03三角形中的导角模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型（教师版）.docx

专题03三角形中的导角模型“8”字模型、“A”字模型与三角板模型近年来各地中考中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1、“8”字模型泼8字模型（基础型）条件：如图1,AD.BC相交于点。，连接48、CD；结论：NA+4=NC+ZD;AB+CD<AD+BCo8字模型（加角平分线）条件：如图2,线段AP平分NBA。，线段Cp平分NBCd结论：2ZP=ZB+ZD例L（2021河北统考中考真题）下图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与3D的交点为C,且-A,NB,NE保持不变.为了舒适，需调整NO的大小，使NEED=U0。，则图中应（填"增加"或"减少"）度.【答案】【分析】先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到配。F与加、回£、回。CE之间的关系，进行计算即可判断.【详解】解：00A+0=5Oo+6Oo=llOo,0B4C=18Oo-llO=7Oo,00DCf=7Oo,如图，连接CF并延长，00DFM=0D+0DCF=2Oo+0DCF,mEFM=S)E+0ECF=30°+团ECF,00EFD=0DFM+0EFW=2Oo+0DCF+3Oo+0ECF=5Oo+0DCE=5Oo+7Oo=12Oo,要使团EFD=Il0。，则团EFD减少了10。，若只调整00的大小,由团EFD=II1DFM+三EFM=团D+(3DCF+0f+(3ECF=回D+团E+团ECD=回。+300+70°=回D+100o,因此应将团。减少10度；故答案为：减少；10.【点睛】本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法.例2.（2023浙江八年级假期作业）如图，求0A+M+3C+（W+0E+3F+3G+3H+0K的度数.【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：04+团B=团/，团C+同D=EIML/,0W+0K=0Gy,0£+0F=0GL,然后由多边形的内角和公式可求得答案.【详解】解：如图所示：G由三角形的外角的性质可知：0A÷0B=0J,0C÷0D=0fL,M+(3K=13GJ,0E+3F=0GL,(三0A+团8+(3C+团0+团E+团产+13G+团”+团K=团/+团ML7+团GMA+(3G+团G"=(5-2)×180o=3×180°=540°.【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键例3.(2023山东德州八年级校考阶段练习)如图1,已知线段AB,8相交于点O,连接AeBD,则我们把形如这样的图形称为“8字型.(1)求证：ZA+ZC=ZB+ZD;如图2,若NCAB和/或C的平分线AP和。P相交于点P,且与8,AB分别相交于点M、N.若NB=IO0。,/。=120。，求/P的度数；若角平分线中角的关系改为“NCAP=gNC43,NCDP=gN83，试探究NP与/反NC之间的数量关系.【答案】(1)见解析(2)110。；(2)ZP=1(B+2ZC)【分析】(1)利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；(2)根据角平分线的定义得到NCAP=N助尸，/BDP=/CDP,再根据"8字形”得到NCAP+NC=NCDP+NP,NBAP+NP=NBDP+NB,两等式相减得到NC-NP=NP-NB,即111OZP=-(ZB+ZC),即可求解.(2)tgZCAP=-CAB,ACDP=-ZCDB,可得NBAP='BAC,NBDP=芋BDC,再由三角形内角和定理和对顶角相等，可得2(Ne-NP)=Np-NB,即可求解.【详解】(I)证明：在"OC中，ZA+ZC=IWP-ZAOC,在一80。中，ZB+ZD=180o-ZBOD,团NAOC=NBoD,0ZA+ZC=ZB+ZD;(2)解：回NeAB和NBoe的平分线AP和。P相交于点P,0ZGAP=ZBAP,BDP=ZCDP,团NCAP+NC=NCOP+NP，NBAP+NP=NBDP+NB,由一，得:NC-NP=NP-NB,即NP=；(NC+N8),0ZB=100o,ZC=120o,0ZP=(lOOo+l20。)=110。；11220ZCAP=-ZCAB,ZCDP=*0ZBAP=jZBAC,ZBDP=ZBDC,0ZCAP+ZC=ZCDP+ZP,NBAP+NP=NBDP+NB,111222BZC-Zp=-ZBDC一一NBAC=-(NBDC-NBAC),ZP-ZB=-ZBDC-ZBAC=-(ZBDC-333'7333'02(ZC-ZP)=ZP-Z,0ZP=(B+2C),故答案为：P=(B+2ZC).【点睹】本题考查了三角形内角和、有关角平分线的计算，解题的关键是灵活运用“8字形求解.例4. （2023春广东深圳七年级统考期末）定理：三角形任意两边之和大于第三边.（1）如图1,线段AD,BC交于点、E,连接AA,CD,判断A。+BC与AB+8的大小关系，并说明理由;如图2,OC平分AO8,P为。上任意一点，在04,。B上截取OE=OF,连接PE,P尸.求证：尸E=尸尸；如图3,在JWC中，AB>ACtP为角平分线AO上异于端点的一动点，求证：PB-PC>BD-CD.【答案】（l）4>+8C>A+8:理由见详解证明见详解证明见详解【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边知，AE+BE>AB,CE+ED>CD,两式相加即可得出结论；（2）根据SAS证4OEgO尸P即可得出结论;（3）在A8I二取一点E,使AE=AC,连接OE交所于点尸，证-AP匡AAPC,即尸C=PE,同理证8=。后,然后同理（1）得FB+CD>PC+BD,变形不等式即可得出结论.【详解】（1）解：D+BC>AB+CD,理由如下：AE+BE>AB,CE+ED>CD,.AE+BE+CE+ED>AB+CD,EJJAD+BC>AB+CD(2)证明：OC平分AOB,/EOP=ZFOP,OE=OF在二OEP和ZSOFP中，(NEOP=NFOp,.OEPOFP(SAS),PE=PF-.OP=OP(3)证明：在AA上取点E,使AE=AC,连接DE交研于点F,DJ是NBAC的角平分线，.ZEAP=ZCAp,AE=AC在VAPE和AAPC中，,NE4P=NC4P,.APEAPC(SAS)yPE=PC,同理可证OE=DC,AP=APEF+PF>EP,BF+FD>BD,.EF+PF+BF+FD>EP+BD,PB+DE>EP+BD,.PB+CD>PC+BD,.PB-PC>BD-CD.【点睹】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握三角形的三边关系和全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键.更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：例5.（2023春江苏苏州七年级校联考期中）阅读：基本图形通常是指能够反映一个或几个定理，或者能够反映图形基本规律的几何图形.这些图形以基本概念、基本事实、定理、常用的数学结论和基本规律为基础，图形简单又具有代表性.在几何问题中，熟练把握和灵活构造基本图形，能更好地帮助我们解决问题.我们将图1所示的图形称为“8字形在这个"8字形”中，存在结论NA+NB=NC+NO.我们将图1所示的凹四边形称为“飞镖形在这个“飞镖形”中，存在结论NAOC=NA+NC+NP.DA直接利用上述基本图形中的任意一种，解决问题：如图2,AP.CP分别平分/BA。、NBCD,说明：NP=T（N3+NO）.将图2看作基本图形，直接利用（1）中的结论解决下列问题：如图3,直线AP平分/班。的外角NEAD,Cp平分/88的外角NBCE,若NB=30。，ZD=20°,求NP的度数.在图4中，AP平分工HAD的外角NBAz）,CP平分NBCz）的外角NBCE,猜想NP与24、ND的关系（直接写出结果，无需说明理由）.在图5中，AP平分一胡。，CP平分NBCD的外角NBCE,猜想NP与28、NO的关系（直接写出结果，无需说明理由）.图2图3【分析】（1）根据角平分线的定义可得Nl=N2,N3=N4,再根据题干的结论列出ZP+N3=N2+ZABGZP+Z1=Z4+ZAZ）C,相力口得至112/尸+/2+/3=/1+/4+2。+/1£（7,继而得到2NP=NABC+NADC,即可证明结论；(2)如图所示，分作N8ADNBCD的角平分线交于”，根据(1)的结论得到N"=；(/8+/£)=25。,再由角平分线的定义和平角的定义证明/PC”=90。，ZPAH=90°,再根据题干的结论可推出NP=NH=25。：如图所示，分作NBAD/38的角平分线交于从由(1)的结论可知ZH=(ZB+D),同理可得NPe=90。，ZPAH=90°,则由四边形内角和定理可得ZP=180o-(ZB+D);由题干的结论可得NP=N3+NjftAP+N4”,由角平分线的定义得到ZBAP=ZBAOfNBCP=；NBCE,再求出NBCP=90。一；NBCD,由题干的结论可知NB+ZBAO=ZD+/BCD,由此可得ZP=ZB+NBAP+/BCP=90o+(ZB+ZD).【详解】(1)解：RAP、CP分别平分/840、5CD,EINl=Z2,Z3=Z4,0Z2+Z3=Z1+Z4,由题干的结论得：ZP+Z3=Z2+ZABC,0P+Z1=Z4+ZADC,02ZP+Z1+Z3=Z2+Z4+S4BC+ZAZ)C,=ZABC+ZADCfZP=(ZBC+ZADC),即NP=T(NB+NO)；(2)解：如图所示，分作NBADNBCO的角平分线交于”，由(1)的结论可知N”=；(N8+N£>)=25。，PC,"C分别平分NBCENBCD,国NBCP=；NBCE,NBCH=；/BCD,团ZBCD+NBCE=180oZBCP+ZBCH=LNBCD+-ZBCE=90°,22IaNPeH=90。，同理可得"4=90。，由题干的结论可得/尸+/加/=/”+/尸。”，团NP=N"=250：如图所示，分作NBADNBCQ的角平分线交于从由(1)的结论可知N"=；(N8+N。)，同理可得NPcH=90。，ZZ¼H=90o.0 ZP = 360o-ZPH-ZPCT-ZH180o-(ZB + ZD):由题干的结论可得NF=NB+N84P+N8CP,回AP平分一曲£),CP平分N38的外加NBC七,ZBAP=-ZBAO,NBCP=LNBCE,22NBCE=I80。一NBCD,田NBCP=9。-LNBCD,2由题干的结论可知NB+N3AO=NO+N3CQ,ZBAO=ZD+ZBCD-ZB,ZP=ZB+ZBAP+ZBCP=ZB+-ZBAO+900-ZBCD90o+ (ZB +ZD)22=Z+-ZD+-ZBCD-ZB+90o-ZBCD2222【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，多边形内角和定理，准确识图并运用好“8字形的结论，然后列出两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象百观.模型2、“A”字模型结论：Z3+Z4=ZZ)+ZF；Nl+N2=N4+180°。例1.(2023浙江八年级假期作业)如图是某建筑工地上的人字架，若Nl=120。，那么N3-N2的度数【答案】60°【分析】根据平角的定义求出N4,再利用三角形的外角的性质即可解决问题.【详解】解：如图Q?3?2?4,/.Z3-Z2=Z4=6(r,故答案为：60°.【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基例2.(2023绵阳市八年级假期作业)如图，SABC中，ZA=65o,直线。石交AB于点。，交AC于点E,则NBL>E+NCEO=().A.180oB.215oC.235oD.245°【答案】D【分析】根据三角形内角和定理求出N9E+4回，根据平角的概念计算即可.【详解】解：.ZA=65。，ZADE+ZAED=180o-65°=115°,.ZBDE+ZCED=360o-115°=245°,故选：D.【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180。是解题的关键.例3.(2022福建泉州九年级校考期中)如图，公ABCS公ADE,若NA=60。,NABC=45。，那么NE=()A.75oB.105oC.60oD.45°【答案】A【分析】根据相似三角形的性质求出团。，再根据三角形内角和定理计算即可.【详解】解：ABCADE,配IABC=0。=45°,00A=6Oo,00E=18Oo-BA-0D=18Oo-6Oo-45o=75o.故选：A.【点睛】本题主要考直了相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等是解题的关键.例4.（2023秋广西八年级专题练习）如图所示，ND正的两边上各有一点脱C,连接BC,求证ZDBC+Z£；CB=I80。+ZA.【答案】见解析更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可.【详解】解：NOBC和NECB是,ABC的外角，.NDBC=NA+NACB,NECB=ZA+ZABC.又.ZA+ZABC+ZACB=180o,NDBC+4C3=NA+NACB+NABC+NA=180。+NA.【点睛】本题考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键.例5.（2023广东八年级课时练习）如图，已知在中，NA=40。，现将一块直角三角板放在上,使三角板的两条直角边分别经过点反C,直角顶点。落在型C的内部，则NAB£>+48=（）.A.90oB.60oC.50oD.40°【答案】C【分析】由三角形内角和定理可得ABC+0ACB+0A=18O°,BP0BC+0ACB=18O-3A=14Oo,再说明0DC+0DC=9O进而完成解答.【详解】解：团在0A8C中，（3=4Ool213ABC+0AC=18O-M=14Oo团在酊BC,回5f>C=90°物。BC+团。CB=I80°-90°=90°团NABD+NA8=400-90°=5（故选C.【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键.例6.（2023秋河南信阳八年级校联考期末）（1）如图1,JIBC为直角三角形，ZA=90o,若沿图中虚线剪去/A,则Nl+/2=;（2）如图2,在AABC中，NA=40。，剪去NA后成为四边形，则Nl+N2=；（3）如图2,根据（1）和（2）的求解过程，请归纳Nl+N2与NA的关系是；（4）若没有剪去NA,而是将NA折成如图3的形状，试探究N1+N2与NA的关系，并说明理由.【答案】（1）270°：（2）220°；（3）Zl+Z2=180o+ZA：（4）Z1÷Z2=2ZA,理由见解析【分析】（1）根据三角形的内角和为180°,三角形的外角和定理，则Nl=NA+NAFE,Z2=ZA+ZAEF,ZAFE+ZAEF=90of即可；（2）根据三角形的内角和为180。，三角形的外角和定理，则Nl=NAEF+NA,Z2=ZAFE+ZA,ZAFE+ZAEF=140°,即可；（3）根据（1）和（2）可知，N1+N2=2NA+NA庄+NAE/，根据NA+NA庄：+NAEr=I80。，即可；（4）根据折叠的性质，则尸产E,根据全等三角形的性质，三角形内角和，平角的性质，则N1+2ZAT=I80。，Z2+2ZAEF=I80o,ZA+ZAFE+ZAEF=180°,再根据等量代换，即可.【详解】（1）JIBC为直角三角形，ZA=90o,ZAFE+ZAEF=900,团Nl=ZA+ZAFE,Z2=ZA+ZAEF,0Z1+Z2=2ZA+ZAFE+ZA£F,0Zl+Z2=2×9Oo+9Oo=27Oo,故答案为：270°.(2)0ZA=4Oo,0ZAFE+ZAEF=140°,0Z1=ZAEF+ZA,Z2=ZAFE+ZA,0Zl+Z2=2½+ZAre+ZAEF,0Zl+Z2=2×4Oo+14Oo=22Oo,故答案为：220°.(3)由(1)和(2)得，Zl+Z2=2ZA+ZAre+ZAEF,ZA+ZAFE+ZAEF=180o,0Zl÷Z2=S4+ZA÷ZAFE+ZAfi,F,0Z1+Z2=ZA+18C.(4)Z1+Z2=2ZA,理由见下：由题意得，aAFEPFE,mNAFE=NPFE,ZAEF=APEF,Z1+2ZAFE=180o,Z2÷2ZAfF=180o,三N1+N2+2(ZAFE+ZAEF)=36O°,ZA+ZAFE+ZAEF=180o,BZAFE+ZAEF=180o-ZA,0Zl+Z2+2(18Oo-ZA)=36Oo,0Z1+Z2-2ZA=O,011+Z2=2ZA.【点睹】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质，三角形的内角和和三角形的外角和定理.例7.(2022秋河北邯郸八年级统考期中)利用“模型解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果.几何模型：如图(1),我们称它为"A"型图案，易证明：三DF=EL4+0+0C;应用上面模型解决问题：如图（2）,“五角星”形，求NA+N4+N&+N4+NA=?分析：图中AADA4是"A”型图，于是幺。A=NA+N4+NA，所以NA+N4+NA+N4+NA=_；如图（3）,“七角星”形，求NA+NA2+N4+"+N4+NA+N4;如图（4）,“八角星”形，可以求得：NA+N&+NA+N4+NA+N4+N4+N4=_；【答案】（1）180。（2）180。（3）360。【分析】（1）根据三角形外角的性质把5个角转化到一个三角形中可得答案;（2）根据三角形外角的性质把7个角转化到一个三角形中可得答案.（3）根据三角形外角的性质把8个角转化到个四边形中可得答案.【详解】（1）解：如图，由三角形外角的性质可得，Zi=ZA+z4,0Zd5=zi+za3,国4D45=na+/4+“，0ZA2D45+ZA2+Z=180o,0Z,+Z42+Z3+ZA4+ZAi=18Oo,故答案为：180°；(2)如图，由(1)得，Nl=NA+/儿+“，Z2=ZA+ZA3+Z4*Z1+Z2+ZA7=180o,0Z41+ZA2+ZA3+Z4+ZA5+Z+ZA7=180°.（3）如图，由三角形外角的性质可得，N3=NA+",Z2=Z2+Z5,Z1=ZA3+Z16,Z3+Z7=Z4./1+/2+/4+幺=360。.A+N&+N4+N44+NA+NA+N4+N4=360。，故答案为：360°.【点睛】本题考查多边形的内角和与三角形外角的性质，能够根据三角形外角的性质进行转化是解题关键.模型3、三角板模型【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。图中：NA=30。，ZC=60o,图中：NA=NC=45。,图例1.（2023山西吕梁联考模拟预测）如图：RtZ48C和RtVDCE是两块直角三角尺，两直角三角尺的斜边A5、QE在同一直线上，其中NACB=NDCE=90。，NCAB=30。，Nea=45。，则NAC。的度数为（）A. 10oB. 15°C. 20°D. 30°【答案】B【分析】根据三角形外角的性质求解即可.【详解】解：田由题意得NCA8=30。，NCDE=NCED=45。,0ZACD=CDE-ZCAB=45o-30o=15°,故选：B【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，解决本题的关键是熟练掌握三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.例2.（2023春安徽九年级专题练习）将两块直角三角尺按如图摆放，其中NA8C=NZ）=90。，ZA=60o,NDce=45。，若AC,8。相交于点E则-AED的大小为（）【答案】B【分析】在一BEC中，利用三角形内角和定理，可求出/BEC的度数，再结合对顶角相等，即可得出NAfD的度数.【详解】解：在.8EC中，NEBC=45。,NECB=30。，0ZBEC=180°-ZEBC-ZECB=180°-45°-30°=105°,团ZAED=NBEC=105。.故选：B.【点睛】本题考查三角形内角和定理以及对顶角，牢记“三角形内角和是180。”及"对顶角相等”是解题的关键.例3.（2023陕西咸阳校考一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点。在FZ）的延长线上，点C、产分别为直角顶点，且/4=60。，4=45。，若ABjC尸，则NC8。的度数是（）EkA. 15°B. 20°C. 25°D. 30°C. 28°【答案】A【分析】rtlBCF,利用“两直线平行，内错角相等”可求出NBC0=30。,再利用三角形的外角性质，即可求出NCBO的度数.【详解】解：CF,ABCD=ZABC=30°.回NBoF是ZkBCQ的外角，田NCBD=ZEDFZBCD=45。-30°=15。.故选：A.【点睹】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，牢记”三角形的个外角等于和它不相邻的两个内角的和"及"两直线平行，内错角相等''是解题的关键.例3.（2023江苏盐城统考二模）一副三角板如图所示摆放，其中含45。角的直角三角板的直角顶点在另一个三角板的斜边上，若Nl=I8。，则N2的度数是（）【答案】D【分析】利用三角形的外角性质进行求解即可.【详解】解：如图，由题意得：ZA=45o,/8=30。，,Zl=18o,3=Z1+ZA=63o,.Z2=3-Z=33o.故选：D.【点睛】本题考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和.例4.（2023春陕西渭南七年级统考期中）如图，GA/FD,一副直角三角板ABC和DEF如图摆放，NfiDF=60。，ABAC=45of若BCDE,则下列结论：NGAB=30。；AB/EF-,NA£D=I20。；比'平分NDM,正确的有.（填序号）GA一FCD【答案】【分析】如图，由题意得：NB=NoM=90。,Nl=NZMC=45。，根据平行线的性质求出N3=NE。产=60。,N2=Nl=45。，进而可求出NAERNF”,即可判断：根据三角形的内角和定理、平行线的性质和角的和差求出NGAB=30。，即可判断；求出NB=NE"。=90。，进而可判断.【详解】解：如图，由题意得：ZB=ADEF=90o,Zl=ZBAC=45°,13H）F=60。，13ZDfE=30°.EBC/DE,0Z3=NEDF=60o,Z2=Zl=45°,0ZZX7E=18Oo-6Oo-45o=75o,ZAfD=180°-Z2=135°,故结论错误；团NFEC=90。-NCEO=45。，/FEC=/CED=45。,SEC平分NDEF,故结论正确：GA/FD,ONGAC=NDCE=75。，0ZGAB=ZGAC-ZBAC=75°-45°=30°,故结论正确:aZEHC=Z3+ZLDFE=90o,B=EHC,AB/EFf故结论正确；故答案为：.【点睛】本题考查了平行线的判定和性质、三角形的内角和定理以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握三角形的相关知识和平行线的判定和性质是解题的关键.例5.(2023春湖南衡阳七年级统考期末)一副三角板如图1摆放，NC=ZDEE=90。，N8=30。，ZE=45o,点F在BC上，点A在DF上,且A尸平分NCA现将三角板DFE绕点户以每秒5。的速度顺时针旋转(当(1)当，=秒时，DE/ABx当，=秒时，DEJ.AB；在旋转过程中，。尸与AB的交点记为尸，如图2,若AAFP有两个内角相等，求I的值；当边OE与边AB、BC分别交于点M、N时，如图3,连接A石，设/BAE=,NAED=y。，NDFB=z。,试问x+y+z是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由.【答案】3：21(2)当为6或15或24时，AFP有两个内角相等(3)是定值，x+y+z=105,理由见解析【分析】(1)由平行和垂直求出旋转角，结合旋转速度求出旋转时间；(2)画出图形，分类讨论，(1)ZPAF=ZPFA;APAF=ZAPfXZ尸EA=NA尸产，求出旋转角，再求出F值；(3)找出与/84E,NAED,NDFB,有关的数量关系，再把无关的角消去，得出结论.【详解】(1)如图，当Z)EzAB时，NEDF=NBPF=45。AF平分/BAC,Z4C=60o,.ZBAF=30°f15°又.NBW为.APF的一个外角，.NPE4=N8P/N加/=45。30o=15°,.=Er=3;如图，当£>£；_/AB时，ZDPB=180°-90°-45°=45°,ZAPF=ZDPB=45。，ZBAF=30o,.ZAFP=180o-ZAPF-Z4F=180o-45o-30o=105o,a/=21.故答案为：3；21.(2)如图，当NE4F=N7%时，Z¼F=30o,/.ZPM=30o,.=6;如图，当ZPEA=NAP尸时，ZEAF=30o,ZEAF+ZPM+ZAPF=180°,.ZAFP=-（180°-30o）=75o,.f=15;2如图，当ZMF=ZAPF时，ZA7,=180o-Z¾F->lPF=180o-30o-30o=120o,.1=24,综上所述：当1为6或15或24时，-AFP有两个内角相等.（3）%+y+z是为定值105,理由如下：/BMN是AAME的个外角，/MNB是ADFN的个外角，；.NBMN=NBAE+ZAED=xo+yo,MNB=DFB+D=zo+45°,又.NBMN+ZMNB+=180。,ZB=30o,.xo+yo+zo÷45o÷30°=180°,x°+y°+zo=105o,/.x+y+z=105.【点睛】本题以求三角形旋转时间为背景，考查了学生对图形的旋转变换、平行的性质、垂直的性质和求等腰三角形内角的掌握情况，第（2）问分情况讨论是解决问题的关键，第（3）问找到三个角之间的关系是关键.更多资料添加微信号：DEM2008淘宝搜索店铺：优尖升教育网址：课后专项训练1. （2023广东江门八年级校考期中）如下图，N1+N2+N3+N4+N5+N6的度数为（）A. 540°B. 500°C. 460°D. 420°【答案】D【分析】根据三角形内角和定理可得Nl+N2=140。，根据平角的定义和四边形内角和可得Z3÷Z4=Zl+Z2=140o,同理可得N5+N6=N3+N4=140。，据此即可求解.【详解】解：如图所示，0ZA=4Oo,0Zl+Z2=180o-40o=140o,0Zl÷Z7=18Oo,Z2+Z8=180o,0Zl+Z2+Z7+Z8=36Oo0Z7+Z8+Z3+Z4=36Oo0Z3+Z4=Zl+Z2=14Oo,同理可得：Z5+Z6=Z3+Z4=140o,0Z1÷Z2÷Z3+Z4+Z5÷Z6=140o×3=420o,故选：D.【点睛】本题考查三角形内角和定理，四边形内角和定理，熟知四边形内角和等于360。是解题的关键.2. （2023春江苏七年级专题练习）如图，已知四边形ABCO中，ZC=90o,若沿图中虚线剪去/C,则N1+N2等于（）A. 90oB. 135oC. 270oD. 315o【答案】C【分析】运用内外角之间的关系可得Nl+N2=270°.【详解】解：团三角形的内角和等于180。，团可得21和/2的邻补角之和等于90。，aZl+Z2=2×180°-90o=270o,故选：C.【点睛】本题考查了三角形的内外角之间的关系，三角形的内角和等于180°,解题的关键是理解题意，掌握这些知识点.3. （2023福建福州七年级统考期中）如图，将一块直角三角板OE尸放置在锐角0A8C上，使得该三角板的两条直角边。E、。厂恰好分别经过点3、C,若ABC+0AC8=12（,则A8ZAMC。的值为（）A.60oB.50oC.40oD.30°【答案】D【分析】根据三角形内角和定理可得朋BC+0AC8=12O°,配出C+QCB=90°,进而可求出0A8O+MC。的度数.【详解】解：在中，MBC+0408=120。，在AQBC中，0DC=9Oo,00DC+0DC=18Oo-90o=90o,ABD+ACD=120o-90o=30o.故选：D.【点睹】本题考查了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为180。，此题难度不大.4. （2023河北邯郸统考一模）如图，已知在RlZXABC中，ZC=90o,若沿图中虚线剪去NC,则N1+N2的度数是（）.A. 270oB. 240oC. 180oD. 90o【答案】A【分析】利用四边形内角和为360。和直角三角形的性质求解即可.【详解】解：在RIZABC中，ZC=90o,团NA+NB=90。，Zl+Z2+ZA+Z=360o,团Nl+/2=360°-(ZA+NB)=270°故选：A.【点睛】此题考查了直角三角形的性质和四边形的内角和，解题关键在于根据四边形内角和为360。和直角三角形的性质求解.5 .(2022秋河南商丘八年级统考阶段练习)如图所示,五条线段首尾相连形成的图形中NA=90。，NB=45。,A.80oB.75oC.70oD.65°【答案】B【分析】利用三角形的个外角等于和它不相邻的两个外角之和求出？1?A?B135?,?2?D?E,由NC=30。，求出N3=18(T-30o=150o,再由外角和是3600即可求出答案.【详解】解：如图，ZA=90o,ZB=45o,?1?A?B135?,.ZC=30o,Z3=180o-30o=150o,?1?2?3360?,?2360?285?75?,.?2?D?E,?D?E75?.【点睛】本题考查了三角形外角的性质定理、多边形外角和定理，熟练掌握相关知识是解题关键.6 .(2023秋湖北武汉八年级校联考期中)如图,在由线段相,CD,。尸,BRCA组成的平面图形中，二28。,则NA+NB+NC+N/的度数为().BA.262oB.152oC.208oD.236o【答案】C【分析】如图标记行，2,?3,然后利用三角形的外角性质得NI=NB+N尸=ND+N3,Z2=ZA+ZC,再利用N2,Z3互为邻补角，即可得答案.【详解】解：如下图标记行，2,?3,Z1=ZB+ZF=ZD+Z3,ZD=28o,Z3=ZB+ZF-28o,又.N2=ZA+NC,/.Z2+Z3=ZA+ZC+ZB+ZF-28o,Z2+Z3=180o.180o=ZA+ZC÷ZB+ZF-28o,/.ZA+ZC+Z+ZF=180°+28°=208°,故选C.【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键.7 .（2022秋湖北孝感八年级统考期中）一副三角板如图所示放置，则Nl的度数为（）A.15oB.20oC.250D.30°【答案】A【分析】由外角定理知，Z2=Z1+Z3,将已知角代入求解即可.【详解】解：如图，/2=60。，N3=450,0Z2=Z1+Z3,0?1?2?360?45?15?,故选：A.【点睛】本题考查三角形外角定理，观察图形，由角的位置关系导出角之间数量关系是解题的关键.8 .（2023秋海南海口九年级校考期末）将一个直角三角板ABC与一个直尺按如图所示的方式摆放，若DEBF,ZC=30o,NAFB=70。，则NCDE的度数为（）A. 20°B. 25°C. 30°D. 40°【答案】D【分析】根据NAFe=70。，得到NCFB=NCa=II0。，结合NC=30。得到NCOE得度数.【详解】图NAfB=70。，DEBF,0ZCFB=ZCED=180°-70°=110°,0ZC=30o,0ZCD=18Oo-llOo-3Oo=4Oo,故选：D.【点睹】本题考查r平行线的性质，三角形内角和定理，补角，熟练掌握性质是解题的关键.9 （2022春广东揭阳八年级校考期末）探索归纳：（1）如图1,已知AABC为直角三角形，0A=9Oo,若沿图中虚线剪去0A,则01+（32=°.（2）如图2,已知AABC中，0A=4Oo,剪去HA后成四边形，则回1+02=°.（3）如图2,根据（1）与（2）的求解过程，请你归纳猜想团1+02与0A的关系是.【答案】270o270 度2207220 度180°+(M【分析】（1）利用了四边形内角和为360。和直角三角形的性质求解:(2)根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解：(3)根据(1)(2)可以直接写出结果.【详解】解：(1)田四边形的内角和为360。，直角三角形中两个锐角和为90。，001+02=36Oo-(0B+0C)=360o-90o=270o,001+02等于270°,故答案为：270°：(2)01+02=36Oo-(04)C)=360o-(18Oo-0A)=180o-HM=180o+40o=220o,故答案是：220°；(3)团1+02与财的关系是：01+02=18Oo+0A;证明：01+02=36Oo-(0+0C)=360o-(18O°