第02讲_解直角三角形(教师版).docx

第02讲.解直角三角形辅导讲义（教师版）主讲内容解直角三角形锐角三角函数的实际应用第02讲一解直角三角形教师版匕J知识精讲一.解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形.二.解直角三角形要用到的关系1 .三边之间的关系6f2+Z?2=C22 .两锐角之间关系ZA+4=90。3 .边角之间的关系ZA的对边aNB的对边bsinA=sinB=.斜边C斜边c'ZA的邻边bNB的邻边acosA=cosB=斜边C斜边CtanA=ZA的对边_atanB=/B的对边_b邻边h邻边a三.圆中的相关计算1 .利用勾股定理和锐角三角函数求解圆中有关直角三角形的边长问题;2 .利用直径所对圆周角为90。，构造直角三角形；3 .利用切线的性质求解线段长度.上义三点剖析一.考点：解直角三角形，与圆结合求解线段长度.二.重难点：1 .特殊三角函数值的记忆以及应用；2 .圆中直径与所对圆周角的构造以及直角三角形选取的问题;3 .射影定理与锐角三角函数结合.三.易错点：特殊三角函数值的三边比例对应关系.心J解直角三角形例题1 在aABC中，ZC=90o,BC=4,sinA=-,则边AC的长是（）38A.25B.6C.-D.2I3【答案】A【解析】在AABC中，NC=90。，BC=4,SinA=上，3根据勾股定理，得AC=JAB2-BC?=晒=2卮故选：A.42如图，在四边形ABCD中，Z=ZD=90o,AB=3,BC=2,tan=-,则8=3【解析】解：延长AD和BC交于点E.在RtMBE中，tanA=±,AB=3，3:.BE=4,.EC=BE-BC=4-2=2fMBE和ACOE中，ZB=NEDC=90。，ZE=ZE>:.ZDCE=ZA>DF4.町ACO匹中，tanZDCE=CanA=-=-,DC3.设。E=4x,则。C=3x,在心ACDE中，EC2=DE2+DC2,/.4=16x2+9x2,解得：X=-,则8=9.55AD是BC边上的高，taC=r2AE代，AB=4,求aABC的周长.【答案】【解析】10+35+7在RtAADC中，tanC=1,DC2设AD=k,CD=2k,AC=而帚=0'0ac=35,团泥k=3J,解得k=3,0AD=3,CD=6,在Rt0ABD中，BD7AB2-AD242-326，ABC的周长=AB+AC+BD+CD=4+3掂+疗6=10+3泥+行44如图，在AABC中，SinB=-,点F在BC上，AB=AF=5,过点F作EF_LCB交AC于点E,且AE：EC=3：5,求BF的长与SinC的值.【解析】 过点A作ADJ_CB,垂足为点D,丁SinB=-，5.*.cosB=-»53在RtAABD中，8f>=A8cos8=5x-=3,5VAB=AFAD±CB,BF=2BD=6,VEF±CBADlCB,EFAD,DFAE9CFECVAE：EC=3：DF=BD=3,ACF=5,：.CD=8,在RSABD中,在 RtACD 中,(1)求AABC面积;4Ao=A8sin8=5-=4,5AC=AD2+CD2=45,AC55如图，已知aABC中，NB=45°,taC=-,BC=6.2(2)AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E.求DE的长.【答案】6屿2【解析】(1)过点A作AH_LBC于点H,在RtAABC中,ZB=450,设AH=x,!OH=X,在RtZAHC中，taC=-=-,HC2HC=2x,VBC=6,：x+2x=6,解得：×=2,AH=2,；Sabc=-BCAH=6;2(2)由(1)得AH=2,CH=4,在RtZXAHC中，AC=A2+C2=25,TDE垂直平分AC,CD=-AC=5,2VEDlAC,½RtEDC,taC=-=-CD2de=tA6已知点。是四边形ABCD内一点，AB=BC,OD=OC,ZABC=ZD0C=.（1）如图L=60o,探究线段AD与OB的数量关系，并加以证明；（2）如图2,=120o,探究线段AD与OB的数量关系，并说明理由；（3）结合上面的活动经验探究，请直接写出如图3中线段AD与OB的数量关系为（直接写出答案）【答案】(1)AD=OB(2)AD=OBa(3)AD=2sin-OB2【解析】(1)AD=OB,如图1,连接ACVAB=BC,OD=OC,NABC=NDOC=60°,ABC与ACOD是等边三角形，ZACB=ZDCO=60o,ZACD=ZBCo,在AACD与aBCO中，'AC=BC<ACD=ABCO,OC=ODACDBCO,AD=OB;(2)AD=30B;如图2,连接AC,过B作BF_LAC于F,VAB=BC,OD=OC,ZABC=ZDOC=120o,/.ZACB=ZDCO=30o,ZACD=ZBCO,.ACDBCO,AD_ACOBBCVZCFB=90o,/.=2sin60o=3,BCAD=3OB;(3)如图3,连接AC,过B作BF_LAe于F,VAB=BC,OD=OC,ZABC=ZDOC=,:.ZACb=ZDCO=180°6y2ZACD=ZBCO,ACDBC0,.ADAC =9OBBC ZCFB=90o,tLCF.a =2sm,BC2AD=2sin-OB.2故答案为：AD=2sin-OB.图3图2随练7己知：AABC中，ZBCA=90o,CD_LAB于D,若AD=I,AB=3,那么COSB的值是（）也亚立如A.3B.2C.3D.3【答案】D【解析】VCD±AB,ZACD=90o,ZACd=ZBAC,XVZCAd=ZBAC,ACDABC,.ACAD=，ABAC即丝=_!_3AC解得AC=3,在RtABC中，由勾股定理得，BC=AB2-AC2=32-(3)'=6>所以，CoSB=AB故选D.8在RtZXABC中，C=90°,tan=-,则CoSA=()3d<r334U.34【答案】D【解析】暂无解析9如图，在RSABC中，Ne=90。，NA的平分线交BC于点E,EF_LAB于点F,点F恰好是AB的一个三等分点(AF>BF).(1)求证： ACE AFE；(2)求 IanNCAE 的值.【答案】(1)见解析(2)公5【解析】本题考查了直角三角形的判定、性质和利用三角函数解直角三角形，根据已知条件表示出线段的值是解本题的关键.(1)根据角的平分线的性质可求得CE=EF,然后根据直角三角形的判定定理求得三角形全等.(2)rtACEAFE,得出AOAF,CE=EF,设BF=m,则AO2m,AF=2m,AB=3m,根据勾股定理可求得，2mtanZB=-=,CE=EF=,在RT"CE中，IanZCAE=-=；BC65AC2m5(1)证明：YAE是NBAC的平分线，EC±AC,EF±AF,CE=EF,在RtACE与RtAFE中，CE=EFAE=AE,RtACEgRSAFE(HL)；(2)由(1)可知AACEgaAFE,AC=AF,CE=EF,设BF=m,则AC=2m,AF=2m,AB=3m,：BC=VaB2-AC2=V9m2-4m2=>5m,解法一：；NC=NEFB=90。，EFBACB,EFFBACBCVCE=EF,.CE_m_5AC>m5解法二：在RTABC中，tanNB=江=4-=2,BC5m5在RTAEFB中，EF=BFtanZB=,5CE=EF=，52m在RTZkACE中，tanZCAE=-=；AC2m5/.tanZCAE=.510在RtZkABC中，ZACB=90o,点D在边Ae上，DE_LAB于点E,连CE.（1）如图1,已知AC=BC,AD=2CD,ADE与aABC面积之比；求tanZECB的值；（2）如图2,已知生=四=&,求tanNECB的值（用含k的代数式表示）.ACDC【答案】（1）2；29/c、k3+k2（2）tanZ.ECB=k【解析】（1）作EH_LAD于H,如图1,设CD=X,则AD=2x,AC=BC=3x,VAC=BC,NACB=90。，ACB为等腰直角三角形，ZA=45o,而DE_LAB,ADE为等腰直角三角形，/.AH=HD=HE=X,*S加-2xx=X2>S小ADE_X_2。一17一丁2O在RtZXCHE中，tanZWEC=-=2,HEXVHEBC,ZBCE=ZHEC,.*.tanZECB=2;(2)作EHJ_AD于H,如图2,设CD=a,.BCAD,=k,ACDCAD=ak,BC=kAC,AC=(k+l)a,/.BC=(k2+k)a,：.AB=y(k+1)202+(k2+k)za2=(k+)yk2+a，VDE±AE,ZAED=90o,.NDAE=NBAC,ADEABC,即=-,解得AE=YL=ABAC(2+l)Jr+la(k+)a2+lVHE/7BC,AHEACB,ak.AHHE_AE叩AHHE&*ACBCAB,'(k+l)4-(F+Qa-优+ 一，aklick2ak2+k2+ Z4个AU/.nCtkky+k2+ CH=AC-AH=+V)a；=；a,+1Ic+1内+F+1 IanNHEC=史=七1=k"+k+lfHEk%k2k2+lVHEBC,NBCE=NHEC,11如图，AD、BE是AABC的两条高，过点D作DFlAB,垂足为F,FD交BE于M,FD、AC的延长线交于点N.(1)求证：ABFMsaNFA;(2)试探究线段FM、DF、FN之间的数量关系，并证明你的结论；(3)若AC=BC,DN=12,tanN=；,求线段AC的长.A【答案】(1)BFMNFA(2) DF2=FMFN(3) AC=55【解析】(1)证明：；DF_LAB,AD、BE是aABC的高,NBFD=NAFD=NAEB=NADB=90°,ZFBM=90o-ZBAC,ZN=90o-ZBAC,AZFBM=ZN,VZFBM=ZN,ZBFD=ZAFd,BFMNFA;(2)解：DF2=FM-FN,理由为：证明：VBFMNFA,FB_FM_丽一直FMFN=FBFA,VZFBD+ZFDB=900,ZFBD÷ZFAD=900,ZFDB=ZFaD,.NBFD=NAFd,ZFDb=ZFAD,BFDDFA,FRDF：.一=一，即DF2=FBFA,DFFADF2=FMFN；(3)解：VAC=BC,ZBaC=ZABC,VZABC+ZFDB=ZBAC+ZN=90o,ZfDB=ZN=ZFBM,PM1FB1/.=tanZFBM=tanN=-,=tanZFDB=tanN=-,FB2FD2FB=2FM,FD=2FB=4FM,VDF2=FM-FN,/.(4FM)2=FM(4FM+12),解得：FM=I或FM=O(舍去)，FB=2,FD=4,FN=FD+DN=16,"*z1.=tanN=-,FN2AF=8,AB=AF+BF=10,RtBFD,BD=>JbF2+DF2=722+42=25,在RtADB和RtADC中，AD2=AB2-BD2=AC2-CD2,AAC2-(AC-25)2=102-(25)2,解得：AC=55.12如图1,过等边三角形ABC边AB上一点D作DEBC交边AC于点E,分别取BC,DE的中点M,N,连图3图2(1)发现:在图1中， BD(2)应用:(3)拓展:如图2,将AADE绕点A旋转，请求出以»的值；BD如图3, AABC和AADE是等腰三角形，Kzbac=ZDAE, M, N分别是底边BC, DE的中点，若BD±CE,请直接写出&的值.【答案】(1)BD2Sl【解析】(1)如图1中，作DH_LBC于H,连接AM.图1VAB=AC,BM=CM,AM±BC,AADE时等边三角形，ZADE=60o=ZB,DEBC,VAMlBC,AM1DE,AM平分线段DE,VDN=NE,:A、N、M共线，：ZNMH=ZMND=ZDHM=90o,四边形MNDH时矩形，MN=DH,.MN ,BDDH0。G=sn60o=,BD2故答案为出.2(2)如图2中，连接AM、AN.ABC, ZiADE 都是等边三角形，BM = MC, DN=NE, AM±BC, AN±DE, AM Ano AN .=sin 60 , = sin 60 ，ABAM ANADAB AD；NMAB= NDAN=30°,.ZBAD= ZMAN,.BADMAN,MN AM . aao y3=sin 60o =BD AB2(3)如图3中，连接AM、AN,延长AD交CE于H,交AC于O.VAB=AC,AD=AE,BM=CM,DN=NE,AM±BC,AN±DE,.NBAC=NDAE,ZABC=ZADE,/.sinZABM=sinZADN,.AMAN 1=，ABAD ：ZBAM=-NBAC,ZDAN=-ZDAE，22ZBAM=ZDAN,ZBAD=ZMAN.BADMAN,.MNAM =SinABC，BDABVZBAC=ZDAE,ZBAD=ZCAE,VAB=AC,AD=AE,BADCAE,ZABD=ZACE,VBD±CE,JNBHC=90。，ZACE+ZCOH=90o,VZAOB=ZCOH,ZABD+ZAOB=90o,ZBAO=90o,VAB=AC,ZABC=450,：丝LSin45。=也AB2圆中的相关计算例题13如图，在平面直角坐标系中，己知。A经过点E、B、C、0,且C(0,6)、E(8,0)、O(0,0),则cos/OBC55【答案】B【解析】连接EC,EC是。A的直径,dIVZE=90o,VC(0,6),E(-8,O),O(0,0),OC=6,OE=8,由勾股定理得：EC=IO,VZOBC=ZOEC,OE 8 4 ECU)514如图，直线I与。相切于点D,过圆心。作EF1交Oo于E、F两点，点A是。上一点，连接AE,AF,并BD=12,则NACB的正切值为.【答案】-5【解析】连接OD,作EH_LBC,如图,EF为直径, ZA=90o,VZB÷ZC=90o,ZB÷ZBEH=90o,AZBEH=ZC,I直线I与相切于点DOD±BC,而EH_LBC,EFBC, 四边形EHOD为正方形，EH=OD=OE=HD=S,BH=BD-HD=7,RH7在RtZBEH中，tanZEW=-=-,EH515如图，以AABC的边AB为直径作。O,与BC交于点D,点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F,ZACB=2ZBAE.（1）求证：AC是。O的切线；.E是弧BD的中点，：.BE=DE,Z1=Z2.ZBAD=2Z1.VZACB=2Z1,AZC=ZBAD.AB为。O直径，ZADB=ZADC=90o.ZDAC+ZC=90o. ：ZC=ZBAD,ZDAC+ZBAD=90o. ZBAC=90o.即AB±AC.又TAC过半径外端，JAC是。O的切线.（2）过点F作FG_LAB于点G.如图2所示：在RsABD中，ZADB=90o,sinB=-=-,AB3设AD=2m,则AB=3m,由勾股定理得：BD=>JAB2-AD2=5m.VBD=5,/.m=5/5.AD=25,AB=35.VZ1=Z2,ZADB=90o,FG=FD.BF=x,贝UFG=FD=5-X.2在RSBGF中，ZBGF=90o,sinB=-,3,5-x2=一X3解得：=3.16如图，PA为。的切线，A为切点，直线Pe）交。于点E,点F,过点A作PC）的垂线AB垂足为D,交。于点B,延长Be）与。O交于点C,连接AC,BF.（1）求证：PB与。相切；(2)-.5【解析】(1)证明：连接。A,PA与圆O相切，PA±OA,即NOAP=90°,VOP±AB,D为AB中点，即C)P垂直平分AB,：PA=PB,ViOAP和AOBP中，AP=BPOP=OP,OA=OBOAPOBP(SSS),ZOAP=ZOBP=90o,BPlOB,则直线PB为圆。的切线；(2)解：连接BE,则NFBE=90°.VtanZF=,2.BE1.=，BF2可设BE=x,BF=2x,则由勾股定理，得EF=BF2+BE2=5X,V-BEBF=-EFBD,22BD=-x.5XVAB±EF,AB=2BD=-X,5JRSABC中,BC=5x,AC2+AB2=BC2,122+()2=(5x)2,解得：x=4J5,/.BC=45×5=20,AB=BD,BEJ.DC交DC的延长线于点E.(1)求证：Zl=ZBCE;(2)求证：BE是QO的切线；(3)若EC=I,CD=3,求COS乙DBA.(2)见解析【解析】(1)过点B作BF_LAC于点F,SABF-DBE中，ZBAF=NBDE<ZAFB=NDEBAB=DB.ABFDBE(AAS).BF=BE,/BE!DC,BFlAC,.,.Zl=ZBCE(2)连接0B,AC是。O的直径，.ZABC=90°,即41+4BAC=90°,VZBCE+ZEBC=90°,且乙I=4BCE,ZBAC=EBCVOA=OB,ZBAC=ZOBa,ZEBC=ZOBa,ZEBC+4CBo=ZOBA÷ZCBO=90°,BE是OO的切线(3)由(2)可知：ZEBC=ZlCBF=ZBAC,在aEBC与AFBC中，NEBC=KBF NBEC=/CFBBC=BC.EBCFBC(AAS) .CF=CE=I由(1)可知：AF=DE=1+3=4,.AC=CF+AF=1+4=5,CD3cosZDBA=cosZDCA=CA5B.18如图，已知。的半径为1,锐角AABC内接于。O,BDJ_AC于点D,C)M_LAB于点M,则sin/CBD的值等B.20M的长C.CD的长D.2CD的长【答案】A【解析】连接Ao并延长交圆于点E,连接BE.则NC=NE,由AE为直径，且BD_LAC,得到NBDC=NABE=90°,所以ABE和ABCD都是直角三角形，所以NCBD=NEAB.又AOAM是直角三角形，VAO=I,丝=OM,即SinNCBD的值等于C)M的长.OA19如图，正方形ABCD的边长AD为。的直径，E是AB上一点，将正方形的一个角沿EC折叠，使得点B恰好与圆上的点F重合，则taZAEF=.【答案】-4【解析】如图，连接OF,0C.在AOCF和AOCD中，OF=OD OC=OC，CF=CD0CF0CD(SSS),ZOFC=ZODC=90o,CF是。的切线， 四边形ABCD是正方形，.,可设AD=BC=AB=CD=2, NCFE=NB=90°,E,F,O三点共线.VEF=EB, 在AAEO中，AO=I,AE=2-BE,EO=1+BE, (1+BE)2=1+(2-BE)2,2：.BE=，3/.IanAAEF=-.20如图，/史内接于。O,/8是直径，。的切线户。交纵的延长线于点P,OF/BC,交力。于点£交PC于点尸，连接力£(1)求证：Zl尸是。的切线；(2)已知。的半径为4,AF=3,求线段/C的长.5【解析】(I)证明：连接OC, 28是。直径，：.ZBGA=90° ：OF/BCyZAEO=90o,OFA-AC,'：OC=OA,：.乙CoF=ZAOF，JXOCF=XOAF:.ZOAF=ZOCf PC是切线，NOCF=90o，：.FAVOAt.20Ofi勺切线(2).G>fl勺半径为4,AF=3,FALOA.：.OF=OF2+OA2=32+42=5'：FALOA.OFLAC,：AFOA=OFEA,：3x4=5XE4,解得A石=2，5AC2AE=-521如图，在AACB中，AB=AC=5,BC=6,点D在aACB外接圆的AC上，AE_LBC于点E,连结DA,DB.(1)求tanND的值.(2)作射线CD,过点A分别作AHj_BD,AF±CD,垂足分别为H,F.求证：DH=DF.(2)见解析【解析】(1)VAB=AC,AElBC,：EC=LBC=3,2在RtaAEC中，AE=yC2-EC2=52-32=4,EA4tanC=EC3又.C=ND,4.*.tanD=tanC=-;3(2) VAH±BD,AF±CD,ZAHD=ZAFC=90o,在AABH和AACF中，NABH=NACF ZAHB=ZAFC，AB=ACABHACF,AH=AF,在RtZXAHD和RtaAFD中，DH2=AD2-AH2,DF2=AD2-AF2,DH=DF.22如图，AABC内接于。O, AB二AC, Ce）的延长线交AB于点D(1)求证：Ae)平分NBAC；3(2)若BO6,SinZBAC=-,求AC和CD的长。【答案】(1)见解析(2)AC=310;CD=-13【解析】(1)延长AO交BC于H,连接Bd如图1所示:VAB=AC,OB=OC,:A、O在线段BC的垂直平分线上，A01BC,XVAB=AC,AO平分NBAC；(2)延长CD交。于E,连接BE,如图2所示：则CE是。的直径，ZEBC=90o,BClBE,VZE=ZBAC,siE=siZBAC,.BC3 =，CE5ACE=-BC=IO,3BE=CE2+C2=8,OA=OE=-CE=5,2VAHlBC,/.BEOA,.OAODh115ODBEDE85-OD25解得：OD二'，13 5L2590CD=5=,1313VBE#OA,即BEOH,OC=OE,OH是ACEB的中位线，0H=-BE=4,CH=-BC=3,22AH=5÷4=9,在Rtaach中，AC=-Jce1+bc2=92+32=3io.23如图，AB为。的直径，弦BC,DE相交于点F,且DE_LAB于点G,过点C作。的切线交DE的延长线于点H.(1)求证：HC=HF;(2)若。O的半径为5,点F是BC的中点，tanHCF=m,写出求线段BC长的思路.【答案】见解析【解析】(1)连接OC如图.CH是。O的切线，Z2÷Zl=90o,VDElAB,Z3÷Z4=90o.VOB=OC,Z1=Z4./.Z2=Z3.又YN5=N3,Z2=Z5.HC=HF.(2)求解思路如下：思路一：连接OF,如图OF过圆心且点F是BC的中点，由垂径定理可得BC=2CF,NOFC=90。；由N6与NI互余，N2与NI互余可得N6=N2,从而可知tanN6=m;在RIAOFC中，由tanN6=-=帆，可设OF=x,CF=mx,由勾股定理，得x?+(mx)可解得X的Ok值：由BC = 2CF=2mx,可求BC的长.思路二：连接AC如图由AB是。的直径，可得AACB是直角三角形，知N6与24互余，又DE_LAB可知N3与N4互余，得N6=N3;由6=N3,N3=N2,可得6=N2,从而可知tanN6=m;在RlAACB中，由tan/6=上=帆，可设AC=x,BC=mx,由勾股定理，得x?+(mx)2=102,可解得X的AC值；由BC=mx,可求BC的长.4知识精讲一.仰角和俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线的上方是仰角; 下俯)I视线铅垂线水平线N关线视线在水平线的下方是俯角，如图一所示.(上仰Ir锐角三角函数的实际应用二.坡度与坡角坡度（坡比）：坡面的铅直高度和水平宽度/的比叫做坡度.用字母i表示，=彳=tan坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角.用字母表示.方位角指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角.四.用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：说明：解直角三角形的方法：有斜则弦，无斜则切，宁乘毋除，取原避中.五.用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤：1 .审题；通过图形，弄清己知和未知.2 .找出相关的直角三角形（或通过辅助线作出）：把问题转化为解直角三角形问题.3 .根据直角三角形边、角关系解直角三角形.三点剖析一 .考点：解直角三角形的应用二 .重难点：把实际问题转化为解直角三角形三 .易错点：1.仰角和俯角理解错误；2.检验答案是否符合实际情况.锐角三角函数的实际应用例题24如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆力反已知观测点。到旗杆的距离CE=8m,测得旗杆的顶部/1的仰角NECA=30。，旗杆底部8的俯角NECB=45。，那么，旗杆48的高度是（）A.(82+83)mB.(8+83)mcj+孥卜D8+孥卜【答案】D【解析】VZEC4=30o,CE=8m,.*.AE=CE-tanZEGA=8×tan30°=-(m).3VZECB=45°,CE=8m,BE=CEtanZECB=8×l=8(m).25已知一条长度为10米的斜坡两端的垂直高度差为6米，那么该斜坡的坡角度数约为（备用数据：tan310=cot5900.6,sin370=cos5300.6）【答案】37。【解析】斜坡的坡角的正弦值为：=0.6,10则斜坡的坡角度数约为37。，26有一轮船在A处测得南偏东30。方向上有一小岛P,轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45。方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A,B之间的距离是（）海里.A.10 6B.102 - 10C.10D.10 3 - 10【答案】D【解析】由题意得：ZCAP=30o,ZCBP=45o,BC=Io海里，在RIBCP中， ：ZCBP=45o,JCP=BC=IO海里，在RtZiAPC中，AC=半二06海里，IanZCAP立TAAB=AC-BC=（103-10）海里，【答案】 【解析】B.17.2 米C.19.7 米D.25.5 米27某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36。，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处,斜面AB的坡度（或坡比）i=l：2.4,那么大树CD的高度约为（参考数据：si36o0.59,cos36o0.81,ta36o0.73）A作BF_LAE于F,如图所示:则FE=BD=6米，DE=BF, 斜面AB的坡度i=l:2.4,AF=2.4BF,设BF=X米，则AF=2.4x米,在RtABF中,由勾股定理得：X2+(2.4x)2=132,解得：×=5, DE=BF=5米，AF=12米, ,AE=AF+FE=18米,在RtACE中,CE=AEtan36o=18×0.73=13.14米，CD=CE-DE=13.14米-5米=8.1米；28如图,在一条笔直的东西向海岸线I上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C,灯塔C距码头的东端N有20km.以轮船以36kmh的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30。方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60。方向，且与灯塔C相距12km.（1）若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由.（参考数据：214,j=n【答案】（1）轮船照此速度与航向航向，上午11：00到达海岸线；（2）轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头.【解析】（1）延长AB交海岸线I于点D,过点B作BE_L海岸线I于点E,过点A作AF_Ll于F,如图所示.三BEC=0AFC=9Oo,0EBC=6Oo,0CAF=3Oo,0ECB=3Oo,同ACF=60°,酿BCA=90°,BC=12,AB=36×4q=24,600AB=2BC,00BAC=3Oo,0ABC=6Oo,三ABC=0BDC+l3BCD=6Oo,00BDeRlBCD=30°,0BD=BC=12,团时间t=2=小时=20分钟，36?团轮船照此速度与航向航向，上午11：00到达海岸线.（2）回BD=BC,BESCD,ODE=EC,在RT0BEC中，BC=12,0BCE=30o,团BE=6,EC=6g10.2,0CD=2O.4,02O<2O.4<21.5,团轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头.29如图已知楼高"为5所铁塔基与楼房房基间的水平距离即为5。小塔高亦为若述，下列结论中，正确的是（）A由楼顶望塔顶仰角为60°B.由楼顶望塔基俯角为60。C由楼顶望塔顶仰角为30。D.由楼顶望塔基俯角为30。【答案】C【解析】过点A作水平线他，则。为楼顶望塔基俯角，Na正为由楼顶望塔顶仰角.AB=50,Z）E=50.Nrnm150+50350333出.tanZCAE=CE:AE=CEiBD=-.3/.NCAE=30°.IanZEAD=DE:AE=50.BD=：.ZEAD=45.30如图，小明在大楼30米而（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15。，山脚B处的俯角为60。，巳知该山坡的坡度i（即tanZABC）为1：M,点P,H,B,C,A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PHLHC.（1）山坡坡角（即团ABC）的度数等于度；（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：3,732HBC【答案】（1）30；（2）34.6米【解析】（1）30；（2）由题意得：0PBH=6Oo,ABC=30,三ABP=90o,又（3APB=45°,（三PAB为等腰直角三角形，在直角I3PHB中，PB=pH=30=20«.SinNPBHm2在直角EIPBA中，AB=PB=20三34.6米.答：A,B两点间的距离是34.6米.31如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15。方向的A处，若渔船沿北偏西75。方向以40海里/小时的速度航行,航行半小时后到达C处,在C处观测到B在C的北偏东60。方向上,则B、C之间的距离为（）A.20海里B.l6海里C.20於海里D.30海里【答案】C【解析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题.解题的难点是推知AABC是等腰直角三角形.如图，根据题意易求ABC是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC的长度.如图，VZABE=l50,ZDAB=ZABe,ZDAB=I5o,：ZCAB=ZCAD+ZDAB=90o.XVZFCB=60o,ZCBE=ZFCb,NCBA+NABE=NCBE,ZCBA=450.r40×-r在直角AABC中，SinZABC=-=-=,BCBC2.BC=20近海里.故选：C.32如图，活动课上，小王想要利用所学的数学知识测量某个建筑地所在山坡AE的高度，她先在山脚下的点E处测得山顶A的仰角是30°,然后，她沿着坡度i=l：1的斜