02三角形中的导角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型（教师版）.docx

专题02三角形中的导角模型.飞镖模型、风筝模型、角内翻模型近年来各地中考中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就飞镖型、风筝模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型）条件：如图1,凹四边形ABCD；结论：NBcD=NA+N8+NO；®AB-D>BC+CD.条件：如图2,线段8。平分NABC,线段0。平分NAOC；结论：Z0=i（ZA+ZC）2条件：如图3,线段AO平分ND48,线段CO平分NBC结论：ZO=i（ZD-ZB）02飞镖模型结论的常用证明方法：A例L（2023重庆八年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图：如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形.那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角"凹"进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和.（即如图1,0D=0A+0+0C）理由如下：方法一：如图2,连接ABf则在AABC中，0C+0CA+0CBA=18Oo,即团1+回2+明+04+回0180°,又团在中，01+02+l3ADB=18Oo,00AD8=团3+04+回（7,即财DB=团CAo+13C8O+0C.方法二：如图3,连接CD并延长至F,001和03分别是AACDf11BCD的一个外角大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？任务：填空：”方法一主要依据的一个数学定理是;探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分；应用：如图4,AE是团CA0的平分线，BF是团CBO的平分线，AE与BF交于G,若0408=150。，IMGB=IlOo,请你直接写出团C的大小.【答案】（1）三角形内角和定理（或三角形的内角和等于180°）；（2）见解析：（3）70。【分析】（1）根据三角形内角和定理，即可求解；（2）根据三角形外角的性质可得团1=02&,03=04+0B,从而得到团1例3=（32+04+04+（38,即可求证；（3）由（2）可得：0ADB=0C4£>+0CTD+0C,MGB=0CAE+回CB尸+团C,从而得至岫CAE+I3C"=11O°GC,0C4D+0CBf>=15Oo-aC,再由AE是由CA。的平分线，B尸是团C8。的平分线,可得150。也C=2（HOo-0C）,即可求解.【详解】（1）解：三角形内角和定理（或三角形的内角和等于180。）（2）证明：连接CD并延长至F,001和团2分别是0ACO和(38Co的一个外角，001=02+0A,03=04+0,001+03=02+QA+04+0,即0Af>8=(M+QB+0AC8；(3)解：由(2)得：0ADfi=l21CAD+CBD+0C,aAGB=0CE+CF+0C,回0A£>8=150°,0AG=110o,00CAD+0CBZ)+0C=15Oo,0C4E+0CF+0C=llOo,00CAMCBF=11O°-I3C,0CAD+0CBD=15O-0C,0AE是回Cw的平分线，BF是0C8f>的平分线，00CD=20C4E,CBD=2CBF,CADCBD=2(0C4E+0CF),015Oo-0C=2(llOo-0C),解得：0C=7Oo.【点睹】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键.例2.（2023广东河源八年级校考期末）（1）模型探究：如图1所示的“镖形”图中，请探究/AO4与2A、NB、NC的数量关系并给出证明；（2）模型应用：如图2,OE平分/4）4,CE平分/AC3,ZA=24o,/3=66。，请直接写出力上的度数.【答案】（1）N¾O4=NA+6+NC,理由见详解；（2）21°【分析】（1）连接CO并延长到点£利用三角形的外角的性质求解即可;（2）由（1）可知：0AOa0。=姐+0庆90。,从而得睡N>0甩BCo=TX90°=45°,结合团EoO+团代团8。0+团8,即可求解.【详解】解：（1）4DB=A+5+C,理由如下：连接Co并延长到点E,00ADE=0ACD+0A,0DE=0BCD+0B,00ADE÷0BDE=0ACD+0A÷三CD÷三,*ADB=A+/4+ZACB.(2)由第(1)题可得：ZADB=+ACB,(30ADB-aAC=0A+三=66o+24o=9Oo,团。石平分NA£>8,CE平分4C8,EEfDO-SBCO=y(0AD-0C)=y×90o=45o,00DOE=0BOC,00EDO+aE=0CO+0B,0lU-（3E=0EDO-BCO=45o,S0E=QB-45o=66o-45o=21o.【点睛】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握三角形外角的性质，是解题的关键.例3.（2022秋广西八年级期中）如图，NABD,NACD的角平分线交于点尸，若NA=48。，ZD=IOo,则NP的度数（）A.19oB.20oC.22oD.25°【答案】A【分析】法一：延长PC交8力于E,设AC、PB交于F,根据三角形的内角和定理得到0A+SA8F+0AFB=mP+13PC产+团尸尸C=I80°推出团P+团PCF=财+财6尸，根据三角形的外角性质得到团P+团PBE=团?瓦），推出团P+团PBE=（3PC7AI3f>,根据尸8、PC是角平分线得至岫PC产=OPCO,ABF=PBE,推出2团P=0A-团£）,代入即可求出13P.法二：延长OG与AB交于点E.设AC与BP相交则IMOB=I3POC,可得团P+gACO=0A+g0A8O,代入计算即可.【详解】解：法：延长尸C交8。于石，设AC、PB交于F,00A÷aAF+aAF=0P÷0PCF+0PFC=18Oo,00AF=0PFC,00P+0PCF=l3A+0AF,00P+0PE=0PED,团PEo=(3PCA团。，00P+0PBE=0PCD-0D,020P+0PCF+0PBE=0A-0D+0AF+0PCD,0PB、PC是角平分线00Pb=(3P8,酎BF=PBE,020P=0A-DIaaA=48°,0D=1O00P=19o.法二：延长。C,与AB交于点E.团0AeD是IMCE的外角，0A=48°,00ACD=0A÷0AEC=48o+0AEC.WlEC是团8。E的外角，00AEC=财80+团。=0ABD+10°,配IA8=48°+0AEC=48°+0A8D+lO°,整理得IaACZAaA8。=58°.设AC与BP相交于O,则0AO8=阴OC,P+ySACD=SA+0ABD,即回尸=48°-；（0CD-0ABD）=19°.故选A.【点睹】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键.例4.（2023广东八年级期中）如图，在三角形ABC中，AB>AC>BC,为三角形内任意一点，连结AP,并延长交8C于点D求证：（1）AB+AC>AD+C;（2）AB+AC>AP+BP+CP.【详解】(1)VAB>ACAZABD<ZACDVZADB>ZACD，tZADB>ZABD，AB>ADVAC>BC,AB+AOAD+BCBDC(2)过点尸作所5C,交AB、AC于E、尸，则NAM=NABC,ZAFE=ZACB由(1)知AE+AF>AP+EFVBE+EP>BP,CF+FP>CP：.(AE+BE)+(AF+CF)+(EP+FP)>AP+BP+CP+EF即AB+AC>AP+8P+CP(几何证明中后一问常常要用到前一问的结论)例5.（2023福建三明八年级统考期末）如图1所示的图形，像我们常见的符号一一箭号.我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形图1图2图3探究：（I）观察“箭头四角形"，试探究NBDC与/A、NB、NC之间的关系，并说明理由；应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：如图2,把一块三角尺XyZ放置在ABC上，使三角尺的两条直角边X丫、XZ恰好经过点3、C,若ZA=60o,则NZWX+NACX=；如图。3,NABE、/ACE的2等分线（即角平分线）BF、b相交于点尸，若Nfi4C=6（r,NBEC=I30。，求/BFC的度数;拓展：（3）如图4,BOifCoj分别是480、ZACO的2020等分线（i=l,2,3,2018,2019）,它们的交点从上到下依次为Q、利、。3、°2o9已知NBOC=*,BAC=n°t则NBaOoOC=度.【答案】（1）BDC=ZA+ZB+ZC,理由见详解；（2）30；95。；（3）6）"；：【分析】（1）连接AD并延长至点E,利用三角形外角的性质得出NBDE=NB4。+NaNCOE=NCAO+NC,左右两边相加即可得出结论；（2）直接利用（1）中的结论有N8XC=NA+NABX+ZACY,再把已知的角度代入即可求出答案；先根据NBEC=N84C+NABE+NACE求出ZABE-ZACE,然后结合角平分线的定义再利用ABFC=ZBAC+ZABF+ZACF=BAC+-（ZABE+NACE）即可求解；2（3）先根据NBOC=NmC+Z80+NACo求出N48O+NACO,再求出NABqOOo+NACQK）Oo的度数，最后利用ZBO1000C=ZBAC+ZABOiooo+ZACOiooo求解即可.【详解】（I）如图，连接AD并延长至点E0NBDE=NBAD+ZB,NCDE=ZCAD+NC,又出ZBDC=ZBDE+NCDE,NBAC=NBAD+NCAD,aABDC=ZBAC+/B+NC(2)由(1)可知NBXC=NA+NABX+NACY0ZA=6Oo,ZBXC=9Oo0ZABX+ZACX=ZXC-ZA=9Oo-6Oo=3Oo由(D可知4EC=ZA4C+ZABE+ZACE04C=60o,ZBEC=13Oo0ZABE-VZACE=ABEC-ABAC=130o-60°=70°BF平分BE，CF平分/4CE,.ABF=-ABE,ACF=-ACE22:.ZBFC=ABAC+ZABF+ZACF=ZBAC+1(ZABE+ZACE)=95°(3)由(1)可知ZBoC=NEAC+NABO+ZACO0ZBOC=wo,BAC=no0ZABO+ZACO=BOC-ZBAC=nf-noBBOifCoj分别是ZA80、ZAeO的2020等分线(i=1,2,3,2018,2019)八人八八八m°n°,50no-50wo团ZABQ000+ZACO1000=赤x1°°°=而0ZBOiwjoC=ZBAC+ZABO+ZACOiwio二郎谭历。【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质和角平分线的定义是解题的关键.模型2、风筝模型(鹰爪模型)1）风筝（鹰爪）模型：结论：ZA+ZO=Z1+Z2;2）风筝（鹰爪）模型（变形）：结论：ZA+ZO=Z2-Zlo例L（2023四川达州八年级期末）如图，Zl,N2,N3分别是四边形ABCD的外角，判定下列大小关系：Z1+Z3=ZABC÷ZD;（2）Z1+Z3<ZABC+ZD;（3）Zl+Z2÷Z3=360o；（4）Zl+Z2÷Z3>360o.其中正确的是.（填序号）213BC【答案】【分析】根据多边形（三角形）的外角和为360。即可求解.Z=ZABD+ZADB,Z3=ADBC+ABDC,0Zl÷Z3=ZABD+ZADB+ZDBC+ZBDC=ZABC-I-ZADC,故正确，不正确；团多边形的外角和是360o,0Zl+Z2+Z3<36Oo,故不正确，故答案为：.【点睛】本题主襄考查多边形的内角和定理、外角和性质，掌握以上知识，能正确添加辅助线构成三角形是解题的关键.例2.（2023春河南南阳八年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应任务.在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1,锐角NBAC内部有一点O,在其两边AB和AC上各取任意一点、E,F,连接DEDF.求证：4BED+/DFC=/BAC+4EDF.小丽的证法小红的证法证明：证明：如图2,连接AD并延长至点M,ZBED=80o,ZDFC=60°,ZBED=ZBAD+ZEDAfNBAC=51。,NaE=89。（量角器测量所得），ZDFC=ZDAC+ZADF（依据）,13ZBED+ZDFC=140°,又团ZBAD+ZDAC=ZBAC,NBAC+NEDF=140。（计算所得）.ZEDA+ZADF=ZEDF，团/BED+ZDFC=ZBAC+ZEDF（等量代换）.NBED+NDFC=ZBAC+NEDF.任务：小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：;下列说法正确的是.A.小丽的证法用严谨的推理证明了该定理B.小丽的证法还需要改变NBAC的大小，再进行证明，该定理的证明才完整C.小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理。.小红的证法只要将点。在284C的内部任意移动100次，重新测量进行验证，就能证明该定理如图，若点。在锐角284C外部，。与AC相交于点G,其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请探索NBKDDFC,NBAGNfDF之间的关系.【答案】（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和（2）A（3）不成立，ZBED=ZBAC+ZDFC+ZEDF【分析】（I）连接AD并延长至点M,根据三角形外角的性质解答即可;（2）按照定理的证明的一般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，即可得答案：（3）根据三角形外角的性质得NAGE=NOFC+N£DF,NBED=/BAC+ZAGE,整理可得答案【详解】（1）小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：三角形的个外角等于和它不相邻的两个内角的和;（2）根据定理证明的般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，故A正确：（3）不成立，ZAGE是aGDF的个外角，；.ZAGE=ZDFC+ZEDF,NBED为AAEG的个外角，/.ABED=ZBAC+ZAGE,:./BED=4AC+/DFC+/EDF（或ZBED-ZDFC=ZBAC+ZEDF）.【点睛】本题考查了三角形的外角，解题的关键是掌握三角形外角的性质：三角形的个外角等于和它不相邻的两个内角的和.例3.（2022秋山东青岛八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于180°如何证明这个定理呢？我们知道，平角是180。，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理.(1)【定理证明】图图图已知：上钻C如图，求证：ZA+Z+ZC=180°.(2)【定理推论】如图，在二ABC中，有NA+N8+NC=180。，点。是BC延长线上一点，由平角的定义可得NA8+ZACB=180°,所以NAS=,从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.【初步运用】如图，点。、E分别是JWC的边AAAC延长线上一点.(3)若ZA=80。，Zc)BC=I50。，则NACB=.(4)若ZA=80°,则NO8C+NEC8=.【拓展延伸】如图，点。、E分别是四边形45PC的边AB、AC延长线上一点.(5)若NA=80。，N尸=150。，则Nf)BP+NEC尸=.(6)分别作NDA尸和AECP的平分线BM.CN,如图，若BMCN,则NA和NP的关系为.(7)分别作N力5尸和NEb的平分线，交于点。，如图，求出-A,No和NT的数量关系，说明理由.图图图【答案】(1)见解析；(2)ZA+4；(3)70°；(4)260°：(5)230°；(6)ZA=ZP;(7)ZA+2ZO=ZP,理由见解析【分析】(1)过点A作MNBC,根据平行线的性质和平角的定义解决.(2)根据三角形内角和定理和平角的定义即可解答.(3)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可解答；(4)根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得ND8C+NEC=NA+ZABC+NA+NAC8,根据三角形的内角和定理得NA+N/$C+NAC3=180。，以此即可求解.(5)连接AP,根据三角形内角和定理的推论即可解答.(6)过点P作,由(1)可知，N力BP+NECP=ZA+N8PC,则T(NOBP+NECP)=g(Z+N3PC),根据平行线和角平分线的性质可得g(ND3P+NECP)=N3PC,则NBPC=B(ZA+N8PC),以此即可求解.(7)由(1)可知，NDBP+NECP=ZA+NBPC,则g(NO3P+NECP)=T(NA+NBPC),根据角平分线的性质和四边形的内角和为360。即可求解.【详解】(1)证明：如图，过点A作MN8C,mMNBC,:.NMAB=NB,Z¼C=NC,ZMAB+ZBAC+ZNAC=S0o,.ZB+ZEAC+C=180°.(2) NA+NB+NACB=180。，ZACL>+ZACB=180°,.ZACz)=ZA+H故答案为：ZA+Zfi.(3) ZDBC=ZA+ZACB,ZA=80。，/080=150°,.ZACB=ZDBC-ZA=150°-80°=70°；故答案为：70。：(4) ZDBC=ZA+ZACB,ZECB=ZA+ZABC,.ZDBC+NEC8=ZA+ZABC+ZA+ZACB,ZA+ZABC+ZAC=180o,ZA=80o,.ZDBC+ECB=ZA+ZABC+ZA+ZACB=180o+80o=260°.故答案为：260°.(5)如图，连接AP,NOBP=NKA尸+NAPA,ZECP=ZCAP+ZAPC,.ZDBP+/ECP=ZBAP+ZAPB+CAP+ZAPCf.ZBAP+ZCAP=ZA=80o,ZAPB+ZAPC=AP=50o,.DBP-ECP=ZA+ZP=80°+150°=230°.故答案为：230°.(6)如图，过点尸作尸。用0,则PQCN,由(1)知，NDBP+/ECP=ZA+/BPC,'.NOBP+NECP)=T(NA+NBPC),PQ/BM/CN,.ZMBp=ZBPQ,ZNCP=ZCPQ,；./BPQ+/CPQ=NBPC=NMBP+/NCP,BM、CN分别是NOBP和ZECP,，*DBP+/ECP)=/MBP+/NCP=/BPC,.N3尸C=T(ZA+N3PC),."BPC=ZA.故答案为：ZA=ZP.(7)ZA+2ZO=ZP,理由如下：由(1)知，ZDBP+ZECP=ZA+ZBPC,.g(NDBP+NECP)=g(NA+N3PC),QoB、OC分别为NOAP和NECP的角平分线，.ZOBP+ZOCP=(ZDBP+ZECP),:.ZOBP+ZOCP=(ZA+ZBPC),Z.OBP÷ZOCP+(Z360o-BPC)+ZO=360o,/.(ZA+ZBPC)-ZBPC+ZO=O,.ZA+2NO=NBPC,6PZA+2ZO=ZP.【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明、三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的性质，根据题干作出正确的辅助线是解题关键.模型3、角内翻模型条件：如图1,将三角形纸片ABC沿E尸边折叠，当点C落在四边形48FE内部时，结论：2NC=Nl+/2；条件：如图2,将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时，结论：2ZC=Z2-Zlo例L（2023春江苏镇江七年级校考阶段练习）如图，JBC中，ZA=67o,将AABC沿。E翻折后，点A落在BC边上的点A处，如果NA'EC=74。，那么NAT）E的度数为.【答案】60°【分析】根据翻折性质求得NA。，再根据三角形的内角和定理求解即可.【详解】解：由折叠性质得NDAE=NA,ZAED=ZAEDZA=67o,ZA,EC=74°,0Zm,E=67o,ZA,ED=ZA,EA=1（180°-74°）=53°,ZADE=80°-ADAE-ZAED=80°-67°-53°=60°,故答案为：60°.【点睛】本题考查翻折性质，三角形的内角和定理，熟练掌握翻折性质是解答的关键.例2.（2022秋辽宁抚顺八年级统考期末）如图，在ABC中，Z=30o,将"1BC沿直线用翻折，点B落在点。的位置，则N1-N2的度数是（）A.30oB.450C.60oD.70°【答案】C【分析】由折叠的性质可得N3=NO=30。，再根据外角的性质即可求出结果.【详解】解：将JIBC沿直线，翻折，交BC于点、E、F,如图所示：由折叠的性质可知：N8="=30。，根据外角的性质可知：Z1=ZB+Z3,Z3=Z2+ZD,.Z1=ZB+Z2÷ZD=Z2+2ZB,.Zl-Z2=2ZB=60o,故选：C.【点睹】本题考查三角形内角和定理、翻折变换的性质，熟练掌握三角形外角的性质和翻折的性质是解题的关键.例3.（2023春重庆黔江七年级统考期末）如图1,RQ中，ZA=64o,?B90?,ZC=26°.点。是AC边上的定点，点E在BC边上运动，GDE折叠二CDE,折叠后点C落在点F处.下面我们来研究折叠后的QEF有一边与原三角形JWC的一边平行时ZADF的值.Sl首先我们来研究边OE.因为OE和“BC的AC、6C相交,所以只有i种可能的情况（如图2）,DEAB,UtWZADF=其次，我们来研究边EF.因为点E在BC上，所以所可能与-ABC的边AB、AC边分别平行.EF/AC最后，我们来研究边FZ）.因为点。在4C上，所以FD可能与“ABC的边AB、BC边分别平行.当产时，ZADF=【答案】52。（2）】42。或38。：26。（3）64°或116°；26°【分析】（1）根据折叠的性质得出NDfE=NC=26。，再根据外角的性质得出NADF=N。此+NC计算得出结论即可;（2）当即AB时,分情况求出NAD尸的度数,当即AC时，根据平行线的性质直接得出NAD产的度数即可；（3）当所>八8时，分情况求出NAo歹的度数，当Fz>BC时，根据平行线的性质直接得出ND尸的度数即可.【详解】（1）解：由题意知，NZME=NC=26。,0ZADF=ZDre+ZC=26o+26o=52o,故答案为：52°：(2)解：EFAB (1)时（如图3）,EF/AB0ZF+ZZiMF=9Oo,ZF=ZGZC+ZA=90o,0ZfiWF=ZDMB=ZA=64o,团ZADF=180o-ZA-B-DMB=360o-64o-90o-64o=142°:当所AB（2）时，0ZATVF=ZA=64o,N尸=NC=26。，0ZADF=VF-ZF=64o-26o=38o,故答案为：142。或38°；当EF/AC时，ZADF=ZF=ZC=26°,故答案为：26。：（3）解：当下。八8时，NAoF=NA=64。或NAoF=I80°-NA=U6。，故答案为：64。或116。：当"）3C时，ZADF=NC=26。,故答案为：26。.【点睛】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质及三角形内角和是180。等知识是解题的关键.例4.（2023湖北武汉八年级校考阶段练习）（1）如图，将/BAC沿DE折叠，使点A落在/B4C的内部的点M处，当NA=50。，NE）M=30。时，求NCEM的度数；（2）如图，将/B4C沿。E折叠，使点A落在ZBAC的外部的点M处.求图中NA,ZBDM,NCEM之间的数量关系；（3）如图，将/A、NB一起沿E尸折叠，使点4、点B的对应点M、N分别落在射线8。的左右两侧，NCEM,QFN,A、NB的数量关系（直接写结果，不需要过程）【答案】（1）70°,（2）2ZA=NBDM-NCEM,（3）2（ZA+ZB）=ZCEM-ZDFN+360°【分析】（1）根据翻折的性质表示出N3、N4,再根据三角形的内角和定理列式整理即可得2NA=N1+N2,问题随之得解；（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出N3、Z4,再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（3）先根据翻折的性质表示出23、N4,再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解.【详解】解：（1）如图，ZBDM=A,/CEM=/2,ZAPE=N3,ZAED=Z4,回翻折，0Z3=ZED=i(18Oo-Zl),Z4=ZDEM=(180°-Z2),220ZA+3+Z4=l8Oo,NA=50。，Nl=NBQM=30°,0ZA+(18Oo-Zl)+l(18Oo-Z2)=18Oo,整理得，2ZA=N1+N2,回ZA=50°,NI=ZBDM=30。,13N2=2ZA-N1=70。，BPZCfiVf=70°：(2)如图，ZBDM=Nl,/CEM=42,ZADE=Z3,ZA£D=N4，回翻折，Z3=ZED=(1800-Z1),4=ZMED=(180o+Z2),0Z4+Z3+Z4=18Oo,0ZA+-(18Oo-Zl)+-(18Oo+Z2)=18Oo,22整理得，2NA=N1-N2,W2ZA=ABDM-ZCEM：故答案为：2ZA=ZBDM-NCEM：(3)如图，CEM=Nl,ZDfTV=N2,ZAEF=Z3,ZBFE=/4,回翻折，0Z3=ZFE=(180o-Zl),Z4=ZVFE=(180°+Z2),0ZA+Z+Z3+Z4=36Oo,0ZA+Z+(18Oo-Zl)+(18Oo+Z2)=36Oo,整理得，2(ZA+ZB)=Zl-Z2+360°,即2(ZA+NB)=NCM-NDEV+360。.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，翻折的性质，熟练掌握折痕是角平分线，三角形的内角和是180。，是解题的关键.课后专项训练1. (2023四川绵阳八年级校考期中)如图，<3C中，ZC=90o,将JWC沿。E折叠，使得点B落在AC边上的点尸处，若Ng)=60°且NAE尸=NA庄，则NA的度数为()C. 50°D. 60°【答案】B【分析】平角的定义，求出ZAFD的度数，翻折，得到ND/芯=NB,等边对等角，得到ZA五E=T(180°-NA),三角形内角和定理，得到NoFE=NB=90o-NA,再根据NV7)=NA凡+NO庄列式求解即可.【详解】解：田SABC中，ZC=90o,(34=90。一NA,团将JlBC沿OE折叠，使得点B落在AC边上的点尸处，0ZDF£；=ZB=90o-ZA,0ZCTZ>=6Oo,回ZAFZ)=I20。，田NAEF=NAFE,回ZAFE=T(180°NA),ZAFD=ZAFE+ZDFE=90°-ZA+1(180°-ZA)=120°,用ZA=40。；故选B.【点睹】本题考查与折叠有关的三角形的内角和问题，等边对等角.解题关键是理清角度之间的等量关系.2. (2023河南安阳八年级校考期中)如图，把MBC纸片沿。石折叠，当点A落在四边形BCE。的外部时,则SA与团1和团2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是()A.2(3A=RIl-团2B.30A=2(01-02)C.30A=201-02D.0A=01-02【答案】A【分析】根据折叠的性质可得NA=N4',根据三角形的个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到Nl=NZXM+NA,ZZXM=Z2+ZAz,然后列式整理即可得解.【详解】解：根据折叠的性质，得NA=NA'.在AAOD中，Nl=Nz)OA+NA,在.A'QE中，NDaA=N2+ZA',0Z1=ZA,+Z2+ZA,即2ZA=N1-N2故选A.【点睛】本题考查了三角形外角的性质以及折叠的性质，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质把角与角之间联系起来是解题的关键.3. （2023秋重庆开州八年级统考期末）如图，将JWC沿跖翻折交AC于点O,又将ABCO沿距T翻折,点C落在跖上的C'处，其中NA'=18。，NeT）8=68。，则原三角形中NC的度数为（）AH9I9A.87°B.75oC.85oD.70°【答案】A【分析】设NeQ=炉，由翻折得？ABE7AEICBD史,根据三角形内角和得到180- 18-3x=180-68-X,求出x=25,再利用三角形内角和求出NC的度数.【详解】解：设NCBQ二f，由翻折得？ABE?AE?CBD*团？A?A018?,?CDB?C>B6870180-18-3x=180-68-x解得x=25,ABE?崛E2CBD25?SZABC=3x=75°0?C180?A?ABC87?故选：A.【点睛】此题考查了翻折的性质，三角形内角和定理，一元次方程，正确掌握翻折的性质是解题的关键.4. （2023广东八年级课时练习）如图，在AABC中，ZB=28o,将WC沿直线加翻折，点B落在点。的位置，则Nl-N2=。./4【答案】56°【分析】根据折叠得出（30=08=28。，根据三角形的外角性质得出M=0B+08EEm8EF=02+W求出01=0B+02+0D即可.【详解】解：如图，酶B=28°,将AABC沿直线小翻折，点B落在点。的位置，瓯力=鲂=28。，图31=团B+团BEF,0EF=02+0D,001=团8+团2+团£>,三l-02=lZ）B+f21D=28o+28o=56o,故答案为：56°.【点睹】本题考查了三角形的外角性质和折叠的性质，能熟记三角形的外角性质是解此题的关键，注意：三角形的个外角等于与它不相邻的两个内角的和.5. （2023河南平顶山八年级统考期末）如图，点A、8、C、£>、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EAf若NB8=80。，则NA+N5+ND+NE=.【答案】260。/260度【分析】连接BQ,利用四边形内角和定理和三角形内角和定理计算即可.【详解】如图，连接BQ，则ZA+ZABC+NC3O+N83+NC0E+ZE=36O。ZCBD+ACDB+ABCD=180°，团N3CQ=80°,回NCBo+NCOB=100。，0ZA+ZABC+ZCDE+Z=36Oo-lOOo=26Oo,故答案为：260。.【点睛】本题考查了四边形内角和定理和三角形内角和定理，熟练掌握两个定理是解题的关键.6. (2023秋浙江八年级专题练习)如图，在JWC中，Co是AB边上的高，点、E,尸分别是AB,AC边上的点，连接EF,将型'沿着E尸翻折，使点A与6。边上的点G重合，若NEG3=900,ZDCB+ZCFG=82°,则/4CQ的度数为.【答案】49。/49度【分析】利用三角形内角和求出N8EG=NDCB,结合已知得到NBEG+NCFG=82。，可求得ZAFG+ZAEG=278。，再根据折叠的性质，可得ZAFE=；ZA尸G,ZAEF=ZAEGf进一步求出再利用三角形内角和求出结果.【详解】解：团CD是AA边上的高，AEGB=90°,0ZBDC=ZADC=ZBGE=90°,ZB=ZBZBEG=/DCB,0ZDCB+ZCFG=82o,IaZBEG+NCFG=82。，0ZArc+Z4fG=18Oo×2-82o=278o,由折叠可得：ZAFE=AFG,ZAEF=；ZAEG,团ZA尸E+ZAEF=g(ZA尸G+ZAEG)=139°,0ZA=180o-139°=41°,0ZACD=180o-ZAZ)C-ZA=49o,故答案为：49°.【点睹】本题考查了三角形内角和，折叠的性质，三角形的高，图中线段较多，解题的关键是理清角之间的关系，根据折叠得到相等的角.7. (2023春江苏镇江七年级校考阶段练习)如图，“1BC中，ZA=67o,将"1BC沿OE翻折后，点A落在BC边上的点A处，如果NA'EC=74。，那么NAT)E的度数为.A“/DML【答案】60。/60度【分析】根据翻折性质求得NA再根据三角形的内角和定理求解即可.【详解】解：由折叠性质得皿TE=NA，ZAED=ZAEDZA=67o,ZA,EC=74o,ElNzXE=67。，ZA,ED=ZA,E=1（180°-74°）=53°,0ZADE=180°-DAE-ZAED=180°-67°-53°=60°,故答案为：60°.【点睛】本题考查翻折性质，三角形的内角和定理，熟练掌握翻折性质是解答的关键.8. （2023湖南永州八年级统考期中）如图，若aoadmobc,且no=60。，zc=200,则NOAo=O【答案】IOCr710。度【分析】根据三角形内角和求得N03C=100。，再根据全等三角形的性质得NOAO=NQBC=100。即可.【详解】解：团NO=60°,ZC=20o,0ZOC=100°,X三3OAP0OBC,0ZOAP=ZOBC=100o.故答案为：100°.【点睹】本题考查三角形内角和及全等三角形的性质，解题关键是理解全等三角形的对应角相等.9. （2023春四川七年级统考期末）在四边形ABC。中，ZA=98o,ZD=I40°.图1图2图3如图1,若ZB=NC,则N/?=度；如图2,作NBa）的平分线CE交AA与点E,希CEZfAD,求/8的度数；（3）如图3,作/ABC和NDCB的平分线交于点E,求28EC的度数.【答案】（1）61。（2）42°（3）119。【分析】（1）根据四边形内角和，NA=98。，ZD=I盼求出N8+NC的值即可求解;（2）根据平行的性质及角平分线求出/反方=40。，NCEB=98。，结合三角形内角和定理即可求解；（3）根据角平分线求出NEBC+N£C3=61。，再利用三角形内角和定理求解.【详解】（1）解：在四边形488中，ZA+ZZ?+ZC÷ZD=360°,ZA=98。，ZD=140o,.ZB+ZC=360o-98o-140o=122o,Zfi=ZC,/.ZB=×122°=61°；（2）解：-CE/AD,.NCEB=ZA=98。，ZD÷Z