第16章二次根式化简的方法、关键、技巧讲义.docx
第16章二次根式化简的方法、关键、技巧1、被开放数是小数的二次根式化简例1、化简L5分析：被开放数是小数时，常把小数化成相应的分数，后进行求解。解:评注：化简时通常分子、分母同时乘以分数的分母，使分母上数或者式子成为完全平方数或者完全平方式。2、被开放数是分数的二次根式化简例2、化简卷分析：因为，125=5x5x5=52x5,所以，只需分子、分母同乘以5就可以了。×5解:×5×525评注：化简时，通常分子、分母同时乘以分数分母的一个恰当因数或因式，使分母上数或者式子成为完全平方数或者完全平方式。3、被开放数是非完全平方数的二次根式化简例3、化简M分析：因为，48=16×3=42×3,所以，根据公式而=笈'孤(a0,b0),就可以把积的是完全平方数或平方式的部分从二次根号下开出来，从而实现化简的目的。解：V48=J16x3=V16XV3=V4XV3=4-3。评注：将被开放数进行因数分解，是化简的基础。4、被开放数是多项式的二次根式化简例4、化简J(X+y/分析：当指数是奇数时，保持底数不变，设法把指数化成是一个偶数和一个奇数的积。解：J(+y/=J(X+y)2(+y)=J(X+yXJX+y=(+y)J+y。评注：当多项式从二次根号中开出来的时候，一定要注意添加括号。否则，就失去意义。5、被开放数是隐含条件的二次根式化简例5、化简a的结果是：A) y/a B) C) -yaD) -J-a分析：含字母的化简，通常要知道字母的符号。而字母的符号又常借被开方数的非负性而隐藏。因此，化简时要从被开方数入手。'"-y-a=-a故选(C)。I-aI-a化简二次根式的关键二次根式77的化简是二次根式的重要内容之一，也是中考命题的热点，在中考中通常是以填空题或选择题的形式出现的.化简77的主要依据是公式7=Ial,因此，化简二次根式的关键是确定a的正负性，由此确定把根号内的因式移到根号外后是否需要变号？下面就a的正负性如何确定举例说明.一、直接根据给出的字母的取值范围进行确定例1已知aVO,化简：ya2b=.分析：因为aV0,所以从而/滞卜=_屁.点评：当被开方数为多个因式的积时，通常是寻找平方因式，运用二次根式的性质瓢=G"将平方因式分离;例2已知1VxV3,化简：(x-l)2+(x-3)2=.分析：Vl<x<3,Ax-I>0,x-3<0,故原式=Ix-1I+Ix-3I=x-l+3-x=2.点评：当被开方数为完全平方式时，要注意底数的正负性确定开方后是否需要变号？二、根据二次根式的意义进行确定例3化简：a-二的结果是( a(A) yfd;(B)J;(C)-ytt;(D)-y-Cl.分析：由被开方数-LK),得aV0,故原式=aJ-4=X-C=-C,选D.点评：被开方数为非负数是二次根式重要的一个非负性，由此常常可以发现字母隐含的取值范围.本题也可以将根号外的因式a移进根号内后与分母约分，G，两种解法异曲同工.三、根据给出的取值范围和二次根式的意义进行确定例4已知XV0,化简：yxy3-.分析：由XV0,Xj30,得y,故原式二IyIyxy=-yyxy.点评：本题由已知的x<0及被开方数的非负性推出y<0是关键的一步.四、根据隐含条件进行确定例5化简：(R2+J(a2)2.分析：由前一个根式可知I-XK),x1,从而x-2<0,故原式=l-x+2-x=3-2x.点评：公式(&二a成立的条件是*0,由此从第一个二次根式发现隐含条件xl,从而轻易化简第二个二次根式.(A) a+ ；(B) a-；(C)-a；(D)以上都不是分析：由已知，x=(-J=-V«)2=a+-2,故Jaa4x+x2 =JX(X+ 4) =( + -_2 ) (a HF 2)=因为五=ya0,故可知OVa1,从而。之0,故Ia|：应选C.点评：本题具有一定的难度，化简过程峰回路转，巧妙地运用了配方法、因式分解法.化简二次根式的技巧化简二次根式是进行二次根式加减运算的基础，只有把二次根式化简了，才能进行二次根式的加减运算.在化简时，要根据被开方数的不同特征，采取不同的化简策略.下面举例说明.一、被开方数为整数当被开方数为整数时，应先对整数分解质因数，然后再开方.例1.化简：12.分析：由于12是整数，在化简时应先将12分解为12=4x3=22x3.解：原式二/3x2?=FxG=26二、被开方数是小数当被开方数是小数时，应先将小数化成分数，再进行开方.例2.化简：(5.分析：由于0.5是一个小数，因此在化简时，先将0.5化成L,然后再利用2二次根式的性质进行化简.三、被开方数是带分数当被开方数是带分数时，应先化为假分数再进行开方.例3.化简：J.分析：因为正视是带分数，不能直接进行开方运算，因此应先将带分数化为假分数后，再根据二次根式的性质进行化简.解:原式G层唠当四、被开方数为数的和（或差）形式当被开方数为数和（或差）的形式时，应先计算出其和（或差），再进行开方.例4.化简：.分析：观察被开方数的特点是两个数的平方的和的形式，一定不能直接各自开方得3+!，而应先计算被开方数，然后再进行开方运算.22解:原式=符唔=Ia五、被开方数为单项式当被开方数是单项式时，应先将被开方数写成平方的形式（即将单项式写成（厂）2或（I）2心的形式）,然后再开方.例5.化简：27x3/.分析：由于27x3y5是一个单项式，因此应先将27x3y5分解为32f（y2>3y的形式，然后再进行开方运算.解：原式=百X白X(y2)2X39=3y2.六、被开方数是多项式当被开方数是多项式时，应先把它分解因式再开方.例6.化简：4x5+12x4/.分析：由于4Fy2+12dy3是一个多项式，因此应先将4y2+12y3分解因式后再开方，切莫直接各自开方得2%2），«+2凸，后.解：原式=J4dy2（+3y）=22yj+3y.七：被开方数是分式当被开方数是分式时，应先将这个分式的分母化成平方的形式，然后再进行开方运算.例7.化简：J-.12x2y分析：由于康是分式，可根据分式的基本性质，将彘的分子、分母同乘以3），将分母转化为平方的形式，然后再进行开方运算，将二次根式化简.解：原式二户三厚=，后.y12x2y×3yy（6>,）6町八、被开方数是分式的和（或差）当被开方数是分式的和（或差）的形式时，应先将它通分，然后再化简.例8.化简：J'+,.分析：由于被开方数是是两个分式的和的形式，因此需先通分后a2b-再化简.通过以上各例可以看出，把一个二次根式化简，应根据被开方数的不同形式,采取不同的变形方法.实际上只是做两件事：一是化去被开方数中的分母或小数;二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
