课堂探究 1.3.1利用导数判断函数的单调性.docx
课堂探究探究一利用导数判断或证明函数的单调性1 .利用函数单调性的定义判断或证明函数的单调性时，过程较为烦琐，但借助导数，只需分析函数导数值的正负即可，因此应善于借助导数研究函数的单调性.2 .利用导数判断或证明函数的单调性时，一般是先确定函数定义域，再求导数，然后判断导数在给定区间上的符号，从而确定函数的单调性,如果解析式中含有参数，应进行分类讨论.C. 1 D. (-3,0) J上单调递减.【典型例题1】(1)函数F(X)=2x+:在以下哪个区间上是单调递减的()A.(1,+8)B.2J>/(2)证明函数F(X)=旦二在2X但上单调递减，只需证明F (力思路分析：(1)只需分析哪个区间上的导数值恒小于0即可；(2)要证Ax)在2仁VO在区间2上恒成立即可.Vji)<0A代、(D解析：因为/(x)=2,所以当XWl时，V1'(4,+).X-X91f,=2-A<0,这时F(X)在1上单调递减，应选C.X-答案：C(2)证明：因为F(X)=2口所以/ (X)= Sin X 'in x X由于x2,所以COSXVO,sinx>0,IJT)因此XCOS%sin%<0,故fUXO,所以F(X)在2上单调递减.l)探究二利用导数求函数的单调区间1 .利用导数求函数单调区间的步骤如下：(1)求函数F(X)的定义域；(2)求导数fU)；(3)在定义域内解不等式/>o,得单调递增区间；在定义域内解不等式尸<o,得单调递减区间.2 .与利用函数单调性的定义判断函数的单调性或求函数的单调区间相比，利用导数求函数的单调区间显得更加简单易行，其实质是转化为解不等式问题，但也必须首先考查函数的定义域，在定义域内解不等式另外，利用导数往往适合求一些高次函数的单调区间，其单调区间有时不止一个，这时在写出它们的单调区间时，不能将各个区间用并集符号连接.3 .当函数F(X)的解析式中含有参数时，求单调区间可能需要对参数进行分类讨论才能确定其单调区间.【典型例题2】求以下各函数的单调区间：(l)=2-3;(2)rIn x(3) f(x)=cosx+Jx,(0,H)；(4) f(x)=e*+ax.思路分析：可按照求函数单调区间的步骤进行求解，其中(1)要注意单调区间的写法；(2)要注意导数的求法;(3)要注意正弦函数的性质；(4)要注意对参数a进行讨论.解：(1)函数定义域为R,且v(X)=6/一6x.令f,(X)>0,即6x26x>0.解得x>l或XV0；令f(X)Vo,即6/6V0,解得OVXVL所以F(X)的单调递增区间是(一8,0)和(1,+8)；单调递减区间是(0,1).11V(2)函数F(X)的定义域为(0,+8),且/=X令f(功>0,即100,得OVxVe;1 1X令尸<0,即<0,得¥>e,X所以F(X)的单调递增区间是(O,e),单调递减区间是(e,÷).函数/V)的定义域为(0,兀)，且f=-sinX令y(x)>0,即ASinx>0,解得OVXV/或等VXV；66号F(X)VO,即:一sinXVo,解得<才誓.2 66故F(X)的单调递增区间是和6,单调递减区间是(4)函数定义域为R,且/(力=+a当a'O时,f(x)=e"+a>O恒成立，F(x)在R上单调递增；当aVO时，由/(x)=e*+a>O,得e*>-a,所以>>ln(-a),由*(X)=e'+aVO,得e*Va,所以XVln(-a).所以F(X)在(ln(-a),+8)上单调递增，在(-8,ln(-a)上单调递减.综上，当a'O时，F(x)的单调递增区间是(-8,+8),无单调递减区间；当aVO时，/(力的单调递增区间是(ln(-a),+8),单调递减区间是(-8,n(-5).探究三函数的单调性求参数的取值范围1 .函数的单调性求参数的范围，这是一种非常重要的题型.在某个区间上，(x)>0(或f(X)VO),F(x)在这个区间上单调递增(递减)；但由F(X)在这个区间上单调递增(递减)而仅仅得到/(x)>0(或f(X)VO)是不够的，即还有可能/(X)=O也能使得Hx)在这个区间上单调，因而对于能否取到等号的问题需要单独验证.2 .函数f(x)是增函数(减函数)求函数解析式中参数的取值范围时，应令F0(X)WO)恒成立，解出参数的取值范围，然后再检验参数的取值能否使ff(x)恒等于零，假设能恒等于零，那么应舍去这个参数的值，假设尸(力不恒等于零，那么其符合题意.3 .如果在函数解析式中不含参数，而在区间中含有参数，那么可首先求出F(X)的单调区间，然后根据这一单调区间与给定区间的包含关系求出参数范围.【典型例题3】假设函数F(X)=W+/在(0,+8)上单调递增，求&的取值范围.(2)假设函数F(X)=>+1在R上是减函数，求a的取值范围；(3)假设函数F(M=岩在区间(加,4加一1)上单调递增，求实数切的取值范围.思路分析：对于(1)(2),可转化为f(x)0或F(X)WO恒成立问题求解，但要注意检验端点值是否符合要求；对于(3),可先求f(x)的单增区间，再令所给区间是其子集即可.解：由于尸=一号,所以一彩。在(0,+8)上恒成立.即wo恒成立.X又因为当x(O,+8)时，y>o,所以a<o.但当a=0时，FCO="是常数函数，不符合题意.故a的取值范围是(一8.0)./(>)=3af+6*-l,依题意知3aV+6*-l0在R上恒成立.显然当a=0时不满足题意.zi=36+12a0解得&W-3.而当a=3时，fx)=3x÷32-r÷l=-30÷,由函数y=f在R上的单调性，可知当a=-3时，F(>)(x£R)是减函数；故实数a的取值范围是(-8f3.函数定义域为R,且6(X)=匕+：令fU)>0,得一IVXVI,即F(X)的单调递增区间是(一1,1),7-14mIWl解得;<加Wj<5乙4/ZT-1>73故力的取值范围是.<2_点评本例(3)中要特另注意不能遗漏条件4加一1>加探究四函数图象与其导函数图象之间的关系在研究函数图象与其导函数图象之间的关系时，要抓住各自的关键要素，对于原函数，重点分析其在哪个区间上单调递增，哪个区间上单调递减，而对于其导函数的图象，那么应确定哪个区间上其函数值大于零，哪个区间上函数值小于零，从而得出原函数的单调区间.【典型例题4】函数y=F(x),其导函数y=/(>)的图象如图，那么对原函数y=F(x),以下说法正确的选项是()A.F(X)在(-8,1)上单调递减B.f(x)在(1,3)上单调递增C.F(X)在(0,2)上单调递减D.f(x)在(3,4)上单调递减解析：由f(x)的图象可知，当x(0,2)时，F'(x)V0,故F(X)在(0,2)上单调递减，其余说法均不正确.答案：C探究或利用导数证明不等式1 .利用导数证明不等式，是不等式证明的一种重要方法，其关键是构造函数.2 .要证不等式F(X)>g(x),可构造函数0(x)=F(X)-g(x),只需证明0(x)在其定义域上满足0(x)>0即可，根据函数的单调性，借助于导数求解.【典型例题5】x>l,求证：尤>ln(l+x).分析：构造函数tr)=-ln(l+x),只要证明在X£(1,+8)上，f()>0恒成立即可.证明：设f(x)=X-In(I+x)(x21).,：F (X)=I11+;，当x21时，/>0,F(x)在1,+8)上是增函数.又D=l-ln2>l-lne=0,即F(I)>0,，当x>时，F(x)>0,故当x>l时，x>ln(l+x).探究六.易错辨析易错点：无视函数的定义域而出错【典型例题6】求函数F(X)=2f-lnX的单调减区间.1Ax-14/一11I错解：f,()=4-j=里，令V。，得XV一或OVXV(所以函数力的单调减区间为XXX22r-oo/oAT.-2)12错因分析：错解未注意函数的定义域.正解：函数f(x)的定义域为(0,+8).ra/、A-1Ax1又f(X)=,令<0,XX得XVJ或OVXV.”>0,f(x)的单调减区间为1.
