泛函历年试题集锦.docx
泛函分析2003试题1、表达赋范空间完备性的定义；证明：在BanaCh空间中，绝对收敛级数必收敛。解：(P5定义)假设赋范空间X中的序列x,J满足如下Cauchy条件：那么称E为Cauchy列，假设X中所有Cauchy列均收敛，那么称X为完备赋范空间或Banach空间。证明：BanaCh空间是完备的赋范空间，令X为BanaCh空间，*uX,J收敛，即2%绝对收敛。那么，令因为Ellzll收敛，故余项fjlM0,即A=rt+1这说明S,J是X中的CaUChy列，因X完备，故S,J收敛，即Zz收敛。2、设(X)=MI-x)，分别求作为空间乃0,1,QO与CjlO的元素的范数。(即求u乃qo,i和NC1IOJj时的范数IiU)解：uLL0,1时，11Il=J(J”(X)Kr=(X(I-项Zx=1/6UC0,l时，HuH=maxu0=maxsupIX(I-X)I=I/40xluCj0,l时,HuH=max(u0,u,0)=max(supX(I-X)LSUPl-2x)=1O1O13、设X、Y是赋范空间，丁L(X,Y)J(X)=|7Il*X)。说明f(x)连续，并求supf(x)(r>0)oIWIr解：/3)为数值函数，要证/(幻连续，7xJ-7-,其中乙x0而由公式M-帆卜-W(P3公式),即一网g-倒愀帆T0(T有界,连续，“oo)故/。)连续。11/21/24、给定无穷矩阵A=,求IIAIll,HAlL并估计IIAII2。1/31/3kF解:由命题(P76命题2.22),5、设心，说明/!?(),1:并求|/|。解：变量代换，令X=J亍，那么：1-19令U(X)=-X4,那么显然WX)z?()/,2故由(P89定理)，L20,ir,且：6、设X为BanaCh空间，x(f):,勿X连续，夕:。,4向是Cl函数，(a)=c,(3)=b,证明：证明：等式两边都是有意义的向量，由(PlOl推论)，令fw£,那么命题得证。泛函分析2006试题1、(1)设lp<oo,写出在空间0中，序列“范数收敛于的定义。,Jr,0xl,(2)设%(r)=0E=1，2,3,一.对的哪些值，序列“在空间Zao,1中范数收敛于零？解："0,l中序列”范数收敛于U的定义为：ll"-"p05oo),具体而言，即：lim(1w(x)-urt(x)dx)p=0,JO假设/(x) = <fni 0 x- nn = 1,2,fPfl££1£-1IwmIl=Jimm(x)Idx=n2dxn2-=n2,JoJO要Jp0,即"0=>-l<0=>p<2所以，与在"0,l中范数收敛于零的的范围是1p<22、设A是HiIbert空间H的闭子空间，UwH.(1)什么是在A中的最正确逼近？其直观意义如何？(2)设"=由0,%,A是0,1上形如cosx+Z?SinX的函数之全体，m(x)三X(Oxr),求在A中的最正确逼近叫解：(1) 在A的最正确逼近是指，3vA,使得w-u=d(",A),直观意义即是，最正确逼近就是A在上的正投影。(2)设A上基为：cosx,sinx,那么由：八2八一00设：a=2，所以7二八20-0-L2J-,而所以，(参考P47例)3、(1)写出TtL(X,丫)的范数Ilrll的表达式并解释其直观意义。(2)设、=八7*),=(4%,%，)(x=(%)eX),求序列(q)应满足的条件及lTl解：(1)范数IlTll的表达式为：IITII=supIl7xx,IITIl=SUPilTkII=SUPilTkIl=inf伏O:|笈|区Zx"xX)XHOIlXlI=II.X1I1其直观意义是：任利的最大值，即是变换T的“最大伸张系数二(P69)IlXil(2)因为X=心T=L(X),Tk=a2%，)(x=(xr)X).对任意x=(%),y二(y)X,估计7-7,令二(q),那么：fcaL+oo,任取。=(卬)£尸,于是IlrlI",令-=IIaIl00,任取。</，那么于是，Tx1Il17x1II1=Ia7o>a,而IMIl=1,于是T,由的任意性得：4、(1)解释什么是对偶空间的表示定理并解释其价值。1_1(2)设X=("X),说明fX",并求"解：(1)对偶空间的表示定理是指，将对偶空间X通过表达式e*,y)UX,yy)使得VfwX*J(X)=9(%,y)CrwX),其中yeY由f唯一决定,且I"IHlyI|,于是X"等距同构于丫的一-系列定理，它将抽象的X*对偶空间与一个具体的空间Y等价。(2)因为/(W)=J>2(«)山;，变量代换令y=33因为，v(x)三2L0,1,所以，X*=L7IOJJ132所以，I"II=(JOIU(X)M)3=2(参考P90例)5、设X是一复BanaCh空间，TL(X).(1)如何判定算子哥级数£7”的敛散性？11=0设(7)含于椭圆3/+29<1之内判定级数W装的敛散性。(1)先确定级数W>,;T的收敛半径R，如果弓(T)<R,那么2勺7"绝对收敛，如果弓(7)>R,/1=0那么W>T发散。(2)级数£里!的收敛半径为：R=IimJ例工=±而b(T)含于椭圆3/+2丁<1之内，所以«=02"fc2zn5G(T)<g<:<R,所以三EW绝对收敛。25=02泛函分析XXXX试题1、判定/(X)=-Vcosnr分别在空间方0,1,由0,1,。0,190,1,。2。中的敛散性。n解：(1)在ZaO中，空间为完备空间，只需验证为柯西序列1.1故有在t(),l为柯西列，又由A(),l完备，故.(X)在中收敛"0,且由Cull(x)dx,7d=45-O,故有w(x)OJOJonn(2) 同理也收敛。在qo,i中,故有知(幻为CO,1中的柯西列，又由CO,1的完备性知，有(X)在QO,1中收敛，且有ult()Z(一致收敛)在CtO,1中,Wun(X)-Um(X)Wl=max%*(x)iH)(X)IK=OJtXe(OJ)又由maxIu(x)-w(x)0,(n,WOO)以及.vo.j(5)在C10川中，由2、J=QlJa)=,求/()的最正确均方逼近的一次多项式。1+x解：方法一iA=span,x(次数小于等于1的多项式全体)Gram矩阵,-612方法二:-1,1(由P43公式)-1,1b-a=方法三:设P(x)=ax-vb3、Tu=x2-y2)u(y)dyt证明丁L(t0,1)且求IlTlll证明：显然T为线性算子，11.(其中有，IIwII1=Jf'(2-)=-=-)30J推出：TwL1O,l,KT1,根据(P78命题)，显然T为有界线性算子,故有：TL(L,O,1).1,又取MX)=X0,1,(x)=0,o, nx-,0 n244、X=L30,2,对W"X有/()=5(X)(l+x"公，说明fX*,并求出Ilfll43解：由于贝X)=(I+x)3*0,2,因为由"()J：(1+妒Iu(x)dxHuH3Hv3=u3=>/为X上的泛函23f的线性性由积分线性性易得，而|"Il=sup'VIl3=()3,moHuHG3故fX",由定理知11/1I=IWlI3=(当)：235、b(T)在i,T,l,T四个顶点所围的矩形内，判断级数”的敛散性。n=l÷QO÷X(Z537”的收敛半径为1,而r(T)<1=>Z53尸绝对收敛。)JI=I71=1解：解方程yX,x=7x+y,+8÷CO假设有(D<l=>(-7)T=Zry,(I-T)X=y>x=I-Tly=T2yn=0w=0一般可定义映射：FxtTx+y,于是求原方程的解相当于求产的不动点，即Er=%,xi= Fxq =Tx0+ xq=T(Txfi+x0)+x0=T2xg+Txfi+Xq%=&7=r÷r-,x0+÷70+0=r=r,k0=0%工为所求的解，X也即为产的不动点。
