格林互易定理在求解静电学奥赛题中的应用.docx

试求;A、C两板间的电容为S4kd2A、8两板间的电容为G 二S4kd例析格林互易定理在求解静电学奥赛题中的应用金彪浙江省春晖中学浙江绍兴312353在静电场中，有一组固定的个导体系统，个导体上的电荷为名,%”,它们的电势分别为Ul,U2.Um,当的n个导体的电荷变为yq,2它们的电势UUl.U'nt,那么必有化成立。上面的定理叫做格林互易定理，其严格证明超出了中学物理的范围，但在求解有关静电感应的一些中学物理竞赛问题时,假设用格林互易定理的方法来求解,那么可以起到事半功倍的效果，下面就来看几个往年竞赛真题。例1：第13届预赛第5题在静电复印机里，常用如下图的电路来调节A、。两板间电场强度的大小，从而用来控制复印件的颜色深浅.在操作时，首先对由金属平板A、B组成的平行板电容器充电.该电容器的8板接地，A、3板间填充有介电常数为E的电介质，充电后两板间的电势差为U.而后，断开该充电电源，将连接金属平板C和可调电源E的开关K闭合.这样，A、C两板间的电场强度将随可调电源E的电动势变化而得以调节.。板与A板很近，相互平行，J1,A、C板间距离为A、C板间空气的介电常数取为1.源E的电动势为Uo时，4、C两板间某点P处的电场强度.解：先求出上下两电容器的电容：对由金属平板A、8组成的平行板电容器充电后，由条件可的C、A、8三块板的电势分别为所带电量分别为0,*二,*4成44成4当断开该充电电源，连接金属平板C和可调电源E的开关K闭合后，A板总电量不变，电势变化,设此时A板电势为U'；8板电量变化而电势仍为零，设B板电量为/；C板电势变为U。，电量可以根据A、。两板的电势差求得那么C、A、3三块板的电势分别为所带电量分别为SUgS4kd1'4kd将变化前的电势与变化后的电量相乘，变化前的电量与变化后的电势相乘，由格林互易定理可得上式消去牛得：4k左右两边都减去fU0,可得4可得：那么P点场强为例2：（第12届决赛第3题）如下图，正四面体ABC。各面均为导体，但又彼此绝缘.带电后四个面的静电势分别为例、/2、外和*4,求四面体中心。点的电势砂°。解：由题意，设四个面与中心。的电荷量分别为/、2、4、0同时，四个面与中心的电势分别为（P、（P2、（P3、Qa、（PO现将外面四个面接地，中心放一个电量为。的点电荷，中心电势为U,而四个面产生的感应电荷都相等，为-2,那么此时四个面与中心O的电荷和电势分别为4QQQQ>、C/44440、0、0、0、U由格林互易定理可得：即可得°4例3：第14届决赛第7题有100块平行放置的正方形大导体板，每块边长均为L,相邻两板彼此相对的两个外表的间距均为d,d<<Lt将这些导体板从左至右顺次编号为1,2,.100.开始每板上都带有净电荷，第1块板上的净电量为名设0，第块板上的净电量为，今将第1块和第100块导体板接地，如下图.忽略边缘效应.问：1 .从第1块和第100块导体板上流入大地的电量和A/oo各为名的多少倍？2 .上述两板接地后哪块板上的电势最高？其电势是多少？解：当第1块和第100块导体板接地后，这两块板电量发生改变，所有极板的电势也发生了改变，那么可设1100极板的总电量和电势分别为：现改变各导体板电量。变化一：使299极板电量都变为0,而1板电量为-4,100板电量为+4,且假设1板接地，100板电势为U'oo=99（;（其中C为相邻两板间的电容）。那么l100极板的电量和电势分别为:量为板间的定理可将变化后的电势与电量和题给条件的电势与电量结合，由格林互易得：那么可以求得第100块板流入大地的电荷为：变化二：使299极板电量都变为0,1板电量为一夕，100板电+q,且假设100板接地；1板电势为U：=99（其中C为相邻两电容）。那么l100极板的电量和电势分别为：将变化后的电势与电量和题给条件的电势与电量结合，由格林互易定理可得:那么可以求得第100块板流入大地的电荷为:变化三：使第极板带电量为-4，+1极板带电量为+夕且接地，其它极板都不带电。那么极板1电势皆为（T=V,极板+1-100电势皆为零，那么1100极板的电量和电势分别为:C将变化后的电势与电量和题给条件的电势与电量结合，由格林互易定理可得：可得：同理可得：分析上面两式式可得，当=58时，Un-Utl>O,Ull+,-Un<0o即可得第58块板上电势最高。令卜UttT=(4682+IT二2),那么第58块板的电势为: