二次函数之角度问题解析.docx

二次函数之角度问题【牛刀小试】如图，抛物线y=-圣2+从+。与X轴交于力(,3,0),3两点，与J，轴交于点C(0,33),连接力C,BC.抛物线的对称轴交X轴于点E.图图图(1)求抛物线的解析式；(2)如图，已知R是y轴上一点，连接4R,若力火平分NO4C,求点R的坐标；(3)如图，已知点G是抛物线上一点，连接CG,若NGCB=NABC,求点G的坐标；【分析】(1)利用待定系数法解答即可；(2)过点R作Ro_L4C于点O,设点R(0,r),利用角平分线的性质得到Ro=Ro=厂，RC=OC-OR=33-r,再利用相似三角形的判定与性质得到关于r的方程，解方程即可得出结论；(3)配方法求得抛物线的解析式，利用分类讨论的方法分两种情形讨论解答：当点G在直线BC的上方时，CG/AB,利用对称性解答即可；当点G在直线BC的下方时，设CG交X轴于点T,利用直角三角形的边角关系定理求得线段OT的长度，再利用待定系数法求得直线CT的解析式，与抛物线解析式联立，解方程组即可得出结论；【解答】解：(1)Y抛物线y=-品=bx+c与X轴交于力(-3,0),与y轴交于点C(0,33),-×93b+c=0(C=33(.23解得：D=丁，c=33，抛物线的解析式为尸一等/+竽X+33;(2)令X=0,则y=35,C(0,33),AOC=3.过点A作RZ)L4C于点0,如图,设点R(O,r),HR平分NC40,ROLAE,RDLAC,：RD=RO=r,：RC=OC-O=33-r.VZCD=ZJOC=90o,ZRCD=ZACo,:,丛CDRSXCOA,.CRDR*ACAO'*：A(-3,0),AOJ=3.,.AC=0A2÷OC2=6.3?-T_r*63,解得：r=3,：R(0,3);(3) *y=+X÷33=(X-3)2+43,，抛物线的对称轴为直线x=3,当点G在直线8C的上方时，如图，,:ZGCB=ZABc,：.CG/AB, 点G与点C关于直线x=3对称,VC(0,33),：.G(6,33);当点G在直线8。的下方时，如图,设CG交X轴于点T,(-3,0),抛物线的对称轴为直线x=3,：B(9,0),MCBA=需=噜4,ZC=30o. ：NGCB=NABc, NTC8=NC84=30°.VZOC5=60o,ZOCT=30°.在Rfzcor中，OT=OC*tanZOCT=3yf3«w30o=3.，点T的坐标为(3,0),即点7与点E重合，设直线CT的解析式为y=依+c,.(3k+c=0,(c=33,解得：3二一叶，k=33：,直线CT的解析式为yV5x+35.(y=-3x+33联立：卜邛/+竽”+3月解得：三3scw=-i23* 此时点G的坐标为(15,-123).综上，若/GCB=/ABC,点G的坐标为(6,33)或(15,-123);【考点探究】考点L定角求坐标【典例】如图1,抛物线y=+bx+3与X轴交于点4和8,与歹轴交于点C,顶点为M(-l,4).(1)求该抛物线的解析式；(2)如图2,点0为线段48上的一点，当N8CD=45°时，求点。的坐标;【分析】(1)根据顶点坐标公式建立方程求出。、b的值即可求函数的解析式；(2)过点8作5GL4C交于点G,则CG是等腰直角三角形，设£>(f,0),再由等积法8知。CO=CDBG,从而得到方程3(IT)=9Tt2.5,求出r的值即可；【解答】解：(DY顶点为M(-1,4),h12a-b2一=-1>=4,2。 4a解得b=-2,a=-1,，抛物线的解析式为y=-?-2x+3；(2)当X=O时，y=3,C(0,3),当y=0时，x'2x+3=0,解得X=I或X=-3,J(-3,0),B(1,0),过点B作8GL4C交于点G,8CG是等腰直角三角形，PBC=I,：,CG=BG=5,设£>(E,0),：.BD=1-6CD=9T7,：BD，CO=CDBG,即3(17)=9115,解得尸6或u-米Y点。为线段48上的一点，3./=2»3D(-2->0)；【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质,等腰直角三角形的性质是解题的关键.1.2【变式】如图，已知抛物线尸-/"+bx+c经过点4(5,)、点5(9,-10),与y轴交于点C.(备用图)(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)点P在抛物线上，过点尸且与y轴平行的直线/与直线BC交于点E,当四边形XEC尸的面积最大时，求点尸的坐标；(3)当NPCB=90°时，作NpCB的角平分线，交抛物线于点E求点尸和点尸的坐标.【分析】(1)根据抛物线y=-*2+bx+c经过点力5,|)、点8(9,-10),运用待定系数法即可求得抛物线对应的函数表达式；(2)根据直线BC为：y=-X-1,可设点P的坐标为(m,%J+2"i-1),则E(小，-w-1)»进而得到PE=-m2+2w-1-(-W-D=-m2+3w,最后根据四边形ZEe尸的面积=PE面积+。尸E面积，求得点P坐标为名，1)：(3)根据NPC8=90°,CF平分NPCB,可得NBb=45°,进而得出C尸X轴，则当y=-1时，-l=-i+2-1,解得尸(6,-1),再根据直线C尸为：y=-1,可得当x-1=#+2、-1时，可得?(3,2).12【解答】解：(1抛物线y=-g+b"c经过点4(5,5)、点8(9,-10),(=-i×25+5+c(-10=-×81+9Z)+C解此：:，抛物线对应的函数表达式为歹=-i+2-1；(2)由抛物线可得，C(0,1),8(9,-10),直线BC为：y=-L设点尸的坐标为(hi,-1),则E(m,-m-1),:PE=-"+2w-1-(-w-1)=-t112÷3tw,：.四边形AECP的面积=ZXNPE面积+ZCPE面积112112=2×(oW+3w)×m+2×(q/m+3w)×(5-w)W+3213,m(-5 -2W 1525-4= (3)过点B作BHLy轴于”,：CH=BH=9,INBCH=45°,.PCB=90°,CF平分匕PCB,；NBCF=45°,：/FCH=90：即C产X轴，当y=-1时，-1=x2+2x-1,解得Xl=0，x2=6, 尸(6,-1), :CPtCB,C(0,-1), 直线CP为：y=-1,当X-1=:x'+2x-1时，解得Xl=0,'2=3,当x=3时，y=2,AP(3,2)：【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法.考点2：已知角度关系求坐标【典例】如图，抛物线y=-2x+c的经过。（-2,3）,与X轴交于4、B两点（点力在点B的左侧）、与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式和力、B两点坐标；（2）在y轴上有一点P,使得NoiP=N8CO,求点尸的坐标.【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式解答即可；（2）利用相似三角形的判定和性质以及轴对称的性质解答即可.【解答】解：（D:抛物线y=22+c的经过。（2,3）,：,-4+4+c=3,解得：c=3,即抛物线的表达式为：y=-，2x+3,设尸0,则0=-2-2x+3,解得：Xl=3,X2=LO点。在点B的左侧,：.A（-3,0）,B（1,0）；（2）连接BC,在X轴的上方，作Nol尸=NBCO,交y轴于点P,VJ(-3,0),B(1,0),c=3,OC=3,OB=I,CM=3,VZAOP=ZCOB=90o,ZOAP=ZBCO,:,AOAPsAOCB,OAOP=e",OCOB3OP吗=TOP=I,点P(0,1),当点尸在X轴的下方时，即与点B关于X轴对称时，点入(0，-1):综上所述：点P的坐标为：PI(0,1)；P2(0,-1)；【点评】本题考查了二次函数的综合应用，根据二次函数解析式的确定、轴对称的性质以及矩形的性质进行解答是关键.【变式】如图，抛物线y=+6+c交X轴于力、8两点，交y轴于点G连接4C.宜线y=-5经过点8、C.(I)求抛物线的解析式；(2)P为抛物线上一点，连接4P,若力P将448C的面积分成相等的两部分，求P点坐标；(3)在直线BC上是否存在点“，使直线与直线BC形成的夹角(锐角)等于N4C8的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)由y=x-5可以求得C,8两点坐标，再把两点坐标代入抛物线y=。2+6x+c,即可求解;955(2)作8。的中点M连接V并延长交抛物线于P,在y=V+2x+3中得C(0,3),即可得N1,),用待定系数法得直线4N解析式为尸-沁东联立解析式解方程组即得P点的坐标(/，|)；(3)把二倍角转化为相等关系，可得等腰三角形，利用等腰三角形得方程即可求解.【解答】解(1)由y=x-5得点8坐标(5,0),点C坐标为(0,-5),把8(5,0),C(0,-5)代入抛物线y=+6x+c得，(25a+30+c=0U=-5'解得a=-1,C=-5,，抛物线的解析式为：y=f+6X-5；(2)作8C的中点N,连接4N并延长交抛物线于P,如图：YN为BC中点,直线NN将AZBC的面积分成相等的两部分，即P是满足条件的点，YB(5,0),C(0,5),N为BC中点,55：.N(一，-)»22设尸-x2+6x-5=0,解得：Xi=LX2=5,：.A(1,0),设直线4N解析式为5 -,2/kN 5-3> -5 5 O)= ，Tnn U /IKV5 -2= n + m5 -25 -2：自线AN解析式为y=-gv+y解方程组y=Iy =-5 56X x+2+ 5-3 X解得:p号,-2(3)存在点/,使力/与直线6C的夹角等于N/C8的2倍,设抛物线的对称轴I与直线BC相交于点P,点M在月尸左边时， ：NAMB=2NACB,ZAMB=ZACM+ZCAM,，ZACm=ZCAM,.AM=CM, 点M在直线y=x5上，设点M的坐标为(M,W-5),根据两点间距离公式，AAf=(1-w)2+(0-m÷5)2=2-12w+26,CM=(0-m)2+(-5-w+5)2=2/,2m-12w+26=2w解得m=噂， ”点的坐标为吟，一兴，点M在Po右边,此时NZKC=AMB,*AM,:APLBC, 点尸是MM2的中点，根据中点坐标公式得“2（乡，一（），6。1317237点的坐标为（下，-g-）或（£,-g）.【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数解析式求法，等腰三角形判定，勾股定理及其逆定理等知识，此题关键是转化二倍角为相等角.同步练习1.如图，二次函数y=?+反-3的图象经过点力(-3,O),B(l,0),且与歹轴交于点C,直线y=；x+l与X轴、y轴交于点。、E,与二次函数图象交于点尸，G.(1)求该二次函数的解析式.(2)点M为该二次函数图象上一动点.若点M在图象上的C,E两点之间，求的面积的最大值.若NMED=NEDB,求点M的坐标.备用图【分析】(1)由待定系数法即可求解；(2)由AZWE的面积=S4"AaSzWE=9x"XOD,即可求解；当点(M')在。E上方时，若NMED=/EDB,则点ArEx轴，即可求解：当点/(M')在Z)E下方时，若NMED=/EDB,则瓦V=OM即可求解.【解答】解：(D设抛物线的表达式为：y=a(x+3)(-l)=a(+2x-3),则-3=-3,则=l,故抛物线的表达式为：y=f+2x-3；(2)如图1,过点M作A/"歹轴交EE于点”,设点 H G, 4+1),则点 (x, x2+2x- 3),则的面积=Szjmd+Szw= I XHMX OD= ×2× 4+1 - (2+2x - 3) I=-X-V - KO,故aOME的面积有最大值，3-4-X则Zf>E的面积的最大值为：；当点M(Ar)在OE上方时，若NMED=NEDB,则点M'5X轴，当y=l时，x2+2x-3=1,解得：x=-l-5(点M'在第二象限，不合题意的值已舍去),即点M'(-l-5,1)；当点/(Ar)在。E下方时，设以W交X轴于点M若NMED=/EDB,则EN=QN,设点N(x,0),则(x+2)2=2+l,解得：X=等则点N(-,0),由点£*、N的坐标得，直线EW的表达式为：y=3+1，联立得：f+&-3=x+1,解得：X=二竺(点”在第三象限，正值己舍去)，则点M的坐标为：(士巨，匕亶).39综上，点M的坐标为：(-1-5,1)或(-,-).【点评】本题为二次函数综合题，涉及到二次函数的图象性质、解直角三角形、面积的计算等，分类求解是本题解题的关键.2 .如图，在平面直角坐标系xQ>，中，顶点为”的抛物线y=(>0)经过点A(-l,I)和X轴正半轴上的点8,AO=OB.(1)求这条抛物线的表达式；(2)连接。求的度数；(3)连接4M、BM、AB,若在坐标轴上存在一点P,使NOIp=N求点P的坐标.【分析】根据已知条件求出点8的坐标，将48的坐标代入尸ax,即可求得a、b,从而求得抛物线的表达式.(2)应用二次函数的性质，求出点M的坐标，从而求得NQM=30°,进而求得N4OW的大小.(3)根据(2)的结论得出NalP=N48M=60°,进而分类讨论，即可求解.【解答】解：(1),.M(-r3)：.0A=TT3=2,*：AO=OB.OB=2,则8(2,0)将4(一1,3),B(2,0)代入y=0+bx得:解得( b = 3 U + 2 = 0,P=f23,这条抛物线的表达式为y=等/一竽%；(2)过点M作MELr轴于点E,过点力作力。_LX轴于点O,'AD=1,OD=3,：.tanAOD=则NOZ)=30°,.32233zi、2_LQy=Tx3x=T(X-1)+-3,，M(1,-歙即OE=1,EM=亨,=器=等,ZW=30o.ZAOM=ZAOB+ZEOM=150°.(3)解：aangEOB=30o,MO=MB,JNMBO=30°,丁NAOB=120°,OA=OB,ZJBO=30°,ZABM=60°,：OAP=ABM,轴或4P_L4B,如图所示，当轴时，P(0,3),当Z尸_L48时，ZAOP=ZOAP=60o,则4XOP是等边三角形,.OP=AO=2fP(-2,O),综上所述，P(O,5)或P(-2,0).【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，已知特殊角的三角函数值求角度，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.3 .如图，已知抛物线y=a+b+c(q0)的图象与X轴交于点力(-1,0)和点8(3,0),与y轴交于点C(0,-3).(1)求二次函数的表达式；(2)如图，点M是宜线BC下方的二次函数图象上的一个动点，过点M作LX轴于点”，交Be于点M求线段MN最大时点M的坐标；(3)在(2)的条件下，该抛物线上是否存在点0,使得NQC8=NC8/.若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)将点力(-1,0),B(3,0),C(0,3)代入y=0+公+c中得到关于,b,C的方程组，解方程组求出,b,C即可得到二次函数的表达式：(2)先求出直线BC的解析式为y=x-3,设点M的横坐标为f,则点M的纵坐标为：/-2l3,由于点N的横坐标为，则点N的纵坐标为L3,据此可得出MN关于t的函数关系式，然后根据函数的最大值即可求出点M的坐标；(3)先求出直线的解析式为y=-竽，分两种情况进行讨论：当点。在直线8C上方时，则CQ"BM,再求出直线CQ的解析式为y=x-3,然后与抛物线的解析式联立成方程组求解即可得点Q的坐标；当点0在直线8C的下方时，设CQ与BM交于点R,连接OR,先证OR为BC的垂直平分线，OR为NBOC的平分线，再证点N为BC的中点，则OA经过点N,据此得直线OR的解析式为y=7,将直线OA的解析式与直线的解析式联立成方程组求解的点A的坐标，进而可得直线CH的解析式为yX5-23,然后与抛物线的解析式联立成方程组求解即可得点Q的坐标.【解答】解：(1)将点力(-1,0),B(3,0),C(0,-3)代入y=x+bx+c,(ab+c=0(a=l得：9+3b+c=0,解得：b=-2,(C=-3(C=-3二次函数的表达式为：y=-2-3f(2)设直线BC的解析式为：y=左x+加将8（3,O）,C（0,-3）代入y=尢x+",得:KVjr°，解得:（：:%，直线BC的解析式为：y=x-3,设点”的横坐标为Y点”在8C下方的二次函数图象上，点M的纵坐标为：Z2-2/-3,1.X轴交BC于点M 点N的横坐标为人 点N的纵坐标为：3,OQ,MAT=(t-3)-(t2-2t-3)=-t2+3t=-(t-2+三,当t=,时，MN为最大,当t=?时，d2£-3=一学， *点M的坐标为弓，学）.（3）存在，点0的坐标为（?，苧）或（导,技），理由如下：设直线6M的解析式为：y=kb2t将点8(3,0),M(3/2,-15/4)代入了=5+,得:3fc2+D2=0解得:，直线的解析式为：V15_2,-X5-2当NQC8=NC8/时，有以下两种情况:当点Q在直线BC上方时，：QCB=CBM,:CQBM、设直线C0的解析式为：y=k3x+bi,则自=N=-3,，直线C0的解析式为：y=x-3,解方程组y=-3徂卜】=2产2=。229J得：33,（y2=-3,y=xz-2x-3（y1=彳3点0的坐标为4，苧）；当点Q在直线BC的下方时，'：4QCB=CBM,：.RB=RC,又点、A(-1,O),C(O,-3),：,OB=OC=3,OR为5C的垂直平分线，且为NBOC的平分线,3由(2)知：点N的横坐标为a，3工OH=1,33.,.BH=OB-OH=3-=,；H为OB的中点,9NHOC,，点N为BC的中点，JOR经过点MTOR为NBoC的平分线，工宜线OR的解析式为：y=-X,(y=-×G=璋解方程组段得二字*点R的坐标为(苧，苧)，设直线CR的解析式为：y=hv也，将C(0,-3),R(竽，一苧)代入尸人+儿，得：15, l ,15，解得:k4 + b4 = -7-4=t力4=-3，直线CH的解析式为：y=X3>_12解方程组y=亏”- 3,得:(y = X2 -2x -3XI=可俨2=051,y2=-3,%=一再点Q的坐标为(?r,)综上所述：点0的坐标为右,苧)或。,-f).【点评】此题主要考查了求函数解析式，二次函数的最值，函数的交点坐标等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，以及求函数交点坐标的方法，难点是分类讨论思想在解题中的应用，漏解是解答此题的易错点之一.4 .如图，二次函数y=（X+2）21的图象经过点（4,3）,与X轴交于4B两点、（点Z在点B的左侧），与歹轴交于点C（1）求。的值及点C的坐标.（2）求Szi48C的值.（3）在RtADEF中,ZDFE=90°,EF=I,DF=2,直角边E尸与X轴重合，ZOEE沿X轴平移，当点。落在抛物线上时，求点E的坐标.【分析】(1)把(4,3)代入y=(x+2)叱1可解得。=1,故y=(x+2)2-l=+4x+3,令x=0可得点C的坐标为(0,3)；(2)结合(1)求出/(-3,0),8(-1,0),AB=2t即可得SziMC=Iycl=*x2X3=3:(3)由NO尸E=90°,EF=LDF=2,设E(加，0),则E(m+l,0),D(w+l,2),根据点。落在抛物线y=f+4x+3上，有2=(m+l)2+4(m+l)+3,即可解得点E的坐标为(-3+旧，0)或(3-百，0).【解答】解：(D把(4,3)代入y=4(x+2)?1得：3=41,解得=l,：.y=(x+2)2-l=÷4x+3,令X=O得y=3,二点C的坐标为（0,3）；（2）在y=f+4+3中，令y=0得：O=X2+4+3,解得X=3或X=-1,：.A(-3,O),8(1,O),VC(O,3)：:SABC=%8yc=；×2X3=3,F”C的值为3；(3)由Nn7E=90°,EF=I,DF=2,设£(加，0),则尸(加+1,O),D(w+b2),Y点D落在抛物线y=2+4x+3上，2=(m+l)2+4(w+l)+3,解得m=-3+5或w=-3-75,，点E的坐标为(-3+3,0)或(-3-3,0).【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，二次函数图象上点坐标的特征等知识，解题的关键是掌握待定系数法和二次函数图象上点坐标的特征列出关于?的方程.5 .如图，抛物线y=+区+c与X轴交于4B两点，与歹轴交于点G抛物线的对称轴是直线X=-|.已知点8(1,O),C(0,-2).(1)求抛物线的解析式.(2)E是线段ZC上的一个动点，过点E作Eo_LX轴，延长DE交抛物线于点R求线段m的最大值及此时点E的坐标.(3)在y轴上是否存在一点P,使得NOIP+NCMC=60°?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)由待定系数法即可求解;(2)由点力、C的坐标得，直线/1C的解析式为y=-?-2,设点E(%,一基一2),则点7(x,x2+x-2),进而求解；(3)根据等腰直角三角形的性质，可得儿根据三角形的面积，可得关于的方程，根据解方程，可得答案；根据全等三角形的性质，即可求解.【解答】解：(1)丁点。的坐标为(0,-2),c=-2.Y抛物线过点8(1,0),对称轴是直线x=-,则抛物线和X轴的另外一个交点为：(4,0),则抛物线的表达式为：y=a(x+4)(X-I)=a(f+3-4),则-4«=-2,则a=.抛物线的解析式为y=Jx2+x-2;(2) :抛物线对称轴为直线x=-,点8的坐标为(1,0),点力的坐标为(4,0).由点/、C的坐标得，直线ZC的解析式为y=-*%-2,设点E(x>2)»则点F(x,+2)>：.EF=(-2x-2)-(x2+3x-2)=-2x-2-2-3x+2=-(x+2)2+2,V-i<D,当X=-2时，线段M的值最大，最大值为2,此时点E的坐标为(2,-1)；(3)存在.设点P(0,w),如图，过点P作尸Gj于点G,连接总尸.Z4G=60o,AG=PA,：.PG=Jpa2-(PA)2=-PA.VPA=n2+42,AC=42+22=25,.*.PG=苧n2+42,由刃C的面积，得：-4CPGpcOA,22EW×25X空Xn2+42=×4(w+2),解得：=-32+205或-32-203(不符合题意，舍去)，.P(O,-32+203),设点与点尸关于原点O对称，则P(0,32-203),综上所述，点尸的坐标为：(0,-32+203)或(0,32-206).【点评】本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法，解(2)的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解(3)的关键是利用等腰直角三角形的性质得出儿又利用了三角形的面积得出关于的方程，要分类讨论，以防遗漏.6.在平面直角坐标系Xoy中(如图)，已知抛物线y=v+c过点彳、仄C,点彳的坐标是(3,0),点C的坐标是(0,-3),连接4G抛物线的顶点为点。.(1)求抛物线的表达式；(2)求44CQ的面积；(3)如果点尸是抛物线上的一点，当NPc4=15°时，求点P的横坐标.【分析】（I）由待定系数法即可求解；（2）由aCQ的面积=Sz3+Sm=3xP"X40,即可求解；（3）当点尸在NC上方时，设PC交X轴于点”，则NoHC=60°,则直线。尸的表达式为：y=击-3,即可求解；当点尸在/C下方时，同理可解.【解答】解：（D由题意得：n,解得：;:=则抛物线的表达式为：y=¥2x3；（2）过点尸作尸，y轴交ZC于点”，由点彳、C的坐标得，直线4C的表达式为：y=-3f由抛物线的表达式知，点P（1，-4）,当X=I时，y=-3=-2,则（1,-2）,则彳Co的面积=5"CMSmw=2XPHXAo=×2×3=3;(3)由点4、C的坐标知，Noo=45°,VZPC4=15°时,，当点尸在XC上方时，设PC交X轴于点”,则NOC=60°,则直线CP的表达式为：yy3x-3，联立得：2-23=5-3,解得：X=O(舍去)或2+5,即点尸的横坐标为：2+3;当点尸在ZC下方时，设交X轴于点M同理可得：NoM7=30°,则直线CP的表达式为：y=苧X-3，联立©得：X-2x-3=苧X-3,解得：x=2+孚;即点P的横坐标为：2+空；综上，点尸的横坐标为：2+5或2+等.【点评】本题为二次函数综合题，涉及到面积的计算、解直角三角形、待定系数法求函数表达式等，有一定的综合性，难度适中.拓展提优1.如图，抛物线y=f+b+c与X轴分别交于4B两点(点力在点8的左侧)，与y轴交于点C,若4(-1,0)且OC=304(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图，点。是该抛物线的顶点，点尸(必)是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接5。、BCBP.若aPSC是直角三角形，且NP8C=90°时，求P点坐标；当NP84=2NC8O时，求P点坐标.【分析】(1)用待定系数法即可求解；(2)证明8。和X轴负半轴的夹角为45°,得到直线P8的表达式为：y=(x-3),进而求解;证明aAWQ为等腰三角形，求出tanZHBD=tanZPBAf得到直线8。的表达式，进而求解.【解答】解：(D由点彳的坐标知，OA=T,而OC=340=3,则Co=3,即点C(0,-3),则抛物线的表达式为：y=x'+bx-3,将点A的坐标代入上式得：0=1-b-3,解得：b=-2,故抛物线的表达式为：y=x-2x-3：(2)令2x-3=0,解得：x=-l或3,即点5(3,0),板OB=OC=3,则N48C=45°=NOC8,VZPBC=90o,则8P和X轴负半轴的夹角为45°,故直线尸8的表达式为：y=(X3),联立y=x'-2x-3和y=-(x-3)并解得：X=-2,则点尸(-2,5)：由抛物线的表达式知，点O(L-4),则Cf>=且Cz)和y轴负半轴的夹角为45°,而NoCB=45°,故CD上BC,延长。C到A/使CM=C0,连接BM,则为等腰三角形,则NM80=2NC8。=/PBA,过点D作DH工BM于点H,则Szi8D=XMDXBC=iXMBXDH,由点C、D、B的坐标得：D=2CD=22,5C=32,BD=历=BM,即2×32=20XHD,1?则物质，12则如"如盥=源贝Utan/HBD=tanPBA,故直线BP的表达式为：y=-(X-3),J4联立产=9-2、-3和上式并解得：xIy=正757即点P的坐标为：(-/,).【点评】本题考查二次函数的综合运用，涉及到函数的图象及性质，解直角三角形等，其中(2),构建等腰三角形8。”是本题解题的关键.2 .如图，抛物线)，=-f-b+c与X轴交于4(-%0),8两点，与)，轴交于点C(0,-4),作直线NC(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为线段4C上的一个动点，过点P作X轴的垂线交抛物线于点。，连接当四边形Z)8P的面积最大时.求证：四边形OC尸。是平行四边形；连接力。，在抛物线上是否存在0,使NzQP=NDPQ,若存在求点。的坐标；若不存在说明理由.【分析】(1)由待定系数法即可求解；(2)证明尸0=4=Ca即可求解：当点。在PD的右侧时，求出直线00的表达式为：y=x,即可求解；当点。和点力重合时，也符合题意，即可求解.【解答】(1)解：由题意得：n，解得：=5IC=-4则抛物线的表达式为：y=-5x4；(2)证明：由抛物线的表达式知，点8(1,0),则48=3,由点4、。的坐标得，直线4C的表达式为：y=-4,设点。(x,-X2-5x-4),则点尸(x,-4),贝IPD=-X2-4x,四边形4)8尸的面积=*x45XP0=*x3X(-x2-4x),V-O,故四边形彳OBP的面积有最大值，此时=-2,则点。、尸的坐标分别为：(2,2)、(-2,-2)；由点尸、。的坐标得：PD=4=CO,则OC/PD,则四边形OCPD是平行四边形；解：由点/、P、。的坐标知，AXPD为等腰直角三角形,WJZJPP=45°,则直线NO的表达式为：y=x+4,.ZADP=ZDPQf联立得：f-5x-4=x,解得：X=-3+5（不合题意的值已舍去），则点。的坐标为：（-3+5,-3+5）,当点0和点/重合时，也符合题意,则点0（-4,0）,综上，点。的坐标为：（-3+5,-3+）或（-4,0）.【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、面积的计算、一次函数的性质等，有一定的综合性，难度适中.3 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=J+b+c,交X轴于4、8两点（点力在点8的左侧，其中4点坐标（-1,0）；交y轴负半轴于点C,C点坐标（0,-3）.（1）求出抛物线的解析式；（2）如图1,若抛物线上有一点。，ZACD=45o,求点。的坐标.（3）如图2,点P是第一象限抛物线上一点，过点尸的直线VO）与抛物线交于另外一点0,连接4P、4。，分别交y轴于M、N两点.若OM2N=2,试探究、之间的数量关系，并说明理由.图1图2【分析】(1)将点4(1，O),C(0,3)的坐标代入抛物线解析式，即可求解；(2)过力作XK_LXC交CO于点K,作Ka_LX轴于点，证明C丝ZXHQ,可得K(2,1),用待定系数法求出直线CD的解析式，与抛物线联立解交点即可得出D的坐标；(3)过点P作PS_LX轴于点5,作0兀LX轴于点7,设尸(x1,y),Q(x2,”)，联立y=三+与y=x"-2x-3可得方程x-(2+n)x-3-«=0»由根与系数的关系得Xi+x2=2+w,X%2=-3，M=(mx+n')(fnx2+n)=n+2mn-3m由tanZPAS=tanZ.QAT=;=结合OM*ON=2,即可得出结论.【解答】解：(1)将点点/(-b0),C(0,-3)代入抛物线y=J+bx+c得,UC=C)，解得建二靠，抛物线的解析式为：y=x-2x-3：(2)过力作XK_L4C交Co于点K,作K_Lx轴于点”,图1VZJCD=45o，:AC=AK,VAAOc=AKHA=W，ZJCO=90o-ZOAC=ZKAh,:4OAC4HKA(AAS)t.AH=CO=3,KH=OA=3：K(2,1),设直线CD的解析式为y=x3工2左3=1,Ajt=2,直线CD的解析式为y=2x-3,联立PU?-华一3,解得x=0(舍去)，或x=4,(y=2x-3：D(4,5)；（3）加、/?之间的数量关系为+3m=2.理由如下:过点尸作尸SLV轴于点S,作。兀LX轴于点T,图2设尸(X1，为)，Q(%2»%)，联立y=zwx+与y=x-2-3得方程mxn=x-2x-3,整理得¥(2+m)X-3-w=0,x1+x2=2+w,Xi%2=-3,y*y-z=(wx+w)(mx2n)=+2加-3，D.cPSMO./八"QTONA小tan.PAS=,tanZQAT=J(-1»0),.OON=票嗡=2,心工=2,x1+lX2+1-(n2+2mn-3m2),(x1+l)(x2+l),-(n+3m)(n-m)-3-n+2+m+l-“'(n+3m)(n-n)