课堂探究 1.4.2微积分基本定理.docx
课堂探究探究一利用微积分根本定理求简单的定积分1 .微积分根本定理是求定积分的一种根本方法，其关键是求出被积函数的原函数，特别注意尸:的原函数是y=InX.根本过程分为两步：求F(X)的原函数以力；计算KZO一网的值.2 .求定积分时要注意积分变量，有时在被积函数中含有参数，但它不一定是积分变量，例如在定积分/：(丁一Ddx中，积分变量是X,勿和看是常数.【典型例题1】计算以下定积分：(I)Jixdx；(2) f12(1_df;(3) fx;(4) J°(cosx+e")dx;(5) f三J(x÷l)2dx;(6) fSt2dx.思路分析：求原函数时要和求导数运算联系起来，充分借助导数公式和导数运算法那么. S ordx=x lo=2-0=2. 乙(】-)，=、JAdx=InXli=In2InI=In2.X(4) V(sin÷)'=cosx+er,T-n(cosx÷ex)dx=(sinx+e1)3=(0+l)-(0+en)=l-es.(5) :(x+l)2=f+2+l,+2+,'=+2x+l,J三J(-y÷1)2dAr=Q/÷/÷(6) V(t2x),=t2,.*.TJt2dx=U=t2.探究二利用微积分根本定理和定积分的性，质求定积分1 .求复杂函数定积分要依据定积分的性质.(1)有限个函数代数和(差)的积分，等于各个函数积分的代数和(差)，即;brba4l(x)±E(x)±±f(x)dx=Jf(x)dx±J(x)dx±±Jfn(x)6x.(2)常数因子可提到积分符号外面，出Jkf(x)dx=kJf(x)dx当积分上限与下限交换时，积分值一定要反号，即fF(x)dx=-fU)dx定积分对区间的可加性，假设,那么有;baaf(x)dx=JF(x)dx+Jf(x)dx.2：对被积函会是分段函奏的定积分，依据定积分“对区间的可加性"，分段积分再求和.3 .对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.4 .当被积函数的原函数是一个复合函数时，要特别注意原函数的求解，与复合函数的求导区分开来.例如：对于被积函数y=sin3x,其原函数应为y=-JCoS3x,而其导数应为/=3cos3>,再如：被积函数y=e"时，其原函数是P=%",而其导数是/=2e2：【典型例题2】计算以下定积分：-IWXWO/Lf(x)dx,其中F(X)=V4<0<xl；J2x-4dxi(3) J2OSin'xdx;0(4) fo2jrdx;(5) J2ysin2xdx.0思路分析：首先对被积函数进行恰当的化简、变形，然后再求定积分.解：/Llf(X)dx=f-xdx+Sj4dx=住X)Hl+4x1：1l13=一+4=.33,J2X4IdX=J“4x)dx+1；(x4)dx=(4x%)1+(聂4力：=2+2=4；(3)JTsinJ7三dx00(4)JMdx=Qc")4=景一点sin x-cos x -dxJ5Tsin2xdx=700=J2Sinx-cosXldX04Isinx-cosxdx÷Isinx-cosxdxJ710-4j4(cosx-sinjv)dx+J?(sinx-cosj)dx0-=(sinx÷cos才)片(cosx÷sinA)E7=2y22.探究三利用定积分求平面图形的面积1 .利用定积分求平面图形的面积时，一般步骤是：画草图；求曲线的交点定出积分上、下限；确定被积函数，但要保证求出的面积是非负的；写出定积分并计算.2 .求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=ZaV5)及y=0所围成平面图形的面积S图中，f(x)>0,f"(x)dx>0,因此面积S=/XX)dx；图中，F(x)VO,/"(X)ClXVo,因此面积S=I/%XdxI=-Jbf,fkx)dx；图中，当axc时，fx)<0,当cxb时，f(x)>0,因此面积S=SJlf(x)IdX=f：(F(X)dx+fbcF(x)dx.3 .求由两条曲线F(X)和g(x),直线X=a,x=6(aVb)所围成平面图形的面积S图中，F(x)>g(x)>0,面积S=/!"(x)-g(x)dx;图中，f(x)>0,g(x)<0,面积S=Jhofxdx+f?!g(x)Idx=f*f(x)g(x)dx【典型例题3】(1)求抛物线y=V-与X轴所围成图形的面积；(2)求曲线y=cosXOWXW等)与两坐标轴所围成图形的面积；(3)求直线y=2x+3与抛物线y=f围成图形的面积.思路分析：画出图形，结合图形分析定积分的积分区间，同时注意面积与积分的关系.解：由图形可知，所求面积为S=/；|六一dx=2)dx=d-*);=1.(2)画出曲线y=cosXO*日B,由于当OWXWi"时，c°sXNo，35VA时,cosx0,故图形的面积为3J 2 I cos X dX=02 cos Xdx+ J03T Z .,(-COS X) QX 23斤=sin xq sin x =3.22y=如图,由，求得两曲线的交点为和(3,9),于是阴影局部的面积为S=(2x+3)-ly=2x+3xrdx=J-i(X2+2x+3)dx=(-v+V+3L=竽.
