旋转与旋转变换(含答案).docx

第8讲旋转和旋转变换（一）考点方法破译1 .掌握旋转的三个性质：对应点到旋转中心的距离相等；旋转前后对应边，对应角相等；每对对应点与旋转中心所连线段所成的角都等于旋转角；2 .会判断图形的旋转过程，会利用旋转性质解实际问题；3 .能利用旋转性质进行开放探究。经典考题赏板例1如图，在RtZXABC中，AB=AC,D、E是斜边BC上两点，且NDAE=45°,将ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到AAFB,连接EF,下列结论：4AEDgAEF;ABEsACD;BE+DC=DE;（3）BE2+DC2=DE2,其中正确的是（）A.B.C.D,解：由旋转性质知，NFAD=NFBC=90°,且AF=AD,VZDAE=450,ZFAE=450,由AF=AD,ZFAe=ZDAE,AE=AD,得aAEDgZiAEF,正确；由勾股定理得BF2+BE2=FE2,将BF=DC,FE=DE代入得，BE2+DC2=DE2,正确；且知不正确；若NAFBHNADC,则不正确，故本题选B【变式题组】1 .如图,在等腰RtAABC的斜边AB上取两点M、N,使NMCN=45°,记AM=In,MN=x,BN=n,则以线段x、m、n为边长的三角形的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随x、m、n的变化而改变第2题图【例2】如图,将放置于平面直角坐标系中的三角板AOB绕0点顺时针旋转90°,得4A0B已知NAOB=90°,ZB=9Oo,AB=I,则BI点的坐标为（）A.B.C.D.答案：A.【变式题组】2 .如图，将边长为1的正三角形OAP沿X轴正方向连续翻转2020次，点P依次落在点巴,P2,Pa,P.的位置，则点P2侬的横坐标为.【例3】如图将RtZkABC（其中NB=34°,NO90°）绕点A按顺时针方向旋转到ABG的位置,使得点C、Ai,B在同一条直线上,那么旋转角最小等于答案：ZBAB,=34o+9Oo=124o【变式题组】3 .如图，（）如绕点。逆时针旋转80°得到AOCD,若NA=Il00,ZDMO0,则Na的度数是（）第5题图A.300B.400C.500D.60°DB第3超图第4顾图4 .如图，NAOB=90，ZB=300,ZAOB'可以看作是由AAOB绕点。顺时针旋转a角度得到的，若点Al在AB上，则旋转角a的大小可以是()A.300B.450C.600D.90°5 .如图是“大西洋公约组织”标志的主体部分(平面图)，它是由四个完全相同的四边形OABC拼成的,测得AB=BaOA=OC,OA±OC,NABC=36°,则NoAB的度数是()A.1160B.1170C.1180D.119°【例4】在RtZABC中,ZC=9Oo,BC=4cm,AC=3cm,把AABC绕点A顺时针旋转90°后,得到AABC,如图所示，则点B所走过的路径长为()A.52cmB.-cmC.-ctnD.5cm42【解法指导】点B所走过的路径是以AB为半径、圆心角为90。的圆弧，又AB=5cm,所以路径长为J2xrx5=9加777,应选C42【变式题组】6.把一副三角板按如图(1)位置摆放，使得两块三角板的直角边AC和MD重合，己知AB=AC=8cm,将AMED绕点A(M)逆时针旋转60°后如图(2),两个三角形重叠(阴影)部分的面积约是cm2(结果精确到0.1,31.73).【例5】已知aABC在平面坐标系中的位置如图所示.(1)分别写出图中点A和点C的坐标；画出AABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的AAEc(2)求点A旋转到点Al所经过的路线长(结果保留江).【解法指导】解：(1)A(0,4)、C(3,1)(2)Rm90×32×-32AC=32,弧AAl=11802【变式题组】1 .如图，己知AABC的三个顶点分别为A(-2,3)、B(-6,0)、C(-1,0)(1)请直接写出点A关于Y轴对称的点的坐标；(2)将aABC绕坐标原点。逆时针旋转90,画出图形，直接写出点B的对应点的坐标;(3)请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标.2 .如图，在平面坐标系，ZiABC的顶点坐标为A(-2,3)、B(-3,2)、C(-1,D0(1)若将AABC向右平移3个单位，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的AABC(2)画出AABC绕原点旋转1801)后得到的AAzBzCz;3 3)AAWC与aABC是中心对称图形，请写出对称中心的坐标：(4)顺次连结C、G、C2所得到的图形是轴对称图形吗？【例6】如图在平面直角坐标系Xoy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A(1,1).B(2,-1),C(-2,-1)、D(-1,1),Y轴上一点P(0,2)绕点A旋转180°得到P1,点Pl绕点B旋转180。得到P2;点巴绕点C旋转180°得点P3,点Ps绕点D旋转180°F得到Pv，重友操作依次得到Pi、P2、，则点P2的坐标是()1尸A、(2020,2)B、(2020,-2)C、(2022,-2)D.(0,2)Dj1【解法指导】由己知可以得到，点P】、P?的坐标分别为(2,0),(2,-2),记P2/(a2,b2),其中a=2,b2=-2,根据对称关系，依次可以求得：P3C/I'B(-4-a2,-2-b2),P4(2+a2,4+b2),P5(-a,-2b2),P(4+a2,b2),令P6，b2),同样可以求得，点巴。的坐标(4+a,b2)WP10(4×2+a2,b2),由于2010=4X502+2,所以点P23的坐标为(2020,-2),本题应选B.【变式题组】1 .如图，点0是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD,连结AC和BD,相交于点E,连结BC,求NAEB的大小；(2)如图，0AB固定不动，保持aOCD的形状和大小不变，将AOCD绕点0旋转()AB和aOCD不能重叠)，求NAEB的大小。2 .如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连结AC,BD.(1)求证：AC=BD;3(2)若图中阴影部分的面积是二加V?,0A=2cm,求OC的长.4O2 .如图，将AABC沿DE折叠，使点A与BC边上的中点F重合，下列结论中：EFAB且EF=LA8；NBAF=/CAF；S四边形A诉E=-AFDEiNBDF+NFEC=2NBAC,正确的个22数是（）A.1B.2C.3D.43 .如图，AABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为AABC内一点，将aABP绕点A逆时针旋转后与4ABP重合，如果AP=3,那么线段PPl的长等于.4 .如图所示，边长为2的等边三角形木块，沿水平线1滚动，则A点从开始至结束所走过的路线长为：（结果保留准确值）5 .如图边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转45°,则这个两个正方形重叠部分的面积是.培优升级1 .如图,COD是AAOB绕点0顺时针旋转40。后得到的图形,点C恰好在AB上，ZAOD=9Oo,则NB的度数是第1题图第2题图第3题图2 .如图，在RtABC中，ZA=90o,AB=6cm,AC=8cm,以斜边BC上距离B点6cm的点P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°至DEF,则旋转前后两个三角形重叠部分的面积是cm2.3 .如图，矩形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，点P在矩形ABCD内。若AB=4cm,BC=6cm,AE=CG=3cm,BF=DH=4cm,四边形AEPH的面积为Scm之,则四边形PFCG的面积为cm2.4 .如图，在直角坐标系中，己知点A(-3,0),B(0,4),对AOAB连续作旋转变换，依次得到三角形、，则三角形的直角顶点的坐标为.第5题图5 .如图，已知：P是等边aABC内的一点，ZAPB.ZBPC.NCPA的大小之比是5：6：7,则以PA、PB、PC的长为三角形的三个内角的大小之比()A.2：3：4B.3：4：5C.4：5：6D.5：6：76 .己知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PBsPC。(1)将aPAB绕点B顺时针旋转90°到4PCB的位置(如图1).设AB的长为a,PB的长为b(b<a),求APAB旋转到aPCB的过程中边PA所扫过区域(图1中阴影部分)的面积；若PA=2,PB=4,ZAPB=1350,求PC的长；(2)如图2,若PA2+PC2=2PB请说明点P必在对角线AC上.第9讲旋转和旋转变换（二）考点方法破译1 .能利用旋转性质进行开放探究；2 .能运用类比推理思想进行开放探究；3 .学会在旋转变换中寻找不变几何关系。经典考题赏板【例1】如图1,已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC.（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2,连接AE和CG,你认为（1）的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由。解：(1)答：AE_LGC.证明：延长GC交AE于点H.在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD=DC,NADE=NCDG=90°,DE=DG,ADECDG,Z1=Z2.VZ2+Z3=90o,Zl+Z3=90oZAHG=180o-(Zl+Z3)=180o-90°=90°AE±GC(2)答:成立.证明：延长AE和GC相交于点H.在正方形ABCD和正方形DEFG中,AD=DC,DE=DG.NADONDCB=NB=NBAD=NEDC=90°Zl=Z2=90o-Z3ADECDGZ5=Z4.又.N5+N6=90°,Z4+Z7=180o-ZDCE=180o-90°=90°Z6=Z7.XVZAEB+Z6=90o,ZAEB=ZCEHZCEH+Z7=90o,ZEHC=90o,AE±GC【变式题组】1 .如图，直角梯形ABC中，ADBC,NBCD=90°,且CD=2AD,tanZABC=2,过点D作DEAB,NBCD的平分线于点E,连接BE.(1)求证：BC=CD.(2)将aBCE绕点C,顺时针旋转90°得到aDCG,连接EG.求证：CD垂直平分EG.(3)延长BE交CD于点P.求证：P是CD的中点.【例2】如图1,RtABCRtEDF,NACB=NF=90°,NA=NE=30°。AEDF绕着边AB的中点D旋转，DE、DF分别交线段AC于点MK或如图4,当NCDF=30°时，AM+CK_MK(只填“>”或(2)猜想：如图1,当0°<ZCDF<60o时，AM+CKMK,证明你所得到的结论.(3)如果MK2+CK2=AM2,请直接写出NCDF的度数和弊的值.AM【解法指导】=>(2)>证明：作点C关于FD的对称点G,连接GK,GM,GD,则CD=GD,GK=CK,NGDK=ZCDK,YD是AB的中点，,AD=CD=GD.*.,30°,，NCDA=120°,VZEDF=60o,ZGDM+ZGDK=60o,ZADM+ZCDK=60o.ZADM=ZGDM,VDM=DM,ADMGDM,AGM=AM.VGM+GK>MK,AM+CK>MK.(3) ZCDF=IS0MKM【变式题组】2 .填空或解答：点B、C、E在同一直线上，点A、D在直线CE的同侧，AB=AC,EC=ED,NBAC=ZCED,直线AE、BD交于点F.(1)如图，若NBAC=60°,则NAFB=；如图，若NBAC=90。，则NAFB=；(2)如图，若NBAC=,则NAFB=(用含的式子表示)；(3)将图中的aABC绕点C旋转(点F不与点A、B重合)，得图或图，在图中，NAFB=与Na的数量关系是；在图中，NAFB=与Na的数量关系是,请你任选其中一个结论证明。【例3】已知将一副三角板(RtaABC和RtZXDEF)如图1摆放，点E、A、D、B在一直线上，且D是AB的中点，将RtADEF绕点D顺时针方向旋转(0。VaV90°),在旋转的过程中，直线DE、AC相交于点M,直线DF、BC相交于点N,分别过M、N作直线AB的垂线垂足为GH0(1)当=30°时，(如图2),求证：AG=DH;(2)当1=60。时，(如图3),(1)中的结论是否仍然成立？请写出你的结论，并说明理由；(3)当0°<a<90°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论并根据图4说明理由。【解法指导】本题属于旋转类动态问题，是开放探究题，在旋转变化中，始终有两组三角形全等(或相似)。(1)证明：VZA=ZADM=30o,，MA=MD.又MGJ_AD于点G,AG=AD.ZBDC=180o-ZADE-ZEDF=180o-30o-90o=60o=ZB,CB=CD.C与N重叠又NHlDB于点H,DH=DB.VAD=DB,AG=DH.(2)解：结论成立.NADM=60°,ZNDB=90o-60o=30o.ZMAD=ZNDB,又AD=DB,NADM=NB=60°,.MADNDB.MA=ND.VMG,NH分别是AMAD,aNDB的对应高，RtMAGRtNDH.AG=DH.解：结论成立.在RtZXAMG中，NA=30。，ZAMG=60°=ZB.又NAGM=NNHB=90°,AGM</>NHB.>/ZMDG=,ZDMG=90o-a=ZNDH.又NMGD=NHBHZDHN=90o,.MGDG.RtMGDRtDHN.=DHNH【变式题组】3 .将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图方式摆放，其中NACB=/DEB=90。，NA=ZD=30o,点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F.(1)求证：AF+EF=DE;（2）若将图中的ADBE绕点B按顺时针方向旋转角,且0oa60o,其它条件不变，请在图中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立；（3）若将图中的ADBE绕点B按顺时针方向旋转角仇且60。BV180。，其它条件不变，如图.你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由.12经过AD中点M.3(1) A (O, 2), D (23, 0）. （2）探究1：当a=60。时，四边形AFEP是平行四边形.理由如下：两菱形的位似比为2 ： 1, 0A=2, OD=25,菱形ABCD边长为4,NBAo=60°（1）填空：A点坐标为,D点坐标为；（2）操作：如图，固定，将绕点顺时针方向旋转。度角（0。90。），并延长E交AD于P,延长H交CD于Q.探究1：在旋转过程中是否存在某一角度,使得四边形AFEP是平行四边形？若存在,推断出值；若不存在，说明理由；探究2：设AP=x,四边形OPDQ面积s,求S与X之间函数关系式，并指出X取值范围.，菱形EFGH的边长EF=-1aD=2,NFEO=60。Y在旋转过程中EF的长和NFEo的2大小始终不变，当射线OE旋转到经过M点时，P与M重合，AM=AP=2,AOP为等边三角形，NAPo=NAOP=60。那么，NAPO=NFEO=60。,则EFAP,又EF=AM=2,当旋转角度a=NA0P=6（时，EF平行且等于AP,.a=60。时，四边形AFEP为平行四边形.探究2：过P点作PR_Ly轴于R,过Q作QT_Lx轴于T,设TQ=y,则：PR=APsin600=Y3,2OR=OA-AR=2-APcos60°=2-1×,OT=OD-DT=23-TQtan6(T=2«-3v它绕对称中心。旋转时NPOR=NQOt,RtAPORsRtZXQOT,二骂旦.OROT近2X二y,2-l233y,2x化简得：y=->.*.S=Sopd+Sodq=-×23-x)+×23×-=23V3xjx+2222x+22x+2即S与X的函数关系式为:S=23-立X+3愿X.(0<x<4)2x÷2【变式题组】4.如图1,在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点A的坐标为(-8,0),直线BC经过点B(8,6),C(0,6),将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形OABCl此时0ABc，分别与直线BC相交于P、Q.(1)四边形OAEU的形状是,BP矩形，当=90。时，F的值是PQ(2)如图2,当四边形OABU的顶点B，落在y轴正半轴上时，求一的值;如图3,当四边形OABU的顶点B，落在直线BC上时，求AOPB,的面积；(3)在四边形OABC旋转过程中，当(<180。时，是否存在这样的点P和点Q,使BP=I巩固提(HJ1.如图，把抛物线y=2与直线y=l围成图形OABC绕原点0顺时针旋转90°后，再沿X轴向右平移1个单位得到图形OABC,则下列结论错误的是()A.点Oi的坐标是(1,0)B.点Cl的坐标是(2,1)C.四边形OlBAIBl是矩形D.若连接OC,则梯形OCAlBI的面积是3m I Mffi第2题图第3图2.如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(-2.0)和(2,0).月牙绕点B顺时针旋转90°得到月牙，则点A的对应点A，的坐标为（）A.（2,2）B.（2,4）C.（4,2）D.（1,2）3 .如图，己知AACB与的DFE是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为IOCnb较小的锐角为30°,将两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合，将图（1）中的aACB绕点C顺时针方向旋转到图（2）的位置,点E在AB边上，AC交DE于点G,则线段FG的长为cm（保留根号）.4 .如图，在RtZsABC中，ZACB=90o,ZB=60o,BC=2,点0是AC的中点，过点。的直线1从与AC重合的位置开始，绕点。作逆时针旋转，交AB边于点D,过点C作CEAB交直线1于点E,设直线1的旋转角为.（1）当a度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD长为；当a度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD长为；（2）当a=90。时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由.培优升级1 .如图，己知AABC中，AB=AC,NBAC=90°,直角EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,给出以下四个结论：AE=CF；EPF是等腰直角三角形；Sra三AEPF=-Sbc;EF=AP.当NEPF在AABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述2结论中始终正确的有（）第I座图第2片图2 .如图，设P到等边三角形ABC两顶点A、B的距离分别为2、3.则PC所能达到的最大值为（）A.5B.y3C.5D.63 .如图1,若AABC和aADE为等边三角形，M,N分别EB,CD的中点，易证：CD=BE,AMN是等边三角形.（1）当把aADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（2）当AADE绕A点旋转到图3的位置时，AAMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，ADE与aABC及AAMN的面积之比；若不是，请说明理由.CNC图3E M 图14.如图，己知AABC是等腰直角三角形，NBAC=90°,点D是BC的中点.作正方形DEFG,使点A,C分别在DG和DE上，连接AE,BG.（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°,小于或等于360°）,如图，通过观察或测量等方法判断（D中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；（3）若BC=DE=2,在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值.