课堂探究 2.2.1综合法与分析法.docx
课堂探究探究一综合法的应用1.用综合法证明问题的一般步骤：(1)分析条件，选择方向.仔细分析题目的条件(包括隐含条件)，分析与结论之间的联系与区别，选择相关的公理三公式结论确定恰当的解颍方注应)转化)&,Mr过总把题目的条件，转加成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化,组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路.(3)适当调整，回忆反思.解题后回忆解题过程，可对局部步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总给解题方法的选取%.用综合法证明不,等式时，要注意不等式性质，均值不等式等的应用，证明三角恒等式时要注意三角函数公式、正弦定理、余弦定理等的应用.【典型例题1】a,b,c(0,+8)且&+力+c=3,求证：asin CSin 4cos 8-cos 如in B Sin A-B,.,sin C= sin C =右边'故原等式成立.探究二分析法的应用1.从要证明的结论出发，探求使结论成立的充分条件，最后找到恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法 那么、公式等)或要证命题的条件时，命题得证,这正是分析法证明问题的一般思路. 一般地，含有根号、绝对值的等式或不等式，假设从正面不易推导时，可以考虑用分析法.3.用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好反推符号“U”或"要证明"”只需证明 “即证明等词 语.【典型例题3】函数F(X)=X2+3 ,假设&>力>0 ,求证：f a t h 思路分析：由于条件和欲证结论之间的关系不明确，考虑用分析法证明. r 西西、日/ a -f b a÷A 证明：要证明>2)，即证(5+3) + (4+3)>"J?+?. ab÷2÷c23.思路分析：从和欲证的两个式子间的关系入手可考虑先将式两边平方，然后再运用均值不等式证明.证明：因为&+力+。=3,所以(a+6+c)2=9,即al+c2÷2(ab+bc+Ca)=9.又因为a,btc(0,+),所以5+炉力？力,Ij-c2bc,c÷aj2cz?,于是2(ab-bc+ca)2(<a2+Z?2+c),所以4+9+3+2(才+c)24+炉+c2+2(a6+bc+ca)=9,故才+炉+#23.【典型例题2】在4496'中M,B,C对应的边为a,b,c,证明：二£=Snl.4.csinC思路分析：考虑到要证明的等式中含有边和角，可用正弦和余弦定理进行转化，再结合相关的三角公式证明.证明：由余弦定理知=。'+/2ACoSA,所以成一4=/28CCoSA,1.alc-2bccosA2ZjcosA所以左边=L=1.CCCrlFdAQsinB又由正弦无理吗=77,所以左边=12s"%osAsinCSinC2sinBCOS/Sin-+82SinBCoS力sinCsinC只需证 a-lj +6>,Sin/Icos/+cos/IsinV2sin伙X)Sd只需证一+/>寸”,因此只需证2才+24>&2+235+力,即证#+z/>2a力，只需证(aA)?。，由于a>b>O,所以(a。)2>0显然成立，故原不等式成立.TT1-÷0t*a1Q*B【典型例题4】a,+k(AEZ),且4sir。一2sir?£=L求证：上T7一。一.21+tana21+tanP思路分析：由于要证的等式较为多杂，而条件信息较少，所以可从要证的等式出发，利用分析法证明.-sln2 1- 口令下c°s asin" cos2 八需证2zy /I sin o (1÷F- 2 1-Cos a Isin2 , cos2 J 廿.cos' a -sin' a1 COS尸一sin，尸只需证 2八_1_ . 2-cos a +sn a2 cos2 ÷sin2 证明：要证 1 + tan%-2 l + taS '只需证 cos2 4 -sir/ =,(cos2 6一sir?£),F口口西yl-tar-ltar只需证12Sin2=g(l2SinJ£),即证4sin2a2si2=L由于4si?。-2si?尸=1成立,所以原等式成立.探究三综合法与分析法的综合应用1 .有些数学问题的证明，需要把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论户.假设由尸可以推出0成立，就可以证明结论成立，这种边分析边综合的证明方法，称为分析综合法，或称"两头凑法”.2 .在证明过程中，分析法能够发现证明的思路，综合法表述证明过程那么显得简洁，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先利用分析法寻求解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.【典型例题5】在某两个正数X,y之间插入一个数a,使X,a,y成等差数列，插入两数6,c,使x,6,c,y成等比数列，求证：(a+l)2U+l)(c+l).思路分析：前半局部从出发采用综合法得到a,b,c之间的关系式，后半局部用分析法反推，然后再与该关系式结合，找到使结论成立的充分条件即可.2a=x+y证明：由得，S=CX,61 /=一 ,y= , C Dc= by即x+y=%从而加4十三.要证(a+(力+1)(C+1),只需证a+12Jb+1c+1即证a+1及Jc2也就是证2a2ZHc.因为2a=-,A2那么只需证一成立即可，cb即6+c=(÷c)(/?<?+c2)2(b+c)be,即证炉+Ibe/a,即证(万-c)?。成立.上式显然成立，二(a+1)2(力+1)(c+1).点评此题前半局部先用综合法得到一个由条件推出的结论，然后再用分析法证明最终结论，其中用到了前面推出的结论，这种处理方法在推理证明中也是常用的.
