椭圆知识点及相关习题.docx

椭圆知识点知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P到两个定点K、尸2的距离之和等于常数(IPE+P6|=2>内尸2|)，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：假设+p用=f1f2),那么动点尸的轨迹为线段再B；假设(|尸月+pf2<fif2),那么动点尸的轨迹无图形.22知识点二：椭圆的标准方程1.当焦点在X轴上时，椭圆的标准方程：W+4=l(>b>O),ab其中，二/一/v2尤22 .当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：+-=l(a>Z>O),其中c?=Y/；注意：ab1,只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2,在椭圆的两种标准方程中,都有(>b>0)和。2=云一从；3 .椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在X轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0),(-c,0);当焦点在)，轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,c),(0,-。)知识点三：椭圆的简单几何性质2y2椭圆：r+2=l(>b>0)的简单几何性侦Crb2(1)对称性，对于槽圆标准方程+=1(。>方>0)：说明：y“"l把X换成-X、或把y换成一尸、或把工、y同时换成一X、y、原方程都不变，所以椭圆W+4=l是以R轴、y轴为对称轴i4lfA0IcAz442×B的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。(2)范围：椭圆上所有的点都位于直线=±。和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足kd,Iy区。(3)顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。22椭圆=+二=l(>b>O)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A(-0,O),abA2(«,0),B1(0-/?),与(°，份线段AA2,用当分别叫做椭圆的长轴和短轴，IA1A21=2«,IB1B2=2bo和人分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。(4)离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作e=g=£。laa因为(4>c>0),所以e的取值范围是(0<evl)。e越接近1,那么。就越接近。，从而I=Ja2-c2越小,因此椭圆越扁；反之，e越接近于0,C就越接近0,从而b越接近于，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当=b时，c=0,这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为/+y2=q注意：椭圆+/=1的图像中线段的几何特征(如下列图)：(IPK+PF2|二2)；4=H三¢5(|尸M"+PM"=4);IPMlpm2I1121C(忸耳=bf2=a);(IOE=of2I=C);IA1BI=IA2BI=Ja*+/；(3) 1F1 = A2F I = tz-c； AiF2 I = A2 =q + c; a-cPF a + c性质焦点F1(-c,0),F2(ct0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距I即=2cIGK=2c范围|XIWmlyKbxb,ya对称性关于X轴、y轴和原点对称顶点(±a,0),(0,±)(0,±),(0)轴长长轴长=2。，短轴长=2）离心率e=-O<e<l)a准线方程x=±CC焦半径PFl=a+exQ,PF2=a-ex0P=+ey0,PF2=a-eyQ注意：椭圆5+2r=l,2+=l（q>力>0）的相同点：形状、大小都相同；参数间的关系都有a-b-Crb-（。>力>0）和e=E（Ocecl）,a2=b2+c2i不同点：两种椭圆的位置不同；它们的焦点坐标也不a相同。规律方法：1 .如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件凡。；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2 .椭圆标准方程中的三个量4力,C的几何意义椭圆标准方程中，Ac三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：（4>b>0）,（>c>0）,且面=从+62）。可借助右图理解记忆：显然：c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、C为两条直角边。3 .如何由椭圆标准方程判断焦点位置/S（椭圆的焦点总在长轴上，因此标准方程，判断焦点位置的方法是：一（看Aj,y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4 .方程A+8),2=C(A8,C均不为零)是表示椭圆的条件方程A+B),2=C可化为4工+丝二=1,即+竺=1,所以只有A、B、C同号，且AWBCCCC7BCCCC时，方程表示椭圆。当一时，椭圆的焦点在X轴上；当上时，椭圆的焦点在y轴上。ABAB5 .求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6 .判断曲线关于X轴、y轴、原点对称的依据：假设把曲线方程中的X换成-x,方程不变，那么曲线关于y轴对称；假设把曲线方程中的y换成-门方程不变，那么曲线关于X轴对称；假设把曲线方程中的x、y同时换成-1、-y,方程不变，那么曲线关于原点对称。椭圆练习题一、选择题：(本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中有只有一项为哪一项符合题目要求的.)1 .椭圆2/+3/=6的焦距是()A.2B.2(3-2)C.25D.2(3+2)2 .产I、尸2是定点，IQBl=6,动点M满足IMQl+MBI=6,那么点"的轨迹是()A.椭圆B.直线C.线段D.圆3 .假设椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0),且椭圆过点自一当，那么椭圆方程是()22a.21+i=ib.Z+i=1c.i+l=d.i+Z=184106481064 .方程/+伫/=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么k的取值范围是()A.(0,+)B.(0,2)C.(1,+8)D.(0,1)5 .过椭圆4+2y2=1的一个焦点E的直线与椭圆交于a、B两点,那么A、B与椭圆的另一焦点工构成MBF2,那么ABF2的周长是()A.22B.2C.2D.16 .椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12,那么椭圆方程为()3222222Xy1XyXya.+-=1或1=1B.F=114412812814464C.r2v2X2V21 1 或1 1363232 36D.2222X y ITX y .1 1 或1= 17 . k4,那么曲线二+ ± 二 1和+二一二1有 949-k 4-kA.相同的短轴 B.相同的焦点 C.y2 v28 .椭圆一+ ?一 = 1的焦点产 居，P为椭圆上的一点,259一相同的离心率 D.相同的长轴PFl ± PF2,那么 F1PF2的面积为(A. 9B. 12C. 10D. 89 .椭圆4/+9V=144内有一点P2)过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为A. 3x + 2y 12 = 0B. 2x + 3y 12 = 0C.4x+9y-144=0D.9x+4y-144=010 .椭圆二+£=1上的点到直线x+2y-&=0的最大距离是()164A.3B.HC.22D.10二、填空题：(本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上.)X2V2111 .椭圆1=1的离心率为一，那么ZW=.4tn2212 .设P是椭圆后+V=上的一点，耳，鸟是椭圆的两个焦点，那么IMIIPgl的最大值为；最小值为.13 .直线y=x:被椭圆/+4),2=4截得的弦长为.14 .圆。：(3+1)2+、2=25及点41,0),。为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M,那么点M的轨迹方程为.三、解答题：1本大题共6小题，共74分，解容许写出文字说明.证明过程或演算步骤.)15 .三角形ABC的两顶点为(-2,0),(2,0),它的周长为10,求顶点A轨迹方程16 .椭圆的一个顶点为A(2,0),其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程.17 .点尸到定点尸(2,0)的距离和它到定直线48的距离的比为1：2,求点P的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形.18 .中心在原点，一焦点为尸I(0,52)的椭圆被直线)，=3工一2截得的弦的中点横坐标是g,求此椭圆的方程.19 .椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上，直线产+l与椭圆交于P和Q,且O尸J_。,IPQl=粤，求椭圆方程.20 .椭圆t+E=(匕0)与直线x+y=l交于尸、。两点，且OP_LOQ,其中。为坐标原a1b2点.(1)求士+上的值；ab(2)假设椭圆的离心率e满足且WeWy2,求椭圆长轴的取值范围.32椭圆练习题参考答案题号12345678910答案ACDDACBBBD11、3或"12、4,113、马网14、七352521X2V215、一+=1(x±3)9516、解:(1)当A(2,0)为长轴端点时,a=2ibf椭圆的标准方程为：41；(2)当4(20)为短轴端点时，=2,a4,X211椭圆的标准方程为：416；17.解：设P(x,y),根据题意，IPFZ(X-TV,d=x-8,因为1,所以'=1.化简，得32+4y2=48,整理，得器+1=1,所以，点P的轨迹是椭圆。2218.解：解法一：根据题意，设椭圆的方程为$+盘二1,设交点坐标分别为A(xv),B(x2,y2)将椭圆方程与直线y=3x2联立，消去y,得：口*+福口，化简，整理，得：(10a2-450)x2+(600-l2a2)x+(-a4+54a2-200)=0,所以，Xi,X2为这个方程的两根，因为相交线段中点横坐标为9,所以x+x2=-黑需=】解得，a2=75.ZOlAJ-1LA于是，因为c=55,所以，b2=25,所以椭圆的方程为条+£=1.解法二：设椭圆：4+4=(a>b>O),那么a2b2=50a2h2又设A(X1，y),B(X2，y2)，弦AB中点(xo，yo)*/Xo=-,.*.yo=-2=-222解，得:a2=75,b2=25,椭圆为：。普19.ft设椭圆方程为"lv2+")2=i(m>0,>0),P(Xj),Q(2j2)由,)22得O+“*+2nx+-1=0,mx+ny=14=4/4(?+)(一l)>0,即机+一w>0,由OP_LOQ,所以XIX2+yM=O,即2xx2+(x+x2)+1=0,.2(-1)-2+1=0m+n=2又24(4+"-")=(巫)-将?+=2,代入得nvn=-rn+nm-nm+n24由、式得a='/=3或m=3,=故椭圆方程为L+3y2=l<-X2+y2=l.22222222'20、(1)设尸(内，必),尸(巧，为)，由OP-LOQ<>xx2+yy2=O:必=1-芭，%=1-“2，代入上式得：232-(项+x2)+l=0又将y=l-代入22C2+1=1=>(a2+b2)x2-2a2x+a2(-b2)=0,.>O,/.x1+x2=、a2h2a2+b2XX=空匕2代入化简得±+±=2,ab2片(2).=q=一4.j>4_L=l4z,又由(1)知从=Wa2a23a222a23Ia2J-2=33=立逅，.长轴25,6J.22/734222