泰勒级数及其应用.docx
泰勒级数及其应用张伯顺(湖北工业大学武汉市430068)摘要：泰勒级数是一种重要的数学工具，在诸多场合有着广泛的应用。下文针对其在近似计算、极限计算、级数与广义积分的敛散性、说明无穷小的阶、不等式的证明及中值定理的证明等方面的应用展开论述与分析。关键词：泰勒级数；近似；极限；敛散性；不等式；中值定理泰勒级数是我们应用较多的一种数学工具，在这里对其做一个简要的介绍，并论述一些它的应用。1 .泰勒级数的定义假设函数了(见)在点与的某一临域内具有直到(+1)阶导数，那么在该邻域内/(x)的阶泰勒公式为一(x)=°)+fCT°)+?(XT°)2+Re)其中，R”(x)为余项，有两种形式：皮亚诺余项及拉格朗日余项。在应用泰勒级数时，应选择不同的形式，一般是做近似计算时采用朗格朗日余项，做极限时采用皮亚诺余项。以上函数展开式称为泰勒级数。2 泰勒级数的应用近似计算目前解决解决非线性问题的一种有效工具是泰勒级数，即利用泰勒展开式一阶近似，将非线性问题线性化，到达近似求解的目的。如假设一阶近似达不到近似精度标准的话，还可以在泰勒级数展开式中取更高的阶，在实际问题中我们经常会使用级数的二阶多项式求复杂问题的近似解。例如：在我们日常生活中的路面结构中，路面结构是在不断遭受载荷的重压而产生振动，以致遭受破坏的，研究发现其振动是以非线性的形式进行的。我们的线性振动形式为：F(x)=kx对于非线性振动负荷和变形的关系为：F(x)=f(X)因为这里的“X)未知，所以我们可以借助于泰勒级数，将上式展开为：F=kx±x,使其成为线性函数，进而分析出符合硬弹簧特性，经验证拟合水泥振动特性，到达了令人满意的效果。近似计算还有以下几种形式：(1)计算近似值；例如：求质的近似值可以得到65=64+l=8J1+-，由T+x=1+-%-%2+-(1÷6v)X3V642!3!4!658(1+-)8.06226,此时误差R<v.5xl()r.264864216643计算定积分的近似值例如：求,出公X九3 5sin(r+7-)解：sinx=x11x1,3!5!7!7135si(t+7,一)rSinx.rXX27J)dx=x+-%冗.24sin(v + 7 )Sinx 1 X X9=111-X 3!5!7!因此得到由此得到冗l jsin(r + 7-)=II 23!3 5!5717 <0.5 × IO-47!7%3!35!57!7'drl-+-0.9461此时误差R<%3!35!52.2极限计算例如：计算Iim x0tan(tanx)-sin(sinx)tan %-sin X经常使用的洛必达法那么的结论是在特殊条件下存在的，可以由泰勒级数进行推导得出，故而可以利用函数的泰勒级数求解未定式的极限。经分析可知，此题为,型，用洛必达法那么很难求解，可以说明的是tan(tanx)和Sin(SinX)及1加工2111工均在。(0,6)内三阶可微:可见分母是3阶无穷小，故写出分子上各泰勒级数展开式，关于Y的较高阶局部可以略去，又:.V,'+f(:.tan(tanx)-sin(sinx)=x3+oxi),原式=Iim=2XTOIaa-X÷O(X)22.3级数与广义积分的敛散性例1.设f()在某一值域内具有二阶连续导数，且Iim-=0*证明级数£/()绝对收敛。X>0XM=I证明：由题设知/(O)=OJ(O)=O,/(x)在点X=O的某一邻域内泰勒级数展开是为：f(x)=/(0)+'(0)x+<()x2=(6)x2(Oel)再由题设r(X)在包含原点的领域内连续，故存在例>0,使V"(x)M,于是If(X)I(/令X=1，当n充分大时有1 IMR11/(一)r,因为级数ZF收敛，由比拟法知z一)绝对收敛。I2=1j11Y例2：讨论广义积分lim公的敛散性XTOX-sinXYqin解：.Iimdx=,.x=0是暇点，由比拟判别法可知:假设IimXqf(X)+/,其中0</v+8,x0%-sinXXfo那么gvl时，(X)dx收敛；ql时，£/*)公发散1.XSinX,/.IimX6.cx-sinX.q=l,所以广义积分，XSlnX八发散j0x-sinx说明无穷小量的阶X2例：当x0时，InCoSX+是X的几阶无穷小？22424解：:Incosx=lnl-5+o(5)=i11i+-5+5+o()因此Incosx+二=一+o(x4)+-=-+o(x4),所以当xfO时，InCoSX十二是X22122122的4阶无穷小。不等式的证明例1：证明不等式jrJ1sinJ(2+y2)3a(dyw_1八,其中。=(工训-+)?1.证明：爪Sin J(X2 +)产)3ddy = £ dojsin p'pdp = 2乃/2 sin pydp = 2乃1 p(p3 一3) I (/)53!5!)dpClUC2乃，(/?”+)dp,因为被极函数为莱布尼茨级数，故有2万二(/一 q-)d9 / 2%fd9,又由于例2：假设函数/(力在区间口,句上有二阶导数，且/'(o) = '3) = 0,那么在(,匕)内至少存在一点P，使得f'3)S-a)2成立。证明：因为/(x)在切上二阶导数，所以/(x)在/处的一阶泰勒公式成立， w(,b)fM=/()+,(X-)+与2(X-X0)2,其中曲与X。之间,mnrrr6皿,士,/。+匕、rz、f(<),«+Z2.2假设取=,X=，那么有/(技一)=/(。)+/-。)+-(六一一。)因为/3)=0,所以/(学)=")+J祟(空)2,4g等假设取X0=Z?,X="2,又因为2f'()=0,故而/(誓)=/S)+弩2(皇)2，等2b因此有VS)-/3)|="(b-a)2/C2)-4)|s-a)2-6)|+F4)|取，"卜欣MrC2)卜'(&)|，”(。力)，那么f(a)-f(b)(b-a)2f"),即/(T7)，证明结束。中值定理的证明例：设/(X)在。/上三次可导，证明me3,力，使得证明：设K为使等式fb)-f(a)-f'-a)-k(b-d)3=O成立的实数,那么问题归结为,证明九3,垃使得Z=/"'(c).令g。)=W-()-f-a)-k(b-d)那么g()=g(b)=O,根据RoVe定理，三伍,。),使得8(1)=0,进而有f()-,(£)-/"(£)e-k(ba)2=O,关于k的方程，/(G在中处的泰勒公式222X2/(G)='(专)+/(专)三+3/(。)(2手)2=。，比拟上式可得A=/"(C)，证明完毕。3.结论由以上的说明与例证可以看出，泰勒级数无论是在日常生活抑或是研窕分析中都发挥着巨大的作用，作为一门重要的数学工具，需要我们去掌握并利用，我们也应该去开掘出它更为广泛的应用领域，为我们的研究与学习奠定根底。参考文献：1同济大学应用数学系高等数学加北京：高等教育出版社，2005.2 .武汉：华中师范大学出版社，2001.3 秦曾复，余跃平.高等数学讲义M.上海：复旦大学出版社.TayIorseriesanditsappIicationZhangBoshun(HubeiUniversityOfTechnologyWuhan430068)AbstractTayIorseriesisoneofthemostimportantmathematicstools,it,swidelyusedinmanydifferentcases.Thefollowingpaperwilltakediscussingandexplainingaimedatsuchparts:approximatecalculation,limitationcalculation,theastringencyanddivergentofseriesandimproperintegral,thestatementoforderofaninfinitesimal,theproveofinequalityandmeanvaluetheorem.KeywordszTaylorseries;approximate;limitation;astringencyanddivergent;inequality;meanvaluetheorem
