课堂导学（2.2.2反证法）.docx
课堂导学三点剖析一，用反证法证明数学中的根本命题【例1】求证：质数有无穷多.证明：如果质数的个数有限，那么我们可以将全体质数列举如下：Pl,P2,，Pk,令q=PQPki.q总是有质因数的，但我们可证明任何一个PJlWiWk)都除不尽q.假假设不然，由Pl除尽q,及Pl除尽pp2Pk可得到Pi除尽(q-pRPk),即Pi除尽1,这是不可能的.故任何一个Pl都除不尽q.这说明q有不同于Pi,P2,Pk的质因数.这与只有Pl,P2,，Pk是全体质数的假定相矛盾.所以质数有无穷多.温馨提示用反证法证明结论是B的命题，其思路是：假定B不成立，那么B的反面成立，然后从B的反面成立的假定出发，利用一些公理、定理、定义等作出一系列正确的推理，最后推出矛盾的结果，假设同时成认这个结果与题设条件，那么与学过的公理、定理或定义矛盾，这矛盾只能来自“B的反面成立“这个假设，因此B必定成立.可见反证法的步骤是：否认结论推出矛盾否认假设肯定结论，其中推出矛盾是证明的关键.二，某些数学问题的证明可用反证法【例2】a、b、c(0,1),求证：(l-a)b,(l-b)c,(l-c)a不能同时大于v.证明一：假设三式同时大于L,4即(l-a)b>L,(l-b)c>L,(l-c)a>L,三式相乘，得：(l-a)a(l-b)b(l-c)c>-.44464又(ba)aW(l-"+")2=L.24同理，(Lb)bl,(1-C)C.以上三式相乘得44(l-a)a(l-b)b(l-c)c,这与(l-a)a(l-b)b(l-C)C矛盾，故结论得证.6464证明二：假设三式同时大于,.4V0<a<l,l-a>O.闩杼(1一力+c,l(-c)+a12 2223 3三式相加得矛盾，22原命题成立.温馨提示与原命题相反的判断，如“是"的反面是"不是"，“有"的反面是"没有"，“等"的反面是"不等"，”成立的反面是“不成立，“有限”的反面是“无限，以上这些都是相互否认的字眼，较容易找.应注意以下的否认：“都是"的反面为"不都是"，即"至少有一个不是(不是“都不是”)；”都有的反面为“不都有，即“至少一个没有”(不是"都没有”)；"都不是”的反面为“局部是或全部是“，即”至少有一个是"(不是"都是”)；"都没有的反面为“局部有或全部有"，即“至少一个有"(不是"都有”).三，综合应用【例3】平面M内有两相交直线a,b(交点为P)和平面N平行.求证:平面M平面N.证明：假设平面M不平行平面N,那么M和N一定相交，设交线为c.:a"平面N,a7c.同理b7c.那么过c外一点P有两条直线与C平行.这与公理“过直线外一点有且只有一条直线和直线平行“相矛盾.所以假设不成立.所以平面M平面N.温馨提示本结论是空间两平面平行的判定定理，推出的矛盾与几何公理相矛盾.各个击破类题演练1证明：1,石，2不能为同一等差数列的三项.证明：假设1,、回，2为某一等差数列的三项,设这一等差数列的公差为d,那么I=3-md,2=3+nd.其中m,n为某两个正整数，由上面两式消去d,得2m+n=(m+n)3,因为n+2m为有理数，而(m+n)3为无理数，所以n+2m(n+m)VJ,因此假设不成立，即1,当，2不能为同一等差数列的三项.变式提升1a、b是平面内的两条直线，求证：它们最多有一个交点.证明：假设直线a、b至少有两个交点A和B,那么通过不同的两点有两条直线，这就与公理“经过两点有且只有一条直线”相矛盾，所以平面内的两条直线最多有一个交点.类题演练2证明：方程2、=3有且只有一个根.证明：V2x=3,x=log23,这说明方程有一个根.下面用反证法证明方程2三3的根是唯一的.假设方程才=3有两个根E、b2(b1b2).那么2仇=3,2户=3.两式相除得2力-从=L如果bH)2>0,那么2,“2>1,这与2仇Th=I相矛盾.如果bH)2<0,那么2仇”<1,这也与2M=I相矛盾.因此b-b2=0,那么b=b2.这就同bHbz相矛盾.如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾.故2=3有且只有一个根.变式提升2反证法证明：a是整数,个是偶数，求证:a也是偶数.证明：假设a不是偶数，那么a为奇数.设a=2m+l(为整数)，那么a2-4m2+4m+l.4(m2+m)是偶数，4m2+4m+l为奇数，即a?为奇数与矛盾.a一定是偶数.类题演练3直线a平面M,平面N过a且和平面M相交于直线b,求证a7b.证明：假设aDb.a,b共面，那么它们相交，设交点为A.VbM,点A也在平面M内(;点A在直线b上).又A点在直线a上，故a与平面M有公共点A,这与题设a平面M相矛盾.，假设aDb不正确.，ab.变式提升3a0,证明关于X的方程ax=b有且只有一个根.证明：由于a中0,因此方程至少有一个根x=2a如果方程不只一个根，不妨设XI,X2是它的两个不同的根，即ax尸b,ax2=b,-得a(x-x2)=0.因为X1X2,所以XdI-X?#0,所以应有a=0,这与矛盾，故假设错误.所以，当a#0时，方程ax=b有且只有一个根.
