离心率的多种妙解方式（十四大经典题型).docx

离心率的多种妙解方式经典题型一：建立关于a和C的一次或二次方程与不等式经典题型二：圆锥曲线的定义经典题型三：利用正弦定理经典题型四：利用余弦定理经典题型五：内切圆问题经典题型六：椭圆与双曲线共焦点经典题型七：利用最大顶角，经典题型八：基本不等式经典题型九：已知PF”桓范围经典题型十：PF.=PF,经典题型十一：中点弦经典题型十二：坐标法经典题型十三：四心问题经典题型十四：利用双曲线渐近线的斜率求离心率范围的方法一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系.2、利用线段长度的大小建立不等关系.r&为椭圆/a户的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，IPKl-c.+d;用出为双曲线看一Aim>oao）的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，IPFiIc-,3、利用角度长度的大小建立不等关系.F,用为椭圆td=的左、右焦点，P为椭圆上的动点，若NFPF=6'则椭圆离心率0的取值范围为，ei.cstnsc14、利用题目不等关系建立不等关系.5、利用判别式建立不等关系.6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系.7、利用基本不等式，建立不等关系.二、函数法:1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变，量的函数关系式；2、通过确定函数的定义域；3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围.三、坐标法：由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系.经典题型一，建立关于Ci和c的一次或二次方程与不等式1. （2022甘肃瓜州一中高三期中（文）若rn是2和8的等比中项，则圆锥曲线/T=1的离心率是（）A.3或百B.百C.¾D.3或在99992. （2022全国高三专题练习）设椭圆小一小的左、右焦点分别为小，FY点M,N在C上（MC:=+Ml（>>0）r<I位于第一象限），且点M,N关于原点O对称，若IMM=IAF/2MFj=IWF>1'则C的离心率为（）A.史B.1C.6-D.¾3. （2022安徽省定远县第三中学高三阶段练习）椭圆c：f=（a>5）的左、右焦点分别为F/F经过点H的直线与椭圆C相交于A,B两点，若A4BF的周长为16，则椭圆C的离心率为（）A.gB.11C.1D.*44. （2022江苏南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）设双曲线2/的左、右焦点分别为尸”F2,P是CU3=1上一点，且FPFj,若P/?/的面积为%则双曲线C的离心率为（）A.B.2C.3D.QS5. （2022.河南省叶县高级中学模拟预测（文）己知双曲线/好.C、的右焦点为PP为U右支上C:）-3=l（a>0,b>0）rru一点，op与排切于点，与,轴交于4B两点，若A.PB为直角三角形，则C的离心率为（）A2¾B.¾C+1D4-199经典题型二：圆锥曲线的定义6. （2022.四川.高三阶段练习（理）已知双曲线CPy三1（fl>0,>0）的左、右焦点分别是Fj丹，过右焦点F,且不与彳轴垂直的直线交C的右支于A，B两点，若4F14.且MBI=2MFJ则。的离心率为（）a2l+2c&DI+/7. （2022浙江高三开学考试）已知尻£分别为椭圆cf=l（a>b>o）的左、右焦点，过凡的直线与C交于P.0两点，若IPFJ=21PFj=5|E0，则C的离心率是（）A.AB.立C.sD.sJ48. （2022.内蒙古包头.高三开学考试（文）已知F"_Co）.F,（cO）是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若PFlPF2=Of且二=C2，则E的离心率为（）A.5B.在C.3D.3CB999. （2022全国高三专题练习）设双曲线小户“、。人的左、右焦点分别是F、F-，过点的直线交双曲l（>O,b>0）r匕线右支于不同的两点M、M若AXNE为正三角形，则该双曲线的离心率为（）a.nB.&c.ad.包经典题型三：利用正弦定理10. （2022全国高三专题练习）己知F，F分别为椭圆小Ah.4.Q的两个焦点，P是椭圆E上的点，r«r*b:-Ijfci=l（a>b>0PF11PF且曲IZPF2F1=3finZPF1F则椭圆E的离心率为（）A.四B.包C.gD.”，11. （2022全国高三专题练习）过椭圆t,±=（°>6>0）的左、右焦点F1,用作倾斜角分别为E和工的两条直线八，2.若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率为（）a史b5-iC.s-D.12. （2022江苏扬州中学高三开学考试）已知椭圆,T=g>0b>0）的左、右焦点分别为E（,0Y若椭圆上存在点p（异于长轴的端点），使得CS加/PEE=0$加PFzF,，则该椭圆离心率e的取值范围是经典题型四：利用余弦定理13. （2022全国高三专题练习）椭圆个2.小的左、右焦点分别为F,过点F的直线/交椭圆CC：+（a>b>O）rtr,*于A,B两点，若IEFj=I46#4f=2Efi,则椭圆C的离心率为（）A.5B.¢5C.巡D.-,，14. （2022.河北廊坊.高三开学考试）己知椭圆0±.±=（<1>8；>0）的左、右焦点分别为FrF3P为C上一点，且cos一汽PA=7'若件关于NEPFy分线的对称点。在C上，则。的离心率为.15. （2022全国高三专题练习）椭圆x三y>“、I.、小的左、右焦点分别为F，F，过点F的直线/交椭圆CC:¼£,=l（a>b>0）八r,rt于A,8两点，若IEFj=I4F4AF=2Efi,则椭圆C的离心率为（）A.三B.JC.DI经典题型五：内切圆问题16. （2022重庆南开中学高三阶段练习）已知椭圆/a/“、c、的左、右焦点分别是F，F,斜率为1的C1+3=l（a>b>0）r*三;直线声过左焦点E且交C于aB两点（点A在第一象限），设AAF,品的内切圆半径为心，ABEF,的内切圆半径为ry若七=3'则椭圆的离心率.=.17（2022全国高三专题练习）已知点f"-3.OyF2（3.0）分别是双曲线C：1（>0b>O）的左、右焦点，M是C右支上的一点，MFU与«由交于点P，八mpg的内切圆在边PF,上的切点为0，若IPol=2，则C的离心率为.18. （2022全国高三专题练习）已知卜，F是双曲线r>y三“.益、的左、右焦点，尸为曲线上一点，r*fj-l（>0,b>0）NEP鸟=60。，APRF,的外接圆半径是内切圆半径的4倍若该双曲线的离心率为6,则2=.19. （2022全国高三专题练习）己知双曲线0小ar分别为其左、右焦点，若点P在双曲线的右支C：j_:l（a>0）,F1,Fi上，且APF,邑的内切圆圆心的横坐标为1，则该双曲线的离心率为.20. （2022全国高三专题练习）已知双曲线Wq=,（ab>0）的左右焦点记为FJF直线/过F,且与该双曲线的一条渐近线平行，记/与双曲线的交点为P,若所得“pFIFN的内切圆半径恰为如则此双曲线的离心率为.21. （2022全国高三专题练习）已知点尸为双曲线；-2=13>0/>0）的左焦点，A为直线fL在第一象限内的点，过原点。作04的垂线交F4于点8,且B恰为线段AF的中点，若A4B0的内切圆半径为>2a），则该双曲线的离心率大小为.经典题型六：椭圆与双曲线共焦点22. （2022全国高三专题练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点FJ居，P是它们的一个交点，且,/刍=”'记椭圆和双曲线的离心率分别为6,的，则当_取最大值时，&,心的值分别是（）A.生3B.1,sC.在，瓜D.包，5,，.，,.23. （2022江苏常熟中学高二阶段练习）对于以Fj玛为公共焦点的椭圆E和双曲线C，设P是它们的一个公共点，.，的分别为它们的离心率.若4铝=60°,则三的最大值为（）A.aB.4C.15D.W24. （2022.重庆一中高二期中（文）己知椭圆和双曲线有共同的焦点F.、后，P是它们的一个交点，NEPE=60，记椭圆和双曲线的离心率分别为&、则/+的最小值是.25. （2022内蒙古霍林郭勒市第一中学高二阶段练习（文）已知椭圆和双曲线有相同的焦点人,巳，它们的离心率分别为明,P是它们的一个公共点，且“#%=若则的=26. （2022全国高三专题练习）已知f,f,是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且出/>人=”'椭圆、双曲线的离心率分别为第.的，则0j+2>Z的最小值是.27. （2022黑龙江宾县第一中学高二阶段练习）已知椭圆C和双曲线Q有相同焦点fi,吊，且它们的离心率分别为设点M是C与Q的一个公共点，若,FME=6（则3的最小值为.B三.经典题型七：利用最大顶角28. （2022全国高二课时练习）己知椭圆c：士+WIS>b>0）'点4'B是长轴的两个端点，若椭圆上存在点p使得PB=12Oc则该椭圆的离心率的取值范围是（）a»bCOwDJ29. （2022全国高二专题练习）设4,8是椭圆CrI好.长轴的两个端点，若C上存在点M满足NAMB=120。,÷-二1则椭圆C的离心率的取值范围是（）30. （2022全国.模拟预测）己知椭圆cW . ± = l（ >b >0）'点是C上任意一点，若圆上存在点M、加，使得W=120o,则C的离心率的取值范围是（）AYB£1）cO=°-打）经典题型八：基本不等式31. （2022全国.高三专题练习）设椭圆CH+二（°>b>0）的右焦点为F，椭圆C上的两点4,B关于原点对你，且满足Fd.，f8=（FFBWIF川KJ3IF8I，则椭圆C的离心率的取值范围为（）Yl）Bf3-l°.J7）D.惇马32. （2022江苏南京高三阶段练习）设卜、F分别是椭圆£：一/./、口、小的左、右焦点，M是椭圆E准线上一点，ZEM邑的最大值为6。°，则椭圆E的离心率为（）A.gB.5C3D.W,33（2022山西运城高三期末（理）已知点4为椭圆小好“八。、的左顶点，0为坐标原点，过椭圆的右4w十三l（0>bA°）°焦点尸作垂直于X轴的直线/,若直线/上存在点尸满足.apo=30”则椭圆离心率的最大值.经典题型九:已知PF；,而范围34. （2022四川省南充市白塔中学高三开学考试（理）已知内、F分别为椭圆z./“1.小的左、右焦r>七C=+台=l（Ab>0）点，4为右顶点，B为上顶点，若在线段A®上（不含端点）存在不同的两点HH=使得南布-C，则椭圆C的离心率的取值范围为（）的左右焦点，若椭圆上35. （2022全国高二专题练习）已知心,OYF,仁0】是椭圆+.1（>b>O）1存在一点P使得标.而一¢2,则椭圆C的离心率的取值范围为（）AYYlB&当c13-¾d1）2236. （2022.全国高三开学考试（理）设后，月分别是椭圆Q*=l（">">°）的左、右焦点，若椭圆E上存在点满足陪,丽9则椭圆E离心率的取值范围（BRWld 0,经典题型十：PFiAPF337（2022江苏海安县实验中学高二阶段练习）已知椭圆c：，+A=M（I>b>。）的左、右焦点分别为F/Y.O），F）（COy若椭圆C上存在一点p,使得小,尸后八C则椭圆C的离心率的取值范围为（）fin"EAaA.,4）B（0r2-l）C（2-l,l口俘,1）38. （2022浙江湖州,高二期中）已知椭圆/y>w.小的左右焦点分别为尸/,F2,离心率为e,若椭圆上+l（>b>O）存在点尸，使得”I，则该离心率e的取值范围是（）kA2-l,l）B.f,）C.02-ld0,?39. （2022全国高二课时练习）已知椭圆ra+户l（a>b>0上存在点P，使得IPKl=3PF其中F/F,分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是（）a-。4b（Lt）c（tod唧）经典题型十一,中点弦40. （2022全国高三专题练习）椭圆方程为/好./人小椭圆内有一点HIY以这一点为中点的弦所在.2+a=1（a>b>0）ll*lj的直线方程为x+2y-3=0,则椭圆的离心率为.41. （2022全国.模拟预测）已知椭圆？W+±=（a>b>o）上存在两点4,B关于直线3r,y_=0对称，且线段.中点的横坐标为2,则椭圆C的离心率是.42. （2022.全国高三专题练习）过点M（Ll）作斜率为n的直线与双曲线小y，相交于A,B两点,若M是线段二万A=IAB的中点，则双曲线的离心率为.43. （2022全国高三专题练习）己知双曲线JrIyl小的右焦点为F，虚轴的上端点为中点P口为C上两点，点M（2,1）为弦P。的中点，且POuBP记双曲线的离心率为8,则/=.44. （2022.全国.高三专题练习）已知椭圆c：，+/=l（a>b>0的左焦点为F，过F作一条倾斜角为60的直线与椭圆C交于4,B两点，若M（_5,、'3汐线段45的中点，则椭圆C的离心率是经典题型十二：坐标法45. （2022全国高三开学考试）椭圆产工好、八、Q的上顶点为4左焦点为尸，AF延长线与椭圆交于点8,5+l（>b>0）若麻二入而，2IW3，则椭圆离心率的取值范围为（）46. （2022全国模拟预测（理）已知O为坐标原点，焦点在X轴上的曲线CL的离心率.满足+hl6e2-5e+l<0*A，B是4轴与曲线C的交点，P是曲线。上异于A,B的一点，延长Po交曲线C于另一点。则Sn ZOBPtan /°BQ的取值范围是（）47. （2022湖南岳阳高三阶段练习）青铜器是指以青铜为基本原料加工而成的器皿、用器等，青铜是红铜与其它化学元素（锡、锦、铅、磷等）的合金.其铜锈呈青绿色，故名青铜.青铜器以其独特的器形，精美的纹饰，典雅的铭文向人们揭示了我国古代杰出的铸造工艺和文化水平.图中所示为飙，饮酒器，长身，侈口，M底均成喇叭状，外形近似双曲线的一部分绕虚轴所在直线旋转而成的曲面.已知，该曲面高15寸，上口直径为10寸，下口直径为7.5寸.最小横截面直径为6寸，则该双曲线的离心率为（）tIA.5B.11C.5D.7C，448. （2022江西临川中高三阶段练习（理）已知M,是双曲线Wm=ig>0，b>0）的两条渐近线,直线/经过T的右焦点凡且/.，/交r于点M,交I,于点Q,若空Im，则双曲线T的离心率0的取值范围为（）IFOTEIvilA怜阕B.怜向C.怜2D.恰闾经典题型十三：四心问题49. （2022全国高三专题练习）已知椭圆C：t,k=（a>b>0）的左、右焦点分别为尸尺一。，B（c,0）,斜率为，的直线/与椭圆C交于A,B两点.若AABB的重心为则椭圆C的离心率为.50. （2022.全国高三专题练习）已知斜率为1的直线,经过椭圆M三.E1的左焦点，且与椭圆M交于aB两点，*fi2若椭圆M上存在点C，使得aBC的重心恰好是坐标原点，则椭圆M的离心率曾=.51. （2022全国高三开学考试（文）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”，直线与#与双曲线E=M（I>。力>。）的两条渐近线的三个不同交点构成集合M且M恰为某三角形的外心、重心、垂心所成集合，若的斜率为-1,则该双曲线的离心率可是以是皿，.2,6，BJiG以上结论正确的是.C，52. （2022全国高三专题练习）已知点Ir尸分别为双曲线LJrIy1“.Q的左、右焦点，点A,8在2l（>Qtb>0）C的右支上，且点F,恰好为AFMB的外心，若fBF；,BAAF*=0,则C的离心率为.53. （2022山东济南市历城第二中学高三开学考试）已知点P为双曲线，-13>0,b>0）右支上一点，点FJ邑分别为双曲线的左右焦点，点是ApFR的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有Cc成立，则SAF一SJW三Szf双曲线的离心率取值范围是.54. （2022全国高三专题练习）平面直角坐标系XOy中，双曲线G东-j=l（a>O*>O）的渐近线与抛物线JX22py（p>0）交于点°，AI.若AO4B的垂心为G的焦点，则的的离心率为经典题型十四：利用双曲线渐近线的斜率55. （2022全国高三专题练习）设F是双曲线二_二=的右焦点，双曲线两条渐近线分别为h，匕过F作直线的垂线，分别交八，b于4、B两点.若0人，48,08成等差数列，且向量际与成同向，则双曲线离心率的大小为56. （2022上海华师大二附中高三阶段练习）已知双曲线W1的一条渐近线方程是y=3则双曲线的离心率为.57. （2022山东青岛高三开学考试）已知双曲线_y»=1>oh>0）的左、右焦点分别为Fl,F?.|F：£.I«若线段Jry,4=0f2x8）上存在点M，使得线段M5与E的一条渐近线的交点N满足：IANl=Ilf则E的离心率的取值范围是.58. （2022江西南昌高三阶段练习）如图，户分别是双曲线/好.Q的右顶点和右焦点，过4c作双曲线的同一条渐近线的垂线，垂足分别为QRO为坐标原点，若SSur:5集聚=9:7则C的离心率为59. （2022.四川广安.模拟预测（文）过双曲线t_必=1（°,b>0）的右焦点F才且与“轴垂直的直线与渐近线交W-7一1于第一象限的一点P,E为左焦点，直线EP的倾斜角为¥则双曲线的离心率e为.真题练1. （2022全国高考真题（文）已知椭圆Hy三4.Q的离心率为彳，AA分别为C的左、右顶点，BCl+、=l（>b>0）3/，一为。的上顶点,若加.加=1，则C的方程为（）2At+e=B.e=C.乙±=Df÷=l，2. （2021天津高考真题）已知双曲线5J=l（>（U>0）的右焦点与抛物线k=2孰6>01的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A,8两点，交双曲线的渐近线于C、。两点，若ICDl=V2M8.则双曲线的离心率为（）A.y2B.3C.2D.3223. （2021北京高考真题）若双曲线C:5-3=1离心率为2,过点（<23y则该双曲线的方程为（）A.2jfy2=1B.C.52-3y2=lD.豆士.S9A4. （2021全国高考真题（理）设B是椭圆UWl=1（>h>0严上顶点，若C上的任意一点P都满足IPBl<乃，则C的离心率的取值范围是（）Af,）b,川C联？Da=5. （2021全国高考真题（理）己知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且NFlPF2=60。JPFIl=3PFz'则C的离心率为（）A.拳B.11C.&D.E（2022全国高考真题）已知椭圆个小人户w、八、c、，。的上顶点为4,两个焦点为兄，凡，离心率为，.过1.：-t*（>ff>U）ri-凡且垂直于4玛的直线与C交于。，E两点,DE=6,则AADb的周长是7.（2。22浙江高考真题）已知双曲线捺-=13>0力>0）的左焦点为尸，过户且斜率为的直线交双曲线于点A（xitytY交双曲线的渐近线于点pa,%）且0<o<,若IFBl=3F川，则双曲线的离心率是8. （2022全国高考真题（文）记双曲线FYMaAo,2。）的离心率为“写出满足条件“直线y=2x与C无公共点''的e的一个值.9. （2021全国高考真题）若双曲线W的离心率为2,则此双曲线的渐近线方程.10. （2021浙江商考真题）已知椭圆r三尸“焦点（-a。），K（Go）£>01，若过F的直线和圆3+31（o>b>0）ic?UJrl（*_,）?+必相切，与椭圆在第一象限交于点P,且pF,1X轴，则该直线的斜率是，椭圆的离心率是