椭圆基础知识与练习.docx

一、知识精析与点拨（一）椭圆的定义1、第一定义：平面上，与两个定点Fl、F2距离之和为常数大于FF2）的点的轨迹称为椭圆。两个定点我、Fz称为椭圆的焦点，两个焦点间的距离称为焦距。2、第二定义:平面上到一个定点F（c,O）的距离与到一定直线Le9的距离之比为常数e=表0ve<l）Cd的点的轨迹称为椭圆。定点F叫做椭圆的焦点，定直线L叫做椭圆对应于焦点F的准线。（二）图形、方程、性质图形y，标准方程2+52=l(a>b>O)?+今=l(a>b>O)一般方程Ax2+Cy2=F(A>C、F同号)中心O(0,0)O(0,0)参数方程X=acosIy=bsin0x=bcos0y=asin长轴长2a2a短轴长2b2b焦距2c2c离心率Ce=；Ce="a根本量的关系Cka2=b2÷c2,e=-，-=Jl-e2aavcUa2=b2+c2,e=7,-=/l-e2aav顶点(±a,0)(0,±b)(±b,0)(0,±a)焦点(÷c,0)(0,÷c)准线方程,a2x=±Ta2y=±7准线距2a2C2a2C焦准距b2P=Tb2p=7M（X0,yo）的焦点半径左二a÷exo右二a-ex。下二a÷exo上二aexo通径长2b2a2b2a对称轴方程x=0,y=0x=0,y=0(1)PFl _ IPF2I IPMl - IMlY（三）椭圆参数的几何意义，如以下图所示:PF+PF2=2a,PM2+PM|=,cIA片I=IA2闾=-c,A闾=IA2用=a+ca-cPFa-c(3) BF=BF=atIOFIl=I。尸2=c;(4) FK=F2K2=p=>A2B=lB=tz2+/72(四)点、直线与椭圆的位置关系221、点P(xo，yo)和椭圆二+=1(公£>0)的关系ab2222(1)点P在椭圆内(含焦点)<>+<1;(2)点P在椭圆上。W-+4=l;ah-ah-22(3)点P在椭圆外O誓+誓>1(其中心£>0)ab2、直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系也可通过讨论直线方程与椭圆方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或)得到关于X(或y)的一元二次方程，考虑该方程的判别式，那么有：(1) 2>0o直线与椭圆相交于两点；22厂V-设AB为椭圆f+=1的弦，A(x,y),B(x2,y2),弦中点M(x0,yo),a2b一那么弦长IABl=J(X2一再)2+(当一%/=IX2Xi11+那Bjy2-yil1÷白(LiHO)；(其中kB=-yL;IX2Xil=(x2+x1)2-4x1x2;Iy2-ay0yJ=)(必+)2-4My2).22直线AB的方程为yy°=一一(x-x。)；线段AB的垂直平分线方程为yy。=?*(-(1)；“y°bx0X2V2焦点弦：AB为椭圆r+二"二I的焦点弦的长IABI左=e(x+x2)+2a(或IABki=2a-e(j÷ClbX2)»通径长为孚(其中e>0)(2) ZX=Oo直线与椭圆相切；22设M(xo,yo)为椭圆与十二=1上的点，那么以M为切点的切线方程为华+芈=1；Crb-a2b-22设M(xo,yo)为椭圆+I。=1外的点，那么过M引椭圆的切线，切点弦所在直线的方程为abl誓+邛=1(其中“泌>0)a2b222椭圆二十与=1(。>60)与直线加+为+。=0相切的条件是AV+B2=c2oa2b'设切线的斜率为K,那么椭圆*+/=1(。人>0)的切线方程为y=kx±yb2+a2k2(3) 4<0直线与椭圆相离；直线与椭圆相离时，椭圆上到此直线距离最小或最大的点是与该直线平行的切线的切点3、焦点三角形：椭圆上的点M(xo,yo)与两焦点构成的4MFF2称为焦点三角形，ZFiMF2=COS=-1,当rpr2时即当M点在椭圆的短轴的端点时取得最大值，其余弦值为cos9rr2b2-c2-j-;a®FlMF2SinO(其中1、为点M到椭圆左右焦点的焦半径)或5ME-1；：()02或S"jM乃=b2tan或SAEME=cy),当r=n时即当点M在椭圆的短轴的端点时SA片财鸟取得最大值为be椭圆练习一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分)1.以下命题是真命题的是()A.到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆B.到定直线X=Y和定点F(c,0)的距离之比为£的点的轨迹是椭圆caC.到定点F(-C,0)和定直线X=一d的距离之比为£(ac>0)的点的轨迹是左半个椭圆caD,到定直线X=U和定点F(c,0)的距离之比为Z(>c>O)的点的轨迹是椭圆CC假设椭圆的两焦点为(-2, 0)和2,A. Z + 1 = 1 B. 21 + 1 = 1841()62.3.4.5.6.7.0),且椭圆过点那么椭圆方程是c+1d+=1假设方程f+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围为()A.(0,+)B.(0,2)C.(1,+)D.0,1)Q设定点Fl(0,-3)、F2(0,3),动点P满足条件归用+1尸周=4+1>0),那么点P的轨迹是A.椭圆B.线段C.不存在D.椭圆或线段椭圆/+£=1和S=k (k > 0)具有A.相同的离心率B.相同的焦点C.相同的顶点D.相同的长、短轴假设椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，那么这个椭圆的离心率为()a 7b Tc- Td-_2尸是椭圆工+亡=1上的一点，假设P到椭圆右准线的距离是二，那么点尸到左焦点的距离是1003628 .椭嵯+&上的点到直线Ny-艮。的最大距离是A.3B.11C.22D.109 .在椭圆上+乙=1内有一点P1,-1),F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M,使IMPl+2MFl的值43最小，那么这一最小值是()57A.-B.-C.3D.42210 .过点M（-2,0）的直线m与椭圆+/=I交于p,P2,线段PP2的中点为P,设直线m的斜率为心（匕0）,直线OP的斜率为k2,那么kk2的值为（）A.2B.2C.：D.-g二、填空题（此题共4小题，每题6分，共24分）11 .离心率e=g,一个焦点是尸（0,-3）的椭圆标准方程为.12 .与椭圆4/+9y2=36有相同的焦点,且过点（一3,2）的椭圆方程为.13 .尸（居丁）是椭圆总+t=1上的点，那么x+y的取值范围是.14 .椭圆E的短轴长为6,焦点F到长轴的一个端点的距离等于9,那么椭圆E的离心率等于三、解答题（本大题共6题,共76分）15 .椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e=2,短轴长为8正，求椭圆的方程.（12分）3X225V2816 .A、B为椭圆r+一=1上两点，F2为椭圆的右焦点，假设AF2+BF2=-,AB中点到椭圆左a-9a253准线的距离为一，求该椭圆方程.（12分）22217 .过椭圆C:3+?=1上一点P（XO,打）向圆°：/+产=4引两条切线PA、PB、A、B为切点，如直线AB与X轴、y轴交于M、N两点.（1）假设西丽=0,求P点坐标；（2）求直线AB的方程（用/,凡表示）；（3）求AMON面积的最小值（O为原点）（12分）18 .椭圆H+E=（。匕0）与直线x+y=l交于尸、。两点，且OPj_OQ,其中。为坐标原a1b2点.（1）求!+-V的值；（2）假设椭圆的离心率e满足正WeWXZ,求椭圆长轴的取值范围.（12分）a2b2322v219 .一条变动的直线L与椭圆一+工=1交于P、Q两点，M是L上的动点，满足关系MPIMQ=2.假42设直线L在变动过程中始终保持其斜率等于1.求动点M的轨迹方程，并说明曲线的形状.（14分）20 .椭圆的中心是原点O,它的短轴长为2行，相应于焦点F（c,O）（OO）的准线/与X轴相交于点A,OF=2FA,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.（1）求椭圆的方程及离心率；（2）假设5R50=O,求直线PQ的方程；（3）设Q=X而（21）,过点P且平行于准线/的直线与椭圆相交于另一点M,证明丽=一户0.（14分）参考答案一、选择题本大题共10小题，每题5分，共50分题号12345678910答案DDDAADBDCD二、填空题本大题共4小题，每题6分，共24分11.V2 2322"+ =1 12.+-=136 2715 10413. (-13,13 14.-三、解答题本大题共6题，共76分b=4y5e=£=2nf=12,.椭圆的方程为：工+匕=1或工+二=.a31=81448014480a2-b2=c248116. (12分)解析：设A(XI,y),B(X2,y2)>:e=由焦半径公式有acx+-ex2=，,x+x2=-a,即AB中点横坐标为又左准线方程为x=,Ta+ja=,即a=l,工椭圆方程为/+空y?=.17. (12分)解析：(1).可.为=O.aj,尸3,OAPB的正方形+"=8I-y,2=>需=V=8.=±20,P点坐标为(±22,0).+生=1°44(2)设A(x,y),B1x2，y2)那么PA、PB的方程分别为XlX+yy=4,/+必=4，而pa、PB交于P(刈，yo)即XIM>+yyo=4,a+y2yo=4,'AB的直线方程为：xar+yoy=4由XOX+y0y=4得(W,0)、(O,-)当且仅当I翁启券I时，S=218. (12分)解析：设P(X,M)/32，为)，由OP-LOQQXIX2+yy2=O,.y1=1一项，%=1-*2，代入上式得：2再与一(内+r2)+1=0又将y=I-M弋入22C2r+r=1=>(a2+b2)x2-2a2x+a2(-b2)=0,/>0,.x1+x,=.1,a2b2a2+h2XxX2=代入化简得+±=2a+b-cl2b2(2).=l-B.wl一1_LnJ.今2,又由(1)知=a-a23/22/3.-<-=>-a2<-a->；长轴2oI5,6b22a23422219. (14分)解析I：设动点M(x,y),动直线L：y=x+m,并设P(My),Qgy»是方程组卜=彳+肛的解，消去y，得+2y2-4=032+4u+2m24=0,其中=16m212(2m24)>0,y<m<y,且+x2=史上=2m-4,又；3MP=V2Ir-x,IMQl=J-2由IMPllMQl=2,得|xxM-X2=1,也即屏一(x+X2)x+x刈=1，于是有刀2+士竺+网_Zi=L.m=yX,lx2+2y24|=3.由+2y24=3,得椭圆33a2-c2=2,c = 2(-c).二十空-=1夹在直线y二x±而间两段弧，且不包含端点.由5+2V-4=一3,得椭圆M+2y2=l.20. (14分)解析：(1)由题意，可设椭圆的方程为E+工=13>J)由得a22解得=e，c=2,所以椭圆的方程为二+£=1，离心率°=逅.623(2)解：由(1)可得A(3,0).设直线PQ的方程为y=&(x-3).由方程组+'=Ly=k(x-3)得(342+1)彳2-18424+27无2-6=0,依题意A=12(2-3女2)0,得一逅女逅.33设P(M,X)，。(居，刈)，那么将+七=里一，再为=三心.，由直线PQ的方程得3K+1,232+lM=Z(Xl-3),y2=k(x2-3)于是My?=尸5-3乂七一3)=女2区3一3(七+/)+9=±冬(等步,*op-OQ=O»,12+yiy2=0.，由得5攵2=1,从而所以直线PQ的方程为x-遥y-3=O或x+5)，-3=O.(2)证明：AP=(X,-3,),AQ=(x2-3,以)由得方程组X1-3=x2-3),M=Ay2»<xI2+,'：_注意九>1,解得二=527,因尸(2,0),M(x,-M)，故62京工£162尸M=(Xl-2,-y1)=(2(x2-3)+1,一%)=一M)=-4(1,y2)22/t而而=(电一2,y2)=(-ty2)所以丽=_义而