14全等与相似模型-一线三等角（K字）模型（教师版）.docx

专题14全等与相似模型一线三等角（K字）模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了.本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1.一线三等角（K型图）模型【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180。与三角形内角和为180。，证得两个三角形全等。【常见模型及证法】同侧型一线三等角:锐角一线三等角直角一线三等角（“K型图”）条件：ZA = /CED= B+ CE=DE证明思路：NA=NB,/C=/BED+任一边相等dBEOmACE异侧型一线三等角:锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：NFAC=ZABD=NCED+任意一边相等证明思路：ZA=NB,ZC=N8EO+任一边相等=>.8EACE例1.（2021山东日照中考真题）如图，在矩形A88中,AB=8cm,AD=I2cm,点P从点6出发,以2cms的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以UCmzS的速度沿8边向点。运动,到达点。停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动.当V为时，AABP与PCQ全等.【分析】可分两种情况：MBP=PCQ得到期=CQ,AB=PC,A8PmAQCP得到BA=CQ,PB=PC,然后分别计算出，的值，进而得到V的值.【详解】解：当BP=CQ,AB=PC时，MBPNkPCQ,AB=Scm,.PC=Scm,BP=12-8=4（c?）,2/=4,解得：1=2,.CQ=BP=Acm,.v×2=4,解得：v=2；行8A=CQ,PB=PC时,ABP三CP,PB=PC,.BP=PC=cn,2=6,解得：，=3,QCQ=AB=Scm,.p×3=8,解得：V=-,综上所述，当u=2或I时，MBPLmPQC全等,故答案为：2或g.【点睛】主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质.例2.（2022黑龙江九年级期末）（1）如图（1）,已知：在EABC中，SIBAC=90。，AB=AC,直线机经过点A,BD0直线加，C£0直线?，垂足分别为点。、E.证明团OE=8O+CE.（2）如图（2）,将（1）中的条件改为：在（MBC中，AB=AC,。、4、E三点都在直线m上，并且有0D=0AEC=0C=f,其中为任意锐角或钝角.请问结论OE=BD+C石是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.（3）拓展与应用：如图（3）,D、E是。、A、E三点所在直线相上的两动点（D、A、E三点互不重合），点尸为13BAC平分线上的一点，且SABF和IMb均为等边三角形，连接8£、CE,若（38DA=（MEC=3BAC,试判®DEF的形状.【答案】（D见解析（2）成立，证明见解析（3）用QE尸为等边三角形，证明见解析【分析】（1）DE=DA+AEf故由全等三角形的判定AAS证0AOB三1CE4,得出DA=EaAE=BD,从而ilEDE=I3D+CE;(2)成立，。)然通过证明0A。做回CE4,得出8D=AE,AD=CE,fDE=DA+AE=EC+Bl(3)Ftl0AD三CEA得BD=AE,BDBA=CAE,由0A8尸和0AC户均等边三角形，得0A8尸=团。F=60。，FB=FA.所以W8A+a钻尸=ISCAE+13C4尸，即008户WE4E,所以团OBKSMAR所以FD=FE,0BFD=AFE,再根据DFE=DFA+AFEDFABFD=60q得到团OM是等边三角形.【详解】解：(1)证明：团8D0直线m,C£0直线m,00DA=0CE=9Oo.00BAC=9O%BAD+CAE=90o.00D+(3ABD=9Oo,00C4E=0ABD.XAB=AC,00AD三3CEA(AAS).IME=BD,AD=CE.(3DE=AE+AD=BD+CE:(2)成立.证明如下：WDA=WAC=a,BBDBABAD=BAD+0C4E=18Oo-«.DB=CAE.三DA=BAEC=,B=AC,00ADB(30CE4(AAS).0AE=BO,AD=CE.(WE=AE+AD=孙CE；(3)团QE/为等边三角形.理由如卜：由(2)知，0AQ8三CEA,BD=AE,WBA=0C4£,团0ABF和0C/均为等边三角形，0F=0CAF=6Oo.00DBA+aABF=0CAE+0CAF.三DBF=0ME.05F=AF,00DBj三E4F(SAS).0DF=EF,0FD=0AFE.00DFE=0DM+a4FE=WFA+BFD=60o.囤DEF为等边三角形.【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定.例3.（2022广东汕头市潮阳区一模）（1）模型建立，如图1,等腰直角三角形A8C中，财。8=90。，CB=CAt直线EO经过点C,过A作AZ）0EO于。，过B作8瓦Ez）于£求证：BBE（MCDA:（2）模型应用：已知直线AB与y轴交于A点，与X轴交于8点，sin0A8O=,08=4,将线段AB绕点8逆时针旋转90度，得到线段8C,过点4。作直线，求直线AC的解析式；如图3,矩形ABCO,O为坐标原点，3的坐标为（8,6）,A,C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点。在第一象限，且是直线用2工-5上的一点，若0AP。是以。为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点。的坐标.图1图2【答案】(1)见解析；(2)>=一白+3：。(3,【详解】(1)解：由题意可得，ZACB=ZADC=ZBEC=90°,0ZEBC+ZBCE=ABCE+ZACD=90°,NEBC=ZACD,NEBC=/ACD在43EC和JCzM中，NE=ND,BECACDA(AAS),BC=AC(2)解：如图，过点。作CDlx轴于点O,在K向钻。中sin08O=j,OB=4,0iAO=3m,AB=Sm,OB=4n=4,w=l,HA0=3,同(1)可证得ACH且MOA,团CD=Bo=4,BD=A0=3,0OD=4+3=7,0C(-7,4),回A(0,3),设直线AC解析式为y=kx+3,把C点坐标代入可得-7A+3=4,解得k=,13直线AC解析式为y=-l+3;设O坐标为(x,2x-5),当。在A8的下方时，过。作。£0)，轴于E,交8C于E同(1)可证得0ADE三3DPF,0DF=AE=6-(Zv-5)=Il-Zv,DE=X,团11-2+=8,Sv=3,0D(3,1),当。在AB的上方时，如图，过。作。Ey轴于E,交4C的延长线于E同（1）可证得,BDF=AE=（2-5）-6=2-11,DE=x,S2x-11+-8,0x=y.m喈，小综上述D（3,1）或喈，胃【点睹】本题考查了全等三角形的判定和性质、待定系数法-次函数的解析式、正弦的定义、勾股定理、等腰三角形的判定和性质及方程思想，作辅助线构造模型是解本题的关键.例4.（2023湖南岳阳统考一模）如图，在ABC中，AB=AC=2,M=40。，点。在线段BC上运动（点。不与点B、C重合），连接AO,作IMDE=40。，OE交线段AC于点E（1）当08D4=115°时，EDC=o,AED=°；（2）线段。的长度为何值时，a4BQ0I3QCE,请说明理由；（3）在点。的运动过程中，AAOE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求团SD4的度数；若不可以，请说明理由.【答案】(1)25°,65°；(2)2,理由见详解：(3)可以，110。或80。.【分析】(1)利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；(2)当DC=2时，禾IJ用(3DEC+0EDC=14O°,0ADB+EDC=14Oo,求出0ADB=(3DEC,再利用AB=DC=2,即可得出0ABD瓯DCE.(3)当团BDA的度数为110。或80。时，BADE的形状是等腰三角形.【详解】解：(1)00B=4Oo,0ADB=115o,00BAD=18Oo-0B-3ADB=18Oo-115o-4Oo=25%0AB=AC,00C=0B=4Oo,00EDC=18Oo-0ADB-0ADE=25o,B0DEC=18Oo-0EDC-aC=115,AED=180o-DEC=180o-115o=65o;(2)当DC=2时，回ABD困DCE,理由：00C=4Oo,国DECMEDC=140°,又0ADE=4O°,l113ADB+0EDC=14Oo,三ADB=0DEC,NADB=NDEC又13AB=DC=2,在0ABD和团DCE中，B=C00ABDS0DCE(AAS)；AB=DC(3)当团BDA的度数为110。或80。时，团ADE的形状是等腰三角形，皿BDA=Ilo。时，00ADC=7Oo,00C=4Oo,0DAC=7Oo,SEADE的形状是等腰三角形；团当回BDA的度数为80。时，00ADC=1OO%00C=4Oo,00DAC=4Oo,00ADE的形状是等腰三角形.【点睛】本题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题.例5.（2022浙江杭州一模）老师在上课时，在黑板上写了一道题：“如图，ABC。是正方形，点上在BC上，OmAE于尸，请问图中是否存在一组全等三角形？小杰同学经过思考发现：ADFWEAB.理由如下：因为ABC。是正方形（已知）所以囹B=90°且AD=48和AO38C又因为。阳AE（已知）即团。幺=90。（垂直的意义）所以团。心=团8（等量代换）又AD38C所以团1=02（两直线平行，内错角相等）ZDFA=NB在（M。尸和MAB中JNl=22所以0AOF三E48（AAS）AD=AB小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等.你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与0A。尸全等的三角形，请能说出此线段的做法吗？并说明理由.【答案】小杰错误的原因是AD和AB不是对应边，在证明两个三角形全等时，误以为对应边了；线段为作BHsIAE于点H,证明见详解；【分析】根据小杰的证明方法，可以发现，在证明两个三角形全等时，出现了问题，然后说出出错的原因即可，然后添加合适的辅助线段，说明与朋DF全等的三角形成立的理由即可解答本题；【详解】小杰错误的原因是AD和AB不是对应边，在证明两个三角形全等时，误以为对应边了，作BHME于H,则EIADF画BAH；回四边形ABCD是正方形，SAD=BA,团DAB=90。，K2HAB+FAD=90%0DF0AE,BH0AE,00DFA=IaAHB=90°,00HAB+0HBA=9Oo,BBFAD=团HBA,ZDFA=ZAHb在SADF和团BAH中，ZFAD=NHBA03ADF三3BAH(AAS);AD=BA【点睛】本题考查正方形性质、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合思想解答；例6.（2022山东九年级课时练习）（1）课本习题回放:“如图，ZACB=90o,AC=BC,AD±CE,BE工CE,垂足分别为。，E,AD=2.5cm,DE=1.7cm.求鸵的长，请直接写出此题答案：3E的长为.（2）探索证明：如图，点8,C在NM4N的边AM、AN上，AB=ACt点E,尸在NMAN内部的射线A。上，且NBED=NCFD=NBAC.求证：ABEACAF.（3）拓展应用：如图，在ABC中，AB=ACfAB>6C.点。在边BC上，CD=IBDf点、E、尸在线段AO上，Nbed=NCFD=NBAC.若AABC的面积为15,则ACF与0E的面积之和为.（直接填写结果，不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS定理证明团CEB的4。，根据全等三角形的性质解答即可；（2）由条件可得08EA=0FC,04=0ABE,根据AAS可证明财BH30CA产：（3）先证明SABfQSCAR得到AACF与ABDE的面积之和为0AB。的面积，再根据CD=28。故可求解.【详解】解：（1）0B£0CE,ADCEfB0£=0ADC=9O°,三EBC+0BCF=9Oo.ZE=ZADCBCE÷0ACD=9O三EBC=DCA.在回CEB和0AZ)C中，NEBC=NDCABC=ACCEBBADC(AAS)fWE=DC,CE=AD=2.5cm.DC=CE-DE,DE=IJcnu0DC=2.5-1.7=O.8cm,团BE=O.8故答案为：0.8cm；(2)证明：001=02,团超BEA=MFC.00l=EAE+03,03+B4=BAC01=0BAC,00AC=OABE÷03,004=HAfiE.团0AE8=0A尸C,0A8E=04,AB=AC,ABEWCAF(AAS).（3）BZBED=NCFD=ZBACmMBE-BAE=FACBAE=FAC-ACF团团ABE=I3CAF,0AE=0ACF又AB=AC团财8曲CAEEISA帆=5.回MCF与BDE的面积之和等于AABE与ASDE的面积之和，即为随BQ的面积，SCD=2BD,ABD与0ACO的高相同则Sabd=；Sbc=5故ACF与ABDE的面积之和为5故答案为：5.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.例7.（2023贵州遵义八年级统考期末）过正方形ABCZ）（四边都相等，四个角都是直角）的顶点A作一条直线MN.（1）当MN不与正方形任何一边相交时，过点、B作BE工MN于点E,过点。作。尸_LMN于点尸如图（1）,请写出“',BE,。尸之间的数量关系，并证明你的结论.（2）若改变直线MN的位置，使MN与Co边相交如图（2）,其它条件不变，EF,BE,OF的关系会发生变化，请直接写出M,BE,。尸的数量关系，不必证明；(3)若继续改变直线MN的位置，使MN与BC边相交如图(3),其它条件不变，EF,BE,。尸的关系又会发生变化，请直接写出EF, BE,。尸的数量关系，不必证明.MAAN图【答案】(1)*=8E+O/，证明见解析；EF=BE-DF；EF=DF-BE【分析】(1)根据同角的余角相等可证NAE=NAZ)F,再证ABE394户，根据全等三角形的对应边相等进行代换即可；(2)根据同角的余角相等可证的E=NADF,再证ABE合ZM产，根据全等三角形的对应边相等进行代换即可：(3)根据同角的余角相等可证NEAE=NAZW,再证ABE=34尸，根据全等三角形的对应边相等进行代换即可.【详解】(I)EF=BE+DF,证明：丁四边形ABCD是正方形.A=D4,ZfiAD=90o.ZfiAE÷ZZMF=90°又.BE上MN,DF±MN:.ZBE=ZDFA=90oZDAF+ZADF=90°ZBAE=ZADFZBEA=ZDFa在ABE和DAF,tlNBAE=ZADFABE三DAF(A4S)AB=DAJAF=BE,AE=DF：.EF=AF+AE=BE+DF(2) EF=BE-DF,理由是：四边形43Cf是正方形.AB=DA,ABAD=W3.ZBAE+DAF=90P又；BEtMN,DF工MN:"BEA=ZDFA=第。ZDAF+ZADF=90°BAE=ZADFZBEA=ZDFa在ABE和ZM尸中BAE=NAOAABE二Z4广(44S).af=8E,AE=DF0EF=AF-AE=BE-DFAB=DA(3) EF=DF-BE,理由是：四边形ABCo是正方形.A8=D4,ZBAD=90o.ZBAE+ZDAF=90P又BEIMN,DF±MN:.ZBEA=ZDM=9()°ZDAF+ZADF=9(.)°ZBAE=ZADFfZBEA=ZDFA在AB石和AQA尸中NBAE=NAO产ABE=MF(A4S).AF=BE,AE=DFEF=AE-AF=DF-BEAB=DA【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质，掌握三角形的判定方法及能利用同角的余角相等证明NjME=尸是关键.模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，般就会有两个三角形的“一对角相等"，再利用平角为180°,三角形的内角和为180°,就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似.1） 一线三等角模型（同侧型）DAEb（锐角型）条件：如图，Z=Z2=Z5,2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，Z7=Z2=Z5,3）一线三等角模型（变异型）4E B A EB（直角型）（钝角型）结论： ACEBED.结论：h ADEs XBEC.* kd图1"（图2C图3特殊中点型：条件：如图1,若。为AB的中点，结论：NACESABEDsAECD.一线三直角变异型L条件:如图2,ZABD=ZAFE=ZBDE=90o.:ABCSABDEsABFCsAAFB.一线三直角变异型2：条件：如图3,ZABD=ZACE=ZBDE=90o.i:kABMs丛NDESANCM.例1.（2023山东东营统考中考真题）如图，ABC为等边三角形，点、D,E分别在边SC,A8上，NAz）E=60。,D. 3.2【答案】C4【分析】证明2XAPC,根据题意得出5O=g8C,进而即可求解.【详解】解：团AABC为等边三角形，ZB=ZC=60o,2ZADB=ZADE+4BDE=/C+QAC,ZADE=60。，AoACZBDE=ZDAC,由AADCSDEB图一=一DEBD.A八BC54 Al-JA(=EBD=4DC»0BD=-BC,E=445 DEBD-BCDE=2AAD=-×DE=3,故选：C.【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.例2.（2023黑龙江牡丹江统考中考真题）在以“矩形的折叠为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图的方法折出一个正方形ABE”,然后把纸片展平；第二步：将图中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点尸处，得到折痕MN,如图.根据以上的操作，若AB = 8, AD = 12,则线段BM的长是（）【答案】C【分析】根据折叠的性质得：AB=AF=BE=S,FD=EC=4,FN=CN,'设DN=X,则C7V=RV=8-x,利用勾股定理求出。M产N,再证明JWH一FNA得M/=MC,求解即可.【详解】解：如图，过点M作交AD于点H,AHFDNDFN+NDNF=哪MFH+ZDFN=90°."MFH=ZDNFND=NMHD=90。NO=NTO=90o在MFH和AFND中,<£MFH=NDNF:FHaFNDZFMH=4DFNMFMHFH八二ZlQMFFH8、FNDFDNFNDN4设DN=X,则CN=f7V=8-X,FN?=DN2+DF?,即：(8-x)2=x2+42,解得：x=3,MFMFFN 5：.DN=3,CN=FN=5,=2,.F=10,:.MC=MF=SO,AD=BC=12:.BM=BC-MC=2-0=2,故选：C.【点睛】本题考查折叠问题及矩形的性质、正方形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握折叠的性质并能熟练运用勾股定理方程思想是解题的关键.例3.（2022河南新乡九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形.AR（1）如图1,在ABC中，0BAC=9Oo,=,直线/经过点4,8D0直线/,CE上直线/,垂足分别为D、E.求证：空=2（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2,将（1）中的条件做以下修改：在二ABC中，-=kfD、A、E三点都在直线/上，并且有团8。A=SAEC=团8AC=,其中为任意锐角或钝角.请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3,在ABC中，沿ABCAliACIAE AG 2/.求证：/是EG的中点.直接写出线段BC与A/之间的数量关系:的边A3、AC向外作矩形ABOE和矩形ACR7,=7,AH是BC边上的高，延长/M交EG于点AEAG乙【答案】（1）见解析（2）结论还成立，证明见解析（3）见解析BC=A/【分析】（1）由条件可证明OABD期CA区可得当=空=公AEAC（2）由条件可知SIBW+ElC4E=180°-,且回。84+团"£）=180°-（1,可得配84=团。4£：,结合条件可证明08D三3C4E,同（1）可得出结论;（3）过点G作GM人E交A/的延长线于点M,连接EM,证明a48C00GM4,再得到四边形AGMK是平行四边形，故可求解；由得到8C=5aM,再根据四边形AGME是平行四边形得到Be=41,故可求解.【详解】（1）如图1,0瓦用直线/,C£0直线/,00DA=0CEA=9Oo,0AC=90o,00BAD+0CA£=9O°00BAD+3ABD=9OO,00CAE=AZX*00AD=0CE,09A=0CE4,ADICEA,何的=丝=心AEAC(2)成立，证明如下：如图2,00DA=0BC=,00DA+三AD=0D+0CAE=18Oo-a,00OB4=(3CAE,回囱480=(3CAE,BDA=CEAADBCEA,团处=竺=k；AEC(3)过点G作GMAE交A/的延长线于点M,连接EM团四边形AGFC是矩形，豳GAC=90°又A加8C三A"C=90°tmi5+0CA=(34+0CA=9Oo305=(3400DE=04H=9Oo002+0AH=01+0=9O0002=01又GMAE3=23=mABCGMAACBCAB,ABACACBCABAB1-0=又回=-0=-WM=AEGAAMGMAEAG2GAAMGMAE2又团GMA£0四边形AGME是平行四边形（3E=G故/为EG的中点；z-x,z-x.BCACABAB11由知示7=.=方7=弁=5团AC=AMAMAGGMAE22团四边形AGME是平行四边形SA/=/MSIA/=LAMSBC=A/2团线段8C与A/之间的数量关系为BC=A/故答案为：BC=AL【点睛】此题考查相似三角形的判断与性质综合，解题关键是根据题意找到相似三角形，列出比例式求解.例4.（2023湖北武汉统考中考真题）问题提出：如图（1）,E是菱形ABC。边BC上一点，AA瓦是等腰三角形，AE=EFfNAf/=NABC=（90o）,A/交CD于点G,探究NGCP与。的数量关系.问题探究：先将问题特殊化，如图（2）,当a=90。时，直接写出NGCF的大小；再探究一般情形，如图（1）,求NGC尸与的数量关系.问题拓展：将图（1）特殊化，如图（3）,当=12（P时，若丝=4,求券的值.CG2CE【答案】（1）45。（2）NGC尸二:。一90。（3）普=W【分析】（1）延长BC过点尸作FH_L8C,证明8”尸即可得出结论.（2）在AB上截取4N,使AN=EC,连接NE,证明ZXANE组4b,通过边和角的关系即可证明.（3）过点A作Cz）的垂线交CD的延K线广点P,设菱形的边长为3帆，由知，ZGCF=a-90o=90o,通过相似求出CF=生叵m，即可解出.【详解】（1）延长8C过点尸作/_L8C,0ZBAE+ZAfiB=90o,NFEH+ZAEB=90。,ZBAE=ZFEH,/ABE=/EHF在AEBA和.FHE中NBAE=NFEH4.四,./HF,gAB=EH,BE=FH,国BC=EH,AE=EFBE=CH=FH,GCF?FCH45?.故答案为：45°.（2）解：在A3上截取AN,使4V=EC,连接NE.ZABC+ZBAE+ZAEB=ZAEF+ZFEC+ZAEB=180o,ZAC=ZAEF,."EAN=NFEC.AE=EF,.ANEECF,.ZANE=AECF.AB=BCy.BN=BE4EBN=a,:.ZBAfE=90o-a.2AZGCF=ZECF-NBCD=ZANE-NBCD=（90。+Ba）-（180。-）=90。.（3）解：过点A作CD的垂线交CZ）的延长线于点尸，设菱形的边长为3m，1=-,DG=m,CG=2m.在Rt,ADP中，JADC?ABC120?,CG2.ZADP=6Op,PD=-nyAP=->j3n.a=120o,由（2）知，Z.GCF=-a-90°=90°.22235?AGP?FGC,dAPGFCG.券=冬，产_丁,cr=Mzw,CFCG-F5在AB上截取AN,使4V=EC,连接NE,作BOJ_NE于点O.由（2）知，ANEECFfQNE=CF,AB=BC,BN=BE,OE=EF=-EN=m.25OF69BF2团ZABC=I20。，"BNE=NBEN=300,Bcos30?,=CE=-m.=-.BE55CE3【点睹】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似.例4.（2023湖北荆州统考中考真题）如图1,点P是线段AB上与点A,点8不重合的任意一点，在A8的同侧分别以A,尸，B为顶点作N1=N2=N3,其中Nl与N3的一边分别是射线AB和射线84,N2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点尸为等联点，线段AB为等联线.如图2,在5x3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1,AB为端点在格点的已知线段.请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点尸为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；如图3,在Rt4PC中，NA=90，AC>AP,延长AP至点8,使AB=AC,作NZA的等联角NCPD和/PBD.将AAPC沿PC折叠，使点A落在点用处，得到WjC,再延长PM交3。的延长线于E,连接C石并延长交尸。的延长线于F,连接确定一尸C尸的形状，并说明理由;若AP:P8=1:2,BF=在k，求等联线AA和线段PE的长(用含忆的式子表示).【答案】见解析(2)等腰直角三角形，见解析；(2)A=3:PEqk【分析】(1)根据新定义，画出等联角；(2)APCF是等腰直角三角形，过点C作CNl.BE交国的延长线于N.由折叠得AC=CM,ZCMP=ACME=ZA=9()°,Z1=Z2,证明四边形ABNC为正方形，进而证明RtZCWE丝RlACN已得出NPb=45。即可求解；过点尸作R2L8E于Q,砧_1依交总的延长线于A,则NR=NA=90。.证明AAPCgZXMP,得出AP=6R=网，在Rt欧F中，BR?+FR?=BF?,BF=应，进而证明四边形33R/7Q为正方形,则BQ=QF=k,由FQ/CN,得出一但SJVEe,根据相似三角形的性质得出NE=-k,根据尸E=PM+ME即可求解.【详解】(1)解：如图所示(方法不唯一)方法7方法8方法9(2)一尸C尸是等腰直角三角形.理由为：如图，过点C作CN_L5E交班:的延长线于N.由折叠得AC=CM,NCMP=NCME=ZA=90。,Z1=Z2AC=AB,ZA=NPBD=NN=骄,一四边形48NC为正方形,OV=AC=CM又CE=CE,RtACMERtACTVE(HL).Z3=N4,而Nl+N2+N3+N4=90°,ZCPF=90°:"PCF=Z2+Z3=ZCFP=45o/PCF是等腰直角三角形.过点尸作尸QLBE于Q,依_Lm交依的延长线于R,则NR=NA=90。.Zl+Z5=Z5+Z6=90o,.Z1=Z6,由aPCF是等腰直角三角形知：PC=PF.PCFP(AAS),:.P=FRAC=PR,而AC=AB,.AP=BR=FR,在RI中，BR2+FR2=BF2.BF=后，AP=BR=FR=H.PB=2AP=2k,.AB=AP+PB=BN=3k,由BR=FR,/QBR=NR=NFQB=90°,团四边形E?FQ为正方形，BQ=QF=k,由FQLBN,CN八BN得:FQ/CNtQEFNEC,.而QE=BN-NE-BQ=3k-NE-k=2k-NE,NECNZk-NFk13即失券=5=9解得：NE=9，NE3k32由知：PM=AP=k,ME=NE=?k,:.PE=PM+ME=k+k=k.【点睛】本题考查了几何新定义，正方形的性质与判定，折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，理解新定义，掌握正方形的性质是解题的关键.例5.（2022山西晋中一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型如图，在eABC中，NACB=90。，AC=BC,分别过A、3向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E,我们很容易发现结论：ADC"ACEB.（1）探究问题：如果AC工政工其他条件不变，如图，可得到结论；.请你说明理由.（2）学以致用：如图，在平面直角坐标系中，直线y=；X与直线8交于点M（2,l）,且两直线夹角为a,且tana=,请你求出直线Co的解析式.（3）拓展应用：如图，在矩形ABC。中，AB=3t8C=5,点E为BC边上一个动点，连接AE,将线段AE绕点E顺时针旋转90。，点A落在点尸处，当点尸在矩形ABCQ外部时，连接PC,PD.若aQPC为直角三角形时，请你探究并直接写出族的长.【答案】（1）理由见解析；y=-+y;（3）把长为3或【分析】（1）根据同角的余角相等得到NBCE=NOAC,然后利用AA定理判定三角形相似；（2）过点。作ON_LOM交向一线CO于点N,分别过“、N作MEJ轴，NFJ轴，由（1）得NFOFNOANFOAOEM,从而得到k=H=大，然后结合相似三角形的性质和锐角三角函数求出NF=3,OEMEMO3OF=,从而确定N点坐标，然后利用待定系数法求函数解析式；（3）分两种情形讨论：如图1中，当IaPDC=900时.如图2中，当团DPC=90°时，作PFmBC于F,PH0CD于H,设BE=x.分别求解即可.【详解】解：（1）13ZACB=90。，0ZACD+ZBCE=90°又同ZADC=9Oo0ZACD+ZJDAC=90oEZ.BCE=NDACZADC=ZBEC=90°.FAADCsMEB（2）如图，过点。作QV_LOM交直线CD于点N,分别过M、N作MEj轴，2VF±xMl由(1)得ANFOSAOEM团竺="=也OEMEMO团”坐标(2,1)OE=2,ME=I0tana=-团=之解得：NF=3、OF=-0j-,32OM222设直线CD表达式为产履+b,代入M(2,l),N(-1,3)2k+b=-h+b=y解得,2k=-7J15D=7415团直线C。表达式为y=-÷-(3)解：如图1中，当(3PDC=90。时,00ADC=9Oo,三ADC+0PDC=18O0A、D、P共线,团EA=EP,0AEP=9Oo,00EAP=45o,IaaBAD=90°,00BAE=45o,00B=9Oo00BAE=0BEA=45%EBE=AB=3.如图2中，当团DPC=90°时，作PF0BC于F,PHISCD于H,设BE=X,三AEB+2PEF=90o,0AEB+0BAE=9O%00BAE=0PEF,NBAE=NPEF在团ABE和团EFP中，NB=NF=90'00ABE00EFP,AE=EP0EF=AB=3,PF=HC=BE=X,0CF=3-(5-×)=x-2,国团DPH+回CPH=90°,0CPH+0PCH=9Oo,00DPH=PCH,0DHP=PHC,00PHD00CHP,0PH2=DHCH,团(×-2)2=x(3-x),0x=,+a或ZZ旦舍弃)，0BE-$444综上所述，当时DC是直角三角形时，BE的值为3或上红.4【点睛】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考常考题型.例6.(2023江苏南京校考二模)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究:【观察与猜想】如图1,在正方形ABC。中，E,尸分别是AA,4)上的两点，连接OE,CF,若DE上CF,则k的值为；(2)如图2,在矩形ABC。中，AD=7fCD=4,E是AO上的一点，连接CE,CFCEBD,若CEJ_6£>,则而的值为；【类比探究1如图3,在四边形ABC。中，NA=NB=90。，E为A5上一点，连接L>£,过C作DE的垂线交皮>的延长线于G,交Ao的延长线于尸，求证：DEAB=CFAD;【拓展延伸】(4)如图4,在R%A8O中，NBM>=90。，AD=15,将AABZ)沿80翻折，A落在C处，得到DE5CBD,尸为线段Ao上一动点，连接CT,作OE_Lb,交力3于E,