泰勒公式及泰勒级数的应用.docx

泰勒公式及泰勒级数的应用摘要：泰勒公式及泰勒级数在数学分析中有着很大的作用，是重要的数学工具。除了我们熟悉的应用方面外，在其他问题解决中也有妙用。本文举例介绍了泰勒公式及泰勒级数在求极限、求高阶导数值、判定级数和广义积分的敛散性、函数的不等式证明和近似计算中的应用等问题。这对学生解决问题的能力及综合运用知识的能力有着很好的指导作用。可以开阔学生的解题思路，提高学生的分析问题的能力。关键词：泰勒公式泰勒级数应用TheApplicationofaTaylorFormulaandTaylorSeriesAbstractiTaylorformulaandTaylorserieshavemanyimportantapplicationsinmathematicalanalysis.Thispapergivessomeexamplestoshowseveralapplicationswhichincludelimitanddifferentialcoefficientcalculationjudgementofconvergenceanddivergenceofprogressionandimproperintegral,provingvariablefunctionequationandsoon.ItisanimportantguideforUStoexploitstudents,thinkingtostudyproblems,toimprovestudents,abilityinanalyzingandsolvingproblems.KeyWOrdsiTaylorformulaTaylorseriesapplication。引言泰勒公式和泰勒级数是极重要的数学工具。在各个领域中都有重要的应用。在高等数学中，我们学到的用泰勒公式来解决在求函数的极限，求函数高阶导数值、函数近似计算、判别级数和广义积分的敛散性以及证明不等式方面的应用。通过学习，我们深入了解泰勒公式和泰勒级数的应用，用一些简单的例子来归纳说明其应用的方法。在实践中灵活运用,对学生理解、掌握泰勒公式的内容和解决较复杂的问题有事半功倍的作用，可以使问题变得简单易解。下面就结合一些例题给以说明。1泰勒公式和泰勒级数泰勒公式和泰勒级数在数学分析中是一个重要内容，它一般形式有：假设函数/在点X。存在直至n阶导数，那么有/U)=f(X0)+f(X0)(X-X0)+'+F,0%-%)+O(X-/)")2!(1)称(1)为带有佩亚诺型余项的泰勒公式。假设=0,那么泰勒公式为/(X)=/(O)+,(0)(x)+2+.+x"+o(x")(2)称(2)为带有佩亚诺余项的麦可劳林公式。假设函数/在LU上存在直至n阶的连续导函数，在(a,。)内存在(+1)阶导函数，那么对任意给定的X,x0a,b,至少存在一点Je(,Z?),使得/W=/()+,()U-)'(X-XO)2+do)+T(Io)(3)称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。假设XO=0,那么泰勒公式为=/(O)+,(0)(X)+X2+f1个)Xe(0<<l)(4)2!tv.(+1)!称(4)为带有拉格朗日型的麦克劳林公式.如果在(3)中去掉余项(二?(%-%)向,那么在与附近/可用(3)式右边的多项式来近似代替。如果函数/在X=XO处存在任意阶的导数，这时称形式为的级数为函数/在与的泰勒级数山常用函数的泰勒级数展开式，如：2泰勒公式的假设干应用2.1求极限应用泰勒公式求极限的方法是当X时.，把所求的极限表达式中的各个不同类型的初等函数都代换为其适当阶在点X0处的泰勒公式.使原来的极限转化为关于的有限分式的极限，这样就易求得其极限值.这种方法要求我们必须熟练掌握根本函数的泰勒公式.例1求极限lim±hy+-N0X2解：因为分母的次数是2,所以XeX=Ml+x+O(X),2ln(1+x)=X-+o(x 2求高阶导数值例3写出AX) = e?的麦克劳林公式,并求，尸98)(0),-99)(0),)故Iimx0xex -ln(l + x)X2Yxl + X + O(X) J xF ox)= IimXTO厂-X2+o(x2)=Iim-XToX232此题也可以用洛比达法那么，但假设求导次数多时，那么求导和化简过程较麻烦，用泰勒公式那么方便很多注:关键是分子与分母应该展开到多少阶。为了使原极限存在，应把分子中函数的泰勒公式展开到与分母中幕函数的最高次幕数相同的阶数为宜。假设碰到分子与分母都需要展开为泰勒公式的，方法相似。例2求极限Iim.v0-X2,2-COSX解：因为X+22!2一+O,)所以COSX=1-+o(x解：用味代替泰勒公式中的工.得到的麦克劳林公式为)24!所以吧4e 2 -COSxx23x + ln(l -3x)J1 - + + 9)-l:y+ ry + o(x4)= Iim-ZJ一XO19xO厂3无一3x+ ox)2-L X2e 2 =1- -+2222!+ + (-l)"g2")由泰勒公式系数的定义知，在上述的麦克劳林公式中尢98,丁9的系数为/.(0)=(_1)49L(0)=098!24949!99!所以/M)(O)=一，/(99)(0)=0注:求函数f(x)的高阶导数f(XO)Q=1,2,)。那么易写出AX)在点/处的泰勒公式。从逆向思维考虑，/(X)在点人处的泰勒公式那么根据函数的泰勒公式的唯一性以及它与泰勒公式的系数关系为4=心电(2=1,2,)，那么我们就得到函数在/处的各阶导数值为k/.(%)二%火！(&=1,2,江2.3利用泰勒公式和泰勒级数求近似值例4求数e的值，精确到1(9./P0解：=+x+-+.-+xm+,o<e<)2!M5+1)!当X=I时,<10-9,取=12因为13!6.2×109由于上CO413!所以el+l+-+-+-+2.71828182823!12!例5计算/=T(精确到0.0001)JoX解：SinX的麦克劳林幕级数展开式是Sinx = X-I3!5!+ + (1)”(2-l)! +8Ofl>SInXClw-X-T2五Fdx= (-1)m"ol(2-l)!dx= (-Dz,-12-l(2-1)!(2h-1)oX3X512=X+F3!35!5I。因为也不是初等函数，可运用泰勒级数来表示计算。这是一个交叉级数.所以X2 sin x , C 2' ax-2÷25272933! 55! 77! 99!÷ 29又因为一0.0001,所以取=5.9-9!2999!2sinX,C832T3!3 5!5 7!7ax=2+÷1.50232.4利用泰勒公式判别级数、广义积分的敛散性在级数敛散性理论中，要判断一个正项级数的收敛性或是发散性时，我们可以用比拟W=I判别法来判定。也就是利用一个其敛散性的“比拟简单”的级数，如=Se(P>0)，/2=1W=I÷W1我们称为P级数。为了有效的选取适当的P级数E二r(p>0)中P的值，我们往往要用泰勒=1公式来研究无穷小量册或无穷大量/的阶，以此来选取适当的P值，根据的取值范+X+»围来判定的敛散性。再用极限判别法!巴牛=Z来判定2%的敛散性。171W=I=1产于1假设0<X<+8时，那么级数Z%与级数F的敛散性时相同的。w=lw=l假设4=o时，那么当级数F收敛时，级数也收敛。w=lW=I假设i=+8时，那么级数发散时，级数也发散。M=IW=I定理1网：设定义在,oo)上，两个函数/和g都在有限区间L司上可积，且满足(x)g(x),x,oo)那么当g(x)收敛，那么|/(刈公也收敛。(或者当，(刈dx发散时，g(x)也发散。)推论：设/定义与8)上对任何有限区间a4上可积，且Iim-Y(X)I=讥(i) 当p>l,02+f,(x)公收敛。(ii) 当pl,0vl+8时，|/(刈右发散。(注意：(x)dx收敛，那么/(XMX也收敛。)例6判断级数£己-ln(l+L的敛散性。解：利用泰勒展开式ln(l+)=-+。(与)(n)nn2n2n2设 « = - -ln(l÷-)n n故有Iim2=L其中=2,又明0(nco)是二阶，而£二收敛,n+=c12n2/T所以极限判别法知级数-ln(l + -H也收敛。 n例7判别广义积分XSmX公的敛散性。j0x-smx解：由SinX的泰勒展开式得又因为Iimx XSInX =6,° X-SinJr又比拟判别法的推论知P=I时，且ILa发散。X所以广义积分凶”_jox-snx2.5 求初等函数的幕级数展开式例8求函数1的麦克劳林级数展开式。(l-x)(l-x2)解:(l-x)(l-x2)-2(l-x)24(l-x)-4(1+x)2.6 证明不等式例9证明不等式SinX>X6证明：4*/(x)=sinx-x+-6丫2那么,(x)=cosx+-/"(x)=x-sinx因为/(0)=/'(0)=(0)=0，/w(x)>0,x(0,2万)由泰勒公式知，/(X)=/(O)+尸(O)X+1(O)X2+.fm()x3,X(0,2万)X3所以SinX>xx(0,2;T)6注：多项式与初等函数混合时，我们可以做一个辅助函数/(X)并在适当的展开点X。写出/(X)的泰勒公式，再根据它们的余项的符号大小来判断不等式成立。2.7 证明定积分不等式中值定理例io设/(力在LU上二阶可导，且/a)>0,证明：证明：将/(x)在XO=点处的一阶泰勒公式因为/(犬)>()，所以/W>/()+八()。-?)Y在/与X之间。注：有关不等式的证明或所给的条件中涉及函数在某区间具有二阶和二阶以上的导数，且最高阶导数的大小可知的命题那么可以考虑用泰勒公式来证明。证明方法：(1)写出比最高阶导数低一阶的Taylor公式；1,01(2)根据所给的最高阶导数的大小对展开式进行适当的“放大”或“缩小”.通过以上实例，我们可以对泰勒公式和泰勒级数的应用进一步的了解。在一些较复杂的问题上，不管泰勒公式的哪一种应用，建立所给函数的泰勒公式是关键。利用泰勒公式可以到达事半功倍的作用，使解题过程更加简捷。参考文献：口华中师范大学数学系.数学分析(上，下册)M.华中师范大学出版社，2001,134-141.2曹爱民.高等数学中求极限的几种方法J.济南教育学院学报，2001,(6)：57-60.3邵剑，李大侃.高等数学专题梳理与解读口亿同济大学出版社.2008,94T02.4徐海娜.泰勒公式的应用举例J.浙江海洋学院数理与信息学院.2008.5朱永生，刘利.基于泰勒公式应用的几个问题J.长春师范学院学报，2006.6钱吉林主编.数学分析题解精粹第二版M.湖北长江出版集团.2009.7潘劲松.泰勒公式的证明及应用J.廊坊师范学院学报.2010.4(10)：1879.8华中师范大学数学系.数学分析(±)M.华中师范大学出版社，2001,224.9上海交通大学数学系.高等数学习题与精解M.2005.118-124.10陈晓萌.泰勒公式在不等式中的应用J.昌淮师专学报，2000.x23x+ln(l-3x)