高等代数行列式计算方法.doc

word第2章 级行列式的计算方法定义法对于含非零元素较少的行列式，用定义计算非常方便。由定义可知，级行列式共有项，每一项的一般形式为假设每一项个元素的乘积中有零因子，如此该项的值为零。假设零元素较多，如此值为零的项就越多，此时找出那些不为零的项就可求出行列式的值。例1 计算级行列式利用行列式的性质例2 计算级行列式.解 当时，；当时，；当时，把第一行的倍分别加到第行，行列式的值不变，得综上可得三角化法由于上三角行列式或下三角行列式的值都等于主对角线上的元素的积。故可利用行列式的性质，采用“化零的方法。充分利用行列式中元素间具有某些特点与行列式性质，化为三角形行列式。例4 计算级行列式解 这行列式的特点是每行和相等，根据行列式的性质，把第2，3，列加到第1列上，行列式不变，得例5 计算级行列式解 将其他各列全部加到第一列，可得24 / 242.4 升级法行列式的计算中通常是级数越低越容易计算，但有些行列式适当地升高一级反而容易求其值，这种方法称为升级法也称加边法，加上适当的行列后可以简化问题。例6 计算级行列式 . 解 利用加边法.将的第二列乘1，第三列乘2，第列乘并都加到第一列，可得=降级法按行列展开将高级行列式化为低级行列式来计算。此方法适用于某一行列含有较多零元素的行列式，应用行列式的展开定理按此行列展开。例7 计算级行列式.解 观察行列式的每行之和为定值1+2+，因此将各列加到第一列后，如此 由于相邻两行元素比拟接近，逐行相减。即第二行减第一行，第行减第行得2.6归纳法通过计算一些初始行列式等，找出结果与级数之间的关系，利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想，用数学归纳法给出猜想值的严格证明。例8 计算级行列式.证明 由于所以当时，结论成立。猜想：以下用数学归纳法证明当时已成立。假设时的行列式猜想成立，即。下证明时行列式结论也成立。现将按最后一行展开，得由归纳假设，所以对一切自然数结论成立。综上所述2.7 递推法利用行列式的性质，按行列展开行列式，使行列式降级，比拟原行列式和降级后的行列式的异同，找出递推关系，依此类推计算行列式的值。例9 计算级行列式.解 由行列式性质，按最后一列展开得行列式转置同理有 假设，解得： 假设，解得：2.8 拆分法把行列式的某一行列的各个元素写成两数和的形式，再利用行列式性质将原行列式写成两个行列式的和，使问题简化以利于计算。例10 计算级行列式.解 将第一行元素拆为 1 再将第一列元素拆为 2.联立上述1，2两递推公式.当时当时.第3章几类特殊行列式的计算方法一类常见特殊行列式的值1.奇级数反对称行列式的值为零，即 为奇数2.上下三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积，即3.次三角行列式的值等于适当添加正负号的次对角线上元素的乘积，即.4.分块三角行列式可化为低级行列式的乘积，即3.2 箭形行列式对于形如 的所谓箭形或爪形行列式，可直接利用行列式性质将一条边化为零，再利用三角或次三角行列式求值。例11 计算级行列式解 将第列的倍加到第一列得.3.3 二条线型行列式.对于形如 . ， 的所谓二条线型行列式，首先展开降级，再利用三角或次三角行列式计算。例12 计算级行列式解 将按第一列展开得3.4 三对角行列式对于形如 的所谓三对角行列式，首先按行或列展开后得递推公式，利用变形递推技巧求解。例13 计算级行列式解 将按第一行展开得变形为 而 =1因此 3.5 X德蒙德Vandermonde行列式行列式称为级的X德蒙德Vandermonde行列式，对任意的，级的X德蒙德行列式等于这个数所有可能的差的乘积。即 例14 计算级行列式.解 注意到与X德蒙行列式十分接近，构造级X德蒙行列式.将按第列展开得 =其中的系数为 .根据X德蒙德行列式的结果求得的系数为,故有3.6 行列和相等的行列式对于各行或各列之和相等的行列式，将其各列或行加到第一列或行或第列或行，然后再化简。例如：上述例1，例4，例7例15 计算级行列式解 的每行元素之和均为，将各列之和加到第列得3.7 相邻行列元素差1的行列式计算以数字为大局部元素，且相邻两行列元素差1的级行列式可以如下计算：自第1行列开始，前行列减去后行列；或自第行列开始，后行列减去前行列，即可出现大量元素为1或-1的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素。 对于相邻两行列元素相差倍数的行列式，采用前行列减去后行列的倍，或后行列减去前行列得倍的步骤，即可使行列式中出现大量的零元素。例16 计算元素满足的级行列式。解 根据题意写出级行列式这是相邻两行列元素差1的行列式，用前一行减去后一行的方法，得再把第一列加到其它各列得