅乙就餐的概率=所以3位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为X,则XP(X=Ar)=C*(A=Oj2,3),.X的分布列为X0123P8274929127故6(X)=3g=l.(2)依题意，"叫+d),即Kx=；2+g(N).(3)由(2)知心尸；K+；(eN.),则丹山一|=一；匕一才仅£河)2224当=1时，可得耳一(苦一：=,所以数列2一3是首项为公比为的等比数列.I5J1541615H .所以匕-w (一+),2所以，分配到餐厅甲的志愿者人数为20xy=8,分配到餐厅乙的志愿者人数为20-8=12.18.某几位大学生自主创业创办了一个服务公司提供A、两种民生消费产品(人们购买时每次只买其21中一种)服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买A的概率为:、购买4的概率为13而前一次购买A产品的人下一次来购买A产品的概率为:、购买3产品的概率为一,前一次购买4产品44的人下一次来购买A产品的概率为:、购买3产品的概率也是如此往复.记某人第次来购买A产品的概率为己.(1)求6,并证明数列IK是等比数列；(2)记第二次来公司购买产品的3个人中有X个人购买A产品，求X的分布列并求少(才)；(3)经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800人，假定这800人都已购买过很多次该两款产品，那么公司每天应至少准备A、8产品各多少份.(直接写结论、不必说明理由).【详解】八、C2111134323依题意，知匕+|=e+(-匕),则当=1时，可得数列是首项为2公比为一；的等比数列.DIDIJJ1D-2111123112(2)第二次买力产品的概率与第二次买B产品的概率与第二次来的3人中有X个人购买A产品，X的所有可能取值为0、1、2、3有P(X=Z)=CmTx=OJ2,3)X的分布列为X0123P82749291Z7故 E(X) = OX«421+l×-+2×-+3×=1(3)由(D知：,.当趋于无穷大时，pt即第次来购买A产品的概率约为2故公司每天应至少准备A产品320份、8产品480份.19 .袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同,从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中.重复上述过程次后，袋中白球的个数记为王.(1)求随机变量X1的概率分布及数学期望E(X2).(2)求随机变量X“的数学期望&X”)关于的表达式.【详解】(1)由题意可知X?=3,4,5.rlrl0当X?=3时，即二次摸球均摸到白球，其概率是P(X2=3)=号x*=2;QQ64当x?=4时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，35645,C,l其概率是P(X2=4)=沿+.=c'c'S当X2=5时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P(%=5)=冷=弓,CsCoIO所以随机变量的概率分布如下表:X2345P9643564516*迎wHCVV、19.35-5267三F(X2)=3×-÷4×-÷5×-=-(2)设P(X.=3+2)=Pe=0,L2,3,4,5.JwA)+百+2+凸+H+必=1,E(X“)=3p°+4p+5p2+6p3+7p4+8p5.35445P(Xf>+=3)=J%，P(Xfl+=4)=Qpo+GP，P(Xn+l=5)=-pt+-p2fOOOOOP(X11+1=6)=p2+S3,P(XzSP4八,OOOOIQP(X"+=8)=鼻P4+dP5，OO.CZV3.5445N/36.,.2718.E(XW+1)=3×Po÷4×(-Po+7Pi)+5×Pl+P2)+6×P2+P3)+7x(g3+g4)+8×(-P4+P5)OOOOOOOOOOO293643505764=<o+4Pi+5p2+6p3÷7P4+8p5)÷Po÷p1+p2÷Ps+p4÷p5=：E(X")+i，OO由此可知，E(Xn+1)-8=(E(Xrt)-8),OXE(X,)-8=-,故但(左)一可是首项为-当，公比为:的等比数列,OoO35/7E(Xw)-8 = -O O71-1I ，即 E(Xr,) = 8-35(7/1-120 .(2024荆荆恩起点考试)甲、乙两个盒子中都装有大小、形状、质地相同的2个黑球和1个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中，重复(eN")次这样的操作后，记甲盒子中黑球的个数为X,甲盒中恰有2个黑球的概率为p”，恰有3个黑球的概率外.(1)求Pi,q12(2)设%=pz+2%,证明：q,M=5f+3:(3)求X”的数学期望E(XzI)的值.【解析】八、22115122(1) p1=F=,q,=：“33339”339(2) 此操作后，甲盒中有一个黑球的概率=l由全概率公式P(XN=2)=P(X=l)P(X+1=2Xn=l)+P(Xn=2)P(Xn+1=2Xfl=2)÷P(X=3)P(Xn+1=2Xn=3)25221所以=Xlx(l+lx/=§一§%'P(Xz=3)=P(X.=2)P(X同=3Z=2)+P(4=3)P(X向=3Xn=3)12121所以夕用=?；，+1e=1亿,+3%，所以2121212P,+=t+-Pm÷-11=(a,+)÷，即品+I=QJ-*OJJ2152(3)由q,+=§1+§,得。+1.c1=p1+21=-+2×-=l,CnT=GTT=0,所以C"=P'+2%=1,所以E(X”)=1X(1-+2+3%=1+%+初=2.21. (2023新课标I卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为06乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为05(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第i次投篮的人是甲的概率；(3)已知：若随机变量Xj服从两点分布，且P(Xi=I)=I-尸(Xj=O)=0,i=l,2,则'bi、nEEXi=Z%.记前次(即从第i次到第次投篮)中甲投篮的次数为丫，求E(y).【解析】(I)记“第i次投篮的人是甲”为事件4，“第I次投篮的人是乙”为事件国,所以，尸(四)=尸(4与)+。(4员)=p（八）尸(用a)+p(4)尸(用14)=0.5×(l-0.6)+0