正方形的性质与判定专题练习.docx

B.四个角都相等的四边形一定是正方形EC=2AE,直角三角形FEG的两直角边EF、EGA. 45o B. 50°分别交BC、DC于点M、N.假设正方形ABCD的边长为a,那么重叠局部四边形EMCN的面积为（）A.B.C.D.Ja234993 .如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E,连接BE,FE,那么NEBF的度数是（）A.45oB.50oC.60oD.不确定4 .平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.对角线互相垂直且相等5 .正方形的一条对角线长为4,那么这个正方形A.8B.42C.82D.16的面积是O6.（2014福州）如图,在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE,AC、BE相交于点F,那么NBFC为（A.45oB.55oC.60oD.75°C.平行四边形的对角线互相平分9 .四边形ABCD是平行四边形，再从AB=BC,NABC=90°,AC=BD,AC_LBD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方种选法,是（A.选10 .如图，在正方形ABCD中,CE=MN,ZMCE=35°,那么/ANM等11 .如图，菱形ABCD中，ZB=60o,AB=5,那么以AC为边长的正方形ACEF的面积为（A.9B.16C.20D.25二.填空题（共5小题）12 .如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE,那么NAEB=度.13 .如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点,20.在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置,连DE, BH,两线交于M.求证：（1） BH=DE.设NABE=55。，求NEGC的大小.且BP=BC,那么NACP度数是度.14 .如图，四边形ABCD为正方形，AADE为等证：ZSAOD”EOC；(2)连接AC,DE,当ZB=ZAEB=。时，四边形ACED是边三角形.AC为正方形ABCD的对角线，那么正方形？请说明理由.15.：如图，菱形 ABCD 中，N B=60°,AB=4,22.（2014随州）：如图，在矩形ABCD中，M、DN分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点.（1）求证：AABM些DCM；一r（2）填空：当AB：AD=时，四边那么以AC为边长的正方形ACEF的周长为_点G.求证：AE=CF; (2)假816.如下图，正方形ABCD的周长为16cm,顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH,那么四边形EFGH的周长等于_cm,四边形EFGH的面积等于_cm.三.解答题（共6小题）17 .如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AEJ_BF,垂足为点G.求证：AE=BF.18 .如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连接BP、DP,延长BC到E,使PB=PE.求证：ZPDC=ZPEC.£19 .如图，四边形ABCD是正方形，、卡BE±BF,BE=BF,EF与BC交于形MENF是正方形.一.选择题（共11小题）1. （2014南充）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1,3）,那么点C的坐标为（） .（-B.-1,C.（3,D.（-考全等三角形的判定与性质；坐标与图形性点：质；正方形的性质.专几何图形问题.题：分过点A作AD_Lx轴于D,过点C作CEJ_x析：轴于E,根据同角的余角相等求出ZOAD=ZCOE,再利用“角角边"证明 AOD和AOCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD,CE=OD,然后根据点C在第二象限写出坐标即可.解解：如图，过点A作AD_LX轴于D,过点答：C作CE_LX轴于E, 四边形OABC是正方形，/.OA=OC,NAOC=90°,ZCOE+ZAOD=90o,又.ZOAD+ZAOD=90o,ZOAD=ZCOE,在AOD和OCE中，rZOAD=ZCOE NADO=NOEC=90°，OA=OC/.AAoD合OCE(AAS),/.0E=AD=3>CE=OD=I,.点C在第二象限， .点C的坐标为(-3,1).点此题考查了全等三角形的判定与性质，正方评：形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是此题的难点.2. (2014山西)如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE,直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N.假设正方形ABCD的边长为a,那么重叠局部四边形EMCN的面积为()A.B.la2c.Ja2D.Ja23499考全等三角形的判定与性质；正方形的性质.点：专几何图形问题.题：分作EPJ_BC于点P,EQJ_CD于点Q,析：EPM2EQN,利用四边形EMCN的面积等于正方形MCQE的面积求解.解解：作EPJLBC于点P,EQJCD于点Q,四边形ABCD是正方形，/.ZBCD=90o,又.ZEPM=ZEQN=90o,.ZPEQ=90o,/.ZPEM+/MEQ=90°,.三角形FEG是直角三角形，.ZNEF=ZNEQ+ZMEQ=90o,/.ZPEM=ZNEQ,AC是/BCD的角平分线，ZEPC=ZEQC=90o,.EP=EN,四边形MCQE是正方形,在AEPM和AEQN中，rZPEM=ZNEQ<EP=EN，Zepm=Zeqn.AEPM合AEQN(ASA)/SEQN=SEPM,了.四边形EMCN的面积等于正方形MCQE的面积，.正方形ABCD的边长为a,AC=2a,/EC=2AE,.ec=22.u3.EP=PC=2a,3.正方形MCQE的面积=2a2a=9a2,339四边形EMCN的面积9应选：D.点此题主要考查了正方形的性质及全等三角评：形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出EPMWEQN.3. (2014台州)如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E,连接BE,FE,那么NEBF的度数是()A.45oB.50。C.60oD.不确定考全等三角形的判定与性质；正方形的性质.点：专几何图形问题.题：分过E作HllIBC分别交AB、CD于点H、析：I,证明RtBHEtRtEIF,可得ZIEF+ZHEB=90°,再根据BE=EF即可解题.解解：如下图，过E作HlllBC,分别交AB、答：CD于点H、I,那么NBHE=NElF=90。，E是BF的垂直平分线EM上的点,.EF=EB,VE是NBCD角平分线上一点，.E到BC和CD的距离相等，即BH=EI,RtBHE和RtEIF中，EF=EB,1BH=DE>.RtBHE空RtEIF(HL),.ZHBE=ZIEF,.ZHBE+ZHEB=90,ZIEF+ZHEB=90%.ZBEF=90o,.BE=EF,ZEBF=ZEFB=45o.应选：A.点此题考查了正方形角平分线和对角线重合评：的性质，考查了直角三角形全等的判定，全等三角形对应角相等的性质.平行四边形、矩形、菱形、正方4. (2014郴州)形都具有的是(A.对角线互相平分B.对角线互相垂直D.对角线互相垂直且相等C.对角线相等考正方形的性质；平行四边形的性质；菱形的点：性质；矩形的性质.专证明题.题：分此题主要依据平行四边形、矩形、菱形、正析：方形都具有对角线相互平分的性质来判断.解解：A、对角线相等是平行四边形、矩形、答：菱形、正方形都具有的性质；B、对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质；C、对角线相等是矩形和正方形具有的性质；D、对角线互相垂直且相等是正方形具有的性质.应选：A.点此题主要考查平行四边形、矩形、菱形、正评：方形的性质定理.5. (2014来宾)正方形的一条对角线长为4,那么这个正方形的面积是()A.8B.42C.82D.16考正方形的性质.点：分根据正方形的面积等于对角线乘积的一半析：列式计算即可得解.解解：正方形的一条对角线长为4,答：J这个正方形的面积=1<4x4=8.2应选：A.点此题考查了正方形的性质，熟记利用对角线评：求面积的方法是解题的关键.6. (2014福州)如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE,AC、BE相交于点F,那么/BFC为()A.45oB.55oC.60oD.75°考正方形的性质；等腰三角形的性质；等边三点：角形的性质.分根据正方形的性质及全等三角形的性质求析：出NABE=I5°,ZBAC=45o,再求NBFC.解解：四边形ABCD是正方形，答：/.AB=AD又ADE是等边三角形，/.AE=AD=DE,ZDAE=60o.AD=AE.ZABE=ZAEB,ZBAE=90o+60o=150/.ZABE=(180150°)÷2=15o又.ZBAC=45ZBFC=45o+15o=60应选：C.点此题主要是考查正方形的性质和等边三角评：形的性质，此题的关键是求出NABE=I5。.7. 12OI4来宾)顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是()A.等腰梯B.矩形C.菱形D.正方形形考正方形的判定；三角形中位线定理；菱形的点：性质.分根据三角形的中位线定理以及菱形的性质析：即可证得.解解：E,F是中点，答：EHIIBD,同理，EFIIAC,GHIIAC,FGIIBD,.EHIIFG,EFIIGH,那么四边形EFGH是平行四边形.又AC±BD,/.EF±EH,平行四边形EFGH是矩形.应选：B.点此题主要考查了矩形的判定定理，正确理解评：菱形的性质以及三角形的中位线定理是解题的关键.8. （2014湘西州）以下说法中，正确的选项是（）A.相等的角一定是对顶角B.四个角都相等的四边形一定是正方形C.平行四边形的对角线互相平分D.矩形的对角线一定垂直考正方形的判定；对顶角、邻补角；平行四边点：形的性质；矩形的性质.分根据对顶角的定义，正方形的判定，平行四析：边形的性质，矩形的性质对各选项分析判断利用排除法求解.解解：A、相等的角一定是对顶角错误，例如，答：角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角，故本选项错误；B、四个角都相等的四边形一定是矩形，不一定是正方形，故本选项错误；C、平行四边形的对角线互相平分正确，故本选项正确；D、矩形的对角线一定相等，但不一定垂直,故本选项错误.应选：C.点此题考查了正方形的判定，平行四边形的性评：质，矩形的性质，对顶角的定义，熟记各性质与判定方法是解题的关键.9. （2014株洲）四边形ABCD是平行四边形，再从AB=BC,NABC=90。，（3）AC=BD,（4）AC±BD四个条件中，选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形，现有以下四种选法,其中错误的选项是（）A.选B.选C.选D.选考正方形的判定；平行四边形的性质.点：分要判定是正方形，那么需能判定它既是菱形析：又是矩形.解解：A、由得有一组邻边相等的平行四边答：形是菱形，由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；C、由得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；D、由得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意.应选：B.点此题考查了正方形的判定方法：评：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角.还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定.10. (2014红桥区三模)如图，在正方形ABCD中，CE=MN,NMCE=35°,那么NANM等于()A.450B.50°C.55°D.60°考全等三角形的判定与性质；正方形的性质.点：分过B作BFIIMN交AD于F,那么析：ZAFB=ZANM,根据正方形的性质得出NA=NEBC=90。，AB=BC,ADIIBC,推出四边形BFNM是平行四边形，得出BF=MN=CE,证R(ABF里RtBCE,推出ZAFB=ZECB即可.过B作BFllMN交AD于F,那么NAFB=ZANM,四边形ABCD是正方形，/.ZA=ZEBC=90o,AB=BC,ADIIBC,.FNIIBM,BEIIMN,四边形BFNM是平行四边形，.BF=MN,.CE=MN,.CE=BF,在RtABF和RtBCE中/BF=CE'AB=BCRtABaRtBCE(HL),.ZAFB=ZECB=35o,/.ZANM=ZAFB=55o,应选C.点此题考查了平行四边形的性质和判定，全等评：三角形的性质和判定，正方形的性质的应用，主要考查学生的推理能力.U.(2014四会市一模)如图，菱形ABCD中，ZB=6(,AB=5,那么以AC为边长的正方形ACEF的面积为()A.9B.16C.20D.25考菱形的性质；正方形的性质.分据可求得AABC是等边三角形，从而得到点：析：AC=AB,从而求出正方形ACEF的边长，进而可求出其面积.解解：B=60o,AB=BC,答：.ABC是等边三角形，.,.AC=AB=5,正方形ACEF的边长为5,.正方形ACEF的面积为25,应选D.点此题考查菱形与正方形的性质，属于根底评：题，对于此类题意含有60。角的题目一般要考虑等边三角形的应用.二 .填空题（共5小题）12. （2009江西模拟）如图，在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,那么NAEB=15度.考正方形的性质；等边三角形的性质.点：分由等边三角形的性质可得NDAE=60。，进而析：可得NBAE=I50。，又因为AB=AE,结合等腰三角形的性质，易得NAEB的大小.解解：AADE是等边三角形：故NDAE=60。，答：ZBAE=90o+60o=150o,又有AB=AE,故NAEB=30o÷2=15o;故答案为15。.点主要考查了正方形根本性质：两组对边分评：别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直；四个角都是90。：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角.13. （2008佛山）如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC,那么NACP度数是_22.5度.考正方形的性质.点：专计算题.题：分根据正方形的性质可得到析：NDBoNBCA=450又知BP=BC,从而可求得NBCP的度数，从而就可求得NACP的度数.解解：ABCD是正方形，答：.ZDBC=ZBCA=45,；BP=BC,ZBCP=ZBPC=I（180o-45°）=67.5°,2.ZACP度数是67.5°-45=22.5o.点此题主要考查了正方形的对角线平分对角的评：性质，平分每一组对角.14. （2007吉林）如图，四边形ABCD为正方形，ADE为等边三角形.Ae为正方形ABCD的对角线，那么NEAC=105度.考正方形的性质；等边三角形的性质.点：专计算题.题：分因为正方形的对角线互相平分，且每个内角析：是90°,故NCAD=45°,又因为等边三角形三个角相等，均为60。，所以Z EAC=Z CAD+Z DAE=60+45o=105o.ZDAE=60o,解解：.aADE为等边三角形，答：.NEAD=6（T,V四边形ABCD为正方形，/.ZDAC=45o,/.ZEAC=ZEAD+ZDAC=105°.故答案为：105.点解答此题要充分利用正方形的特殊性质.注评：意在正方形中的特殊三角形的应用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三边关系，可有助于提高解题速度和准确率.15. （2006昆明）：如图，菱形ABCD中，NB=60o,AB=4,那么以AC为边长的正方形ACEF的周长为16考菱形的性质；正方形的性质.点：专计算题.题：分根据可求得AABC是等边三角形，从而得到析：AC=AB,再根据正方形的周长公式计算即可.解解：.B=60o,AB=BC答：ABC是等边三角形.AC=AB=4正方形ACEF的周长=4x4=16.16故答案为16.点此题考查菱形与正方形的性质.评：16. （2005常州）如下图，正方形ABCD的周长为16cm,顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH,那么四边形EFGH的周长等于一8m,四边形EFGH的面积等于8cm.考正方形的性质；三角形中位线定理.点：分根据可求得ABCD的边长及对角线的长，根析：据中位线的性质可得到EFGH的边长，从而可求得其周长及面积.解解：正方形ABCD的周长为16cm,那么它的答：边长为4,对角线是4«,顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH,所以利用中线性质可得四边形EFGH的边长为2,所以四边形EFGH的周长等于82由正方形的定义可知四边形EFGH是正方形，所以面积等于8.故答案为8a,8.点此题主要利用正方形的周长公式和面积公式评：进行计算，中位线性质是此题的关键.三 .解答题（共6小题）17（2014泸州）如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE±BF,垂足为点G.求证：AE=BF.考全等三角形的判定与性质；正方形的性质.点：专证明题.题：分根据正方形的性质，可得NABC与NC的关析：系，AB与Be的关系，根据两直线垂直，可得NAGB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得NABG与NBAG的关系，根据同角的余角相等，可得NBAG与NCBF的关系，根据ASA,可得AABE2ABCF,根据全等三角形的性质，可得答案.解证明：正方形ABCD,答：ZABC=ZC,AB=BC.AE±BF,/.ZAGB=ZBAG+ZABG=90o,.ZABG+ZCBF=90o,.,.ZBAG=ZCBF.在乙ABE和BCF中，fZBAE=ZCBF，AB=CB，Zabe=Zbcf.AAB年BCF(ASA),.AE=BF.点此题考查了全等三角形的判定与性质，利用评：了正方形的性质，直角三角形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质.18. (2014广安)如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连接BP、DP,延长BC至IjE,使PB=PE.求证：NPDC=NPEC.考全等三角形的判定与性质；正方形的性质.点：专证明题.题：分根据正方形的四条边都相等可得BC=CD,对析：角线平分一组对角可得NBCP=/DCP,再利用"边角边"证明BCPDCP全等，根据全等三角形对应角相等可得/PDC=ZPBC,再根据等边对等角可得NPBC=/PEG从而得证.解证明：在正方形ABCD中，BC=CD,答：ZBCP=NDCP,在BCPWDCP中，rBC=CDZbcp=Zdcp»PC=PC.BCP合DCP(SAS),.ZPDC=ZPBC,PB=PE,ZPBC=ZPEC,.ZPDC=ZPEC.点此题考查了全等三角形的判定与性质，正方评：形的性质，等边对等角的性质，熟记各性质并判断出全等三角形是解题的关键.19. (2014自贡)如图，四边形ABCD是正方形,BE±BF,BE=BF,EF与BC交于点G.(1)求证：AE=CF;(2)假设NABE=55。,求NEGC的大小.考全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形;点：正方形的性质.专几何综合题.题：分利用AEB些CFB来求证AE=CF.析：(2)利用角的关系求出/BEF和NEBG,ZEGC=ZEBG+ZBEF求得结果.解(1)证明：四边形ABCD是正方形，答：.NABC=90°,AB=BC,.BE±BF,.ZFBE=90o,NABE+/EBC=90°,ZCBF+ZEBC=90%.,.ZABE=ZCBF,在AEB和CFB中，,AB=BCZabe=ZcbfBE=BF.AEB合CFB(SAS),.,.AE=CF.(2)解：.BEJLBF,.ZFBE=90o,又.BE=BF,.ZBEF=ZEFB=45o,四边形ABCD是正方形,.ZABC=90o,XvzABE=55o,.ZEBG=90o-55o=35o,/.ZEGC=ZEBG+ZBEF=45°+35°=8O°.点此题主要考查了正方形，三角形全等判定和评：性质及等腰三角形，解题的关键是求得AEB合CFB,找出相等的线段.20. (2014鄂州)在平面内正方形ABCD与正方形CEFH如图放置，连DE,BH,两线交于M.求证：(1) BH=DE.(2) BH±DE.考全等三角形的判定与性质；正方形的性质.点：专证明题.题：分(1)根据正方形的性质可得BC=CD,析：CE=CH,ZBCD=ZECH=90o,然后求出ZBCH=ZDCE,再利用“边角边”证明BCH和ADCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得ZCBH=ZCDE,然后根据三角形的内角和定理求出NDMB=ZBCD=90°,再根据垂直的定义证明即可.解证明：(1)在正方形ABCD与正方形CEFH答：中，BC=CD,CE=CH,ZBCD=ZECH=90o,.ZBCD÷ZDCH=ZECH+ZDCH,即NBCH=ZDCE,在4BCH和ADCE中，BC=CD<Zbch=Zdce，CE=CHBCH合DCE(SAS),.BH=DE;(2) ,BCH合DCE,.ZCBH=ZCDE,又ZCGB=ZMGD,.ZDMB=ZBCD=90。，点 此题考查了全等三角形的判定与性质，正方.BH±DE.评：形的性质，熟记性质并确定出全等三角形是解题的关键，也是此题的难点.21.(2014青岛)：如图，GABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E.(1)求证：AoD合EOC；(2)连接AC,DE,ZB=ZAEB=45,四边形ACED是正方形？请说明理由.考平行四边形的性质；全等三角形的判定与性点：质；正方形的判定.专几何综合题.题：分(1)根据平行线的性质可得/D=ZOCE,析：ZDAO=ZE,再根据中点定义可得DO=CO,然后可利用AAS证明AoD些E0C；当NB=ZAEB=45°时，四边形ACED是正方形，首先证明四边形ACED是平行四边形，再证对角线互相垂直且相等可得四边形ACED是正方形.解证明：(1)四边形ABCD是平行四边形，答：ADIIBC.ZD=Z0CE,ZDAO=ZE.TO是CD的中点，OC=OD,在ADO和AECO中，rZD=ZOCE<Zdao=ZceoDO=COAODSEOC(AAS):当NB=ZAEB=45。时，四边形ACED是正方形.AOD合EOC,OA=OE.又OC=OD,.四边形ACED是平行四边形.ZB=ZAEB=45o,.AB=AE,ZBAE=90o.V四边形ABCD是平行四边形,.ABIICD,AB=CD.ZCOE=ZBAE=90o.QACED是菱形./AB=AE,AB=CD,.AE=CD.菱形ACED是正方形.故答案为：45.点此题主要考查了全等三角形的判定与性质，评：以及正方形的判定，关键是掌握对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.22.(2014随州)：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点.(1)求证：ABMtADCM；(2)填空：当AB：AD=1：2时,四边形MENF是正方形.考矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平点：行四边形的判定；正方形的判定.专几何图形问题.题:/ME=MF,ZBMC=90o,分(1)根据矩形性质得出AB=DC,析：NA=ND=90。，根据全等三角形的判定推出即可；(2)求出四边形MENF是平行四边形，求出ZBMC=90。和ME=MF,根据正方形的判定推出即可.解(1)证明：四边形ABCD是矩形，答：.AB=DC,ZA=ZD=90,.M为AD的中点，.AM=DM,在乙ABM和DCM中rAM=DM<Za=ZdAB=DC.AABM合ADCM(SAS).(2)解：当AB：AD=I:2时，四边形MENF是正方形，理由是：.AB：AD=I:2,AM=DM,AB=CD,AB=AM=DM=DC,.ZA=ZD=90%.ZABM=ZAMB=ZDMC=ZDCM=45%ZBMC=90o,V四边形ABCD是正方形，.ZABC=ZDCB=90o,.ZMBC=ZMCB=45o,.BM=CM,N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，.BE=CF,ME=MF,NFIIBM,NElICM,四边形MENF是平行四边形，二.四边形MENF是正方形，即当AB：AD=I:2时，四边形MENF是正方形，故答案为：1：2.点此题考查了矩形的性质和判定，平行四边形评：的判定，正方形的判定，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比拟好,难度适中.