椭圆的92条经典性质及证明.docx

椭圆.PF+PF2=2a2.标准方程+£=13.中=e<l4.点P处的切线PT平分aPFF2在点P处的外角.5 .PT平分aPBF2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.7.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8 .设Ai、A2为椭圆的左、右顶点，则APFFz在边PF2(或PFl)上的旁切圆，必与AA?所在的直线切于A?(或AI).X2v29 .椭圆f+<=l(a>b>O)的两个顶点为A(f,O),AS,。)，与y轴平行的直线交椭圆于P.P2时AR与A2P2交点Q-b的轨迹方程是建“10 .若(%,%)在椭圆£+4=1上，则过几的椭圆的切线方程是1+浑=1.ababx2y211 .若用(%,%)在椭圆/+*=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为Pl.P2,则切点弦PF2的直线方程是=1.ab221212 .AB是椭圆0+当=1的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则心b=-14，Ira222213.若4(x0,Y)在椭圆+=1内，则被P。所平分的中点弦的方程是笄+浑=与+冬.ababab222214 .若4(%,%)在椭圆+5=1内，则过PO的弦中点的轨迹方程是+与=¥+绰.abababx2v2111115 .若PQ是椭圆一Y÷7=1(a>b>O)上对中心张直角的弦，则yH=-+r储=OP乃。|).22Il16 .若椭圆三+专=1(a>b>O)上中心张直角的弦L所在直线方程为Ar+By=1(ABO)JJ(1)-+=A2+B2;(2)_2Ja4A2+b4B2a2A2+b2B2,21217 .给定椭圆G：h2x2+a2y2=a2b2(a>b>O),C2:从/+/、2=(5二咒则对CI上任意给定的点P(Xo,%),a+b它的任一直角弦必须经过C,上一定点M(4/,-%).a+ba+b(ii)对C2上任一点P(X0；y0)在Cl上存在唯一的点”,使得M的任一直角弦都经过P'点.18 .设P(XO,%)为椭圆(或圆)C:J+与=1(a>0,.b>0)上一点，PR为曲线C的动弦,且弦PP,PPz斜率存在，记为a/rk,k2,则直线P1P2通过定点一平%)(m1)的充要条件是K=-T-na2y219 .过椭圆/+%=1(a>O,b>O)上任一点A(XO,%)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定b2t向且怎C=*A(常数).GyOX2y220 .椭圆/+j=l(a>b>O)的左右焦点分别为F,F2，点P为椭圆上任意一点/尸6=7,则椭圆的焦点三角形的面积为SMPF,二tan,P(±Jc-Zrtang,±tan今.尸TL21 .若P为椭圆/+$=1(a>b>O)上异于长轴端点的任一点,F,F2是焦点，ZPFlF2=a,ZPF2Fi=f则a-caa + c2229x V-22.椭圆一 + 4t = 1 (a>b>O)的焦半径公式：IMlI= + «/ JM鸟 =-60(6(-c,0) , K(C,0), (x0,y0). a b23.=1 (a>b>O)的左、右焦点分别为FlF2,左准线为L,则当=tantan.2-le<l可在椭圆上求一点P,使得PFI是P到对应准线距离d与PFz的比例中项.24二为椭圆0+2=1(2>40)上任一点问£为二焦点,人为椭圆内一定点，则2。-|4鸟PA+PFl2a+AF.tab当且仅当Ag,P三点共线时，等号成立.25.26.27.28.29.30.椭圆二+£=1(a>b>O)上存在两点关于直线/：y=Z(X-A0)对称的充要条件是J"二.ab'a+b-k过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.X=acos(OCl + sin2 “(a>b>O)上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是/=y=bsn2222.x1-(+a"a1 cos2 a + Z/sii?。),其中设A,B为椭圆5+方=2(攵>O,A1)上两点，其直线AB与椭圆*+亲=1相交于RQ,则4P=BQ.在椭圆二十与=1中，定长为2m(o<ma)的弦中点轨迹方程为a-b OP2+OQF的最小值为孚与；(3) SA”。的最小值是孚区. a +ba +b37. MN是经过椭圆从+q2y2 =q2 (a>b>0)焦点的任一弦，若AB是经过椭圆中心O且平行于MN的弦，则ABf=2aMN.38. MN是经过椭圆/(a>b>0)焦点的任一弦，若过椭圆中心O的半弦QP_LMV,则21111=1 aMN OP2 a2 b2 "tana=一一当y=0时，a=90.ayx2v231 .设S为椭圆二+2T=I(a>b>O)的通径，定长线段L的两端点A,B在椭圆上移动，记AB=/,M(XO,%)是ABab“中点，则当S时，有(玉)3=一上(。2=/-我6=£)；当/<05时，有®)max=WT,(M)min=O.c2ea2bi2v232 .椭圆二十4=1与直线Ax+By+C=0有公共点的充要条件是A22+B2b2C2.ab33 .椭圆攵二班十空我E=I与直线Ar+By+C=O有公共点的充要条件是A?/+b?/(仇+3%+C)?.abx2y234 .设椭圆=+J7=l(a>b>O)的两个焦点为Fi、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在4PFF2中，记N-尸鸟=a,abSinclcZPFE=氏gp=,则有.A=£二«.sinp+sna35 .经过椭圆从炉+a2,2=。2/(a>b>0)的长轴的两端点Al和A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于Pl和P2,则12=2.-v2IIll36 .已知椭圆一7÷=1(a>b>O),O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP_LOQ.(I)H二-7÷3；a-b-IoPl-OQab39 .设椭圆1+5=1(a>b>O),M(m,o)或(o,m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与椭圆相交ab于P、Q两点，则直线A|P、A2Q(A.A2为对称轴上的两顶点)的交点N在直线/：X=幺(或y=2)上.mm40 .设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF_LNF.41 .过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,AhA2为椭圆长轴上的顶点，AlP和AzQ交于点M,AzP和AlQ交于点N,则MFj_NF.221242 .设椭圆方程二十与=1,则斜率为k(k和)的平行弦的中点必在直线/：y=kx的共规直线y=kx上,而且kk=a-b-a-43.设A、B、C、D为椭圆=1上四点八8、CD所在直线的倾斜角分别为,/,直线AB与CD相交于P,且P不在椭圆上,则PA卜PB_b2cos2jt-a1sin2/7PCPDb2cos2a+a2sin2a2244 .已知椭圆3+r=l(a>b：>0),点P为其上一点R,F2为椭圆的焦点，/"尸乙的外(内)角平分线为/,作B、F2分别垂直/于R、S,当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是炉+ 丁2=。2(/,2 =2y2+2x(x±c)a2y2 +b2x±c)2).45 .设aABC内接于椭圆，旦AB为的直径，/为AB的共枢直径所在的直线，/分别交直线AC、BC于E和F,又D为/上一点，则CD与椭圆相切的充要条件是D为EF的中点.46 .过椭圆W+方=1(a>b>O)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交X轴于P,则PF_eMN2'47 .设A(x,y1)是椭圆二十=1(a>b>O)上任一点，过A作一条斜率为一一FL的直线L,又设d是原点到直线Lb”ayl的距离，4,与分别是A到椭圆两焦点的距离，则标d=ab.fV2V2v248 .已知椭圆-+2T=l(a>b>O)和二+4=%(O<<1),一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点，则ababIABI=CDI.x2V249 .己知椭圆r+2T=l(a>b>O),A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与X轴相交于点P(Xo,0),则a0"<<50.a2-b2设P点是椭圆a>b>O)上异于长轴端点的任一点,B、F?为其焦点记,则IPKIlP玛=:”下.SA呻i=从tan"1+cos2251. 设过椭圆的长轴上一点B(m,o)作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结AP和AQ分别交相应于过H点的直线MN：X=于M,N两点,则NMBN=90O二”或a+mZr("+)52. 2y253. 1.是经过椭圆/+$=1(a>b>O)长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是椭圆两个焦点，e是离心率,点PL,若NEPF=a,则。是锐角且Sinae或a%sine(当且仅当P"=b时取等号).54. 1.是椭圆*+方=1(a>b>O)的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点PcL,e是离心率，4EPF=a,H是L与X轴的交点C是半焦距，则。是锐角且Sinae或msine(当且仅当|尸”|二约时取等号).55. 尸56. 1.是椭圆靛+$=1（a>b>O）的准线，E、F是两个焦点，H是L与X轴的交点，点尸L,/EPF=a,离心率为e,半焦距为c,则Q为锐角且Sina/或qzcsin/（当且仅当IP为I=IJa?十山时取等号）C2255.已知椭圆=+=7=I（a>b>O）,直线L通过其右焦点Fm且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点Fla"b"连结起来，则6A百8"4匚（当且仅当AB_LX轴时右边不等式取等号，当且仅当A、B、B三点共线时a左边不等式取等号）.56.设A、B是椭圆靛十31 （ a>b>O）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，ZPAB = a, NPBA = 0,NBPA = y ,c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有IPAl=COSMQ）tancrtan=1-¢2.（3）SMAB=孕ICOt九a-CrCOS-ab-a2257 .设A、B是椭圆*+春=1（a>b>O）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点,且乙、4的横坐标乙4=/,（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则NPBA=NQBA；（2）若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则NRAB+NQAB=180.X2y258 .设A、B是椭圆靛+£=1（a>b>O）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，（若BP交椭圆于两点，则P、Q不关于X轴对称），且NPAA=NQ8A,则点A、B的横坐标4、与满足XA4=/;（2）若过B点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，且NH48+NQ4B=180,则点A、B的横坐标满足XAxB=/.59 .设A,A是椭圆、+ ay21的长轴的两个端点，QO是与AA'垂直的弦，则直线AQ与A。'的交点P的轨迹是双曲线V y2 1X2 v260 .过椭圆= + 4 = la bQ W 2（a>b>0）的左焦点尸作互相垂直的两条弦AB、CD则滔%AB + CD61 .到椭圆i方=1( 2262 .到椭圆£ +方=1 (x±-)2 + =(-)2.a>b>O）两焦点的距离之比等于伫 b（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆（x±a）2 +y2=b2.（a>b>O）的长轴两端点的距离之比等于一（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆b2263 .到椭圆 +多"=1a b（a>b>O）的两准线和X轴的交点的距离之比为N二 b（c为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆±4）2+=（2 e 为离心率）.e.夕2264 .已知P是椭圆*r = l（ a>b>O）上一个动点，4,4是它长轴的两个端点,且42,4。,4。_14尸，则Q点的2,2 2轨迹方程是+生: = 1.a a65 .椭圆的一条直径（过中心的弦）的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.工2 2,266 .设椭圆=+ 2T = I （ a>b>O）长轴的端点为AA,尸（X,y）是椭圆上的点过P作斜率为1的直线/,过AA分 a b"一别作垂直于长轴的直线交/于M,",则（I） AM H AM'=Z?2. （2）四边形MAA"面积的最小值是2".67 .已知椭圆=+ a1 （ a>b>O）的右准线/与X轴相交于点E ,过椭圆右焦点尸的直线与椭圆相交于A、B两点,点。在右准线/上，且BCx轴，则直线Ae经过线段EF的中点.68. OA、OB是椭圆日二学-2定点(Iab2a2 +b1,0) .(2)以OA、OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是(X-YF)2 + y2=(3)2(0).(r+工yla21 (a>b>O)上一个定点，PA、PB是互相垂直的弦，则(1)直线AB必经过一个定+方=I(a>O,b>O)的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则(1)直线AB必经过一个点(利当咋"2,吗2)(2)以PA、PB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是4+ba+b/ab2+a2tn,b2n.2a2b4+n2(a2-Z?2)口i且"，70 .如果一个椭圆短半轴长为b,焦点B、F2到直线L的距离分别为出、d2,那么(1)did2=b2t且日、F?在L同侧O直线L和椭圆相切.(2)did2>b2,且Fi、Fz在L同侧O直线L和椭圆相离，(3)J1J2<b2,或Fi、F?在L异侧O直线L和椭圆相交.2271 AB是椭圆£+太=1(a>b>°)的长轴'N是椭圆上的动点，过N的切线与过A、B的切线交于C、O两点，则2a22Y-72.设点P(X°, 为)为椭圆一 *a梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是，方=1("0).=1过定点P(XO, 九)的任一弦，当2Y=1(a>b>O)的内部一定点，AB是椭圆r+a弦AB平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时(IpAl 尸8)nmb2.当弦AB垂直于长轴所在宜线时,(IPAkIPBI)mina2b2 -(a2y>Q +Z2x02)2OT73.74.75.76.77.椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)78.79.80.81.82.83.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84.椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的 圆的切点.85.86.87.88.椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值e.椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.Y2 v2AA89 .已知椭圆二+=1(。>0/>0)(包括圆在内)上有一点尸,过点尸分别作直线)，二一不及丫 二 一一X的平行线，与X轴 a baa于 M,N,与)，轴交于 R,。.,。为原点，则： OM2+ON2=2; OQ1+OR1=2b2.90 .过平面上的尸点作直线 : y = 2 X及: y = a2IoMI2+ON2/,则P的轨迹方程是3 + agx的平行线，分别交X轴于M,N,交y轴于R,Q. (1)若 2£ = 13 > 0/ > 0) .(2)若 IOQ F +1 OR 2= 2b2 ,则 P 的轨迹方程是= l(0>O,b>O).91 .点尸为椭圆j+2r=l(>0,b>0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P引"由、y轴的平行线，交)，轴、abX轴于M,N,交直线y=-2%于q,r,记AOMQ与AQNR的面积为S,S,贝h51+S9=-.a292 .点P为第一象限内一点，过尸引X轴、y轴的平行线，交y轴、X轴于M,N,交直线y=于q,r,记AOMQa与AOM?的面积为5”S2,己知S+S2=弓，则P的轨迹方程是5g=im>0,b>0).椭圆性质92条证明1.椭圆第一定义。2.由定义即可得椭圆标准方程。3.椭圆第二定义。b2 (t¾2+cx0) _ b2tan =k-k21 + kk、1 z )，o为 XO-Ca2xQy0-a2cy0-b2xQy0一,(,J.0=/同理可证其它情况。故切线PT平分点P处的外角。5 .如图，延长FiP至A,使PA=PF2,则PAF2是等腰三角形，AF2中点即为射影H2o则。/=卓=。，同理可得0乩=%所以射影H”史的轨迹是以长轴为直径的圆除去两端点。6 .设P,Q两点到与焦点对应的准线的距离分别为4,d2,以PQ中点到准线的距离为d,以PQ为直径的圆的半径为r,则d=d1+d=PF+FQ=>r故以PQ为直径的圆与对应准线相离。2Iee7 .如图，两圆圆心距为d=OM=四二乡二因La-%l=,故两圆内切。112228 .如图,由切线长定理：山S+闺Tj=I?耳+%+耳闾=2+2c,由Sl=忻TI=+c而忻7|=。+。=闺&|,7与人重合，故旁切圆与X轴切于右顶点，同理可证P在其他位置情况。9 易知H(-,0)2(,0),设6/-三+=liPly=-(x+a)1A2P2:y=(x-6r)ClbCl+CI-Xq则XP=尸(且,迫.££.=£一孕j=逆7耍=l.p点的轨迹方程为一卫.=1x0x0x0Jabx0bx0bx0ab10.4*0,%)在椭圆+与=1上二-%+普=1，对-y+3=l求导得：-=0/.y=-“ZrabaZrabayQ.切线方程为、_%=_与殳(工_/)即维+浮=g+%=l。为CIbab-IL设(牛*),/%,%)，由10得：+=l,+-=l,因为点6,巴在直线6R上，且同时满足方程abab'警+券=1,所以他:誓+誓=1arbab12.设Aa,),8("2),McWO)则有§+£=4+/1作差得：÷2=0(x-w)+w) (%)(%+%)一，).、1、 U J Ka2b2x-x2/(+%) a2ya a2ka113.由 12 可得：y-y0=-=2 %y _ / y： + 2o -/片二>b2xox+a2yQy=b2xl+a2yl=写+誓=普abab14.由12可得：)。4=_与=>2y2-a2y0y+b2x2-b2xox=0X-XqXCT=>b2x2+a2y2=b2x0x+a2y0y=+今=辫+等a：bab15.设 P(cosf,bsinr),Q(cosf,bsin),则 kop bsinrZ?sinr,a27=-1/.tan/tan/=-acostacostb1iL+22a2(cos21+cos2/j+/?2(si112r+sin2r)/rzrr(2cos21+b2sin2r)(02cos21+b2sin21)(1+1)+tan?，+tan2/、cos21cos21Jcos21cos21jtz2(2+tan21÷tant+b(tan-t+tan21j+2Z?2tan'Ztan"t(a2+b2tan2r)(02+b2tan")d4+2(tan2r+tan2/')+Z?4tan2rtan21(a2+2)(tan2r+tan2Z)+2a2a+(tan2+tan2r)÷2p-2a4+a2b2(tan2r÷tan21),2,«2/2y+(tanr+tan/)16 .将直线AB代入椭圆方程中得：(Ta2+B?/)/-24a2+/。一/)=。=4a2B2b2(A2a2+B2Z?2-1),AB=邢Y：A22÷B2-lb1C-j(r2Aa2a2(l-B2b2设A(XJ)8(2,%)则玉+再=.“2+俞中2二布2十蕨:.xlx2+yly2=O=>2÷Z72=a2b2(A?+B?)=A?+B2=g+/=ra=2a2+b2)(A2a2B2b2-l)A2a2 + B2b22色4+B2+&冲(+§2)(/+/)2JT/+B/A2a2 + B2b2A2a2+B2b217 .(1)设椭圆内直角弦AB的方程为：y-n=&(1一)即y=kx-m-kn0当斜率k存在时，代入椭圆Cl方程中得：(4&2+/)12+2424(小一碗)工+。2(7一女)2一/=0/、(、2a2k(m-kn)crm-kn)一”设A(%,y),8(%,%)得内+W=a22+b2-¾=a2k2b2-则PAP8=(为-)5-x2)+(%-y)(%-%)二(尸+1)FX2一(左2+妙0+%血)(X+2)+X+y0一(m一砌丁=0na1(k2+-:/?)2-b2+k2n+ky0+xq-mkIcrkin-kn-(a1k1+Z?2)x+(。年？+Z?2)y0-(w-Az)2=0=>/(女2+)(加一如/一/(22+)/+(/+从)片+(/女2+/)尤+1/公+从)(用一如2%(加-如)(2+82)_2a1k2tn-kn+2a2kx0m-kn)-i2a2k2y0(m-kn)=0na2(加一切)2-2(公+1)Z?2+(a2k2+/卜；+(午？+)，：+b2(m-kn)2-2y0m-kn)b2+2a2kxom-kn)=On(*2+/)(片+yj)+(knf-a2b2(k1+1)+2(m-bz)(2fc-h2y=0=42 (片 + 尤)+ /(片 + 诉)+ ,2 + /)fn2 + (2 + /一 2七(2 + 从)_ 62r2 一 2从+2ma2kx0 - 2nb1 y- Ik2na1xii + 2knb2yfi = 0=>CI2Xq +(2 +b2)n2 -b2x1-2na2x =0 ma2x + nb2yQ = mna2 +Z>2)=>2Jo +(fl2 +b2)m2-a2yl -2rnh2y0 = 0即直线AB过定点a2 -b2 b2 -ab2-a2a2 -b2F7X0,此点在C2上。当直线斜率不存在时，直线AB也过C2上的定点。 ( +b az+b )(II)由上可知C1和C2上点由此建立起一种一一对应的关系，即证。18.必要性：设PiP2： y+fny0=k(x-mx0)o k存在时，代入椭圆方程中得:(a1k2 +Z?2)%2 -22w(y0 +Ax0)x+2aw2(j0 + Ax0)2 -a2b2 =0/、/、 2a1km(yn-kx. a2m2 (y + Ax-a2b2仗 6(玉,Ni)，鸟(A2,)得匹 + 工2 = (JkN +2, xx2 =Glk2 +62kK =(% - Y ) (% - 必)_ / - MSO + mkx。+ % )(须 + 电)+ (")b + mkx。+ NO(X0-X1)(X0-X2)x1x2-x0 (x1+x2) + xb2m + ) 2Ar0y0 + 2x (n-1) + y (w÷ 1) _ /?2(w + l)充分性：设PiPz过定点(q,p),则P1P2： y = kx+ p-kqo代入椭圆方程得:bxi (n2 -1) b1 (n + l)2(n-l) 2fenr0y0 + 2x(n-l) + y(a + 1)a2x(l-w?)2 a1m-)(a1k2+卜2+2*(p-如)x+2(p-*-a2b2=0、n/、/、,2a1k(p-kqa2(p-kq-a2b2设6(%，乂)，8(工2，%)得再+工2=-QW，=2k2b2"x,x2-x0(x1+x2) + xj(X1-X0)(X2-X0)(乂一为乂为一为上/凡王+女一如一九乂芭+王丹一一%)?a2k2(p-kq-a2b1k2-2a1kp-kqp-kq-y0)+-kq-(a1k2+Z72)a2(p-依)2_a2y2+2a2kx0(p-kq)+x(ak1+Z?2)(P-依)22%(p依)+(4一二*)机+1h2”(p-*+25(P-S)+俨,一北)团一1a2(-2_2%(-+(尤一公片)m+(P-.2b:O(P-初)+化2片_婿m.0k?(，腐+V?-mqxqxj+k(mpxa+pxG-mqyQ+qy-Ipq)+tnpy-pyQ+p2-%)=0fy 2mx +q - tnqx - qxfi = 0mpx° ÷ PXO - mqy。+ q% 2 pq = 0 nmp%-py° + p2-my=0(-)(-o) = (1)< p/(n + l)+妫(l-m) = 2pq.(p-%)(m% + p) = O(3)注意到ml,解(1)(3)得p=-my°,q=mx。，代入(2)式，成立。验证k不存在的情况，也得到此结论。故/过定点(侬脑-股0)(加会1),充分性得证。19.设AB：y-y0=(x-)BPy=kx+y0-kx0ykx+y0-kxnx2y2=>(a2k2+b2x2+2a2ky0-kx0)x+a21.L:2/N纭-%)a2k-2a2ky.-b2x0 a2k2+b2 ?FTPa2k2x0 - 2a2ky0 -b1x b2y0-a2k2y0-2b2kx、a2k2 +b2a2k2+b2同理Cr a2k2xq + 2a2kyQ -b1x b2y0 - a2k2y0 + 2b2kxy .a2k2+b2a2k2+b2二破5BC 4/妖 /为20.由余弦定理：附f+归身2-2附M周CoSy=(ZcfnQp用+忙劝2=4/+2阀HP周(COSy+1)n 4/= 4不 + 2阀疗用(COSy +1) n I* I明=2b2 b2S + 1 cos2 7 k 2.,22h2sincosSMPF2=5附Il叫Silv=辞余y=tanf=6¼l2CoS7+12COS222>yp=-tan-,xp=a2tan2=-c2-b-tan2P±-c2-b2ta02±tan-c_1Gsin/+sinSiny_sin7+sina-sin(÷?)21由34：-"；=-；7ra+cl+esin/7+sina+sin/sin7+Sina+sin(+/)Sin尸+sin-SinaCoS/一Sin夕COSa_Sin£(1-CoSa)+sin(l-cos)sin?+sina+sinacos+sincosasin/?(1+COSa)+sincr(l+cos)2sincos2sin2+2sincos2sin2sin-sin222222_22.aa.cossin+cossin<2222j2sincos2cos2+2sincos2cos2coscos22222222r.a.asm-cos+sincos-(2222).a.sin-sinQ22aP-=tantanBa22coscosa" e/ =a-ex2222 .由第二定义得：MFle0+-=a+ex0,MF2=PFPR1-e23 .=Pi=enPF2=ePF1aex0=e(+ex0)n/=-ax0(0,a.,e-1=>+2e-l0=>ey2-lle-l-y2e(O,l),e>-1,1)24 .在AAP鸟中，有尸6-AF2PAPF2+AF2:.PFx+PAPFx+PF2+AF2=Ia+AF2,PFx+PAPF+PF2-AF2=Ia-AF2都当且仅当4P、玛三点共线时取等号。25 .设椭圆上的点A(APyJ关于"：>=履+相对称，M(x0,y0)o又. M在椭圆内,由 12 得：kAB =a2m2 b2rr _ a2+h2k2m2 ."十丁=7krc4k2< a2+b2k2若 m = -Zcx0,则 Xqab2k2 a2+b2k226 .5即可得证。27 .设P(8SQ,加in。)，则切线祗y=l,abIcsin夕Ic)s.FPA-cnbbr.osL2cos22-cos=0.FP±MICSinOlc)cc28.iP(cosQ,bsin0),由身寸影定理有:b2sin2=(c-acos)(c+acos)=c2-a2cos2=>c2=a2cos2+(a2-c2sin2=>e2=cos2÷(l-e2)sin2=>(l+sin2e2=sin2¢9+cos2=1=>e2=-222229.C,:+-=1,C2+=(>l),(/):Ar+By÷C=Oo联立C,/得：(A2a2+B2b1)x2+2Aa2Cx+a2C2-a2b2B2=O,由韦达定理：xa÷2A/CA2a2 + B2b2同理Xp+Xq=_.2比工。贝IJAP-BQ=J1+*Baf-J+*-q=Jl+*(kAfITXLXQI)而XA-XP,%B一的符号一定相反，i-=+-(+)=o所以AP=BQ30.设A(cosabsine),8(cos0,bsin0)，M(x0,y0)为AB中点。则 IABF =(cos。一 COSe)+(sin。一 Siney =4/sin?*().2e-(Pi2,e+(P.,e(P/?-SHr+4b-cos-sm=4m22222.7+.2-.2、+.2-2=>asmsin-bcossin=m2222Hcos6+cos0+-bsin+bsn1.+-而M=-=acos-cos-,y=-=Dsin-cos-2220222代入?得:令 tana =得:2m1-a1 b1 tan2 a71；Ilaira+ 1 tan + l22 + 。2 2J,21 9 . 2。-COS- +Zr sm a所以定长为2m (0<ma)的弦中点轨迹方程为h其中tana =当 y = 0时， = 90。ay31.设A(acos,bsina),5(cosbsin£), M(,%)为 AB 中点。则:_ acos + acos7 =a + a-a-xn=a cos- cos- => cos-=77222 a + QCOS-2AB - er (cos a - cos /?)2 + Z?2 (sin a - sin /?)2 = 4a2 sin2a + . 9 a- .9 o a + . a-sm- + 4Z?- cossn-2222.2 (-( 2 . 2。+ B .22。+ 夕) Jl 2a-( 222 0 + 夕)124sn c sm + b cos = 4 1-cos a -c cos = I2 I 22 ) I 2 人2 )2 ( 2?a-22。+ )22。+/2。一 =>d - a cos