椭圆各类题型分类汇总.docx

椭圆经典例题分类汇总1 .椭圆第一定义的应用例1椭圆的一个顶点为A(2Q),其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程.X2V21例2椭圆鼻+与=1的离心率6二；,求A的值.k+8922 2例3方程三十二=T表示椭圆，求A的取值范围.k-53-k例42sin0-)，2cos0=l(0%)表示焦点在y轴上的椭圆，求1的取值范围.例5动圆尸过定点A(-3,0),且在定圆以(x-3)2+y2=64的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程.2,焦半径及焦三角的应用2 ,2例1椭圆上十三=1,6、K为两焦点，问能否在椭圆上找一点M,使M到左43一准线/的距离|仞川是用与IME的等比中项？假设存在，那么求出点”的坐标；假设不存在，请说明理由.例2椭圆方程二十1=1Q>Z,>O),长轴端点为ab点为人，F2,尸是椭圆上一点，ZAiPA2=O9F,PF2=a.求：的面积(用。、b、a蓑示).3 .第二定义应用例1椭圆会+*=1的右焦点为尸，过点A(l,6)，点M在椭圆上，当IAM+2/月为最小值时，求点M的坐标.例2椭圆£+4=1上一点P到右焦点K的距离为b(b>)t求P到左准线的距离.4b-h'例3椭圆9+：=1内有一点A(l,l),R、鸟分别是椭圆的左、右焦点，点尸是椭圆上一点.(1)求归4+归制的最大值、最小值及对应的点P坐标；(2)求|曰+；归闾的最小值及对应的点P的坐标.4 .参数方程应用例1求椭圆3+y2=上的点到直线了一y+6=O的距离的最小值.例2写出椭圆卷+?=1的参数方程；求椭圆内接矩形的最大面积.XV例3椭圆*+与=1(。>h>0)与X轴正向交于点A,假设这个椭圆上总存在点。，使OP_LAP(Oab为坐标原点)，求其离心率C的取值范围.5 .相交情况下-弦长公式的应用例1椭圆4/+2=及直线)=1+优.11(1)当川为何值时，直线与椭圆有公共点？(2)假设直线被椭圆截得的弦长为考亘，求直线的方程.q>例2长轴为12,短轴长为6,焦点在X轴上的椭圆，过它对的左焦点片作倾斜解为土的3直线交椭圆于A,8两点，求弦A3的长.6 .相交情况下一点差法的应用例1中心在原点，焦点在X轴上的椭圆与直线x+y-l=0交于A、8两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.例2椭圆三+V=1,求过点P(g,gI且被P平分的弦所在的直线方程.例3椭圆上+V=1,(1)求过点且被尸平分的弦所在直线的方程；(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(3)过4(2,1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；(4)椭圆上有两点尸、Q9。为原点，且有直线OP、。斜率满足火8&oq=-J,求线段PQ中点M的轨迹方程.例4椭圆=试确定?的取值范围，使得对于直线/：y=4x+m,椭圆C上有不同的两43点关于该直线对称.例5P(4,2)是直线/被椭圆£+?=1所截得的线段的中点，求直线I的方程.椭圆经典例题分类汇总1.椭圆第一定义的应用例1椭圆的一个顶点为A(2Q),其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程.分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置.解：(1)当A(2,)为长轴端点时，=2,b=l,2V2椭圆的标准方程为：一+21=1；41(2)当A(2,0)为短轴端点时，b=2,a=4,椭圆的标准方程为：+-=1；416说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.2y2例2椭圆+与=1的离心率“二：,求A的值.女+892分析：分两种情况进行讨论.解：当椭圆的焦点在工轴上时，=k+8,从=9,得H=%-1.由e=L,得Z=42当椭圆的焦点在y轴上时，/=9,从=%+8,得=i-z.满足条件的2=4或%=二.4说明：此题易出现漏解.排除错误的方法是：因为氏+8与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在工轴上，也可能在y轴上.故必须进行讨论.22例5方程工+二=-1表示椭圆，求A的取值范围.k-53-kTr-5<O,解：由(3-Z<0,得3vZ<5,且女04.k-53-k,，满足条件的人的取值范围是3vA<5,且女04.说明：此题易出现如下错解：由，得3<女<5,故Z的取值范围是3<As<5.3女<0,出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中。>力>0这个条件，当4=力时，并不表示椭圆.例6JSina-)，cosa=l(0)表示焦点在V轴上的椭圆，求的取值范围.分析：依据条件确定a的三角函数的大小关系.再根据三角函数的单调性，求出a的取值范围.解：方程可化为二一+T-=1.因为焦点在y轴上，所以一>>0.1COSasinaSinaCOSa因此Sina>0且tan<-l从而(424说明：(1)由椭圆的标准方程知一!一 >o, Sina(2)由焦点在y轴上，知/=,I cosa>0,这是容易无视的地方. CoSa按=.(3)求。的取值范围时，应注意题目中的条件 Sina0<a<例5动圆尸过定点A(-3,0),且在定圆Zh(x-3)2+y2=64的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程.分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式.解：如下图，设动圆尸和定圆B内切于点M.动点尸到两定点,即定点A(-3,)和定圆圆心3(3,0)距离之和恰好等于定圆半径，即归4+归耳=IPM+归耳=忸M=8.点P的轨迹是以a，半长轴为4,半短轴长为b=序手=7的椭圆的方程：+=1.167说明：此题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.2.焦半径及焦三角的应用22例1椭圆?+=1,耳、尸2为两焦点，问能否在椭圆上找一点M,使M到左准线/的距离WN是制与阿国的等比中项？假设存在，那么求出点M的坐标；假设不存在，请说明理由.解：假设M存在，设M(Xyyl)f由条件得=2,b=V3,.*.c=1,e=-.2左准线/的方程是X=T,.,.=4+x1.又由焦半径公式知：*J=a-ex=2x1,M=+ex1=2÷-X1.M2=<mf2,(x1+4)2=f2-l1Y2+l1j.整理得5x；+32%+48=0.解之得x=-4或%=.另一方面一22那么与矛盾，所以满足条件的点M不存在.22例2椭圆方程+=l(>b>0),长轴端点为A，A2,焦点为耳，F2,P是椭圆上一点，ZA1PA2=O9FxPF2=a.求：尸F2的面积(用。、人、。表示)分析：求面积要结合余弦定理及定义求角0的两邻边，从而利用&=gbsinC求面积.解：如图，设尸(x,y),由椭圆的对称性，不妨设P(X,y),由椭圆的对称性，不妨设尸在第一象限.由余弦定理知：比闾2=|尸周2+|尸闾2一2归国忖闾COSa=4c2.故 S"M=5P 用P 耶 ina2 1+COSQf» 2 uSina=Zrtan . 2由椭圆定义知：I尸制+p闾=幼，那么2一得IPMHpF2=-2"，.3.第二定义应用例1椭圆会+5=1的右焦点为尸，过点a(1,J),点M在椭圆上，当IAM+2/月为最小值时，求点M的坐标.分析：此题的关键是求出离心率e=；,把斗M月转化为M到右准线的距离，从而得最小值.一般地，求IAM+1M月均可用此法.I解：由：a=4,c=2.所以e=g,右准线/：x=8.(一过4作AQJ,垂足为。，交椭圆于M,故s,>dFIMq=NM月.显然MM+2IjWI的最小值为HQ，即MIZ为所求点,因此)=有，且M在椭圆上.故Xm=?6所以M(2J5,V5).说明：此题关键在于未知式AM+2M月中的“2”的处理.事实上，如图，e=,即W月是M到右准线的距离的一半，即图中的MQ,问题转化为求椭圆上一点M,使M到A的距离与到右准线距离之和取最小值.例2椭圆J+二=1上一点P到右焦点F,的距离为b(b>),求P到左准线的距离.4b-h分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.22解法一：由一7+=1，得。=力，c=6b,e-.4Z?2b22由椭圆定义，|尸耳|+IP闾=2=4,得PF=4b-PF=4b-b=3b.由椭圆第二定义，苧=e，4为尸到左准线的距离，.4=胆=23fe,即P到左准线的距离为2回.解法二：因=e,4为P到右准线的距离，e=-=,d2a2d2=-=-b.又椭圆两准线的距离为2=迪从e3c3尸到左准线的距离为国5人一独=2趣.33说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性.否那么就会产生误解.椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如.一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，那么用椭圆的第二定义.例3椭圆三十4=1内有一点4(1/)，R、F,分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点.95(1)求归4+归用的最大值、最小值及对应的点P坐标；a(2)求|曰+；归闾的最小值及对应的点P的坐标.分析：此题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法.二是数形结合，即几何方法.此题假设按先建立目标函数，再求最值，那么不易解决；假设抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解.解：(1)如上图，2a=6,F2(2,0)tA¾=2,设P是椭圆上任一点，由IP制+P周=2=6,PPF2-AF2,R4+P耳P.+P闾-IA闾=2z-A闾=6-0，等号仅当P4=P闾TA引时成立，此时P、A、尸2共线由IP4P闾+A闾,P+P6PK+P+A闾=2+A闾=6+五,等号仅当IPdTP闾+A闾时成立,此时p、A、尸2共线建立a、F2的直线方程+y-2=o,解方程组，x÷ y-2 = 0,/ ,得两交点5x2+9=45年41vM+V扬'呜+*M综上所述，P点与6重合时，IPd+俨匐取最小值6-正，P点与巴重合时，P4+P可取最2椭圆第二定义知蹩= e闷(2)如下列图,设P是椭圆上任一点,作PQ垂直椭圆右准线，。为垂足，由。=3,。=2,.6=§.由733PQ=或P闾，24+Jp闾=pf+PQ,要使其和最小需有9A、P、。共线，即求力到右准线距离.右准线方程为X=.7JA到右准线距离为一.此时P点纵坐标与A点纵坐标相同为1,代入椭圆得满足条件的点P坐2说明：求|尸4+曰尸用的最小值，就是用第二定义转化后，过4向相应准线作垂线段.巧用焦点半径归闾与点准距IPq互化是解决有关问题的重要手段.4.参数方程应用例1求椭圆+y2=l上的点到直线x-y+6=0的距离的最小值.分析,先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值.解：椭圆的参数方程为'二百CoSe，设椭圆上的点的坐标为/cosasine),那么点到直线的距y=sin6.离为V3cos-sin6 + 6"二1122sin y-J + 6当SinlH- 6 I = -1时,4我小值= 22 .说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程.X2V2例2写出椭圆丁+Y=I的参数方程；Q）求椭圆内接矩形的最大面积.分析：此题考查椭圆的参数方程及其应用.为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题.%=3CoSeCC(0R).y=2sin9设椭圆内接矩形面积为S,由对称性知，矩形的邻边分别平行于X轴和）轴，设（3CoS。，2sin）TF为矩形在第一象限的顶点，（0<<-）,那么S=43cos6x2sin夕=12SinM12故椭圆内接矩形的最大面积为12.说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便.X2V2例3椭圆=+4=1（>人>0）与1轴正向交于点A,假设这个椭圆上总存在点P,使OP，4P（。ab为坐标原点），求其离心率。的取值范围.分析：。、A为定点，尸为动点，可以P点坐标作为参数，把O尸_LAP,转化为P点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于b,。的一个不等式，转化为关于e的不等式.为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程.解：设椭圆的参数方程是4x=acos,(a>b>0)fy=bsin那么椭圆上的点P(acos0,bsin0),A(a,0),： OPA.AP,.方sin。8sin。acQsacQs-a即(a2-b2)cos2-a2cos+/?2=0,解得COSe=I或CoSe=Fa-bV-l<cos<9<lcos6>=l(舍去)，-1<F,又吩a-ba222*0<<2,>,又OVeV1,*<e<1.C222说明：假设椭圆离心率范围(J,1),求证在椭圆上总存在点P使OPJ_A?.如何证明？25.相交情况下.弦长公式的应用例1椭圆4/+y2=1及直线y=+m,(1)当?为何值时，直线与椭圆有公共点？(2)假设直线被椭圆截得的弦长为弓R,求直线的方程.解：(1)把直线方程y=x+m代入椭圆方程4+y2=得4x2+(x+w)2=1,即5/+2mx+加2-I=O.=(2m)2-4×5×(w2-l)=-16w2+200,解得一Vm-.(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为王，x2,由(1)得斗+x2=-学，XX2=1.根据弦长公式得：汨1J(一年)一,乂咚。=2普.解得m=0.方程为y=.说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题，般考虑判别式:解决弦长问题，一般应用弦长公式.用弦长公式，假设能合理运用韦达定理(即根与系数的关系)，可大大简化运算过程.例2长轴为12,短轴长为6,焦点在X轴上的椭圆,过它对的左焦点作倾斜解为I的直线交椭圆于A,B两点,求弦AB的长.分析：可以利用弦长公式IABI=Jl+灯"一司="(1+左2)(4+)24项求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求.解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.B=÷Fxi-x2=(1+2)(xi+2)2-4xix2.因为=6,b=3,所以c=3jL因为焦点在X轴上，所以椭圆方程为二+回=1,左焦点尸(-36，0),从而直线方程为y=J1x+9.369由直线方程与椭圆方程联立得：132+72Ir+368=0.设再，石为方程两根，所以72 3BL 一f36×8k = y3IABl=J1+|项-石|=-J(l+2)(xi+x2)2-4xix2=-jy(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解.由题意可知椭圆方程为竟+与=1,设IA用=机，忸耳|=，那么IA周=12-加，忸闾=12-.在AFyF2中，IA图2=MkF+M闻2-2,4眄用CoSq,即（12机）2=tn2+36326V5g;所以加=产.同理在ABG6中，用余弦定理得=产，所以|4同=团+=竺.（法3）利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程132+72j!r+368=0求出方程的两根再，与，它们分别是从，8的横坐标.再根据焦半径|4制=+e,忸制=+%，从而求出耳=|4制+怛制6.相交情况下一点差法的应用例1中心在原点，焦点在.X轴上的椭圆与直线x+y1=0交于A、8两点，例为AB中点，OM的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.2解：由题意，设椭圆方程为£+/=,x+y-l=O由,得（l+）22-2q2=o, +/=1a- 二+/=1为所求.4说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.例2椭圆5+y2=,求过点I且被P平分的弦所在的直线方程.分析一：一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为,利用条件求女.解法一：设所求直线的斜率为左,那么直线方程为丁-!=44-21.代入椭圆方程，并整理得(1+2廿卜2一(2左2一2%卜+3左2一左+=02k2-2k由韦达定理得西+/=；+2涓 是弦中点，玉+/=L故得Z=-g.所以所求直线方程为2x+4y-3=0.分析二：设弦两端坐标为(M,y)、(x2,y2)f列关于再、/、力、%的方程组，从而求斜率：XT2.解法二：设过的直线与椭圆交于A(M,y)、(x2,j2),那么由题意得一得£_+货一货=0.将、代入得上经=一!，即直线的斜率为一x1-x222所求直线方程为2x+4)，3=0.说明：(1)有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹.(2)解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率.(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.例3椭圆上+V=,(1)求过点pgj且被尸平分的弦所在直线的方程；(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；(3)过A(2,l)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；(4)椭圆上有两点P、Q9。为原点，且有直线OP、。斜率满足&ok&oq=-J,求线段PQ中点M的轨迹方程.分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法.解：设弦两端点分别为M(芭，必)，N(X2,%)，线段"N的中点R(My),那么M+2y：=2, *+2如2, ' +x2 = 2f J + 为=2y,一得(X+X2Xx1-X2)+2。+%Xm-)二°由题意知不。电，那么上式两端同除以玉一电，有（）卷=。，将代入得x+2y丛二“=0.为一（1）将X=，）代入，得上五二一!，故所求直线方程为：2x+4y-3=0.22xl-x22将代入椭圆方程/+2y2=2得6）2-6y-L=0,A=36-4x6J>0符合题意，2x+4y-3=044为所求.（2）将上二"=2代入得所求轨迹方程为：x+4y=0.（椭圆内局部）为一将受二义=£二代入得所求轨迹方程为：x2+2-2x-2y=0.（椭圆内局部）xl-x2x-2（4）由+得：芋+（y：+y；）=2,，将平方并整理得12+%2=4x2-2xlx2,+=4）'22丁1丁2，将代入得：江宁至+（4），2-2），）=2,再将必必=-gxx2代入式得：22一+4y2-2（；玉%）=2,即x2+=l.2此即为所求轨迹方程.当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决.例4椭圆C+=1,试确定?的取值范围，使得对于直线/：y=4x+m,椭圆C上有不同的两43点关于该直线对称.分析：假设设椭圆上A,8两点关于直线/对称，那么条件等价于：（1）直线A8J_/；（2）弦A5的中点M在/上.利用上述条件建立7的不等式即可求得7的取值范围.解：(法1)设椭圆上A(M,y),5(/,%)两点关于直线/对称，直线AB与/交于M(XO,%)点.Y/的斜率&=4,设直线AB的方程为y = -x+n. 4由方程组<1y =x + n4消去y得13x2-8nx+16772-48=0<>/.xl+X2=.于是Xo=M+=M,y=-x=,21321340134/?124m13即点M的坐标为(石,).:点、M在直线y=4x+加上，=4x后+机.解得二一j"z.她短 213213解得<m<.1313将式代入式得13x2+26mx+169m2-48=0®VA,B是椭圆上的两点，JA=(26m)2-4xl3(169-48)>o(法2)同解法1得出=m,.*.=(rn)=m,40134113113.y0=-x0-/n=-×(-m)-m=-3m,即M点坐标为(一机，-3ni).VA,B为椭圆上的两点，M点在椭圆的内部，£*+£身亡<1.解得一名叵<小<2叵.431313(法3)设Aal,y),3(电，上)是椭圆上关于/对称的两点，直线AB与/的交点M的坐标为(%,%). A ,8在椭圆上22工+以=143两式相减得3(芭+x2)(x1-X2)+4(y1+y2)(1-y2)=0,即32%(X12)+42%(月一%)=。.；=-"(x2)-芭一4%又直线A8_L/,KsM=-L一%4=-l,即=3%。4.Vo又M点在直线/上，,0=4/+机。由，得/点的坐标为(一根，一3根).以下同解法2.说明：涉及椭圆上两点A,B关于直线/恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：(1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式A>0,建立参数方程.22(2)利用弦AB的中点M(XO,光)在椭圆内部，满足将与，方利用参数表示，建立参数ab不等式.例5尸(4,2)是直线/被椭圆弓+=1所截得的线段的中点，求直线/的方程.369分析：此题考查直线与椭圆的位置关系问题.通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或X),得到关于x(或y)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出玉+%2，为工2(或+%，凹力)的值代入计算即得.并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的.解：方法一：设所求直线方程为y-2=Z(x-4).代入椭圆方程，整理得(4/+l)2-8R(4Z-2)x+4(42-2)2-36=O设直线与椭圆的交点为A(X,y),B(x2,y2),那么王、马是的两根，,再+/=8拿：)尸(4,2)为AB中点，,4=后三=写与，=-；.所求直线方程为x+2y-8=0.方法二：设直线与椭圆交点A(X1,y),B(x2,y2).丁尸(4,2)为AB中点，+/=8,y1+y2=4.又A,8在椭圆上，石2+4%2=36,2+4%2=36两式相减得(2一七2)+4(y2一乂2)=0,即(x1+x2Xxi-x2)÷4(y1+y2Xy1-yo)=0.、区=.；直线方程为%-占4(J+y2)2x+2y-8=0.方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(X,y),另一个交点3(8-x,4-y).A、B在椭圆上，一+4/二而。(8-幻2+4(4-y)2=36从而A,8在方程一的图形x+2y-8=0上，而过A、8的直线只有一条，二直线方程为x+2y-8=0.说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法.假设焦点是(3百，0)、(-36，0)的椭圆截直线为+2-8=0所得弦中点的横坐标是4,那么如何求椭圆方程？