高数(大一上)期末试题及答案.docx

第一学期期末考试试卷(1)课程名称：高等数学(上)考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分：.一、填空(每题3分，总分值15分)1.3x2+5.21、Jimsin-a5x+3X2、设/"(T)=A,那么!吧X=2e,3、曲线y=e-'在'二°处切线方程的斜率为4、/(x)连续可导，且U)>0(0)=l,(l)=e,(2)=e25、f(x)=,那么/(0)=l+x-二、单项选择(每题3分，总分值15分)1、函数/(x)=XSinX,那么()B、当x8时有极限D、在(-8,+00)内有界A、当x8时为无穷大C、在(-8,+CO)内无界Ce,x<C(X)=Md'那么/在E处的导数()A、等于OB、等于13、曲线y=xef的拐点是(Ax=lB、x=2C、4、以下广义积分中发散的是(HdxrldxA、JOSinXB、J。JI-XC、等于eD、不存在)(l,e-)D、(2,2e-2)1.dx广dx"J。l+x3z2D、J225、假设/(x)与g(x)在(-,+)内可导，f(x)<g(x),那么必有()A、/(-X)<g(-x)B、z(x)<gf(x)C、Iim/(x)<Iimg(x)口、'f(x)dx<gxdxXTXOx->xqJOJO三、计算题(每题7分，共56分)答题要求：写出详细计算过程、%o(1-cos:)sinX2、求山Harcsin(Vx2+%-x)+0o3、设y=y()由+y-3*=。确定，求右仆。4、求函数/(x)=arctan(2/-9x2+12x-10)的单调区间。5、/(x)=ln(x2-l),求/(无)rarctanx.6、求1(1+/)3/2公7、求fJ2©+4曲18、在曲线y二二上求一点，使该点切线被两坐标轴所截的线段最短。X四、应用题(总分值8分)答题要求：写出详细计算过程一个圆锥形的容器，顶朝上，底边半径1米，高2米，盛满水，要将水全部抽出底面需要做多少功？五、(此题总分值6分)设/'(X)是(一8,+8)上非负连续的偶函数，且当X0时，/(%)单调增加。(1)对任意给定的常数<b,求常数使得，(x+J)。+J)公=。(2)证明(1)中所得的J是惟一的。答题要求：W出详细过程。第一学期期末考试试卷(2)课程名称：高等数学(上)考试方式：闭卷完成时限：12()分钟班级：学号：姓名：得分：.一、填空(每题2分，总分值20分)1、/(x)的定义域为(1,2),那么/(；+1)的定义域为X2、Iim-sinx=ao1+xf(Y_J(l+0r)x,x>OC3、函数八幻一在X=O处连续，那么。=2,x04、d(tanex)=5、设y=InX,那么y(n)=6、设函数/(x)在x=4处可导，那么Iim4匕"二也二oh7、(x)6=sinx+C,那么f()=8、j2+xln(x2+l)dx=9、y"+V2y=XeA的特解形式(不必精确计算)为2o>y=ie'力，那么VL=I"二、单项选择(每题3分，总分值15分)1、函数/()=在X=O处()A、连续且可导B、连续不可导C、可导不连续D、不连续且不可导2、当x。时，变量I-COSX是1的()A、等价无穷小B、同阶无穷小但不等价C、高阶无穷小D、低阶无穷小3、曲线y=3-6+u在©2)内的一段弧是()A、上升，凹的B、上升，凸的C、下降，凹的D、下降，凸的4、广义积分JlX"X是收敛的，那么攵满足()ak<-2b>k<-2c、攵-ld>k<-5、设在区间0,1上/(x)>0,由中值定理，必有()A、/XD>r(0)>/(1)-/(0)B、(l)>/(D-/(0)>/(O)C、/(D-/(0)>z(l)>r(0)d、,(1)>/(0)-/(1)>r(0)三、计算题(每题6分，共36分)答题要求：写出详细计算过程In x1、求Iim(x+Vx-Vx)÷2求Iirnvo÷ln(ex-l)3、利用变换y=z(x)e2求微分方程y"-4xy,+(4x2-l)y=-3e的通解。4、求JdInX+此一。心5、£Vex-Xdx6、设D求f7（x-2）dx四、计算以下各题（每题7分，总分值14分）答题要求：写出详细计算过程1、设平面图形。由y=2,y=所围成，求。的面积，并求。绕X轴旋转一周所形成的体积。x-exsinf÷l=O2、求曲线，3,"在，=。处的切线方程。五、（此题总分值9分）答题要求：写出详细计算过程试确定C的值，使抛物线>+以+c满足：（1）过点（0,。）和（1,1）；（2）曲线向上凸；（3）与X轴所围的面积最小。六、（此题总分值6分）设/（%）是10,+）上连续,单调非减且/（x）0,试证函数Fra）=,（力”>°,在。+8）上连续且单调非减（其中0X=OH>0）o答题要求：写出详细过程。期末考试试卷（3）课程名称：高等数学(上)考试方式,闭卷完成时限：120分班级名称：学号：姓名:一、填空(每题2分，总分值20分)2.Iim3 .函数/(x)=<7-在(-00,+8)处连续，那么=ax=04 .y=cosx2+cos2x+tan,那么dy=5 .设无)=X(arcsinx+arccosx),那么f,(-)=6,曲线y=O?+版在=l处取到极值，那么、力应满足条件7 .(x)dx=x3Zv+c,那么/5)=9 .设/(x)在0,1存在二阶连续导数，且(0)=0,尸(1)=1,那么f,xfx)dx=10 .微分方程2y"+4y'=xe2的特解形式)=_二、单项选择(每题3分，总分值15分)1 .F(x)=XCoSF"°'那么工=0是/的()。ln(l+x),x0.（八）连续点(B)可去间断点(C)无穷间断点(D)跳跃间断点2 .当0,以下无穷小中与“不等价的是()（八）tanx(B)ex-1(C)+-l(D)ln(x+l)3 .曲线y=x的拐点是()o（八）2(B)le-2(C)(2,2e2)(D)(-2,-22)4、假设31,y2,乃是微分方程)'"+P(X)V+式)y=f(4三个线性无关的解，G，G是任意常数，那么该方程的通解为()（八）C1y1+C2y2+y3(B)G(M-%)+。2(%一为)+M(C)C1(1-y2)÷C2(y1-y3)(D)C1(y1+y2)+C2(y1+y3)+y15.设两曲线j=/(x)与y=g(x)相交于两点(XI,y)和(口，垃)，且/(x)>O,g(x)>0,那么此两曲线所围平面图形绕X轴旋转一周所得的旋转体体积为()。(A) l(x)-g(x)2Jx(B) J：()2-g()2版(C) '(x)Zr-'21g(x)dxJXlJXJ(D)布：f*)-g()2M三、计算以下各题(每题6分，总分值42分)2 .设吧F=5'求的值。4 .设盯+lny+lnx=O,求也5 .求JIn(I+工2心7、求微分方程处”=一了的通解。四、应用题（每题9分，总分值18分）1 .求抛物线丫=-+叙_3及其在点（0,3）和0）处的切线围成图形的面积。2 .设圆锥体的母线长。为常数，试确定其高儿使圆锥体体积到达最大。五、证明题（此题总分值5分）设/（x）在（F,4W）内具有连续的二阶导数，且/（0）=0,试证：具有连续的一阶导数。期末考试试卷（4）课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分班级名称：学号：姓名:一、填空（每题2分，总分值20分）1 .设函数/（x）的定义域为（0,1）那么f（ex）的定义域为,r1丫2 .Iim=（2+2jSinar八3 .设函数/(X)=丁'在X=O处连续，那么G=l-aex04 ./(x)=arctanX2,那么/'=5 .设y=ln(l+x),那么严)=6.7.(3-Vx+xcosx)/xdx=f,(x)=ex+nx9那么/(x)=8 .微分方程y"+y=1的通解为9,设y二工.力，那么V=10.设F(X)二阶可导，/(0)=0,()=(6)=l,那么14(%)公=二、单项选择(每题3分，总分值15分)21 .当了一0时，一(COSK-CoS2无)是工2的()3（八）高阶无穷小(B)同阶无穷小，但不是等价无穷小(C)低阶无穷小(D)等价无穷小2 .设y=es",那么dy=()（八）exdsin2x(B),2aJsin2x(C)sin2xJsinx(D)sin½Jsinx3 .设函数/(x)二阶可导，f(x)=-f(-x)9且当x(0,+8)/(力>O,fnx>O,那么当x(-oo,0),曲线y=(x)()（八）单调上升，曲线是凸的(B)单调下降，曲线是凸的(C)单调上升，曲线是凹的(D)单调下降，曲线是凹的4、在区间-1,1上满足拉格朗日中值定理条件的是()（八）=ln(l+x)(B)y=包！(C)y=x2+1(D)y=x5.以下广义积分收敛的是()（八）f1Inxdx(B)*rldxJ°jo-xfd(D)F,dxjol-xjo(l-x)2三、计算以下各题(每题6分，总分值42分)KTO%2-n(1+2)5 .假设卜“31+产)，求电，W。y=arctanrdxdxpx1XV06 .讨论函数g(x)=eL文'在x=0处的可导性;sinx,x0(2)在g(x)的可导点求其导数。4.求曲线y = X/在拐点处的切线方程。5.4 C xexdx7 .设y=/是W+PMy=X的一个解,求此微分方程满足yLln2=O的解。2x,x07、/*)=/,工<0,求。(1世A-x四、应用题(每题9分，总分值18分)8 .设区域。由曲线y=sinx,及直线XrX=2,y=O所围成，其中0<t<2(1)问为何值时，。的面积最大？求此时该区域绕轴旋转的旋转体体积。9 .底边为正方形的正四棱锥容器，顶点朝下，底边长为2米，高为2米，盛满水，要将水全部抽出底面，需做多少功？五、证明题(此题总分值5分)函数/(x)在凡句上连续，在(a,b)内二阶可导，且/()=/S)=力，试证：存在一点g(a,h),使得/修)=0。期末考试试卷(5)课程名称：高等数学(上)考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级名称：学号：姓名：一、填空(每题3分，总分值15分).1八1 .设/(X)=xsm,"，/(X)在(-00,+8)内连续，那么”(7÷COSX2,X02 .如果F(X)为偶函数，且尸(0)存在，那么(0)=3 .dsin(产劝=4 .fT(e2sin%+2)dx=Jr5 .微分方程设)，+4'=§11121的特解形式丁=二、单项选择(每题3分，总分值15分)1 .当工0时，以下无穷小与大不等价的是()（八）In(1+tanx)(B)Jl+x-1(C)i+7-三7(D)earcsinx-12 ./(x)=ex,那么x=0是函数/(幻的()（八）无穷型间断点(B)有限跳跃间断点(C)可去间断点(D)振荡间断点3 .设函数f(x)二阶可导，且Iim_J.、=-3,那么x=0,那么是f(x)x->。ln(-xsnx)的()（八）极大点(B)极小点(C)驻点(D)拐点的横坐标Inx,4、假设工是/*)的一个原函数，那么M><x)公=()（八）÷C(B)-+C(C)xlnx-x+C(D)121+CXXX5.设在区间a,b上/(x)>0,f,(x)<0,ff(x)>0,令S1=f(x)dx,2=fb-a)9S3=("(。)+/(6)0-。)那么()（八）Sl<S2<S3(B)S2<S1<S3(C)S3<S1<S2(D)S2<S3<S1三、计算以下各题(每题7分，总分值49分)8.设y=y()是由/=sinj所确定的隐函数，求:-。9.X=f'a)y=(f,-f,且/存在且不为零，求学,穹。 ax dx10.求函数*)=M-'的凹或凸的区间及拐点。5.xexdxex-2xex,xO6、设函数/(x)=j1,_1<%<0,计算J：/(x_2)公J+cos,7.设函数9(x)具有二阶连续导数，且O(O)=O,并满足方程£te2t-2(ty)dt=,(x)-3(x),求。(X)o四、综合应用题(每题8分，总分值16分)1 .平面上通过点P(L4)引一直线，要使它在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和为最小，求此直线方程。2 .求曲线y=/一2乂丁=0,x=l,x=3所围成的平面图形的面积S,并求该平面图形绕.v轴旋转一周所得旋转体的体积Vvo五、证明题(此题总分值5分)函数/*)在区间冬切上具有二阶导数，且/3)=0,而F(x)=(x-a)2f(x)9试证：存在一点百w(a,b),使得尸)=0。期末考试试卷(6)课程名称：高等数学(上)考试方式：闭卷完成时限：120分班级名称：学号：姓名：一、填空(每题3分，总分值15分)1. /(幻=F+3x)2?XWO在=o点连续，那么。=a,x=02 .曲线.y=xe-*的拐点是3 .J(x2+arcsinx)dx=4 .f,(ex)=2xexfJ(1)=O,那么/(X)=5 .微分方程设2y"+3V+y=0的通解是二、单项选择题(每题3分，总分值15分)1 ./(%)=。是函数/(幻在/点取得极值的()A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件y+X+X2(12 .Iim=(JXT8XA.1B.-1Cl或一1D.不存在3 .曲线段y=£疝而力(0g的弧长为()r2A.IB.2C.D.224 .以下广义积分收敛的是()A,广星dxB.公C/一LVaYD.广二=公JeXJeXlnXJeX(InXyJej11X5 .假设月,必，必是微分方程÷P(X)y'+式)y=/()三个线性无关的解，是任意常数，那么该方程的通解为()A.C1y1+C2y2+y3.B.C,(y1-y2)+C2(j1-y3)+y1.C.G(%-%)+。2(D.c(y1+y2)+C2(y1+y3)+y1三、计算题(一)(每题6分，总分值24分)I. .(COSX1、II. 求IImXTolXiXtanXJ12.设y=y(x)是由exy+sinx-y=0确定，求yz(0),(0)o0x2-2<x<0'f(x-l)djco14.求微分方程xy,=y+x4(x0)满足y(l)=O的特解。四、计算题(二)(每题8分，总分值24分)、中"，X>O1、设函数y=/()=J1/八，(1)讨论函数/U)在=o处的连续x+l,x0性；(2)函数/(X)在何处取得极值，为什么？2 .函数AX)满足方程/3=3x-VT了工尸(幻公，试求，(X)。3 .设/(X)=五、应用题(每题8分，总分值16分)1 .假定足球门的宽度为4米，在距离右门柱6米处，一球员沿垂直于底线的方向带球，问：他在离底线多远的地方射门将获得最大的射门张角。？2 .过点(4,2)作抛物线j=TI的切线，该切线与抛物线y=I及),轴围成平面图形，(1)求该平面图形的面积；(2)求该平面图形绕X轴旋转而成立体的体积。六、证明题(6分)函数/0)在区间0,1上可微，满足/(x)(O,l)且尸(X)WI,xO,l,证明：在(0,1)内有且仅有一个使得/(J)=Jo工商大学高等数学(1)参考答案6c41一、1、W2、2A3、一不4、15、-14、A 5、A,21> 1、6,2、9O单调增加，1,33、dy IE= (In 3-IMX,单调减少，4、-8,l,3,+oo5 、(-l)n",(n-l)!- (x-l)n+ -(+r ,二、1、C2、D3、D+ C9 7、1,8. (±2,)o一、1、(0,2),2、O9ln2,(-l)n,4> exscc2 exdx 95、7、COSX, 8、4,10. 2/e二、A B Dxarctanx6、Tl+x四、“a+b高等数学(2)参考答案3、5-1)!xn，6、2(x0)9、y*=X(QX+b)exBB三、1、1/2,2、1,3、(C1COSX÷C2sinx-3>r4、In2x-xe-x-ex+C5、221/26、-(8-22)四、j、A=I/6,V=2r152、y=2ex+2e五、a=-2,b=3,c=0高等数学（3）参考答案一、1；2.；3.2；24.-2(xsinX2÷cosxsinx)dx；5.；6.2a+h=0；27.3x2e3(1+x)；8.-；9.；10.y*=x(ax+b)e2x.32二、1.A2.C3.D4.B5.B.三、L原式二Iim(3。Iimex-=116分)XT0,ex(ex-1)AT(TX2.Iim(x2+or+/?)=1+=0(2分)xlr X2 + axbIirnXTl 1-x=Iim2x +a-1=-(2 +a) = 5联立解得a = -7, b = 6.（5分）（6分）_ dy 1 + 2t13 .=dx-2t2t(3分)j2(1)'d y 二2，dx2 -It14?（6分）4 .方程两边对X求导得V + xy'+y'y + lx = 0,(4分)6.或4-凸 (.3 d(x2 -4)24-x2 +*2 22-4（4分）JL22=-(4-x2)+(x2-4)2=(5+3)(6分)17.,=C1InIxI+C2四、L抛物线在点(O,-3)的切线为y=4-3,在点(3,0)的切线为y=a-2x+6,两切线的交点为(二,3)。(5分)所求面积3A=2(4-3)-(-x2+4x-3)胸+(-2x+6)-(-x2+4x-3)"2=9"4(9分)2 .圆柱体体积V=(a2-h2)h(3分)由H=工(/-3)=0,得驻点力=。分)3 3由V=一2就0,知当力=f,VmaX=与/(9分)393五、证x=0,g'(0)=Iimga)一()=Iim/(x)0'()XTox-0XTOJr=Iimr(X)于，(°)=1/.(2分)02x2x0,g,()=0O(x).(3分)X因为IimgKx)="""x)=/加止至=-ff(0),(5分)x0x0.r02.X2所以g()具有连续的一阶导数。高等数学(4)参考答案N1一、(0,+)?2.e2；3.；24.1+-55.(T)“S)!5&3Inx-27+sinx+C；4(+1)w7.ex+xnx-x+C；8.y=C1cosx+C2sinx+l；9.2-2xex；10. ci1.二、LD2B3A4.C5.B.二dy_1d2y2(l+t2)-、*，*6trl+t2-2t,d2(l-t)53 .g(x)在X=O不可导，g<)=<'2工''<0；COSXX>04 .x+y+4=0;5.2ye-+4arctane-l-4-l+C；Yz>6. C-C27.21n21 2r四、L(IV=arccos1时面积AQ)=JSinXdX最大V=乃Sin2dx=.=arccos-J24642 .建立X轴向下的坐标系，取X为积分变量高等数学(5)参考答案1.-1；2.0；3.(2xsinx4-sinx2)dx；234 .；5.x(Acos2x+Bsin2x)二、LB2.A3B4.D5.B.二I1、dyIxy二、1;2.=-J5 dxcosy+2ey-xdy_d2y1(1X,gft)54.凸区间(-8,2),凹区间(2,+8),拐点凸区间(2,2e；5. 2yjex -2 + 4V2 arc tanJ-22-4r-2 + C;11_4116.tan2+27,奴X）=CX2-x+l）e2x-/四、1.y=-2x+62.S=2,匕=9万五、应用罗尔定理。高等数学(6)参考答案一.填空：21.e62.(2,2e-2)3.-3X4.In2X5.y=C1e"t+C2e一您拜：1.D2.D3.B4.C5.B三,计算题（一）（,每题6分,共24分）1AnrSinx-Xsnx-x八八1 .解：原式=hm；=Iim（3分）v0%*'tanX3。X=Iimx0COSx-I3x2=-7（6 分）62 .解：X=0y=1（1分）方程两边对X求导：exy（y+xy,）+cosx-yr=O=>/（0）=2（4分）方程两边再对X求导：exy（y-xy,）2+exy（2y,+xy,r）-sinx-y*=0=>>,*（0）=5（6分）3解:令/=1，0（_岫=£%）山=££出+£石今4（2分）J：Sdf=Inl2+f*=ln2（3分）Idf（令/=2Sinr）=二生。分）jo4J。2cos,6原式=ln2+工（66分）4.解：曳=）+/,一阶线性方程，（1分）dxXy=jx3e，7'dx+c=MJxdx+c）=+ex（5分）由MI）=O=>c=-；，所以解为y=±不金（6分）四、计算题（二）（每题8分,共24分）L解Iim/（x）=Iim（x+1）=1,（1分）x0.v0Iimf（x）=Iimx2x=Iime2rlnr=e0=1;（2分）.r0+x0x0又/（0）=1,所以fM在X=O处的连续.（3分）当x>0时,令y,=（x2x=2x2x（l+nx）=0,解得X=L又当0vx<L时，y'<0；当/>!时，y'>0,所以X=,是函数eeee（6分）f(x)的一个极小值点.当x<0时，三1,故函数/(x)在区间(YO,0)内无驻点，从而无极值点.由知函数在x=0处连续；又由前面的讨论知，函数y=f(x)在区间(0,-)内单调减，在(-oo,0)内单调增，所以X=O是f(x)的一个极大值e点.(8分)2.解令J：/*)ClX=q,那么f()=3x-ayl-x2,(2分)即J。(3x-ay-x2)2dr=a,(9x2+a2-a2x2-6ay-x2)x=a.(4分)积分后化简得方程2a2-9a+9=0,(6分)解此方程得。=3及。=I,故/(X)有两个解3.解:f(x)=3X-31-x2及f(x)=3x-71-x2.(8分)=2(x)VxQ-2(Vx,(x)dx=-21Vx,(x)d(4分）(8分)(2rw三,原式=-卜"=-1五、应用题（每题8分,共16分）1 .解：=/(x)=arctan-arctan分）r=-IO-91X2+100 X2+36(5分）/'(X) = On-10-71 1 2+100 x2+360=>x = 215(7分)因为驻点唯一，问题具有实际意义，所以该驻点即为所求最大值点，即球员在距离底线2而米处起脚射门将获得最大张角.（8分）2 .解：切线方程y='+l（2分）.4面积A=，（；+1-Vx）dx=-（5分）体积V=TrC（+l）2-dr=（8分）六、证明题（6分）证明：设网x）=（x）-尤，那么尸（X）在0,1上连续且可导.O</(x)<1,.F(O)=/(O)-0>0,F(I)=/(I)-KO.由零点定理知，在(U)内至少存在一点八使尸¢)=0,即FC)=g.(3分)假设四(0,l)且77,s.tF(T7)=O.根据罗尔定理，孙介于g与之间，s.tr(z)=o.即370,l,s.tV)=l.½-hx0,1矛盾.故假设不成立.综上所述，在(0,1)内有且仅有一个自，使f(j)=g.