课堂探究 3.2.1复数的加法与减法.docx

课堂探究探究一复数的加法与减法运算1 .复数的加减运算类比实数的加减运算，假设有括号，括号优先；假设无括号，可从左到右依次进行.2 .算式中出现字母时，首先确定其是否为实数，再提取各复数的实部与虚部，将它们分别相加.3 .准确提取虚、实部，正确进行符号运算有利于提高解题的准确率.【典型例题1】计算以下各式：(1) (135i)+(3÷4i)；(2) (3+2i)(45i)；(3) (10-9i)+(-8+7i)一(3+3i);(4) (l-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+(2013-2014i)-(2014-2015i).思路分析：根据复数加法、减法的运算法那么进行计算.解：(1)(13-5i)+(-3+4i)=(13-3)+(-5+4)i=10-i;(2)(-3÷2i)-(4-5i)=(-3-4)+(2+5)i=-7+7i;(5) (10-9i)+(-8÷7i)一(3+3i)=(10-8-3)+(-9+7-3)i=-l-5i;(4)原式=(1-2+34+2013-2014)÷(-2+3-4+52014+2015)i=-l007+1007i.探究二复数加减运算的几何意义1 .复数加法、减法的几何意义与平面向量的平行四边形法那么、三角形法那么有关，因此在求解与平行四边形、三角形有关的复数问题时，主要应根据复数加、减运算的几何意义求解计算.2 .由于复数可用向量表示，因而可将复数问题转化为向量问题，利用向量的方法解决复数问题.3 .在复平面内,Z2对应的点为4,8,w+z2对应的点为C,0为坐标原点，那么四边形勿应：(1)为平行四边形；假设，+z2=0一及1,那么四边形曲为矩形；假设IZj=幻，那么四边形曲?为菱形；假设IzIl=IZ2且I©+勿I=ZLZ2,那么四边形物为正方形.【典型例题2】平行四边形4¾力中，牺应对应的复数分别是3+2i与l+4i,两对角线'与加相交于O(1)求质对应的复数；(2)求砺寸应的复数；(3)求力如的面积.思路分析：由复数加法、减法运算的几何意义可直接求得介，应对应的复数，先求出向量而，应对应的复数，通过平面向量的数量积求力如的面积.解：由于秘。9是平行四边形，所以了?=荔+花，于是益H而一葩，而(l+4i)(3+2i)=-2+2i,即崩对应的复数是一2+2i.(2)由于励=砺一而，而(3+2i)-(-2+2i)=5,即应对应的复数是5.(3)由于5=5万=-AC=Job= 2<0)2-2OB=-DB=2乙于是应市=?,而:为=,I¾=|,y7559*cosZJ=-7,EH,17“47因此CoSN力加二一七一,故SinNAoB=)故w=0A质ISinN力曲=JX4用，乙乙乙乙JL«乙6即力必面积为*探究三.复数加减运算的综合问题在进行复数的加法、臧法以及模的运算时，主要依据加减运算法那么、模的公式计算求解.【典型例题3】(1)誓Z满足IZ=5,且z+1是纯虚数，求z；(2)设*(z)=z+3i-zz,假设z1=2i,Z2=l+2i,求/*(©Z2).思路分析：(1)设z=x+yi(x,yR)代入求解；先求出z-Z2,再代入F(Z)中计算.解：(1)设z=x+yi(x,yR),那么z+l=(x+l)+yi,C-Ix=z或V2Yy=-2.r7÷7=5由得（/+I=Oy0于是复数z=-l+2i或Z=-12i.(2)由得ZlZ2=(2i)(l+2i)=33i,于是f(zZ2)=F(33i)=33i+3i(3+3i)133i3i3,y2.故fz-Zi)=-3y23i.探究四复平面内两点间距离公式及应用1 .Z-Z2表示复平面内，复数©,Z2对应的点Z与4之间的距离，在应用时，要注意绝对值符号内应是两个复数差的形式；2 .涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.【典型例题4】zC,且|z+34i=l,求IZl的最大值与最小值.思路分析：|/+3一包|=|2(-3+4。|表示复数2对应的点与复数一3+针对应的点之间的距离，从而可知Z对应点的轨迹为圆，然后借助几何方法求解.解：由于z+3-4i=z(3+4i)=l,所以在复平面上，复数Z对应的点Z与复数一3+4i对应的点，之间的距离等于1,故复数Z对应的点Z的轨迹是以C(一3,4)为圆心，半径等于1的圆.而IZl表示复数Z对应的点Z到原点0的距离，又I田=5,所以点Z到原点0的最大距离为5+1=6,最小距离为51=4,即IZlImX=6,zLln=4.