概率论第三章参考答案.docx

第三章多维随机变量及其分布§3.1一、设随机变量(XI)的密度函数为求常数3求分布函数/Q,y)(3)求p0<x1,0<y2解:1=工/("MX办="产'"办Me"X(7vdy=知Z=12F(Q=J>2为八(一力一,)x0,y00其他。(3)p()<Xl,()<y2=F6f2)-F(0,2；-Ff1,()；+F<0,0)=-e-3-e-s+eli二、设二维随机变量(x,y)的概率密度为求常数C;(2)po<x,o<r;(3)分布函数"(x,y)。解：(1)+-dxdy=C厂一dy=JrJ-S(l+2)(l÷y2)j-=01+x2j1+y21(2)P0<Xl,0<rl=CI属-dxdy=，JJoJo(I+%2)(i+y2)16STlx而77产=*L<Ify=二、设随机变量X和Y有联合概率密度求边缘概率密度解：fx (x) = Jj(x，y)dy ='Oxlf,6dy=-x2)(J*O其他三、随机变量(XI)的联合分布函数为注意：f'(x,y)=3(arctanx+)(arctany+r)错误，因为Tt求联合概率密度73),)。解:a2F(x,y)外加网1c2冗、,冗、9-(arctanx+)(arctan+)1一£xy2(l+x2)(l+/)§3.2、设(x,y)分布律为01234500.000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05求(I)X,Y的边缘分布律;p=3iY = kPX = 3(2)X=3条件下,Y的条件分布律;(3)Y=I条件下,X的条件分布律.解:(1)X,Y的边缘分布律为X012345Pi.0.030.080.160.210.240.28Y0123K0.250.260.250.24(2)由网y=RX=3=(无=0,1,2,3)有Y0123PY=jX=3521521521621同理有X012345P=y=l12Jl_5_6_8_262626262626二、X的概率函数为p=6=(0.3)A(0.7)i(k=0.1),且在X=O及X=I的条件下关于Y的条件分布如下表所示：(1)二元随机变量(X,Y)的联合分布律；(2)关于Y的边缘分布律；(3)在丫工3的条件下关于X条件分布律。Y123pyx=o£72747pX=1223L6解：(1)%=px=opr=11X=o=o.7×I=o.1那么联合分布为123Pi010.10.20.40.150.10.050.70.3号0.250.30.451(2)Y123巾=i0.250.30.45(3)x_0|"3"PX=0'"3X=0，y=l+PX=0,y=2_0.3_30_5p-0y31-p"3-i-p=31-0,455511px=y3=X01px36_5_HTT§3.3x = ,yw3 = x = ,y = +尸x = 1,y = 2 = 0.25 ="=PY31-Py = 3-l-0.4555 一、二元随机变量(X,Y)的概率密度为其中8VXv+8,-OOVyV+co,试确定X,Y是否独立。解:fx(%)=一52ry=+；-2dy=JYTr(X2+y2+2y2+)J,乃2*+1)(y2+1)因而有所以X,Y相互独立.二、(X,Y)的分布律为(X,Y)(1,1)1,2)(1,3)(2,1)(2,2)3)Pii£_1atJ69183(1)求X,Y的边缘分布;(2)问,£取何值时，X,Y相互独立。解:(1)X,Y的边缘分布为123Pk1_j_1691832!3a+a+PjJ_29+-181由(夕+-!-)L=L矢口,=，,由(a+，”，=，矢口=21831899399容易验证:舄=EPjZ=1,2;J=1,2,3成立,所以当=j*="时,X,Y相互独立.§3.4一、设X,Y是相互独立的随机变量，各在(0,1)上服从均匀分布,求X+Y的概率密度。解:依题意知Wfe加T0,。靠又X,Y是相互独立的,所以于是Z的分布函数F=fy)dxdy.r+y三Z当z0时,尸侬=0；当Z>2时，F2(X)=I;(3)当O<Z1时，如图B(Z)=Ldx'dy=yodx=z-x)dx=(x-x2)=z2(4)当0vZl时，如图因此有二、设X,Y是相到独立的随机变量，分别服从二项分布B(%p),8(%p),求Z=X+Y的分布律。解:Z之可能值为0,1,2,n1+2,(因为有力c：CI=c：M)r=0那么Zb(n、+%,p)三、设随机变量X,Y分别服从4和4为参数的泊松分布，且X,Y是相互独立的，求Z=X+Y的分布.kk'.pz=k=px+=k=YPX=iy=k-i=YPX=ip=k-iZ=O1=0=le-(A÷)yL=(÷)-(v2)(k=oj,2,)6i!("i)!k!ai!(k-i)!k所以ZP(1+2)