第七章 不等式.docx

第七章不等式第1节不等式性质对应学生用书P161考试要求1 .了解不等关系的简单应用.2 .会用作差或作商法比较两个数的大小.3 .能利用不等式的性质进行不等关系的判断.理清知识结构基础全通关比较两个实数的基本事a-b>Qa>b,ab=Oa=b,a-b<Oa<b.3>1a>b(aRtb>O),=1a=b(aR,h0),<1a<b(aR,h>O).二、等式与不等式的性质等式的性质不等式的性质a=gb=a性质1.a>b<=>b<aa=b,b=ca=c性质2.a>b,b>c=>a>ca=ga±c=b±c性质3:a>ga+c>b+ca=b=>ac=b,性质4.a>b,c>Qac>b,a的c*OCCa>b,c=>ac<bca=b,c=d>a+c=b+d性质5.a>b.c>cha+c>b+da=b,c=dac=bd性质6:a>b处c>dK=>ac>bda=b>Q=>aP=tr性质T.a>b>Q=>an>叭小W,ri2)a=X)=>V=VF性质8:a>bX)nV5>好(住N；a2)1 .倒数的性质(1)a>b,abA=>y.a<0但经(3)a>PoQVCV七斗(4)0<a<vb或aor<<0=><i<i.2 .分数的性质若a">X),m>0,则''+maam'z(2号聋哥瑞(泰必3 .分式不等式的转化段摘<0)oXMaM摘<0).Sf(2)篇NO(SO)=XHJMNO(SO)且p()*O.以上两式的核心意义是将分式不等式转化为整式不等式.自我诊断1 .判断下列结论是否正确.(对的打错的打")(1)两个实数a,6之间,有且只有不力,a=aa幼三种关系中的一种.()(2)若a>b,则ac>bc.()(3)SJ>1,SJa>b.()(4)若抖乂)则b>aK.()(I)J(2)*(3)*(4)2 .(教材改编i)若4M=3*-x+1,dM=2;"!,则仆),M的大小关系是().A.胸切MBKM>P(MCKM包MD.随X的值变化而变化B由<a)-p(>f)=A2-2x2=<x-1)21->0,Kn>M3 .若ab都是实数,则“而十X)"是"a2步Xr的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件AX)n>na>Zj0na2>但a2-J2X)6G布>0.故选A.4.(易错点:忽视不等式性质使用的前提条件)若a>Z>O,cB<O,则一定有().cHo-H1.D:c<d<O,.-c>-<X),.故彳>?冲,则7gs.5.(2023荷泽高三模拟汜知-1<a<2,3幼<5,则a-6的取值范围是().A(32)B.(-6,5)C.(-4,7)D.(-5,-1)B,.-3<b<5,.5v-b<3,又-1<3<2,.:6<ab<5.6.设a,b,c,为实数,且a>OX)>c>则下列不等式正确的是().Ad>cdB.a-c<t>-dC.ac>bdD,?：:安D对于A,c2cd=c(c0<O,所以A错误；对于B,C,不妨设a=2,6=1,c=Id=-2,则a-c=bd,ac=bd,所以B1C错误；对于D,-岭片.、W”当钞为,所以D正确.故选D.babbb考点题型命题全研透考点一比较大小：已知臼自40,1),记=a%V=a的1,则与N的大小关系是().K.M<NB.M>NC.M=ND.不眄定BM-N=a½a1a2-l)=a1-a1-a2l=(a1-l)(a2-l).a,52(0,1)l.a-10,2-1<0,.(a-1)(32-1)X),fiPM-N>G,.M>N.(2)若a粤力岑,省,则().k.a<b<c.c<b<aC.c<a<bD.b<a<cB由题易知,a,b,c都是正数.I嘿W°98i64<V*6:，S=°g625lO24>1jb>G即c<b<a.(>>比较大小的常用方法作差法:城差;磨形;定号;得出结论.(2)作商法:。作商;板形;判断商与1的大小关系;®得出结论.(3)构造函数,利用函数的单调性比较大小.感悟实践1.已知OVaW,且屿：J白，心*#系，则M/V的大小关系是().A.M>NB.M<NC.M=ND.不能确定A-.0<a<,.a>0,1心0,1-ab>Q.2.e"e与夕77"的大小关系为.e11-<.11."：-°：=(Jtle,又0<<1,0<11-e<1.(一)11-e<l,p<i,pe11.<.11ec-wITMCfT11ecnrt考点二不等关系的判断(1)(2023珠海模拟)已知a任R,满足HJ<0,abX),a>6,贝J().A.-4bbC.*>j2D.a<bCa力<06>。则X),<O>i<O,A不正确；卜.<0,则找<0,B不正确;又a功乂),即a>-6Q则评,求>a,C正确；由a>b>G得a>b,D不正确.(2)若，W<0,则下列不等式正确的是().AMBa30C.a-<Z>4D.lna2-HnZj2bA由片<0,可知b<a<Q.因为出力<0,心0,所以京<0白X),所以高力,故A正确；因为bva<O,所以-b>-a>Q,所以b>a,即冏+b<0,故B错误；因为°q<o,又LWe所以a>4a,所以故c错误；因为bQ<0,根据尸*在(F)上单调递减,可得">a2X),而HnX在定义域(0,勾上单调递胤所以In加痴品故D错误.判断不等式关系的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证(2)利用特殊值法排除错误选项.(3)作差法.(4)构造函数,利用函数的单调性.感悟实践1 .(知识综合)已知复数z=ai(a&R),若/在复平面内所对应的点位于第四象限,则下列各式一定成立的是(K.a>Q>bB.b>Q>aC.<0D.?-X)ObC.NM4A2a机且N在复平面内所对应的点位于第四象限,W2Xa80,44f<0iC2 .设企>。>1>60,则下列结论正确的是().aacbeB.bac>atfC(13叫1寸D.logac,)-HogXZ>D由题意知,a>0>1>60.对于A,ac>%X),故工V,所以A错误；QCDC对于B,取a=3,b=2,，则bac=2>氏a5小巨,所以bac<atf做B错谡；对于C,因为0<131,且>女所以(1书叼10>,故0错误；对于D,a+c>0+c>1,所以IogMa+0>log4b+c)>loga(0+。,故D正确.考点三根据不等关系式求解代数式范围已知-1<x<42<y<3,则x-y的取值范围是.3x+2y的取值范围是.(4,2)(1.18).-1<x<4l2<y<3,.-3<-y<-2,.:-4<x-y<2-1<×<A,2<y<3得3<3x<12,4<2y<6,.r<3x2y<18.(2)已知-1<Xy<412<X-y<3,JilJz=2x3y的取值范围是.(3.8)设2x3y=4(x功中(X-M,则2x-3y=+fJx-t-p)yC'解得二2':2*3尸/9号(Xy.由-1v+y<4得M?由2<×-y<3得5<(x-y)岑,.:3<2x-3y<8.(>>已知M<h(aMvN,M2v砥aM<N2,求«a,6)的取值范围的基本步骤如下：设gM=pf(aM+q鼠a、W(2)根据恒等变形求得待定系数p,q,(3)再根据不等式的同向可加性即可求得ab)的取值范围.感悟实践1 .已知OBVaq,则a-£的取值范围是M),0”弓<£<0,又OVaW,.弓VaSq,又SV*a仍0,即0<峙2 .已知角尸满足TVa廿看OVa加<,则3的取值范圉是.(-,2)设3=m(力啊,则3a-=m+ma林n曲.；忠工广解叫二,"Ra如"从由Va£告得-<2(-3)<11,又:Ov0+6<,.x<3-6<2.Il练/逐点排查素养快提升对应考高效训练P65R彳基咄过关1 .设a<6R,则下列不等式中错误的是().A.乐B.ac<bcC.a>-bD.-u-bB对于A,因为a<b<O,所以2片,故选项A正确;b对于B,当C=Q或c<0时不成立,则选项B不正确；对于C,a=-a>S,则选项C正确；对于D,由-a>-bX),可得。尔,则选项D正确.2 .设9=2403,。<力1)(6田宓旦则有().AEQB.P>OC.P<QD.POAP-Q=2aiAa+3-(a-)(s-3)=a2>0.Q故选A.3 .若XJ满足T=<y<J,则X,的取值范围是().aG.0)B.(-f,pC.D(Jl)5414A由x<y,可得x-y<O,又Tsd，所以T<>W,因为TOrq,所以TOw专，所以Iorw<0,即Xy的取值范围是（弓,0）.4 .（2023唐山调研）已知a>b",则白咕脸的值（）.A.为正数B.为非正数C.为非负数D.不确定A因为a»>c,所以a如0,。Qo,ae>bc>O,所以白小白内白咕，所以4JR,所以R，bccaabbcca所以看*长的值为正数故选A.5（2023湖北联考）已知三个不等式:0aZ>O;/v>ad则以其中两个不等式为条件,剩下的一个不等式为结论,能得到的真命题的个数是（）.A.0B.1C.2D.3rD由砂。在人?>初两边同除以独得£#,故少介成立；由小0,在弃的两边同乘以独得心朗故6成立；由5片,移项通分得等X）,结合心ad得分母亚0,故阴。成立.综上所述,以其中两个作条件,余下的一个作结论,可组成3个真命题.Rr能力提升6（2023新余模拟）下列结论中,恒成立的是（）.A.若a>b,则6>6（N）B.22÷4x-My>-6C.若0<3<1,则（IaIF<1D.若-1SgaSl,则微Va4次1C根据不等式乘方性质知A选项不正确；因为/#2必网*网片6而“2）2+2（/+1）220,所以B选项不正确；根据指数函数的图象性质可知选项C正确；因为-I4ga1,所以-1<1,*网,所以,Va班号,所以D选项不正确.故选C.7.(2023江西模拟)比较5-1与竽的大小.且(叵1)2.(¥)2H.2lT”吗，所以(51)2>g)2,即11哆Rl思维拓展8.(2023湖北模拟)某种商品计划提价,现有四种方案:方案(1):先提价加,再提价n%.方案(2):先提价成,再提价6%.方案(3):分两次提价,每次提价(皇).方案(4): 一次性提价(6#)%.已知m>A0,试判断哪种方案提价最多.依题意,设单价为1,那么方案提价后的价格是(1 +)(1+ )=嚅儡.方案(2)提价后的价格是Q脸儿端"喘方案(3)提价后的价格是(1 +嗤F 端嗯需方案(4)提价后的价格是1端.所以提价最少的是方案(4),方案(1)和方案(2)提价后的价格是一样的,只需比较赢与崎箫的大小即可，因为 m>3,所以(77R)2>O,SFJ y(m+n)2 mn Jm+n)24mn Jmn)2 S 川 Z 40000 "100004000040000*'所以I+留)中+)(1+)因此,方案(3)提价最多.第2节基本不等式对应学生用书P164考试要求1 .了解基本不等式的应用场景及取等号的条件.2 .能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.理清知识结构 基础全通关y/ab/地哈（a,加R）（当且仅当a=。时,等号成立）.1 .基本不等式成立的条件:.2 .等号成立的条件:当且仅当、时,等号成立.3 .其中字叫作正数a力的，候叫作正数a,6的二、利用基本不等式求偎大值、最小值1 .如果X六。也）,且Ay*定值）,那么当时Ztr有最小值2诉.（简记:积定和最小）2 .如果X,及（0,%）,且x"=S（定值）,那么当年沙时,Ay有最大值号.（简记:和定积最大）1.衿之25力同号且均不为0）,当且仅当a=6时取等号.2.a历GFyS写当且仅当a=。时取等号）.3+4而咛之片%泡冷0,当且仅当a=b时取等号）.ab4.连续使用基本不等式求最值时要求每次等号成立的条件一致.自我诊断1 .判断下列结论是否正确.（对的打错的打"力）（1）两个不等式4S2a。与啜而成立的条件是相同的.（2）函数y=x*的最小值是2.（3）函数KMrinX嗫的最小值为4.（4）xX）且yX）是遽n2的充要条件.X（2）*（3）（4）*2 .（教材改编）若xX）.yX）,fix*!8,则府的最大值为（）.A.9B.18C.36D.81A因为户尸18,D,y>0,所以历=9,当且仅当x=y=Q时,等号成立.3 .一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长33m,则这个矩形的长为m,宽为m时菜园面积最大.3015设矩形的长为Xm,宽为ym,所以x2y=601flJSWg*（2力*（竽=450,当且仅当“2乂即占30,尸15时取等号.4 .（易错点:忽视取等号的条件）下列不等式一定成立的是（）.A*号>xB.sinx÷r2(*A.AZ)C.a212AXaeR)-K杭R)选项A中,*八当Xg时/号",故选项A不正确;选项B中,sinx*N2(Sin三(0,1),sinx*2(sin杭卜1,0),故选项B不正确;选项C中*-2/0+1式用-1)220(法屯故选项C正确;选项D中,*(0,1(杭R),故选项D不正确.5.(2023宿州模拟)已知函数尸x<*(x>-1),当x=a时,y取得最小值夕则2a+3Z11).A.9B.7C.5D.3B因为x>1所以户1乂),所以尸*4*用"1÷-52J(x+1)言5=1,当且仅当X*喙，即*=2时取等号,所以y取得最小值F1,此时x=a=2,所以2a*3>=7.6.(2021年全国乙卷)下列函数中最小值为4的是().Ay=W+2xMBn/扁C.y=2*22*DK呜Q对于AJ=A2+2XMY户1)2323,当且仅当x=1时取等号,最小值为3,A错误；对于B,因为。%inx1.y=sinM扃25三4,当且仅当inx=2时取等号,等号取不到,所以其最小值不为4.B错误；对于C,因为函数的定义域为R,而2T),*2f22y*号2C=4,当且仅当2*=2,即X=I时取等号,所以其最小值为4.C正确；对于D=in函数的定义域为(0,1)U(I而InAeR且In/。,当Inx=-1时,尸5D错误.故选C.考点题型命题全研透考点一利用基本不等式求最值命题角度1配凑法求最值(2023成都诊断)设0。彳,则函数kM3-2R的最大值为.答案I*4M3-2x)=22M3-2刈2产磬另当且仅当2x=32X即Xq时,等号成立.*(0,).函数尸M32f)(<x<?的最大值为宏(2)已知*q,则KMWX-24的最大值为.1.x<,.5-4X)1JWAMN*5*3=(5-4x+±)+3M-2j(54盼七3=-2+3=1,当且仅当54x,即XK或六/舍去)时,取等号.故/(M=4x-24的最大值为1.(i>>1 .拼凑法求最值:拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键.2 .拼凑法求解最值应注意的问题(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验是否满足利用基本不等式的条件.感悟实践1 .设金。则9a*的最小值为().A.4B.5C.6D.7C因为>0,所以9a2当且仅当9a幺即时,9a取得最小值,最小值为6.故选C.7aa3a2 .已知不等式2x+m哈乂)对一切朕Q,%)恒成立,则实数m的取值范围是.由题意知,s<2x哈对一切法介1恒成立,又渴时,x-1X),则2*=2(*-1)4+222.(x-l).由W当且仅当2(×-I)=即*或时,等号成立,-m<6,即m>6.命题角度2常数代换法求最值(2023重庆模拟)已知AO,60,且am=2,则3金的最小值是().a1b2c-!dIC因为*0,Zpo,且am=2,所以竽=1,所以:修率”伪(>前W得+/+辨Y?+,)W当且仅当耳，转时，等号成立已知a>1,b>0,aM=2,则白脸的最小值为,答案2已知a>1,60,aM=2,可得1)31,又小1乂),则上修W(a-1)M唱啥号刃号脸用5,当且仅当整=即a=32,=2-1时取等号,则二TW的最小值为,*2b-la-l2d2例题(2)中条件不变,求(a-1)(28+1)的最大值.由题意知a-X),b,与>0,(a-1)f(居)=由基本不等式知(-l)(b +分二；句号所以g-1)(2"1)芸当且仅当加=69即4力W时取等号,故)(2Hl)的最大值)>>1 .常数代换法的运用技巧常数代换的实质是XM=X,所以关键是找到常数,从而找到结果为1的式子,然后通过乘积的运算,利用基本不等式解题.2 .用常数代换法求最值时应注意的两个方面(1)注意目标代数式的结构特征,看是否需要整体乘以T"的“替身”；(2)注意常数的获得方式,要根据已知代数式的结构特征灵活处理.感悟实践(2023贵阳四校联考)已知”6=2,且AIAx),则左，的最小值为().A.1B.1CgD.C由a+A=2,得3+1+0=3.因为a>-1,所以”1也所以贵铝(Al省(六/式2舄券)可(2#2舟Ww,当且仅当与然,即34力时,等号成立,所以WTW的最小值为:故选C.+lb22+lb3命题角度3消元法求最值(2020年江苏卷汜知5M>2tK(X,六R),则的最小值是.'，七*一"5(法一)由5产沙=1得/gg则上旷*封22，当且仅当白¥，即尸时取等号，则A2y的最小值是45-(法二)4<5万")4必四哈叱L岑(*V)2,则/旷号当且仅当5/y=4产=2,即*磊,产W时取等号,所以*旷的最小值是青通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,淡出和为常数或积为常数的形式,最后利用基本不等式求最值.感悟实践设正实数XJZ满足/3y%2z=0,则当表取得最小值时片2六Z的最大值为（）.A.0B.C.2D.CZ=A三MyS*2（x2M3y=A%当且仅当x=2y时,等号成立,此时三取得最小值,于是x+2六N=2y,2y-2产=2y（2ys2（空）2=2,当且仅当尸1时,等号成立.练上可得,当=2,k,N=2时/2T-Z取得最大值,最大值为2.考点二基本不等式的实际应用（2023济南模拟）要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是（）.A.80元B.120C.160D.240元C由法意知,体积IZm3,高=1m,所以底面积S=4mJ设底面矩形的一条边长是Xm,则另一条边长是:m,又设总造价是y元,则y=20-*410*（2x+）80+2060,当且仅当2x*,即XN时取得等号.利用基本不等式解决实际问题的解题技巧（1）根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值（2）解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.（3）在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.感悟实践（2023东北二模）某公司一年购买某种货物600吨,每次购买X吨,运费为6万元次,一年的总存储费用为4*万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则X的值是.30由题意得.一年购买第次,则总运费与总存储费用之和为第*6M*（哼+x）8岸二=240（万元）,当且仅当x=3Q时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时,x的值是30.考点三基本不等式在其他知识板块中的应用（2023湖南联考）已知4MW+af*>4）x+1（a>0,P0）在X=I处取得极值,则衿的最小值为（）.A弩1.3*22C.3D.9C因为KMWA女犬人彳/8为力打工所以RM=W+2ax+bA因为外)在X=I处取得极值,所以«)力,所以1+2a+ZMR,解得2a+bW所以先毛+况3坳玄5+%引4(5+2后曰=3(当且仅当a3时取等号).(2)(改编)设等差数列多的公差为d其前"项和是S),若a=G1,则互”的最小值是n答案I因为an=aYn1)d=n,罗,所以誓用女"弓+O/?旖G弓当且仅当吟即时取等号历以答的最小值越(>>基本不等式的应用非常广泛,它可以和数学的其他知识交汇考查,解决这类问题的策略是：1,先根据所交汇的知识进行变形,通过换元、配演、巧换“等手段把最值问题转化为用基本不等式求解,这是难点.2 .要有利用基本不等式求最值的意识,善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.3 .检验等号是否成立,完成后续问题的解答.感悟实践1.(2023福建芾田模拟)在“8C中点。是4C上一点,且前N而尸为8。上一点,向量而刃而麻(才乂),夕0),则的最小值为().A.16B.8C.4D.2A由题意可知,屈U诟M师,又8,g。三点共线,由三点共线的充要条件可得IX41,又因为/乂),*,所以£-=(+3+4)与堞令82J兆=16,当且仅当词时,等号成立裾寸的最小值为16.故选A.2(2023河南模拟)已知在等差数列d中,e=7,aK9,S为数列的的前项和,则吗学的最小值为QIt+13a=7aW9,F=鬻岑2a%W3W=7+2S3)=2/l,3心产=W+2),因此答邺静玛*3D4uj+1/Tl+44S+1)*号或J(n+1)言=3,当且仅当n=Q.时取等号.故赍的最小值为3.逐点排查素养快提升对应高效训练P66Nr基础过关1 .设OVae,则下列不等式正确的是（）.A.ab<qabB.3<'fcib<bC.a<4ab<bD.yab<a-<bB（法一:特值法）代入a=1,b=2,则OVa=I<=2<=1.5<Z>=2.（法二:直接法）已知算术平均数若与几何平均数面的大小关系,其余各式作差（作商）比较即可.故选B.2 .（2023重庆模拟）已知>1力>1,记4+”喘，则M与N的大小关系为（）.A.M>NB.M=NC.M<ND.不确定A因为>1力>1,所以出崂警,当且仅当落即a=b时取等号,又警喘喘=N所以M>N效迭A.3 .（2023沈阳模拟）已知a力为正实数,且”2H2,则先的最小值为（）.A.1B.2C.4D.6售至D因为a力为正实数,且”28=2,所以找W壬抬*2=（抬）（/-2与专咛0222句落6当且仅当即aK,小4时取等号.故选D.ba24 .下列命题是假命题的是（）.A.若型地2=2,则am的最大值为2B.当aX）,Z>X）B4,-42h4abC.若4<1,则守学的最大值为-1c×2D.当且仅当a力均为正数时,g*N2恒成立baD对于A,若浜地2=2,则（竽）24喈=1,所以竽41,即a2,当且仅当a=b=1时,等号成立,故A为真命题.对于*2aft2gl+2病喘+2病2J备2痴=4,当且仅当a=b=时,等号成立,故B为真命题.对于C,若4,则5or-1<0,所以:x2-2x÷2Jx-1)2+12x-2-2(x-l)¼-1)=如击)-2(x-l)i=-1,当且仅当X=O时,等号成立,故C为真命题.对于D,当&人均为负数时怖*之2也成立,故D为假命题.5 .(2023湖北模拟)若函数仆)=印物g>0Q>0,1,扭1)是偶函数,求长的最小值.由仍为偶函数可得-H=K称即专£=”忱所以&例(助)*F=o.因为茂R,且>0,。乂),小1,41,所以ab,贝*W2后F,当且仅当5W，即ag/=2时弓取最小值,最小值为4.WT能力提升6 .下列命题正确的有().A.若a>b,c>dMac>bdB.若Mr=I,则XHnX=QC.若a>b,9-bD.若2*=6,HOg36,则W6B对于A,3>2,1>3n3*(1)v2(3),故A错误；对于B,e*=1=>InAeX=In1=>lnXWnex=O=>xdnX=O,故B正确；对于C,2a2=N,故C错误：对于D,2*=6n=0g26KHOg23,Hog36三lHog幺,所以Ay=(IWog23)(1WOg32)=1*log23*1og32log23logj2=2og23*1og32>22yiog311og24,(D错误.7 .设正实数满足mw=2,则下列说法正确的是().的最小值为2Bn的最大值为2mnC标大质的最大值为4Dm2"2的最小值为3A:7?P0,X),m+=2,J11(mw)Q足)弓(2J0)盘(2/2mn2,mn2mn2-Jmn当且仅当2上,即m=e时,等号成立,故A正确；mn:m+/?=222>A而,.”1,当且仅当m=n=时,等号成立,故B错误；.(mn)22(m)2÷(n)2=4.:布MlSJ2(m+n)X,当且仅当m=n=时,等号成立碗Mi的最大值为2,故C错误；z7j2”殁尤之,当且仅当fn=e时,等号成立,故D错误.Rf思维拓展8 .若正数a,b满足则().aDA血8B.÷>2C.-<iD.2a心8ab2D对于A,依题意可得14令2监.:二4即aZ>8,当且仅当a=2,ON时,等号成立.故A错误；ab4对于B,正数的满足评口,则岑或衿)甘,典后喙白名.9达3华2、府与,当且仅当a=b时,等号成立.故B错误；对于c,。彳=T<vWW.*<0,怨七2(抬)W=2<2,故C错误；Zabbob对于D,2aM=(2a坳(：专)=2,与，224+2后与=8,当且仅当a=2,Z>=4时,等号成立,故D正确.9 .(2023蚌埠模拟)设XWn2,Hg2,则().A.z-y>AyXan(x)B.x-y>tan(x0>xyC.tan(x0>y>zD.tan(x)>×-y>xyD由0<x=n2<1ne=1,0<yg2<1g可得og2e,；=log2l0,故罡WogzeHogzIO=Ogz(IOe)X,即x>y,-i=l0g2lO-Iogze0g2>ll三l×-y>×y,又当胜(Op时,tan×>×,Q<×+y,所以tan(x”>*"综上,tan(XW>x+y>xy>y.故选D.10 .已知a>2,且满足(a+2)(b+1)=8,则(a+3)0#3)的最小值为.18由(a+2)(b+1)=,得(a+3)(A+3)=(a+21)(>12)=(a2)(2,1)2(a2)火。+1)*21022(+2)(b+1)=18,当且仅当2(a*2)=Z>1时取等号.又(”2)(6*)=8闫>2所以40力=3.故当aKK3时,(a+3)(b3)取得最小值.最小值为18.培优微专题九基本不等式链对应学生用书P167I基本不等式链:若不0力乂),则靠4病2竽,当且仅当a=b时等号成立,其中承和库史分别叫作a。的调和平均数和平方(加权)平均数.培优点1利用基本不等式链速解客观题若x,y满足/y为H,则().A,xy1B.x2C.a22D./旷21C由基本不等式链可得护(等)：:上旷为5(*02+3(半)；即a*+M2i"(历244,.:-24XwS2,故A1B错误;由基本不等式糖可得Ayd竽,由/必加=1,得a2*-1*吟d,/+y2,故C正确Q错误.()>>运用基本不等式链的关键是掌握公式的结构,明确成立的条件,清楚放缩的方向.培优练设aO,6X),称兽为a力的调和平均数,称尼史为a,。的加权平均数.如图Q为线段49上的点,且47=a,C8=A0为48的中点,以48为直径作半圆,过点C作/8的垂线交半圆于点。连接02428。过点C作。的垂线,垂足为E取弧/8的中点A连接FC.则().A.O。的长度是a力的几何平均数B.0E的长度是ab的调和平均数c.8的长度是a/的算术平均数D.尸C的长度是a,。的几何平均数B(法一)由射影定理和基本不等式畦易知A,CQ错误,故B正确.(法二)0。岑号是ab的算术平均数A错误:DE需嗡急是ab的调和平均数,B正明；CD=对是a力的几何平均数,C2错误；连接O8图略),则CFZOFh0C2=J段)2+筋=F/是ab的加权平均数Q错误.培优点2利用基本不等式链求最值当TVXg时,函数人苏I?五的最大值为-22由基本不等式俄可得,片岳彳五2J2x-152x=22,当且仅当岳彳国与右,即时,等号成立.故该函数的最大值为2利用基本不等式畦,通过恒等变形及配凑,使'和或积”为定值.培优练已知实数a,A满足于+2=2,则(1分)(1招)的最大值为.答案交8由基本不等式链竽，得J(2+1)(杨+1)弓)2(2+1)(/+1)£+2翳?+,2-余,当且仅当浜*=2(*)时取等号,故。加2)(1心)的最大值为25T培优点3利用基本不等式链证明不等式(2023衡水市联考汜知a6,c都是非负实数,求证:FrT滔*T漉2&(am3.唇氏掷HE孚(”纵H三,h2+c2y(7c)1c2+2y(ca),相加可得Va2+b2b2+c2c2+2y(a>)殍(2>c)号(c+a)=2(aZ,c),当且仅当a=6=c时,等号成立.(S三)>>利用基本不等式错证明不等式的策略与注意事项1 .策略:从己证不等式和问咫的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知"看"可知”,逐步推向“未知”.2 .注意事项:多次使用基本不等式候时,要注意等号能否成立；累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时要注意使用；对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合,构成基本不等式模型再使用.培优练已知a力,c都是正数,证明:am仅5.abc都是正数,由基本不等式链手，得不等式的右边(a+b)«b+。*3+切=a+b+c=左边,当且仅当a=b=c时取'即acab5大局成立.第3节一元二次不等式及其解法对应学生用书P169考试要求1 .理解并掌握二次函数的图象及性质.2 .会从实际情境中抽象出一元二次不等式并解决问题.3 .能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.r理清/知识结构 基础全通关.一元二次不等式一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是的不等式,称为一元二次不等式,其一般形式为aW+bx+c内或j(5*0).二、一元二次不等式的解法步爆1.将不等式化为右边为零,左边为二次项系数大于零的不等式a*W+cX)(AO)或a*坳什c<0(A0).2.求出相应的一元二次方程的根.3.利用二次函数的图象与X轴的交点确定一元二次不等式的解集.泣亳二次项系数为正的一元二次不等式的解集求法为1大于取两边,小于取中间一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式ZI=ZJMaCZlX)=QZl <0二次函数 y=a*+ bx+c(a>Q) 的图象一元二次方程a*+bx+c=Q(aX)的根有两个相异实数根M,MM o)有两个相等实数根M =b3五没有实数根(续表)判别式=tAac21X)A=O<0af+bx+c>O(aX)xx<xxxfxR的解集aK+bx+×1×y<c<O(aX)0的解集×<X2四、一元二次不等式的应用1.与一元二次不等式有关的恒成立问题不等式axi>xc>O(a*O)1AR恒成立OaX)且/<0;不等式ax2x*c<O(a*O)1AR恒成立oa<0且/<0.2,能成立问题的转化：aXM能成立na>AMmin；K4»能成立na4Mmax.3.简单分式不等式的解法Pf(XM(X)>0,U()0；翳CaM2自我诊断1 .判断下列结论是否正确.(对的打P",错的打"力)若不等式a*也#CR(反0)的解集为(小,则必