椭圆练习(含答案).docx
椭圆一.选择题223.Fh&是椭圆±+2-=l的两个焦点，过尸I的直线与椭圆交于M、N两点，那么AMNR的周169长为A.8B.16C.25D.32iV24.椭圆二+1=1的左、右焦点分别为居、F2,点P在椭圆上，假设P、R、&是一个直角三角169形的三个顶点，那么点P到X轴的距离为A.-B.355 .椭圆 .v=4+5CoS ,V y=3sin A. (0, 0), (0, -8)C. (0, 0), (0, 8)二.填空题C随D.274(0为参数)的焦点坐标为B.(0,0),(-8,0)D.(0,0),(8,0)226 .椭圆2+21=的离心率是,准线方程是.259三.解答题10. Q为椭圆的左焦点，A、8分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PQ _LQA, PO /B (O为椭圆中心)时，求椭圆的离心率.X2 V211.如下列图，设氏+J=l (a>b>O)的焦点为Fl与尸2,且PEE NFlPF2=2 B.a2 b2求证：4PFF?的面积 S=b2tan .12.假设椭圆加+切2=1与直线工+尸1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM (O为原点)的 斜率为正，且04J_08,求椭圆的方程.13.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的 最短距离是VJ,求这个椭圆方程.14.椭圆的中心在坐标原点O,焦点在坐标轴上，直线y=x+l与椭圆相交于点P和点Q,且OP_L 。，IPQl=半，求椭圆方程15.设、>R, i、j为直角坐标平面内小y轴正方向上的单位向量，假设向量=xi+ (y+2) j, b=xi+ y-2 j,且+b=8.(1)求点M (x, y)的轨迹C的方程.V27 .P是椭圆与+斗=1(>b>0)上任意一点，P与两焦点连线互相垂直，且尸到两准线距离a2b2分别为6、12,那么椭圆方程为.8 .如果方程f+B2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数女的取值范围是.9 .点P在椭圆E+汇=上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，那么点P的横坐标是259(2)过点(O,3)作直线/与曲线C交于4、B两点，设而=3+而，是否存在这样的直线/,使得四边形。4P8是矩形？假设存在，求出直线/的方程；假设不存在，试说明理由.17.如下列图，ZiOPQ的面积为S,且而FQ=.(I)假设JvSV2,求向量而与雨的夹角的取值范围；2(2)OFI=C(c2),S=-cs假设以。为中心，尸为一个焦点的椭圆经过点Q,当|而|取最小4值时，求椭圆的方程.18.某椭圆的焦点是Q(4,0)、F2(4,0),过点尸2,并垂直于X轴的直线与椭圆的一个交点为8,且I尸出I+IF2BI=10.椭圆上不同的两点4(乃，?)、C(X2,力)满足条件：IBAI、IF2BIIF2CI成等差数列.(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标；(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=履+加，求"的取值范围./V219.直线/过点M(I,I),与椭圆±+2-=l相交于A、B两点,假设AB的中点为M,试求直线/的43方程.参考答案：一选择题3.B4.D5.D二.填空题425X2V2256.-；x=±-7.÷-=l8.OVLVl9.54452012三.解答题r2V210 .解：设椭圆方程为f+f=l(>b>O),F(c,0)»c1=a2-b2fa2b2那么P1c,小-即。(-cf,).AB/PO,：kAB=kop,即一h -b2. b=c.又Va-yb2+c2=5/2h,e=LC_b.2史7=ay2b211 .证明：设IPQI二"，IPBlF,那么S=gzr2sin2。，又尸BI=2c,由余弦定理有(2c)2=r2+r2-2rrzcos2O-(r+r2)2-2r2-2rr2s2-2a22r2(1+cos20),于是2门冷(l+cos2)=4/-4/=4".frn,2b2所以11r2=-.2sin6cos。B=S 28S?。M&n ,1+8S26这样即有9L也sin221+cos26>12.解：设A (X, y), B (及,竺），M （：.M (*tkM=a + b ;,2.*. b- V2 a.VOLOB, .上21=1.,.x2+y 1y2=0.V1x2=，y>f2= (1 -) (1 -也)，a + b'y>,2=l- (x1+x2) +xx22b b - 1 a -1 =1 -+=.a+b a+b a+ba+b a+b： a+h=2.由得 =2 ( V - 1), b=2 y2 ( V2 1).所求方程为 2 (2-1) /+22 (2-1) /=1.13.解：由题设条件可知所2c, Z= 3 c,又a-c=M ,解得a2=12,犬=9. ；所求椭圆的方程是2222X y , X V 1+-=I 或一+ =1.12 991214.解：设椭圆方程为m¥2+产=1（机0,八0）, 设 P（Xl, y）, Q（X2, ”），解方程组y=x+, mx2+ny2= 1.消去 y,整理得(rn+n) x2+2r+-1=0.=4n24 (m+n) (n 1) >0, BP m+n-mn>0f OPl.OQ =>xx2+y 1y2=O， 即 XIX2+ (Xl+1) (X2+1)=0» 2xx2+ (x1+x2) +1=0, .*. -？n +1 =0.n-n/.rn+n=2.,.*.(a+h)x2-2hx+b=0.c+by-,.-2_byi+y2_,_x+x2_a=,1=由弦长公式得2噜?=邛入,得,“吟1户r解()得2或122=-n=-.I椭圆方程为二+4=1或V+L=1.122、222215.(1)解法一：Ta=Xi+(>t+2)j,b=xi+(y2)j,且0+网=8,点M(x,)，)到两个定点尸I(0,-2),F2(0,2)的距离之和为8./V2.轨迹C为以尸、尸2为焦点的椭圆，方程为L+二=L解法二：由题知，yx2+(y+2)2+yx2+(y-2)2=8,移项，得JA-+(y+2)=8J/+(y_2),两边平方，得X2+3+2)2=+(y-2)2-16yx2+(y-2)2+64,整理，得2yx2+(y-2)2=8y,两边平方,得4x2+(y-2)2=(8-y)2,x2V2展开，整理得L+L=l.1216(2) ，过y轴上的点(0,3),假设直线/是y轴，那么A、8两点是椭圆的顶点.'：OP=O+OB=d, P与O重合，与四边形04PB是矩形矛盾. 直线/的斜率存在.设/方程为产履+3,A,V)，B，刃)，产心+3,由1丫2v2消y得(4+3d)f+18区一21=0.此时，=(182)-4(4+3+-=1,XX2=214 + 311216 存在直线，：z=÷-+3,使得四边形勿阳是矩形.416.解：按题意，有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(一2,4a).BECFDG,rc,设=-=k(0WAW1J)BCCDDA由此有E(2,4成)，F(2-4,44),G(-2,4一4成).由消直线。尸的方程为2ax+(2il-l)产0.直线GE的方程为一。(221)x+y-2a=0.去参数k,得点P(x,y)满足方程2。2+9-2的=0.整理得。+"一；)2=1.a2当/=J.时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.点尸的轨迹为椭圆的一局部，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长.当时,2点P到椭圆两个焦点(一> a),(),0, a+加的距离之和为定值式.当，时,点尸到椭圆两个焦点(O, a)的距离之和为定值2a.17.解：由，得-I OF H F sin (五一夕)二S, 2I OF H FQ cos 0=1.,. /an =25.V-<S<2, l<an <4. 2那么巴 V O <arcan4. 4(2)以。为原点，O尸所在直线为X轴建立平面直角坐标系.X2v2设椭圆方程为±7+2t=1(>b>0),Q(X,y).2h2OF=(c,0),那么尸0=-c,y.13V-IOFIJ=c,又丽FQ=c(-c)=1,=c+-.c那么ICoI=J2+y2=J(C+)2+(c2).可以证明：当cN2时，函数=c+为增函数,当c=2时,MT(2+S考53此时Q(?,?).将。的坐标代入椭圆方程，22p-+-=l,cr=O,得a24/解得Y1./-/=4./=6.2v2:椭圆方程为H=L10618.(1)解：由椭圆定义及条件知24=IaBl+IF2BI=10,得=5.又c=4,所以b=ya2-C2=3.fV2故椭圆方程为L+"=1.259Q方法一：因为椭圆右准线方程为x=W,离心率为3.（2）解：由点B（4,冲）在椭圆上，得IBBl=IyBI=3.54 I F2CI =14根据椭圆定义，有IBAl=±(-Xi),54由IBAI、IF2BIIF2CI成等差数列,由此得出即+X2=8.设弦AC的中点为“如心那么的=然1=5=4.方法二：由IBAI、F2B.IF2CI成等差数列，得，（再一4/+y：+J（巧一4产+为？=?Q×,r2V2O由A(x,y)在椭圆一+-=1上，得y=(25x2)>25925所以J(Xl4)2+),；x：-8Xi+16+""(25x：)=/5-MXl):=254x).(2)同理可得J(X24)2+弱=g(25-4x2).将代入式，得!(25-4x)+(25-4x2)=y.所以Xl+X2=8.设弦AC的中点为P(X0，y0),X+x>8.那么XO=-=-=4.22(3)解法一：由A%,y)fC(X2»>'2)在椭圆上，得9+25)=9X25,9x22+25y22=9×25.由一得9(x2-X22)÷25(y12-y22)=0,即9(i±)+25(±A)(2A)=0(x1x2).22x-X2-+x-=xo=4»+)2=加)(k0)代入上式，得22X1-X2k9X4+25加(-)=0(0).k由上式得k=上泗（当k=0时也成立）.36由点P（4,冲）在弦AC的垂直平分线上，得No=软+m,f-c2516所以m=yo-4k=yQ-jo=Jo-99由尸（4,死）在线段88,B'与B关于X轴对称）的内部，得一vyot-ru16）16所以一一m一.55解法二：因为弦AC的中点为P（4,yo）,所以直线AC的方程为），一和=一：（-4）口Wo）.22将代入椭圆方程匚+汇=1,得259(92+25)2-50(o+4)x+25()+4)2-25×9jt2=0.所以Xl+%2=50(÷4)9k2+25=8.解得k=%（当仁0时也成立）.36以下步骤同解法一.19.解：设A（xi，）、B（X2,J2）,r22那么l+2l=i,43r229+2L=L43一，得（再一工2）（再+电）+（必一乃）3+为）=0.M-乃=_3X+巧43-X24必+为又丁M为A3中点，x+x2=2,y1+'2=2.33直线I的斜率为一-.，直线I的方程为-l=-（-l）,44即3x+4y-7=0.(-21)>0恒成立，且xi+m=-I8”4+3dOP=OA+08,四边形04P8是平行四边形.假设存在直线/,使得四边形OIP3是矩形，那么0AL0B,即OAOB=O.*/OA=51，>,),OB=(“2，”)，/.OAOB=xX2+>,j2=0,即(1+2)xX2+3k(x+x2)+9=0,即(1+2)(-211+3-侬.)+9=0,即S=工，得依士好.4+3k24+3公164
