江苏省专转本高数全部知识点第一讲：极限、洛比塔法则6.级数.docx

第六章级数本章主要知识点 级数收敛定义及性质 正项级数敛散判别方法 一般项级数敛散判别方法 哥级数一、级数收敛的定义及性质定义：收敛。Sn=B>"S（有限）（2+8）三lJt=I性质：必要条件Iim为=On%与收敛，那么收敛收敛，Za发散，2（。±2）必发散Z%发散，Za发散，不能确定71收敛P>102/一1发散p<X>q"收敛,当I司=const.<181例6.1.计算Z-念5+3）n1111III解：S2RH(Q)=5(>zi)-5G8)例6.2.计算Zg”(Iql=ConSt,<1)/1=0-C!1解：S>(n)-q-q所以,=1j=o1-q二、正项级数Zq(40)敛散性判别法1 .比值判别法7<,收敛如果Iim4包=/*>1,发散""/=1,比值判别法失效例63.4M=IMran+V5+1)!1-/”-IJ角吊：hm-2jj-=h-=lm()=e<1-°an“-"+I)nw0°+l所以由比值判别法知原级数收敛。例 6. 4. Z n=ln2"+4解：Iim也= Iim"<c 白 moo357.(2m + 1)357.(2"-1)收敛hji.11.+12"+4/1+1111.解：hm-2iL=IIm：=Iim=<1收敛ran"-S2m+4n"-*con222 .比拟判别法比拟判别法有三种形式：一种称为囿级数法；一种为极限式；一种为等价无穷小式。囿级数法：如果0,"(对充分大)成立且Za收敛，那么go“收敛；如果明ao,Zd发散，那么w>发散。极限式：如果!5/=/（/。0有限数），工,、>（6也；0）同敛散；%特别地，假设/=O且Za收敛，那么Za”收敛;假设/=8且Za发散，那么an发散。p 1» 发散。nl等价无穷小式：art=，（C>0）,p>l,收敛,n=lsin 2 （乃）QO例6.6.Z11=1解：0sin2 （i） 1< 2+l - c，而2'T收敛，由比拟判别法知£W=ISin2 （乃）W2+1收敛。例 6. 7. Z W=I arctanV 2n ÷ 1 ； 3+2m解：0arctan2 + 112 13+2"<=一 3"2 3”而"1收敛,乙2 3由比拟判别法知原级数收敛。OO例6. 8. Z（收敛（0）,证明Zd也收敛。 W=I证明：因为£勺收敛，故IimqI=0,所以对充分大的n成立: n =lO 1,因此o4,收敛，由比拟判别法知Z4；收敛。 w=IW=I888例6. 9.正项级数Za收敛，证明：Za也收敛。1 ni=l证明：O也 ；(4+),OO¢0由上题的结论可知，£>“，、>“收敛，收敛,W=I=1由比拟判别法知：Sq也收敛。i I例 6. io. y-7= 念 3" + l而£-5=发散，由比拟判别法知力发散。r3 + l一 B 2n-4例 6. IL Y ./1=1 J3“ 6 + 5解：因为2 一 434-6n2 *÷52n _ 232 3?p=l,所以原级数发散。例6.12.S粤”=1nInn,j.n3z21.Inn解：=hr114-=hm<1W30“00例613.Zm7JI=Ie“00解：I= Iimj-+X>1IimJ+<C/02 n0.0 In=Hm 嘉=Hm 噜=。+co e。OLt +!X> (.l),°2eoo,xX二收敛,n故由比拟判别法知,原级数收敛。25例6.14.Z2n÷1sinN=In解：因为J2+1sin-J2+14nnZ3收敛，由比拟判别法知£3+卜而二收敛。5/1=1三、一般项级数一般项级数有绝对收敛和条件收敛两个概念。定义1：Ean绝对收敛OZkJ收敛。原级数绝对收敛必收敛。定义2：Za条件收敛OWJaj发散，而W>收敛研究一般项级数的流程应是先判别绝对收敛，假设绝对发散那么研究级数的条件收敛性。一般项级数中最重要的一类级数为交错级数Z（-1）Z“（4,0）°交错级数莱伯尼兹判别法：对于级数Z（-i约假设（1）«w0,即级数是交错的，（2） .单调下降,（3） Iima"=Occ那么(-)为收敛。w=l81例6.15.y(-l)w.一3?3+2n+解：先考虑级数Z/一3+2n+l因为-/3n3 + 2n + l13hi而z3收敛，所以/I一收敛33n3+2n+即原级数绝对收敛。例2谭"解：对于EMN岛肃因为斯一,所以发散，原级数绝对 2n311发散0而Z(T)：是交错级数，/单调下降,且M=4112-6n+14j2-6n+1Iim-=Oz84-6"+1由莱伯尼判别法知，原级数是条件收敛。例6.17.研究级数S(T)"sin-!r敛散性解：l6fw=snA"(k=Const1.1sm-11Iim产=1，£sin-r与ZF同敛散，1JnJn故当A>l时，原级数绝对收敛；当&1时，原级数绝对发散;当人0时，IimSin-r不存在，所以原级数发散；nson当OVZVl时，y(-l)nsi114-为交错级数，且sin单调下降，Jnn且sinr05+8),故由莱伯尼兹判别法知，原级数条件收敛。nk四、事级数1.收敛半径和收敛区间Sa“"-与)"称为辕级数，对于哥级数首先是收敛半径和收敛区间的计算。=l收敛半径R：R=Iimnoo收敛区间：AO-R<v/+R;对于X=XO-R和X=玉)+R端点处特别考虑。例6.18.求£(一1)七J£的收敛半径和收敛区间,=2+5解：R=Iim2=lim<(2(+1)2+5)=1,rt0°an+lm三02n+5当X=I时，原级数=£(一1)！一收敛；-2+5当X=1时，原级数二£二一收敛：z2n2+5所以，收敛区间为-1,IJo例6.19.求工一一(2x-l产1的收敛半径和收敛区间。H=O3+181解：令y=(2x-l)2,原级数=(2-l)TZ一一y",3'+1prFTl13m+,+1&Rv=Iim=Iim=3,"w->1n3"+13n+i+1N.-o对于x（匕立,匕立），原级数收敛；当X=上立时，y=3,原级数发散，故222收敛区间为（l-3l+3Z,T/222.函数展开为塞级数几个常用的哥级数形式-OO<x<+00<三0sinx(2n+l)!xeR力（-ln（l+力=父，x<iH=In例6.20./（）=W>D展开为X的哥级数。2）展开为的幕级数。解一)八)-=翡(力图。(-1)击/M<21 +22912 )/(x)=l=1-r、73+x-l3IXTr2例6.21.f(x)=7展开为X的哥级数。v7(2x-l)(x+3)X2(2工-1)-2(x+3)_22fT(2x-l)(x+3)_7(x+3)+7(2x-l)1X22X211V，xm+22(IrIj=FLbW铲)丁一裕2X'<-3例6.22.=XCOS2X展开为X的辕级数解:1+cosIxXXC=X=+cos2x222例6.23./(X)=arctanx,求/(x)的鼎级数展开式anxn解：/'3=占=S(T)T1十八n=0在区间o,T上，两边积分，利用哥级数逐项可积性得")=½叫*1。例6.24.求和函数。n=l+8解：设Sa)=Xr"T,利用幕级数逐项可积性得w=l+00+«0JoS(X)公=WT公=n=zf/1=1M=I1人X1求导得：s(x)=(-y=-!-7oI-X(I-X)X2X4X6例6.25.求IH111-的和函数O357XXX解：令Sa)=I+±+'l+357(x5(x)f=1+x2+x4+=l + xTxI-JrXS(X)=j-dx=-njl-x2211+X所以5（幻二-卜二。2x1-x单元练习题6Llim % =0是级数 /1TOo400E>“收敛() w=0A.必要条件C.充要条件B.充分条件D.无关条件÷0>2 .正项级数Z%收敛的（）是前n项局部和数列s 有界 W=I.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件3 .以下级数中收敛的是（）A.4.以下级数中条件收敛的是（）b *广(11c d. y ； 7a 2n3+45.以下级数中绝对收敛的是（）A.y (-11b (-0h,=l2n-6.7.8.9.6(-1严 c r以下级数发散的是()C. (T)"5=1 D事级数£(1)=1A. -1,1C. -1,1 )rH=I 11S nB. YD.OO的收敛域是()B (-1,1)D. (-1,1 ,当时，级数绝对收敛;当时，级数条件收敛；当时，级数发散。某级数S工的和函数5*) = ,.=0 nOO w=0(一2)n=,Iimn n10.判别以下级数的收敛性.nOO sin 23a',n 八 I、 ,，(4>0,l,e)H=I n(-r, inM=I(4)K 117 + ln n=l D(6)y2Lr°0 t2Y £(!)(8)(y/n+sinn=n-n+£4(10)(-l)-arcsinlW=I-1=I11 .求以下哥级数的收敛半径和收敛域：8Qfl8v,2-1(1)t÷-n(2)ytfH2+l(2h-1)(2h-1)!(3) £(-1)"=l2n-5n+T12 .将/(x)=(l+x)ln(l+x)展开为X的哥级数。13 .将F(X)=-J展开为工一1的塞级数。X+4x+3Y14 .将函数F(X)=六(1)展开为X的某级数，(2)展开为冗一1的辕级数。+R15.求 Z=ln(w + l)的和函数。历年真考题)产 1B. X 一一收敛+<¾>D. Z!收敛M=I1. (2003)以下正确的选项是(产1A.Z收敛*+¾f-iy,C.ZjL绝对收敛H=I"展开成X的基级数，并指出收敛区间1不考虑区间端点)。2. (2003)将函数/*)=4+x3. (2004)基级数之与二的收敛区间为。fln=l乙4. (2004)把函数F(X)=一展开为2的幕级数，并写出它的收敛区间。x+25. (2005)设有正项级数(1)Z“与(2)X”；，那么以下说法中正确的选项是OA.假设(1)发散那么(2)必发散。B.假设(2)收敛，那么(1)必收敛。C.假设(1)发散，那么(2)可能发散也可能收敛。D.(1),(2)敛散性一致。6. (2005)鼎级数Z(2一I)X”的收敛域为.W=I77. (2005)将函数f(x)=7展开为X的幕级数，并指出收敛区间。2-x-x章节测试题1.级数Z/1=1(-Dn(22+1)p2的敛散性:B. (-1, /1=13jil)白 nB. y ft 3/2-1D.X的事函数是()当时，级数绝对收敛；当时，级数条件收敛;当时，级数发散。2 .73)二一，展开为大的幕级数为。l-2x3 .以下级数条件收敛的是()芍(-1)a,自下C.落空后2"+l4 .以下级数发散的是(AV(T)A.)一(-1产w=l5 .优(>O,l)展开为3炉,、(xna)naT7bZ(T)ca2÷0O6.X，一X"的收敛半径R=()“=o+3D.+ODJI=I(xna)nA.1B.3D.7.在-8VXV+8的和函数S(X)=39.以下级数中条件收敛的是（D. -e2 )D. 3C.-e-2的收敛半径是（C.12）a.C.d10 .判断£（-1）"（而T-JG）的敛散性。=l11.求事级数£二的收敛半径和收敛区间。Zt2n12 .设p>O,讨论为何值时，级数之上¾收敛。Mnpn13 .ln（±e展开为X的鼎级数，并求出收敛范围。U÷14 .讨论不在0v<l,=l和三种条件下的敛散性。”=11+。单元练习题6答案1.A2.C3.C4.A5.D6.B7.D8.>4;3<"439.S(x)=exe2010.(1）绝对收敛。因为.nsin3_+2而收敛。+2n2乙/.4+.aaoo/5+l)!n+lf,小!=Iim当色时，发散；当i时，收敛。(-l)rt+, In,n 1+±,而4收敛,故原级数绝对收敛。nJ/r发散。因为z"收敛，XIn：=Z】n发散。收敛。(711+l-n-l)1.nV7+l+77-l(11+1-J.-l),所以Iim壮n>1=13/2=0,所以原级数收敛。H + 1二0,所以原级数收敛。而白收敛，所以原级数收敛。z7"+InnIim3=Iim,=Iim2E%-CJ(+De2"I/a1(+lY,+1(w!)2lim3=lim¼-=Iim-/+wn+1V«+1*一+12,2（充分大）=*，而/收敛，n2所以原级数收敛（9）ZgI3=Z-发散，而Z（Tyl.一为交错级数，且?一单调下乙z2-1n2乙17n2-ln2-l降趋于零，故（）"条件收敛。(10)(-Darcsin=VnJ.1arcsinn.1arcsn而j1(7?+),故绝对发散。n"arcsin,为交错级数。且arcsin,单调下降趋于0«narcsin,条件收敛。n11. (1)解：R = IimWo=Iimnn2+2(n+l)2÷l _ 12十 I2 '2 +1x" = <- 乙 +1收敛;当时，言T)黑收敛，收敛区间为_112,2(2)令 y = 2,Z2-1(2w-i2n-l)!X&=8,收敛区间为(-,÷)(3)令y=,原级数=(T)”当工=±行，原级数=±2三(一1)”5"F=±5,n+T(T)"=,条件收敛J+1(4)令y=2x+l,原级数二5=1,凡=一y22当y=L发散；当y=,收敛，故y的收敛区间为-U),相应的X的收敛区间为-1,0)。112.解：令g(x)=ln(l+x),g”)i=(-1)x,x<h1+x1=o*I-Iyl积分得g(%)?匕x"M13. 解：/(x) =1 x ÷ 3 - (x +1)(x + 3)(x + l) 2 (x + 3)(x + l)=£(-1)b-白(1)"，31<2)。n=0 L 4 幺 8 471x n x Yn (14. (1)解：/(x) = -l + - = -1 + - = -l + -= -» 0乂<2)。Z-X I=0 Z n= Z2解:2/(x) = -l += -1 +v 72-x2I-U-D=1+y-1÷2(-1, (-<)oH=O15. -xln(l-x) + +ln(l-x) o 本章测试答案1. p>3； 2< p3; p2+82. Z 23w=03. A 4, B 5. C 6. C 7. A 8. B 9. B10.解:ZaLZ(TT 11 = 1Jn+4 2，故qj发散，即不绝对收敛。“为交错级数且一J=J产单调减少且趋于零，由莱伯尼兹法那么知，原级数条件收敛。7+l+H令2，=E=Iim=2rt+,(z7+l)=2,2'JnI)当y=2时,=i发散，所以原级数收敛区域为(-2,2)012.当0<p<l时,np,+'np,+i8,故原级数发散,当p>l时,(T)"npz当P=I时，£上1_条件收敛n,对于X!r,Iim=lim7=-<1JnPn"annx(n÷l)p2p所以(T)"绝对收敛。13. In-xy1 + >defineln(l-x)-ln(l÷x)=S1(-v)-52(x)s：(X)=-丁匚=(一1)£>”，$(力=丁L=f(l)x”，分别将S；(x),S；(x)在区lRH=O1÷XM=O8Yn+1co"+l间(0,x)上积分得：ln(l7)=(-,ln(l+x)=(-l)z,-,1=01+=01+及所以In1-xT+x力*r-(*1)M=O 十 114.当OVaVl时，Iim=l0,发散；当a=l时，Iim=-0,发散;wao1+anncol+,2当白>1时,3<*(J而Z1l+a,收敛，所以£一收敛。乙l+"22232”“例6.5.判别级数1+,+-+的敛散性335357(211-1)2考虑极限Iim里=IimIT=IimeT=Ox+Vx+1-2x+o”"-X44/=O,Z-ITT收敛,所以由比拟判别法知原级数收敛