求轨迹方程的常用方法(经典).docx

求轨迹方程的常用方法（一）求轨迹方程的一般方法：1 .待定系数法：如果动点P的运动规律符合我们的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，那么可先设出轨迹方程，再根据条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。2 .直译法：如果动点P的运动规律是否符合我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，那么可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x,y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3 .参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，那么可寻求幽动点P运动的某个几何量t,以此量作为参变数，分别建立P点坐标X,y与该参数t的函数关系x=f（t）,y=g（t）,进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x,y）=Oo4 .代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律，（该点坐标满足某曲线方程），那么可以设出P（x,y）,用（x,y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。5 .几何法：假设所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（假设能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。（二）求轨迹方程的考前须知：1.求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系,因此要学会动中求静，变中求不变。来表示，假设要判断轨迹方程表示何种曲线，那么往往需将参数方程化为普通方程。3 .求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解那么要舍去，出现丢解，那么需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。4 .求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。课前热身：1.P是椭圆二+2L=I上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M,那么PM中点的轨迹中点的轨迹方程为：（）【答案】：B42V2tX242,X2V21X2V2A、-X2+=1B、一+-y2=1C、一+=1D、一+9595920365工24C【解答】：令中点坐标为（x,y）,那么点P的坐标为（x,2y）代入椭圆方程得5+不：/=1,选B2.圆心在抛物线V=2x（y>0）上，并且与抛物线的准线及工轴都相切的圆的方程是AX2+y2-x-2y-=0Bx2+y2+x-2y+l=OCX2+y2-x-2y+l=0Dx?+/一%一2），+_L=O【答案】：D'"4【解答】：令圆心坐标为(烂,)，那么由题意可得，解得。=1,那么圆的方程为222Y+y2_l_2y+L=0,选D43:一动圆与圆0：Y+丁=1外切，而与圆c：2+y2-6+8=0内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：A：抛物线B：圆C：椭圆D：双曲线一支【答案】：D【解答】令动圆半径为R,那么有+那么MO-MC=2,满足双曲线定义。应选D。IMeI=R-I4：点P(xo,yo)在圆2+y2=l上运动，那么点M(2xo，yo)的轨迹是()A.焦点在X轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在X轴上的双曲线【解】：令M的坐标为(Xy),那么I'="°=1"=5代入圆的方程中得二+/=1,选人y=y。v-v4yo-y名师点题一：用定义法求曲线轨迹求曲线轨迹方程是解析几何的两个根本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。例1：A8C的顶点A,B的坐标分别为(-4,0),(4,0),C为动点，且满足sin3+sinA=WsinC,4求点C的轨迹。【解析】由sin3+sinA=2sinC,可知+C=I0,即IACl+1BCI=I(),满足椭圆的定义。442222令椭圆方程为二十二=1,那么=5,c'=4=>A'=3,那么轨迹方程为二+-=1(x±5),/b2259图形为椭圆(不含左，右顶点)。【点评】熟悉一些根本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。(1) 圆：到定点的距离等于定长(2) 椭圆：到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)(3) 双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数(小于两定点的距离)(4) 到定点与定直线距离相等。【变式1】：1：圆(x+4)=25的圆心为此，圆6-4)2+尸=1的圆心为以一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。解：设动圆的半径为R,由两圆外切的条件可得：PM=R+5,PM2=R+1o.,PM1-5=PM2-LPM1-PM21=4。动圆圆心P的轨迹是以此、此为焦点的双曲线的右支，c=4,a=2,b2=12o2:一动圆与圆0：/+)，=1外切，而与圆C：/+6x+8=0内切，那么动圆的圆心M的轨迹是：A：抛物线B：圆C：椭圆D：双曲线一支【解答】令动圆半径为R,那么有PM°'R+1,那么M0-MC=2,满足双曲线定义。应选D。二：用直译法求曲线轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。例2：一条线段AB的长等于2,两个端点A和8分别在X轴和)，轴上滑动,求AB中点P的轨迹方程？解设M点的坐标为(x,y)由平几的中线定理：在直角三角形AoB中，lsOxOM=-AB=-×2a=a,22M点的轨迹是以。为圆心，。为半径的圆周.【点评】此题中找到了OM=LAB这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有以下几种情21)代入题设中的等量关系：假设动点的规律由题设中的等量关系明显给出，那么采用宜接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2)列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。3)运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程04)借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.【变式2】：动点P(x,y)到两定点A(-3,0)和8(3,0)的距离的比等于2(即四=2),求IPBl动点P的轨迹方程？解答F=Ja+3)2+/JQBI=J(X_3)2+/代入四1二2得鹿+3)±二=2n(x+3)2+y2=4。-3)2+4y2IPBl(-3)2÷/化简得(-5)2+y2=16,轨迹是以(5,0)为圆心，4为半径的圆.三:用参数法求曲线轨迹方程此类方法主要在于设置适宜的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例3.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线L,I2,假设L交X轴于A点，L交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。【解析】分析1:从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线h引发的，可设出L的斜率k作为参数，建立动点M坐标(x,y)满足的参数方程。解法1:设M(x,y),设直线L的方程为y4=k(-2),(kO)YM为AB的中点，消去k,得x+2y5=0。另外，当k=0时，AB中点为M(1,2),满足上述轨迹方程；当k不存在时，AB中点为M(1,2),也满足上述轨迹方程。综上所述，M的轨迹方程为x+2y5=0。分析2,解法1中在利用kh=-1时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用aPAB为直角三角形的几何特性：解法2：设M(x,y),连结MP,那么A(2x,0),B(0,2y),Vb±12,ZXPAB为直角三角形化简，得x+2y-5=0,此即M的轨迹方程。分析3：设M(x,y),由11_112,联想到两直线垂直的充要条件：klk2=-l,即可列出轨迹方程,关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。解法3,设M(x,y),TM为AB中点，JA(2x,0),B(0,2y)。又Ii,b过点P(2,4),且11112，-4-04-2vPA±PB,从而kpkB=-1,而ZPA=，女配=-2-2x2-0注意到L_LX轴时，b_Ly轴,此时A(2,0),B(0,4)中点M(L2),经检验，它也满足方程x+2y5=0综上可知，点M的轨迹方程为x+2y5=0。【点评】1)解法1用了参数法，消参时应注意取值范围。解法2,3为直译法，运用了kpkPB=-l,IMPl=gA8这些等量关系。用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响【变式3】过圆O：2+y2=4外一点A(4,0),作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹。解法一：“几何法”设点M的坐标为(x,y),因为点M是弦BC的中点，所以OM_LBC,所以IOMl2÷MA2=OA2,(2+y2)+(x4)2+y2=16化简得：(x2)2+y2=4由方程与方程2+y2=4得两圆的交点的横坐标为1,所以点M的轨迹方程为(-2)2+y2=4(OWXV1)。所以M的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆在圆O内的局部。解法二：“参数法”设点M的坐标为(x,y),B(x),C(x2,y2)直线AB的方程为y=k(-4),由直线与圆的方程得(l+k2)x2-8k2x+16k2-4=0(*),由点M为BC的中点，所以X=J+/=-l于(1),又OM_LBC,所以k=2(2)由2+kX方程(2)消去k得(X2)2+y2=4,又由方程(*)的()得k2.所以XVI.所以点M的轨迹方程为(X-2)2+y2=4(Ox<l)所以M的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆在圆O内的局部。四：用代入法等其它方法求轨迹方程V2v2例4.点B是椭圆0+2=1上的动点，力(2,0)为定点，求线段AB的中点M的Crb-轨迹方程。分析：题中涉及了三个点A、B、M,其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然U的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。【解析】设动点M的坐标为(x,y),而设B点坐标为(xo,yo)那么由M为线段AB中点，可得即点B坐标可表为(2x2a,2y)【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系【变式4】如下图，P(4,0)是圆f+)2=36内的一点，A、3是圆上两动点，且满足NAPB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.【解析】：设48的中点为R,坐标为(Xj),那么在RtZXABP中，AR=IPRb又因为R是弦AB的中点，依垂径定理?在RtAOAR中，IARF=H0|2一|0留2=36(/+)，2)又IARI=IPRl=a(x-4)2+/所以有(x4产+产=362+)2),即x2+y24x-10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，。点即在所求的轨迹上运动.设Qaj)，R3,y),因为R是PQ的中点，所以=罟,弘=岑，代入方程f+y2-4-10=0,得2÷)2-4-10=0整理得k2+V=56,这就是所求的轨迹方程.【备选题】双曲线f-y2=2的左、右焦点分别为入，F2,过点尸2的动直线与双曲线相交于AB两点.假设动点M满足EM=EA(其中。为坐标原点)，求点M的轨迹方程；(II)在X轴上是否存在定点C,使CA-CA为常数？假设存在，求出点。的坐标；假设不存在，请说明理由.解：由条件知耳(一2,0),(2,0),设Aa,yl),B(X2,%)解法一：设法(X,y),那么那么6M=(x+2,y),4A=+2,y1),FlB=(x2+2fy2)fFiO=(2),由EM=62+耳8+耳。得xl +x2 =x-4, j+% = yx+2=x1+x2+6,即J=X+%于是AB的中点坐标为(1,2I22；即=/3y当A8不与X轴垂直时，y一及=_2-=xl-x2x-42x-82_又因为A8两点在双曲线上，所以玉2-犬=2,只一式=2,两式相减得(x1-x2)(x1+2)=(y-%)(+%)，即(再一WXX-4)=(%-%)y-将乂一%=-(%-%2)代入上式，化简得“一6)2-)，2=4X-S当AB与X轴垂直时，Xl=X2=2,求得M(8,0),也满足上述方程.所以点M的轨迹方程是一6)2-丁=4.(II)假设在X轴上存在定点C(m,0),使CAC8为常数.当A3不与X轴垂直时，设直线AB的方程是y=k(x-2)(k±1).代入炉一丁=2有(1-22)%2+4欠2%-(4左2+2)=0Ak24氏2+2那么%,%是上述方程的两个实根，所以X+%=淳=y，%"H-'于是CA.CB=(x1-ni)(x2-m)+k2(xl-2)(x2-2)2(1-2加)公+2C4-4m,=；+r=2(12m)÷；+nr.k2-k2-因为3.在是与2无关的常数，所以44m=0,即m=1,此时不.方二一1.当AB与X轴垂直时，点4,8的坐标可分别设为(2,),(2,-2),此时C4.CB=(1,2).(l,-2)=-1.故在X轴上存在定点C(1,0),使3.在为常数.X+x)=X4,解法二：(I)同解法一的(I)有IIy+%=y当AB不与X轴垂直时，设直线AB的方程是y=k(x-2)(k±1).代入/一丁=2有(1一/)冗2+4-(4+2)=o.那么%，声是上述方程的两个实根，所以+%=淳=y7/八/4公八4%yl+y2=k(xi+x2-4)=k-4=73-7-Jk-IAb2Ab由®得-4=*y=冷k-k-X4当20时，yO,由得，=k,将其代入有y 二 4y(x - 4)(x-4)2(-4)2-/整理得(X6)2-产=4.当Z=O时，点M的坐标为(4,0),满足上述方程.当AB与X轴垂直时，1=x2=2,求得M(8,0),也满足上述方程.故点M的轨迹方程是6)2-丁=4(II)假设在X轴上存在定点点C(m,0),使为常数，AL2AL2+7当A3不与X轴垂直时，由(I)有玉+冗2=下-Lx=T2-kk-1以上同解法一的(II).f【误区警示】1 .错误诊断【例题5】ABC中，B,C坐标分别为(-3,0),(3,0),且三角形周长为16,求点A的轨迹方程。X2v2【常见错误】由题意可知，AB÷AC=10,湎足椭圆的定义。令椭圆方程为=+J=L那么由定义Crb1X2y2可知=5,c=3,那么8=4,得轨迹方程为一+2-=l【错因剖析】ABC为三角形，故A,B,C不能三点共线。【正确解答】ABC为三角形，故A,B,C不能三点共线。轨迹方程里应除去点(5,0).(-5,0),即轨迹方程为工+2L=I(X±5)25162 .误区警示1：在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此，在求出曲线方程的方程之后，应仔细检查有无“不法分子”掺杂其中，将其剔除；另一方面，又要注意有无“漏网之鱼”仍逍遥法外，要将其“捉拿归案二2：求轨迹时方法选择尤为重要，首先应注意定义法，几何法，直接法等方法的选择。3：求出轨迹后，一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的局部或漏掉的局部。【能力训练】9.动点P到定点F(LO)和直线x=3的距离之和等于4,求点P的轨迹方程。【解答】：设点P的坐标为(x,y),那么由题意可得J(X-l>+y2+x-3=4°(1)当x<3时，方程变为J(X_1尸+y?+3-=4,J(XI)?+:/=八+,化简得y2=4x(0X3)o(2)当x3时，方程变为J(X_1>+y?+-3=4,J(x-l)2+y2=",化简得y2=-12(x-4)(3<x<4)故所求的点P的轨迹方程是r=4x(。X43)或y2=-12(x-4)(3<x44)10.过原点作直线/和抛物线y=V-4x+6交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。【解答】：由题意分析知直线/的斜率一定存在，设直线/的方程y=kx。把它代入抛物线方程y=2-4x+6,得2-(4+k)x+6=0°因为直线和抛物线相交，所以>(),解得X(,-426)U(4÷26,÷co)。设A(XP%),BX?'%),M(x,y),由韦达定理得X1+X?=4+k,x1x2三6o4+kx=<2Xi+x24+k14k+k24k+k2222由Iy2消去k得y=22-4x.又2x=X+X?=4+k,所以Xe(Y),_6)5痣,+00)。，点M的轨迹方程为y=2x2-4x,X(x>,-6)u(V6,+oo)。【创新应用】11.一个圆形纸片，圆心为O,F为圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD,设CD与OM交于P,那么P的轨迹是()A:椭圆B:双曲线C:抛物线D:圆【答案】：A【解答】：由对称性可知IIPFl=IPM|,那么PF+PO=PM+PO=R(R为圆的半径)，那么P的轨迹是椭圆，选A。