概率统计简明教程(同济大学第四版)课后答案.docx

习题一1 .用集合的形式写出以下随机试验的样本空间与随机事件A：(1)抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件A=两次出现的面相同；(2)记录某总机一分钟内接到的呼叫次数，事件A=一分钟内呼叫次数不超过3次;(3)从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件A=寿命在2000到2500小时之间。解(1)=(+,+)»(+,),(»+),(,)»A=(+,+),(一,一).(2)记X为一分钟内接到的呼叫次数，那么C=Xkk=0,1,2,A=(Xkk=0,1,2,3)-(3)记X为抽到的灯泡的寿命(单位：小时)，那么=X(0,+oo),A=X(20,2500).2 .袋中有10个球，分别编有号码1至10,从中任取1球，设A=取得球的号码是偶数,8=取得球的号码是奇数),C=取得球的号码小于5,问以下运算表示什么事件:(I)AU8;(2)AB；(3)AC；(4)AC；(5)AC；(6)8UC;(J)A-C.3 (1)AUB=C是必然事件；(2) AB="是不可能事件；(3) AC=取得球的号码是2,4)；(4)而=取得球的号码是1,3,5,6,7,8,9,10；(5)不己=取得球的号码为奇数，且不小于5=取得球的号码为5,7,9)；(6)后五=Xn己=取得球的号码是不小于5的偶数=取得球的号码为6,8,10)；(7)4-。=4=取得球的号码是不小于5的偶数)二取得球的号码为6,8,103.在区间0,2上任取一数，记Ahx<xl.,=<>,求以下事件的表达式：(I)AU8；(2)AB；(3)AB；(4)B.解(1)AB=jJx><x42(2)AB=JJx-Wcl<x2>B=<x-x<-UXl242(3)因为AU区，所以Ab=0；(4) AUB=AU<xx<:或<x2=jJX<<<%24.用事件AB,C的运算关系式表示以下事件:(1) A出现，8,C都不出现(记为EJ(2) AB都出现，C不出现(记为当)；(3)所有三个事件都出现(记为仁)；(4)三个事件中至少有一个出现(记为当)；(5)三个事件都不出现(记为线)；(6)不多于一个事件出现(记为七6)；(7)不多于两个事件出现(记为当)；(8)三个事件中至少有两个出现(记为4)。解(I)El=A方不；(2)E2=ABC；(3) E3=ABC(4)E4=ABC;(5) E5=ABC；(6)E6=ABCUABCUABCUABC；(7)E1=bc=AUBUc；(8)e8=Abuacubc.5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设4表示事件“第i次抽到废品"，i=l,2,3,试用A表示以下事件：(1)第一次、第二次中至少有一次抽到废品；(2)只有第一次抽到废品；(3)三次都抽到废品；(4)至少有一次抽到合格品；(2)只有两次抽到废品。解(I)AUA2；(2)A144；(3)A1A2A3;(4)AU耳UA;(5)AA24ua耳A3UA4A36.接连进行三次射击，设4=第i次射击命中,i=l,2,3,8=三次射击恰好命中二次,C=三次射击至少命中二次；试用A表示8和C。解B=Aaxua4AbUAaa习题二1 .从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。解这是不放回抽取，样本点总数=记求概率的事件为4,那么有利于A的样本点数k=(;).于是2 .一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求(1)第一次、第二次都取到红球的概率；(2)第一次取到红球，第二次取到白球的概率；(3)二次取得的球为红、白各一的概率；(4)第二次取到红球的概率。解此题是有放回抽取模式，样本点总数=72.记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为4,B,C,D.(i)有利于A的样本点数七二52,故P（八）=H=(ii)有利于8的样本点数3=5x2,故P(B)=缘=也72497(iii)有利于C的样本点数七=2x5x2,故P(C)=京(N)有利于。的样本点数3=7x5,故P(O)=岑=2=2.724973 .一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6,随机地从这个口袋中取2只球，试求：(1)最小号码是3的概率；(2)最大号码是3的概率。解此题是无放回模式，样本点总数=6x5.6×5 5(i)最小号码为3,只能从编号为3,4,5,6这四个球中取2只，且有一次抽到3,因而有利样本点数为2x3,所求概率为亨=L(ii)最大号码为3,只能从1,2,3号球中取，且有一次取到3,于是有利样本点数为7×?76×5 152x2,所求概率为4 .一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，每次取1只，试求以下事件的概率：(1)2只都合格；(2)1只合格，1只不合格；(3)至少有1只合格。解分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为A3,C,那么注意到C=AU8,且4与5互斥，因而由概率的可加性知5 .掷两颗骰子，求以下事件的概率：(1)点数之和为7；(2)点数之和不超过5；(3)点数之和为偶数。解分别记题(1)、(2)、(3)的事件为AB,C,样本点总数=62(i)A含样本点(2,5),(5,2),(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)(ii)3含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)(iii)C含样本点(1,1),(1,3),(3),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3),(3,5),(5,3)；(4,4),(4,6),(6,4)；(5,5);(6,6),一共18个样本点。6 .把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。解记求概率的事件为A,样本点总数为53,而有利A的样本点数为5x4x3,所以7 .总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求以下事件的概率:(1)事件A：“其中恰有一位精通英语”；(2)事件B：“其中恰有二位精通英语”；(3)事件C：”其中有人精通英语”。解样本点总数为(1) P(A) =2×3×3! 6 35×4×3 10 5(2) P(B) =3×3!35×4×3 10(3)因C=AU8，且A与8互斥，因而339P(C)=P（八）+P(B)=-+=.510108 .设一质点一定落在0y平面内由X轴、y轴及直线x+y=1所围成的三角形内，而落在这三角形内各点处的可能性相等，计算这质内落¾渣嫉X=1/3的左边的概率解记求概率的事件为A,那么SA为图中阴影局部，而|。|=1/2,最后由几何概型的概率计算公式可得P（八）=W="31/299.(见前面问答题2.3)10.AU8,P（八）=0.4,P(B)=0.6,求(I)P（八）,P(B)5(2)P(AUB)；(3)P(AB);(4)P(BAP(AB)；(5)P(AB).解(1)P（八）=1-P（八）=1-0.4=0.6，P(B)=1-P(B)=1-0.6=0.4；P(AUB)=P（八）+P(B)-P(AB)=P（八）+P(B)-P（八）=P(B)=0.6；(3)P(XB)=P（八）=0.4；(4)P(BA)=P(A-B)=P()=0,P(AB)=P(AUB)=1一尸(AUB)=1-0.6=0.4;(5) P(AB)=P(B-A)=0.6-0.4=0.2.11 .设A3是两个事件，P（八）=O.5,P(B)=O.7,尸(AUB)=O.8,试求尸(A-B)及P(B-A).解注意到P(UB)=P（八）+P(B)-P(AB),因而P(Aa=P（八）+P(B)-P(AUB)=0.5+0.7-0.8=0.4于是，P(A-B)=P(A-AB)=P（八）-P(AB)=0.5-0.4=0.1；P(B-A)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=0.7-0.4=0.3.习题三条件概率12 随机事件A的概率P（八）=O.5,随机事件3的概率P(B)=O.6,P(BlA)=O.8,试求P(AB)及P(彳豆).解P(AB)=P（八）P(BIA)=0.5X0.8=0.413 一批零件共100个，次品率为10%,从中不放回取三次(每次取一个)，求第三次才取得正品的概率。10×9×9081100×99×9899×98 10783.(1) 解他已投入基金, 他已购置股票, 记4 = 基金,再购置股票的概率是多少？再投入基金的概率是多少？B = 股票,那么 P(A) = 0.58, P(B) = 0.28, P(AB) = 0.19(1)P(BlA) =迪回= 0.327.P(AlB) =P(A) 0.58P(AB) 0.19P(B) 0.28= 0.678 .4.解 P(AiB) =P(AB) 0.151P(B) 0.32= P(A)给定P（八）=O.5,P(B)=0.3,P(4B)=0.15,验证下面四个等式：P(AlB)=P（八）,P(AIB)=P（八）,P(BA)=P(B),P(BA)=P(B).14 有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,假设坐火车，迟到的概率是0.25,假设坐船，迟到的概率是0.3,假设坐汽车，迟到的概率是0.1,假设坐飞机那么不会迟到。求他最后可能迟到的概率。解8=迟到,A=坐火车,A?=坐船,A3=坐汽车,A4=乘飞机,那么B=jBAif且按题意/=1P(BIA1)=0.25,P(BIA2)=OJ,P(B3)=0.1,P(BA4)=0.由全概率公式有：6.甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求以下事件的概率：(1)随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球；(2)合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。解(1)记3=该球是红球,A=取自甲袋,A2=取自乙袋,P(BIA)=6/10,P(BIA2)=8/14,所以147P(F=丘7 .某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求该厂产品的次品率。解0.25×0.05×-+0.35×0.04+0.4×0.028 .和“-“，由于通信受到干扰，当发出”和，同样，当发出信号“和求(1)收到信号”的概率；(2)当收到“时，发出“”的概率。解记B=收到信号",A=发出信号""(1)P(B)=P（八）P(BIA)÷P（八）P(BA)=丝.P(B)0.52139.设某工厂有AB,C三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%,35%,40%,各个车间成品中次品的百分比分别为5%,4%,2%,如从该厂产品中抽取一件，得到的是次品，求它依次是车间A,8,C生产的概率。解为方便计，记事件A8,C为ARC车间生产的产品，事件。=次品,因此10设4与5独立，且P（八）=P,P(B)=%求以下事件的概率：P(AUB),P(AjB)fP(AJB).解尸(AUB)=P（八）+P(B)P（八）P(B)=p+q-pq11 .A,8独立，_&P(AB)=1/9,P(AB)=P(AB),求P（八）,P(B).解因P(A豆)=P(XB),由独立性有从而P（八）-P（八）P(8)=P(三)-P（八）尸(B)导致P（八）=P(B)再由P(Afi)=1/9,有1/9=P（八）P(B)=(1-P（八）)(1-P(B)=(1-P（八）)2所以I-P（八）=1/3o最后得到P(B)=P（八）=2/3.12 .甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3,1/2,2/3,求目标被命中的概率。解记8=命中目标,A=甲命中,A2=乙命中,A3=丙命中,那么3=JA,因而/=I13 .设六个相同的元件，如以下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为P，求这个装置通达的概率。假定各个元件通达与否是相互独立的。解记4=通达,E>4=元件：通达,1=123,4,5,61111Kl->那么A=AA2(JA3A4JA5Ahf所以14 .假设一部机器在一天内发生故障的概率对研机器瘤前障时全天停止工作，假设一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。解P=C(0.2)3(0.8)2=0.0512.15 .灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2,求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。解=2(0.2)3+Q×o.8×(O.2)2=0.008+0.096=0.104.16 .设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，假设A至少出现一次的概率等于19/27,求事件A在每次试验中出现的概率P（八）.解记A,=A在第i次试验中出现,i=1,2,3.p=P（八）依假设=1-P(4不4)=1-(l-p)3所以，(J"吟，此即p=1/3.17 .加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%.假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。解注意至J,加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。记A,=第i道工序为次品,i=1,2,3.那么次品率18 .三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25,0.35,0.4.求此密码被译出的概率。解记A=译出密码,4=第i人译出,i=l,2,3.那么19 .将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？有4次至6次出现正面的概率是多少？20.某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻丁，各电梯正在运行的概率均为0.75,求：(1)在此时刻至少有1台电梯在运行的概率;(2)在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率;(3)在此时刻所有电梯都在运行的概率。解(1)1-(1-0.75)4=1-(0.25)4=Q(0W(0W=6×2×(lp75)YT=装习题四(1) 下给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。Pj=m=0,123,4,5；(2) i=0,123；6(3) Pj=；,i=2,3,4,5;(4) Pi=山,i=1,2,3,4,5°25解要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证Pj是否满足以下二个条件：其一条件为PJ0,Z=l,2,其二条件为ZPj=10依据上面的说明可得(1)中的数列为随机变量的分布律；(2)中的数列不是随机变量S-Q4的分布律，因为Pa=?=-j<0；(3)中的数列为随机变量的分布律；(4)中的数列不665911是随机变量的分布律，这是因为2,试确定常数c,使尸(X=i)=5,(i=0,l,2,3,4)成为某个随机变量X的分布律，并求:P(X2);解要使上成为某个随机变量的分布律，必须有££=1,由此解得c=3;2,2,31(2) P(X2)=P(X=0)+PX=1)+P(X=2)(3) pf-<X<-l=P(X=l)+P(X=2)=-f-+-l=-o122jv7v731U4；313. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有3,3,1,1,1,2这样的数字。从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数。解X可能取的值为-3,1,2,且p(x=-3)=Lp(X=1)=Lp(X=2)=L,即X的326分布律为XI312概率J!326X的分布函数z0x<-3F(x)=P(Xx)=-3x<l1x24. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1,2,3,4,5,从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号也，写出X的分布律和分布函数。解依题意X可育颠到的值为3,4,5,事件X=3表示随机取出的3个球的最大号码为3,那么另两个球的只能为1号，2号，即P(=3)=5=金；事件X=4表示随机取3出的3个球的最大号码为4,因此另外2个球可在1、2、3号球中任选，此时1×IxP(X=4)=谭亮；同理可得p(=5)=皆得。、3JGX的分布律为X345概率136101010X的分布函数为Ox<31x55.在相同条件下独引地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6,求击中目标的次数X的分布律。<解依题意X服从参数=5,=0.6的二项分布，因此，其分布律5、p(=k)=k060.45*%=0,1,5,具体计算后可得X012345概率3248144216162243312562562562562531256 .从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取时，各件产品被抽到的可能性相等。在以下三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律。(1)每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品；(2)每次取出的产品都不放回这批产品中；(3)每次取出一件产品后总是放回一件正品。解(1)设事件A,i=12表示第”次抽到的产品为正品，依题意，a,4,相互独立，且MAj=S,i=l,2,而即X服从参数P=W的几何分布。13(2)由于每次取出的产品不再放回，因此，X可能取到的值为1,2,3,4,X的分布律为X1234概率(3)X可能取到的值为1,所求X的分布律为X2,10551Ti261432863,4,1234概率10337261316921972197由于三种抽样方式不同，导致X的分布律也不一样，请仔细体会它们的不同处。7 .设随机变量XB(6,p),MX=I)=MX=5)，求与P(x=2)的值。解由于X夙6,p),因此P(X=6)=C卜(1-p)6-Z=0J,6°由此可算得P(X=I)=6(1-pF,P(X=5)=6/(1)，即6p(l-p)5=6p5(l-p),解得=此时，P(X=2)6x5 1Y- 15 “ 648 .掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X表示出现国徽的次数，求X的分布函数。解一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为J，因此X服从=4,P=L的二项分22布，即由此可得X的分布函数1Ti，7()=,16119(0,XVO0<x<llx<2<2x<31615,3<4161,x49.某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X服从参数2=4的泊松分布,问在月初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？解设至少要进件物品，由题意应满足./1-14*,即P(Xn-l)=一"4<0.99A=Ok查泊松分布表可求得=9。10 .有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001,在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。解设X为IOoO辆汽车中出事故的次数，依题意，X服从=100O,P=(MXX)I的二项分布，即X8(1000,0.0001),由于较大，P较小，因此也可以近似地认为X服从2=S=1000x0.0(X)l=0.1的泊松分布，即X尸(0.1),所求概率为11 .某试验的成功概率为0.75,失败概率为0.25,假设以X表示试验者获得首次成功所进行的试验次数，写出X的分布律。解设事件4表示第，次试验成功，那么p(4)=0.75,且4,4,相互独立。随机变量X取Z意味着前k-1次试验未成功，但第2次试验成功，因此有所求的分布亍律为X12k概率0.25×0.750.25a,×0.7512.设随机变量X的密度函数为f(x)=2x0<x<10,其他，试求：曾数A；X的分布函数。解(1)f(x)成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为f(x)O;其二为J：/(XMr=1,因此有C2xdx=l,解得A=±l,其中A=T舍去，即取A=1。"(2)分布函数Sx<0二0公+岸四0x<looo0公+12四+0公a>OX<0x20x<l1xl13.设喷机变量X的密度函数为/(x)=AeTM,ro<x<+,求：(1)系数A；(2)M<Xvl);X的分布函数。解(1)系数A必须满足窘AeTMdX=1,由于e-3为偶函数，所以解得A=L2P(O<XV1)=J：#"=*eTdX=g(1-二)；叫=J二C f -e-dxJy 2fog>"+玛 >AMLZZr a -exdxL，2x<0xOx<O-exdx-exdxxOIL2J。2C re211 L+ Il -x<O1 2 2r -ex-)xOx<O=I 2I l-r xO14.证明：函数/W= 7_£. X0 e 2c底为正的常数)Ox<0为某个随机变量G的密度函数。证由于f(x)O,且口(9=1,因此/(x)满足密度函数的二个条件，由此可得/(x)为某个随机变量的密度函数。15.求出与密度函数对应的分布函数产(x)的表达式。解当X0时，F(x)=J二/(x)x=二0.5/dx=0.5"当OVX2时，F(x)=二f(x)dx=JL0.5exdx+g0.25dx=0.5÷0.25X当x>2时，/(X)=CO.5e2x+f.25dx+gdx=0.5÷0.5=l综合有16.设随机变量X在(1,6)上服从均匀分布，求方程/+H+1=O有实根的概率。解X的密度函数为W,l<x<6;0,其同方程产+M+1=O有实根的充分必要条件为2-40,即24,因此所求得概率为P(X24)=P(X-211U2)=MX一2)+Rx2)=0+昼dx=1。17.设某药品的有效期X以天计，其概率密度为/W=j；-+100)3，X>I0,其他.求：(I)X的分箱函数；(2)至少有200天有效期的概率。0,rX<0；解AX)=匕/G”X=200001.(L+100)3,0.O,X<0;=Y10000一(x+100)2,XO.Z1 (YVV)1(2) P(X>200)=1-P(X200)=1-F(200)=1-1lj7=9°18 .设随机变量X的分布函数为求X的密度函数，并计算P(X1)和P(X>2).解由分布函数AX)与密度函数f(H的关系，可得在/()的一切连续点处有/(x)=F,(x),因此所求概率P(X1)=F(l)=1-(1+1>,=1-2e-l；P(X>2)=1-P(X2)=1-F(2)=1-(1-(1+2)e2)=3e2。19,设随机变量X的分布函数为尸(X)=A+Barctan尤-8<xv+oo,求(1)常数AB；(2)p(jx<l);(3)随机变量X的密度函数。解：(1)要使用x)成为随机变量X的分布函数，必须满足Iim77(x)=0,IimF(x)=l,即-00X4Q0Iim(A+BarctanX)二O-<O-Iim(A+arctanX)=IY÷>rA-B=O计算后得J2IA+-B=lI2r=l解得I;B=-1.另外，可验证当A=LB=L时，FG)=L+URtan九也满足分布函数其余的几条性质。22(2) P(X<1)=P(-1<X<1)=F(l)-F(-l)(3) X的密度函数f)=F,(x)=-r-r,-<X<+<Jo20.设顾客在某银行的窗口筹待效劳的时间(单位：min)服从a=的指数分布，其密度51 X>0Y函数为/(x)=ge5,讨顾客在窗口等待效劳，假设超过IOmin,他就离开。0其他(1)设某顾客某天去银行，求他未等到效劳就离开的概率；(2)设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到效劳的概率。解(1)设随机变量X表示某顾客在银行的窗口等待效劳的时间，依题意X服从2=(的指数分布，且顾客等待时间超过IOmin就离开，因此，顾客未等到效劳就离开的概率为1p(xl)=1x-5dx=e-2;(2)设Y表示某顾客五次去银行未等到效劳的次数，那么Y服从=5,p=e-2的二项分布，所求概率为21.设X服从N(0,1),借助于标准正态分布的分布函数表计算：(1)P(XvZ2);(2)"(X>176)；(3)P(X<-0.78);(4)POXkL55)；(5)P(IXl>2.5)。解查正态分布表可得(1) P(X<2.2)=(2.2)=0.9861；(2) PX>1.76)=1-P(X1.76)=1-(l.76)=1-0.9608=0.0392；(3) P(X<-0.78)=(-0.78)=1-(.78)=1-0.7823=0.2177；(4) PoXkI.55)=P(-1.55<X<1.55)=(1.55)-(-1.55)=(l.55)-(1-(l.55)=2(1.55)-1=2×0.9394-1=0.8788C5)P(IXI>2.5)=1-P(X2.5)=1-2(2.5)-1=2-2(2.5)=2(1-0.9938)=0.0124。22.设X服从N(-1,16),借助于标准正态分布的分布函数表计算：(1)Rx<2.44);(2)P(X>-1.5);(3Mx<-2.8);(4)PqXlV4)；(5)P(-5<X<2);(6)PQX-Il>1)。解当XnL02)时，MaWXa)=(g卜(于借助于该性质，再查标准正态分布函数表可求得(1) p(x<2.44)=(0.86)=0.8051；(2) P(X>-1.5)=1-J=1-(-O.125)=1-(1-(.125)=(.125)=0.5498；(3) P(X<-2.8)=(-0.45)=1-(.45)=1-0.6736=0.3264；(4)尸(jx|<4)'(-1)=(1.25)(一0.75)=(1.25)-1+(0.75)=0.8944-1÷0.7734=0.6678；(5) P(-5<X<2)=(个)-(WT=(75)-(-1)=(0.75)-+1=0.7734-0.8413+1=0.9321；(6) p(jx-1|>1)=1-p(jx-11)=1-p(X2)=1-(号=I-(.75)+(0.25)=1-0.7724+0.5987=0.8253。23 .某厂生产的滚珠直径服从正态分布N(2.05,0.01),合格品的规格规定为2±0.2,求该厂滚珠的合格率。解所求得概率为24 .某人上班所需的时间XN(30,100)(单位：min)上班时间为8：30,他每天7：50出门，求：(1)某天迟到的概率；(2)一周(以5天计)最多迟到一次的概率。解(1)由题意知某人路上所花时间超过40分钟，他就迟到了，因此所求概率为p(x>40)=1-(40/)=1-(l)=1-0.8413=0.1587；(2)记Y为5天中某人迟到的次数，那么Y服从=5,p=0.1587的二项分布，5天中最多迟到一次的概率为P(yl)=P(O.1587)0×(0.8413)5+j.1587×(0.8413)4=0.8192。习题五1 .二维随机变量(Xl)只能取以下数组中的值：(0,0),(-11),卜11)(2,0),且取这些组值的概率依次为岩小求这二维随机变量的分布律。解由题意可得(x,y)的联合分布车已为XW0-13-10-L11230006200122 .一口袋中有四个球，它们依次标有数字1,2230从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X、Y分别记第一、二次取到的球上标有的数字，求(XI)的分布律及P(X=丫)。解X可能的取值为1,2,3,Y可能的取值为123,相应的，其概率为或写成XW12310-61221J.6663±10126p(=y)=p(=l,y=l)+p(=2,y=2)+P(x=3,y=3)=-o63 .箱子中装有10件产品，其中2件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次，定义随机变量X、Y如下：X=0,假设第一次取出正品；Yf0,假设第二次取出正品；Y1,假设第一次取出次品；L1,假设第二次取出次品。分别就下而两种情况求出二维随机变量(,y)的联合分布律：(1)放回抽样；(2)不放回抽样。解(1)在放回抽样时，X可能取的值为0,1,Y可能取的值也为0,1,且或写成XW010162514125(2)在无放回情形下，X、Y可能取的值也为0或1,但取相应值的概率与有放回情形下不一样，具体为或写成XvI01014.对于第1题中的二维随机变量(X解把第1题中的联合分布律按行，X)电力28845458I4545的分布，写出关于X及关于Y的边缘分布律。1得X的边缘分布律为102概率按列相加得Y的边缘分布律为Y5I5H6120-13概率5.对于第3题中的二维随机变量(X写出关于X及关于Y的边缘分布律。解在有放回情况下X的边缘分布T律）2123的分布律，分别在有放回和无放回两种情况下,01概率Y的边缘分布律为Y425501概率在无放回情况下X的边缘分布律为X45501概率455Y的边缘分布律为YO1概率-g6 .求在D上服从均匀分布的随机变量(x,y)的密度函数及分布函数，其中D为X轴、y轴及直线y=2x+l围成的三角形区域。解区域D见图5.2。易算得D的面积为S=LXIXL=L,所以224(x,y)的密度函数加介芈,加。八,0通他(x,y)的分布函数T或y<0时，F(x,y)=0;-%<0,0y<2x+1时2当-gx<0,y2x + l 时,-1F(x, y)=f1 必f R 4由，=4x2 +¾x +尸(y)=oMv-4公=4孙+2y-y2；当x0,0yV1时，F(xf)=-14dx=2y-y2当x0,yl时，F(X,y)=J01可:RMy=I综合有7 .对于第6题中的二维随机变量(x,y)的分布，写出关于X及关于Y的边缘密度函数。解X的边缘密度函数为=(Zdy-gvxvO=f2x+l1-g<<OIa其他q其他Y的边缘密度函数为也4代o<y<_)-y0<y<lJ7其他其他1.0,J8 .在第3题的两种情况下，X与Y是否独立，为什么？解在有放回情况下，由于P(X=O,y=o)=3,而MX=O)My=O)=3±=3，即255525MX=o,r=o)=p(x=O)My=。)；容易验证P(X=O,y=)=Mx=O)My=UMX=I,y=)=p(=l)p(y=),M=l,y=l)=p(=)p(y=l),由独立性定义知X与Y相互独立。在无放回情况下，由于MX=O,y=o)=空，而HX=O)Ny=o),*=3，易见455525MX=O,y=)WP(X=O)My=0),所以X与Y不相互独立。9 .在第6题中，X与Y是否独立，为什么？解而从一升2Juq,易见小月卜C0,所以X与Y不相互独立。10 .设X、Y相互独立且分别具有以下的分布律：XI-2-10Y概率T概率；431232写出表示(Xl)的分布律的表格。解由于X与Y相互独立，因此例如Rx=-2,y=-0.5)=P(X=-2)p(r=-0.5)=；x；="其余的联合概率可同样算得，具体结果为XW-11311816161116121211124484811161212a-211 .设X与Y是相互独立的随机变量，X服从0,0.2t的均匀分布，上>从参数为5的指数分布，求(x,y)的联合密度函数及p(xy)°解.由均匀分布的定义知由指数分布的定义知因为X与Y独立，易得(x,y)的联合密度函数概率P(Xr)=/(x,y)dxdy,其中区域G=(x,y)xy见图53经计算有P(XK)=2dx25e5ydy=25(1-lx=e1。12,设二维随机变量(x,y)的联合密度函数为求：(1)系数女；(2)P(0Xl,0y2);(3)证明X与Y相互独立。解Z必须满足rtf(x,)"My=l,即力它'+""=