课堂探究 1.3.3导数的实际应用.docx
课堂探究探究一收益(利润)最大问题利用导数解决收益(利润)最大问题关键是要建立收益(利润)的函数关系式，然后借助导数研究该函数的最大值，注意函数定义域的限制以及实际意义.【典型例题1】某公司准备在两个工程上投资.在力工程上投资的收益(万元)与投资额(万元)的平方根成正比，且当投资额为9万元时，投资收益为2万元；在3工程上的投资收益g(E)(万元)与投资额万元)的关系式是g*)=31n(+l).该公司现准备在两个工程上共投资350万元，试求该公司的最大总收益.思路分析：设在/1工程上的投资额为近万元)，那么在8工程上的投资额为(350一力万元，然后将收益表示为*的函数再用导数求解.解：设该公司在力工程上的投资额为X万元，依题意，在4工程上的收益为r=A,又当=9时，f(9)=2,即d=2,所以A=I,于是f(x)=G这时在8工程上的投资额为350才万元，那么在6工程上的收益为g(350-)=3InlJl-+1)于是该公司的总收益为力(X)=F()+g(350-x)=宗+31n(当12),其中OVXV350.于是“京+3就丁_13_360-93yx3603y360X-*+24153360-a'令力'(X)=O,得W=I5,即x=225,当OVXV225时,h'W>0;当225VXV350时th,(X)Vo,所以方(x)在x=225处取得极大值，即最大值，Q1QCC11最大值为力(225)=+31117=10+31nk，o1U/故该公司最大总收益为(10+3In屈万元.探究二费用最低(用料最省)问题将费用或用料表示为某个变量的函数，然后研究该函数的最值情况.多数情况下，用料最省问题会涉及几何体的外表积问题，这时要注意结合平面几何，立体几何中相关的公式求解.【典型例题2】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造本钱为6万元.该建筑物每年的能源消消耗用。(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：Cm)满足关系：Ca)=:r(0x10),假设不建隔热层，每年能源消消耗用为8万3x+5元.设F(X)为隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和.(1)求4的值及F(X)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)到达最小，并求最小值.思路分析：根据题设条件构造函数关系，再应用导数求最值.解：(1)设隔热层厚度为XCn1,k由题设，每年能源消消耗用为C(X)=Tr=.又C(O)=8,AA=40,因此。(入)=:7M，而建造费用G(X)=6x,从而隔热层建造费用与20年的能源消消耗3x+5用之和为F(X)=20C(X)+G(x)=20X丁%+6X=*翌+6x(OWxWlO);3x十53jt+52400(2)f,(*)=6qc.2,令/(X)=O,JAr十3ttrt2400万/日25/入上、即一Tl72=，得汨=5，才2=一丁(舍去)3a-+53当OVXV5时,F(X)Vo,当5VV10时(%)>0.故5是F(X)的最小值点，对应的最小值为F(5)=6X5+镖=70,即当隔热层修建5cm厚时，总费用到达最loro小值70万元.探究三面积、体积最大问题求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，然后利用导数的方法来解.【典型例题3】用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.思路分析：可设容器的底面的短边长为Xnl,那么长边的长以及高就可用X表示出来，从而得到容积与X的函数关系式，然后用导数求得最大值.解：设容器底面短边的边长为Xm,那么另一边长为(x+0.5)m,*.14.84x4x+0.5高为=3.2-2x.由题意知>>0,x+0.5>0,且3.2-2x>0,0<x<1.6.设容器的容积为Km3,那么有P=X(X+0.5)(3.2-2x)=-2÷2.2÷1.6(0<x<l.6),.r=-6x÷4.4x+1.6.令/=O,有15/一11万-4=0,4解得M=I,盟=一舍去).Io 当XW(Oj)时(X)>0,Kx)为增函数,XW(LL6)时，/<o,r为减函数， /在才£(0,1.6)时取极大值KD=1.8,这个极大值就是/在/W(0,1.6)时的最大值，即Knx=L8,这时容器的高为1.2m, 当高为1.2m时，容器的容积最大，最大值为1.8m3.探究四易错辨析易错点无视实际问题中变量的取值范围而出错【典型例题4】某厂生产一种机器，其固定本钱(即固定投入)为0.5万元.但每生产100台，需要增加可变本钱(即另增加投入)0.25万元,市场对此产品的年需求量为500台，销售收入(单位：万元)函数为：4Cr)=5-gf(0WxW5),其中X是产品售出的数量(单位：百台).(1)把利润y表示为年产量的函数；(2)年产量是多少时，工厂所得利润最大？错解：(1)由题意知,本钱函数C(X)=O.5+0.25x,y=A(x)-C(x)=(5xBV)一(O.5÷0.25x)=(05).1919(2)/=-+-,令/=O,得x=4.75,4.75必为最大值点.，年产量为475台时，工厂利润最大.错因分析：实际问题中，该厂生产的产品数量不一定在500台之内(含500台)，应有£>5的情况，错解无视了此种情况，就出现了错误.正解：(1)利润y=AJ)-C(X)J3一9一0.5+0.25a05(5X5-3-0.5+0.25xx>51 2-+4.75-0.50%512-0.25xx>5（2）0x5时，/=-）/+4.75Jr-0.5,当x=4.75时,加CMo.78（万元）;当x>5时，y=12-0.25V120.25X5=10.75（万元）.，年产量是475台时，工厂所得利润最大.
