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概率论与数理统计复习参考资料第一章随机事件及其概率§1.1随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件:二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性：§1.2 概率古典概型公式：P (A)4所含样本点数Q所含样本点数实用中经常采用“排列组合”的方法计算补例1：将n个球随机地放到n个盒中去，问每个盒子恰有1个球的概率是多少？解：设A：“每个盒子恰有1个球:求：P（八）=?。所含样本点数：nn.n=nA所含样本点数：5-1)(-2)1=！补例2：将3封信随机地放入4个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3的概率各是多少？解：设Ai：“信箱中信的最大封数为i”。(i=1,2,3)求：P(Ai)=?所含样本点数：444=43=64Al所含样本点数：432=24A2所含样本点数：C43=36A3所含样本点数：。；4=4注：由概率定义得出的几个性质：2、P()=1,P()=O§1.3 概率的加法法那么定理：设A、B是互不相容事件(AB=),那么：P(AUB)=P（八）+P(B)推论1：设Ai、A2An互不相容，那么P(A1+A2+.+An)=P(A)+P(A2)÷.+P(An)推论2：设Ai、A2An构成完备事件组，那么P(A÷A2÷.÷An)=l推论3：P（八）=I-P（八）推论4：假设BnA,那么P(BA)=P(B)-P（八）推论51广义加法公式)：对任意两个事件A与B,有P(AUB)=P（八）+P(B)-P(AB)补充对偶律：§1.4 条件概率与乘法法那么条件概率公式:P(AB)二个普(P(B)0)P(BA)=(P（八）0)P(AB)=P(A/B)P(B)=P(B/A)P（八）有时须与P(A+B)=P（八）+P(B)-P(AB)中的P(AB)联系解题。全概率与逆概率公式:全概率公式：逆概率公式：1注意全概率公式和逆概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。）§1.5 独立试验概型事件的独立性:贝努里公式（n重贝努里试验概率计算公式课本P24另两个解题中常用的结论1、定理：有四对事件：A与B、A与方、Z与B、N与否，如果其中有一对相互独立，那么其余三对也相互独立。2、公式：P（AIDA2UUA“）=1-P（AIA）第二章随机变量及其分布一、关于离散型随机变量的分布问题1、求分布列：确定各种事件，记为J写成一行；计算各种事件概率，记为Pk写成第二行。得到的表即为所求的分布列。注意:应符合性质1、PaO（非负性）2、ZPk=I（可加性和标准性）k补例1：将一颗骰子连掷2次，以J表示两次所得结果之和，试写出J的概率分布。解：。所含样本点数：6×6=36所求分布列为:23456789101112Pk1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/36用下：*;71匕4十5万、姒：-IV所求分布列为：2、分布函数二、关于连续型强345Pk1/103/106/10xR,如果随机变量J的分布函数F(x)可写成F(x)=JMdx,那么J为连续型。O(X)称概率密度函数。解题中应该知道的几个关系式：第三章随机变量数字特征一、求离散型随机变量J的数学期望EJ=?数学期望均值)二、设J为随机变量，f()是普通实函数，那么n=f(J也是随机变量，求En4XiX2XkPkPiP2Pkn=f©yy2yk以上计算只要求这种离散型的。补例1：设瞅概率分布为：4-101252Pk51Io1Io3To3To求：(l)=-l9的概率分布；助。解：因为4-1012g2Pk151101To3To3Ion=J-1-2-1O122n=21O1425T所以，所求分布列为：n=J1-2-1O132Pk_51101To3To3To和：n=21O1425TPk51To1Io3To3Io当n=J1时，En=Et-=2×-+(-1)×-+O×-i-+l×+-X-5101010210=1/4当!1=群时，En=E2=l×l÷0×+1×J-+4X+×,5IOIOIO410=27/8三、求&或n的方差Dj=?Dn=?实用公式。J=造2-EZj其中，E2=(E)2=(kPk)2kES=ZRPkk补例2：4-2O2Pk0.40.30.3求：EJ和Dg解：E=-2×0.4÷0×0.3+2×0.3=-0.2E2=(-2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8D=E2-E2=2.8-（-0.2）2=2.76第四章几种重要的分布常用分布的均值与方差（同志们解题必备速查表）名称概率分布或密度期望方差参数范围二项分布Pj=k=CPkqi(k=0,1,2,.,n)npnpq0<P<lq=l-p正态分布1¢(X)-le2,x(-oo,+oo)zr,4为常数.2口任意。0泊松分布不要求>0指数分布不要求1I1>0解题中经常需要运用的EJ和DJ的性质（同志们解题必备速查表）E自的性质D的性质E(C)=cD(C)=0E(+)=E±E若一独立,则D(±)=D+D若4、独立，则E()=EEE(c)=cED(c)=c2D第八章参数估计§8.1估计量的优劣标准(以下可作填空或选择)假设总体参数的估计量为如果对任给的£>0,有IimPp-ev0=,那么称力是的一致估计；一>00如果满足旧身=e,那么称8是的无偏估计；如果。和庆均是的无偏估计，假设D（八）V。(口),那么称。是比A有效的估计量。§8.3区间估计：几个术语一一1、设总体分布含有一位置参数，假设由样本算得的一个统计量，Xn)及92(xp.,Xn),对于给定的(0<<l)满足：那么称随机区间是夕的IOo(I。)的置信区间，。和庆称为夕的100(1a)%的置信下、上限，百分数100U-a)%称为置信度。一、求总体期望（均值）EJ的置信区间1、总体方差/的类型据。，得O（Ua）=1一羡，反查表（课本P260表）得临界值Uj二Z求d=U干置信区间（x-d,X+d）=n补简例:设总体XN（,009）随机取4个样本其观测值为12.6,13.4,12.8,13.2, 求总体均值口的95%的置信区间。解：Vl-=0.95,a=0.05(Ua)=1-=0.975,反查表得：Ua=I.962一141X=-X.=-(12.6+13.4+12.8+13.2)=134=4=0,3,n=4.d=Ua-=l,96×-=0.29774所以，总体均值U的a=0.05的置信区间为：(X-d,x+d)=(13-0.29,13+0.29)即(12.71,13.29)2、总体方差/未知的类型（这种类型十分重要！务必掌握！）据。和自由度n1（n为样本容量），查表（课本P262表）得心5-1）；确定X=二AL巧和/=）ni=-T求d=%（-1）-%置信区间（x-d,x+d）Zn注：无特别声明，一般可保存小数点后两位，下同。二、求总体方差/的置信区间据a和自由度n1（n为样本数），查表得临界值:z"l)和心5-1)22J确定文二二和$2=-(x-i)2nZ=In-(h-1)52(-I)S2上限z2a(n-l)下限2a(n-l)122置信区间(下限，上限)典型例题：补例1：课本P166之16某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布，对10个试件作横纹抗压力试验得数据如下(单位：kgcm2):482493457471510446435418394469试对该木材横纹抗压力的方差进行区间估计(。=0.04)。解：.=0.04,又n=10,自由度n1=9.查表得，K(T)=/o2(9)=19.72心(D=几=2.532_1IO1XTg再=(482+493÷.+469)=457.5IIO_152=Z(X-项)2=-(457.5-482)2+(457.5-493)2+.+(457.5-469)29=9=1240.28(n-l)s29/上限之5-D二必98(9)29x1240.28-y二4412. 06=566.63(一巾为29x1240.28卜限Z(T)二02(9)=1952所以，所求该批木材横纹抗压力的方差的置信区间为（566.63,4412.06）第九章假设检验必须熟练掌握一个正态总体假设检验的执行标准一般思路：1、提出待检假设HO2、选择统计量3、据检验水平0,确定临界值4、计算统计量的值5、作出判断检验类型:未知方差检验总体期望（均值）11根据题设条件,提出据：二0（。）；选择统计量ITl=IS卜-1）；据。和自由度nl（n为样本容量），查表（课本P262表）得J5-1）；由样本值算出又=?和s=?从而得到KH超|；作出判断典型例题:对一批新的某种液体的存贮罐进行耐裂试验，抽查5个，得到爆破压力的数据（公斤/寸2）为：545,545,530,550,545。根据经验爆破压认为是服从正态分布的，而过去该种液体存贮罐的平均爆破压力为549公斤/寸2,问这种新罐的爆破压与过去有无显著差异？（=0.05）解：Ho:=549选择统计量Irl=株养卜，(-1)Va=0.05,n-l=4,J查表得：o,o5(4)=2.776XVX=(545+.+545)=543s2=1(545-545)2+.+(543-545)2=57.54s4n543 5495T55=L 77<2. 776接受假设，即认为该批新罐得平均保爆破压与过去的无显著差异。检验类型:未知期望（均值）口，检验总体方差B?根据题设条件，提出H°s=°（bo）;选择统计量（?.；据和自由度n-1（n为样本容量），查表（课本P264表）得临界值:D和乙（-1）；22由样本值算出又=?和$=?从而得到任（/（"-I）=（"?'假设/小（1）<%2（_1）/巴5-1）那么接受假设，否那么拒绝!22补例：某厂生产铜丝的折断力在正常情况下服从正态分布，折断力方差<t2=64,今从一批产品中抽10根作折断力试验，试验结果（单位：公斤）：578,572,570,568,572,570,572,596,584,570。是否可相信这批铜丝折断力的方差也是64?（=0.05）解：H0:=64选择统计量/(-1)二%aFVa=O.05,n-l=9,，查表得：，2-5-1)=/。.班(9)二2.72(n-l)=J20025(9)=192XVX=4；(578+.+570)=575.2S2=I(575.2-578)2+.+(575.2-570)2=75.739×75.7364=10.65.Z2o,975(9)=2.7<(n-l)=10.65</.025(9)=19接受假设，即认为这批铜丝折断力的方差也是64。