2020基础生艺体生培优考点题型篇考点10-15平面向量和立体几何专题学生.docx

考点10平面向量的概念和运算【玩前必备I1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量屈的大小叫做向量的长度(或模)，记作丽(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上.规定：。与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.(6)相反向量:与向量。长度相等且方向相反的向量叫做。的相反向量.规定零向量的相反向量仍是零向量.2.向量的加法(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.(2)法则：三角形法则；平行四边形法则.三角形法则平行四边形法则(3)运算律："+b=b+;(+b)+c=+(b+c)3.向量的减法(1)定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.(2)法则：三角形法则.(3)运算律：ab=+(b)4 .向量的数乘(1)实数2与向量。的积是一个向量，记作痴，它的长度与方向规定如下:a=a,当Z>0时，痴与”的方向相同；当NvO时，痴与。的方向相反；当2=0时，痴=0.(2)运算律：设2、juR,则:(a)=()a;(A÷)=2÷ju;"+b)=2+动.5 .向量共线的判定定理是一个非零向量，若存在一个实数九使得b=痴，则向量与非零向量。共线.6 .平面向量基本定理如果ei,62是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量。，存在唯对实数由、22,使a=e+2e2.我们把不共线的向量e”62叫作表示这一平面内所有向量的一组基底.一个平面向量。能用一组基底的，62表示，即=ie+%2e2则称它为向量的分解。当ei，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解。7 .平面向量的坐标运算(1)设Aa1,力)，B(X2,”)，则B=(m-%i,y2-y)>诵I=4S汨A+yM(2)设G=(X1，y),b=g>2)，则+b=C+i2,力+”)，ab=(xi-2f一工)，(3)若<x=(x,y),则及=(&,y);IaI=8 .向量平行的坐标表示设=(x,y),b=(x2t%)，其中bO."AOo=劝OX3一Myi=O.玩转典例题型一平面向量的基本概念例1给出下列命题：向量港的长度与向量成的长度相等；两个非零向量。与平行，则。与b的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量一定是共线向量.其中不正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.4例2下列命题中，正确的是.(填序号)有向线段就是向量，向量就是有向线段；向量a与向量b平行，则。与b的方向相同或相反；向量屈与向量劭共线，则A、B、C、。四点共线；如果。儿bc,那么。c；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.题型二平面向量的线性运算例3(2015新课标I)设。为ABC所在平面内一点，8C=3C。，则()1 一4-14A.AD=AB+-ACB.AD=-ABAC333341C. AD = AB HAC 334 ID. AD = -AB-AC 33例4（2018新课标I）在A8C中，4）为BC边上的中线，E为4）的中点，则E6=（）3 . 1 .13A. -AB-ACB. -AB-ACC.31-AB+-ACI 3D. -AB + -AC4例5（2020威海模拟）在平行四边形ABC。中，E,尸分别为边8C,CZ）的中点，若矗=X危yR）,则Ly=.题型三平面向量坐标运算例6(2015全国)设平面向量d=(T,2),4=(3,-2),则2+b=()A.(1,0)B.(1,2)C.(2,4)D.(2,2)例7(2015新课标I)已知点A(U),8(3,2),向量AC=(Y,-3),则向量8C=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)例8(2015江苏)已知向量=(2,1),Z>=(1,-2),若m+泌=(9,-8)(w,九gR),则用一的值为.题型四平面向量共线定理例9(新课标H理)设向量,b不平行，向量痴+b与+2b平行，则实数2=.例10(2020上饶-模)己知力是不共线的向量，OA=a+b,OB=2a-h,OC=a-2b,若A、B、C三点共线，则;I、满足()A.=3B.=/+3C.=+2D.=-2.例11(2016全国)平面向量=(x,3)与=(2,y)平行的充分必要条件是()A.,=0>y=OB.=-3,y=-2C.xy=6D.y=-6例12(2018全国In)已知向量0=(l,2),b=(l,O),c=(3,4).若2为实数，(+劝)C则为=()A.IB.IC.1D.2玩转练习1 .对于非零向量G,b,“。+26=0”是“ab”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2 .己知向量矗=+3b,比=5+3方，CD=3a+3bf贝J（）A.AfB,C三点共线B.4,B,。三点共线C.A,C,。三点共线D.B,C,。三点共线3 .如图,在正方形A88中，点E是。C的中点,点尸是BC上的一个靠近点B的三等分点,那么辞等于()ABB.%8+%OD.A-AD4 .如图，已知AB是圆O的直径，点C,£是半圆弧的两个三等分点，AB=a,Ab="则病等于()A.ajbB4一C.+/D.%+力5.已知M(3,-2),NL5,一1),且加=3萌V,则尸点的坐标为(A.(-8,1)B-|)(8 a6 .(2020.山西榆社中学诊断)若向量A8=QC=(2,0),40=(1/)，贝必C+8C等于()A.(3,1)B.(4,2)C.(5,3)D.(4,3)7 .(2020.海南联考)设向量Q=(x,-4),b=(l,-x),若向量。与b同向，则X等于()A.-2B.2C.±2D.O8 .已知平面直角坐标系内的两个向量=(l,2),b=(m,3?-2),且平面内的任一向量C都可以唯一的表示成c=2+"b(2,"为实数)，则实数机的取值范围是()A.(一8,2)B.(2,÷)C.(一8,÷oo)D.(一8,2)U(2,+)9 .在平面直角坐标系Xoy中，已知41,0)，8(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点，NAoC=；,且Ioq=2,若诙=5+"5h,则2+等于()A.22B.2C.2D.4210 .(2020蚌埠期中)已知向量机=GinA,，与向量=(3,SinA+5cosA)共线，其中A是aABC的内角,则角A的大小为(),兀C兀C兀C兀A%BqC.jD.g11 .若三点A(l,-5),B(a,2),CL2,1)共线，则实数的值为.12 .设向量如。满足=2小，b=(2A)t且。与的方向相反，则。的坐标为考点11平面向量数量积玩前必备1.两个向量的夹角已知两个非零向量。和b,作后=。，OB=b,N4。B=J(0。J180。)叫作向量Q与b的夹角，记作<,b>.当。=0。时，。与b同向；当9=180。时，与力反向；当9=90。时，则称向量与方垂直，记作a_LA2.平面向量的数量积已知两个向量。和从它们的夹角为仇我们把IaiIMeoSe叫作Q与口的数量积(或内积),记作。瓦BPab=IallbICOS.3 .平面向量数量积的几何意义数量积ab等于a的长度同与b在方向上的射影IbICoS的乘积或b的长度IbI与。在b方向上的射影cos的乘积.注意：力在。方向上的投影为固cos，=喘，而。在b方向上的投影为cos，=喘，投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.4 .平面向量数量积的重要性质()ad.ba-b=O；(2)当。和同向时，ab=ab当“和力反向时，ab=-ah;特别地，aa=2,a=yaaabCoSo=丽；5 .平面向量数量积的坐标运算设两个非零向量,b,a=(xtj),b=(x2fJ2)»(l)Z>=xx2÷y1y2.(2)2=x2+y2E=x2+y2.(3)LbOxlx2+w2=O小ZJX1X2+)D'2c°sy2+y222+3j22玩转典例题型一平面向量数量积的计算例1（2020兖州区模拟）等腰直角三角形AAC中，ZACB=-,AC=BC=2,点P是斜边4?上一点，2且BP=2E4,那么CPCA+CP.CB=（）A.-4B.-2C.2D.4例2（2020上海）三角形ABC中，。是BC中点，Ae=2,BC=3,AC=4,贝J4O48=.例3（2019新课标11）已知A8=（2,3）,AC=（3j）,BC=1,则AB8C=（）A.一3B.-2C.2D.3例4（2018新课标II）已知向量d,方满足IaI=1,a.b=-,则”（2。一力）=（）A.4B.3C.2D.0题型二利用数量积求模长例5（2020香坊区模拟）已知单位向量的夹角为6,且tan。=，若向量旭=耳-36,则|”|=（2）A.2B.GC.26D.应或向例6（2020江西省南昌市第十中学校高三模拟（理）设x,yR,向量4=（乂1）,6=（2,丁），。=（-2,2）,且J_C,bllC，则卜+司=.题型三利用数量积求夹角例7（2020临汾模拟）已知夹角为6的向量。，力满足43+b）=2,且=2b=2,则向量，b的关系是（）A.互相垂直B.方向相同C.方向相反D.成120。角例8（2020江西省南昌市新建二中高三二模（理）己知向量，方满足W=I"=（1,6）,若4（叫=2,则Q与的夹角为.题型四利用数量积求解垂直问题例9（2020河南省鹤壁市高级中学高三二模）已知非零向量Q,8满足Ial=区则*+24=|2。一可是"a_Lb”的(D.既不充分也不必要条件解:A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件例10（2020吉林省高三二模（理）己知。=（1,3）,=（22）,。=（,一1）,若（-c）"Lb,则等于（）A.3B.4C.5D.6题型五利用数量积求射影例11（湖北，7）已知点4一1,1）,B（L2）,C（2,-1）,0（3,4）,则向量法在诙方向上的投影为（）ah/ZR妪r_3Z_妪f?D.）-2L*）玩转练习1. （2020新建区校级模拟）如图，在ABC中，AD1AB,DC=3BD,AD=2f则AC4。的值为（）A.3B.8C.12D.162. （2020内蒙古模拟）已知向量d+5=（l,2）,-C=（-3,0）,则4仍=（）A.1B.-1C.3D.-33. （2020随州模拟）已知向量,方满足IaRa-8|=2,向量b在向量4方向上的投影为3,则向量。与向量b的夹角为（）A.30oB.45oC.60oD.90°4. （2020湘潭一模）在平行四边形ABcD中，Z4D=60o,AB=3AD,E为线段CZ）的中点,若AEA8=6,则ACBO=（）A.-4B.-6C.-8D.-95. （2020齐齐哈尔一模）已知两个单位向量K,5的夹角为120o,c=ta+（t-）b.若济？=1.则实数，的值为（）A.1B.-1C.2D.-26. （2020福州一模）已知两个单位向量电，若（。-26），4，则q,/的夹角为（7. （202。湖南省长沙市明达中学高三二模（理）已知向量和b的夹角为（，且H=2,N=3,则（2a-b）（a+2b）=（）A.-10B.-7C.-4D.-18. （2020江西省名高三第二次大联考（理）若忖=1,w=2,则卜+囚的取值范围是（）A.1,9B.（1,9）C.1,3D.（1,3）9. （2020黑龙江哈尔滨师大附中高三模拟（理）己知在边长为3的等边A5C中，BD=-DCt则2ADAC=（）A.6B.9C.12D.-610. （2020河南省实验中学高三二测（理）若=3,b=2,+2q=J方，则与的夹角为11. （2020北京市西城区高三一模）若向量£=（2”=（1，力满足b<3,则实数X的取值范围是12. （2020四川省成都市树德中学高三二诊（理）己知向量AB=（1，2）,AC=（31），则ABBC=.13. （2020广西师大附属外国语学校高三一模（理）已知,b为两个单位向量，且向量Q-方与垂直，则2+3Z?|=14. （2020江西省南昌市第十中学校高三模拟（理）设x,yA,向量4=（乂1）,6=（2,丁）,。二（一2,2）,且_1_（?,bile，贝山+力卜.15. （2020福建省泉州市高三质检（理）已知向量G=（t,2）,=（2,1）,且W/,贝J4=考点12空间几何体表面积和体积玩前必备1.空间几何体的结构特征多面棱柱棱柱的侧棱都壬任且粗笠，上下底面是平行且全等的多边形体棱锥棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形棱台棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是壬红且相似的多边形旋转体圆柱圆柱可由矩形绕其任意一边旋转得到圆锥圆锥可以由直角三角形绕其直鱼边旋转得到圆台圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上、下底中点连线旋转得到，也可由隹于圆锥底面的平面截圆锥得到球球可以由半圆或圆绕直会旋转得到2 .圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式Swf=2/SMoj=rSM=(r+r2)/3 .空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体（棱柱和圆柱）S表面枳=Sm÷2SV=Sh锥体（棱锥和圆锥）S衣面枳=S傅+S底V=IS底h台体（棱台和圆台）S去面枳=Sd+S上+SFV=(S上+S下球S=4R2玩转典例题型一简单几何体的概念例1以下命题：以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为（）A.OB.IC.2D.3例2给出下列四个命题：有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱；侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；侧面都是矩形的直四棱柱是长方体；底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱.其中不正确的命题为.（填序号）题型二简单几何体的表面积例3（2018.全国I）已知圆柱的上、下底面的中心分别为5,。2,过直线QO2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（）A.122B.12C.82D.10例4（2019全国）己知平面截球。的球面所得圆的面积为万，O到a的距离为3,则球O的表面积为.若胡夫金字塔的高为人，则 113例5（2020桥东区校级模拟）胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形.研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率该金字塔的侧棱长为（）A. 2+lB.hf +48-C yr2 + 164D 2+16z4题型三简单几何体的体积SA与圆锥底面所成角为30° .若ASAB例6（2018全国卷11）已知圆锥的顶点为S,母线SA,S3互相垂直,的面积为8,则该圆锥的体积为.例7（2017全国卷11I）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A. JTr如B-4D.例8.（2018天津卷）如图，已知正方体HBeD-4办GQl的棱长为I,则四棱锥BBIDlD的体积为玲题型四简单几何体切接问题例9（2016新课标11）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）32A.12B.C.8万D.43例IO（2017新课标I）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的球面上，SC是球O的直径.若平面SCAI,平面SC8,SA=ACfSB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球。的表面积为.例11（2020眉山模拟）已知腰长为3,底边长2为的等腰三角形ABC,O为底边BC的中点，以4）为折痕，将三角形ABD翻折，使5。_LCr）,则经过A,B,C,。的球的表面积为（）A.10B.12C.16D.20玩转练习1.（206新课标全国卷I）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，间米堆的体积和堆放的米各为多少？”己知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放的米约有（）A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛2. （2020凯里市校级模拟）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？“其意思为：”今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的体积为（）A.140立方尺B.280立方尺C.理立方尺D.%立方尺333. （2020湖南省长沙市明达中学高三二模（理）魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为兀：4.若正方体的棱长为2,贝卜牟合方盖”的体积为（）r16128A.16B.163C.D.334（2020陕西省西安中学高三三模（理）把边长为4的正方形ABC。沿对角线AC折起，当直线8。和平面ABC所成的角为60时，三棱锥。ABC的体积为（）480r46r86n1623333E为CG的中点，则三棱锥£-88的体5 .（2019江苏9）如图，长方体ABC。一AMG。的体积是120,积是.6 .（2019江西重点中学联考）算术书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出圆锥的底面周长/与高人计算其体积V的近似公式V=表刖，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3,那么，近似公式丫仁磊人相当于将圆锥体积公式中的近似取（）a22n25aTbT157355c-5-dIb7 .（2019天津理11）已知四棱锥的底面是边长为J的正方形，侧棱长均为若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.8 .（2018天津）已知正方体ABC。-ABIGA的棱长为1，除面A38外，该正方体其余各面的中心分别为点、E,F,G,H,M（如图），则四棱锥一EFG"的体积为.9 .（2018江苏）如图所示，正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.10 .（2020咸阳二模）正四棱锥P-ABC。的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为6，高为3,则它的外接球的表面积为（）A. 4rB. 8乃C. 16 乃D. 20考点13空间点、直缘平面的位置关系和平行证明玩前必备1.空间点、线、面之间的位置关系判定性质定义定理图形有条件ct=0aUa,Ma,aba/aaataUaC=b结论a/aba«=0ab3.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件QG6=。aup,bup,a11b=P,aafbaa/,y=,C=ba,QUP结论aaaba/a玩转典例题型一点线面的位置关系例1如图所示，在长方体A88A'B'CfDf中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面,那么在这12条直线与6个平面中：(1)与直线夕C平行的直线和平面分别有哪几个？(2)与直线"C垂直的直线和平面分别有哪儿个？与平面8C'平行的平面有哪几个？(4)与平面BC'垂直的平面有哪几个？题型二线面平行的判定和性质例2（2020北京市平谷区高三一模）如图，在三棱柱ADF-8CE中，平面A5CDJ平面ABF,侧面A58为平行四边形，侧面45EF为正方形，ACLAB,AC=2AB=4,M为尸。的中点.（1）求证：下3/平面ACM；例3（2020凰门模拟）如图，四边形488是边长为2的菱形，BF,DE,CG都垂直于平面AH8,旦CG=2BF=2ED=2.（1）证明：AE平面BC/；例4（2020龙岩一模）如图，在棱长为2的正方体A8CD-A4GA中，E,F,M分别是棱AB,BC,4）的中点.（1）证明：RM/平面AEF;例5如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在Z)M上取一点G,过G和AP作平面交平面8。M于G”.求证：PA/GH.题型三面面平行的判定和性质例6如图所示，在直四棱柱A5CD4SG。中，底面是正方形，E,F,G分别是棱8/,OO,OA的中点.求证：平面AOIE平面BGE例7（2020合肥质检）如图，在多面体ABCDEF中，四边形488是正方形，8尸J"平面ABC。，£>E_L平®ABCD,8尸=0E,M为棱AE的中点.（1）求证：平面8。M平面ER7；玩转练习1. （2019全国II理7）设/6为两个平面，则。6的充要条件是A.内有无数条直线与6平行B.内有两条相交直线与6平行C.%6平行于同一条直线D.,6垂直于同一平面2 .（2018浙江）已知平面Q,直线机，满足m<za,nua,则“加”是“加”的A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3 .（2019江苏）如图，在直三棱柱A3C-A,SG中，D,E分别为BC,AC的中点，AB=BC.求证：（1）44平面OEG；4 .（新课标全国11,18）如图，四棱锥外8C。中，底面A8C。为矩形，布_1_平面A8CO,E为Po的中点.（1）证明：P8平面4EC；5 .（新课标全国I,18）如图，直三棱柱ABcA山ICl中，D,E分别是48,BBT的中点.（1）证明：BG平面4CZ）；6 .（2016新课标全国IH,19）如图，四棱锥¾8CO中，布_L底面ABCz）,ADBC,AB=AD=AC=3,¾=3C=4,M为线段40上一点，AM=2MD,N为PC的中点.（1）证明：MN平面以8；7 .（江苏，16）如图，在直三棱柱ABC-AiBiG中，已知AC_LBC,BC=CG.设A8的中点为。,BICnBG=E求证：（1）。E平面AAICc8 .（山东，18）如图，三棱台OEFABC中，AB=2DE,G,“分别为AC,BC的中点.（1）求证：BO平面尸G”；9 .（2018江苏）在平行六面体ABCO-A4GA中，AAl=ABfAB11B1C1.求证：（1）AB平面AN°；10 .（2017浙江）如图，已知四棱锥尸一A3CD,AEW是以Ao为斜边的等腰直角三角形，BC/AD,CD工AD,PC=AD=2DC=2CB,E为P£的中点.（I）证明：C石平面E45；11 .（2020桥东区校级模拟）如图，在直三棱柱ABC-AgG中，AB=AC=¢,BC=AA1=2,O,M分别为BC,AAI的中点.（1）求证：OM/平面CqA；考点14直线、平面垂直的判定与性质玩前必备1.直线与平面垂直图形条件结论aA-bbUa(b为a内的任意直线)a_La判定±h,a_L，加、a,mCti=OaA_a宿a/b,a-LaZ?_La性质奏a_La,bUaa±ba.La,/?_Laab2.两个平面垂直(1)平面与平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)平面与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线那么这两个平面互相垂直IUP/_La0a工(3)平面与平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面a邛、a=aIUBIla,>=>±玩转典例题型一线面垂直的判定与性质例1(2020湖北模拟)如图,A8为。O的直径,雨垂直于G)O所在的平面,M为圆周上任意一点,AN"LPM,N为垂足.(1)求证：ANj_平面PBM.(2)若4Q_LP8,垂足为Q,求证NQ_LPA例2(2019北京)如图，在四棱锥P-4H8中，PA±sfABCD,底面AAa)为菱形，E为CO的中点.(I)求证：8O_L平面RAC；(II)若NABC=60。，求证：平面23J_平面RAE；题型二平面与平面垂直的判定与性质例3（2020梅河口市校级模拟）如图，在四棱锥P-ACr中，PDj_平面ABer）,AB/CD,ABLBCAB=BC=4,CD=2CE=2.（1）证明：平面BDJ_平面尸OE；例4（2020咸阳二模）如图，在直角梯形AB8中，AB/IDC,ZAeC=90。，AB=2DC=2BC,E为AB的中点，沿DE将ADE折起，使得点A到点P位置，且PEtEB,M为PB的中点，N是BC上的动点（与点3,C不重合）.（1）求证：平面EMV，平面PBC；玩转练习1 .(天津，17)如图,已知AAl，平面4BC,BBi/AA,AB=AC=3,BC=25,AAI=巾,BBi=2巾，点石和尸分别为BC和AIC的中点.(1)求证：E/7平面4BB4；(2)求证：平面AE4J平面BCBi;2 .(山东，18)如图，四棱锥附88中，AP_L平面PCO,ADBC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AO,PC的中点.(1)求证：AP75FffiBEF；(2)求证：BEJ_平面以C3 .(2016北京，18)如图，在四棱锥¾BCO中，Pe_L平面ABCO,ABDC,DCLAC.(1)求证：Z)CJ平面¾C;求证：平面而8_L平面MC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F,使得以平面CEF?说明理由.4 .(2019江苏16)如图，在直三棱柱A8C48ICI中，D,E分别为8C,AC的中点，AB=BC.求证：(1)AlBl平面OEC1；(2)BElCiE.5.(2015重庆)如图，三棱锥P-ABC中，平面"C,平面A3C,ZABC=-,点。、E在线段AC上,2且Z）=OE=EC=2,PQ=PC=4,点/在线段48上，且EF/BC.(I)证明：AB_L平面qE.6. (2019新课标In)图1是由矩形4)E8,RtABC和菱形BPGC组成的一个平面图形，其中AB=I,BE=BF=2,NFBC=600.将其沿A8,AC折起使得随与M重合，连结。G,如图2.图1图2(1)证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面ABCJ_平面ACGE;7. （2018江苏）在平行六面体A3CDA与GA中，AA.=AB,AB1±B,C1.求证：(i) 44/平面Age；平面A88A _L平面ABC8. (2018新课标川)如图，矩形AeC。所在平面与半圆弧CO所在平面垂直，M是8上异于C,。的点.(1)证明：平面AWz)_L平面HWC；(2)在线段上是否存在点P,使得MC/平面280?说明理由.9. (2018新课标I)如图，在平行四边形ABCM中，A=AC=3,NAC例=90。，以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点。的位置，且A8_LD4.(1)证明：平面Aa)J_平面A8C；B10. （2020福建省泉州市高三质检（理）如图，四棱锥P-ABa的底面是正方形，Q4_L平面A8CQ,AElPD-（1）证明：AE_L平面PC。：11. （2020北京市西城区高三一模）如图，在四棱柱ABCO-Agca中，AA1J_平面ABa）,底面A8CD满足AD8C,且AB=AD=A41=2,BD=DC=2&（团）求证:AB_L平面ADDlAi；12. （2020吉林省高三二模（理）如图，已知三棱柱ABC-AgCl中，.ABC与.8乃。是全等的等边三角形.(1)求证：BC±AB1；考点15直线、平面所成的角玩前必备I1.两条异面直线所成角的求法设o,b分别是两异面直线小/2的方向向量，则/1与/2所成的角8a与b的夹角范围(0，0，11求法Z1ab°。Sflabcos"1乘12.直线与平面所成角的求法设直线/的方向向量为。，平面的法向量为，直线/与平面所成的角为仇。与的夹角为£,则Sine8SS而3.求二面角的大小(1)如图，AB,C。是二面角a/一4的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小6=<A,CD).(2)如图，小，股分别是二面角。一/一£的两个半平面a,4的法向量，则二面角的大小。满足ICoS4=Icos<m,n2>I，二面角的平面角大小是向量与2的夹角(或其补角).玩转典例题型一求异面直线所成的角例1(2020北京市平谷区高三一模)如图，在四棱锥P-ABe0中，RlJ_平面A8CD,底面ABCo是菱形，A8=2,ZBAD=GOq.求证：8。_1_平面布&(2)若%=A8,求P8与AC所成角的余弦值.例2（2018江苏）如图，在正三棱柱ABCAIqG中，AB=AAi=2,点P,Q分别为Ag,8C的中点.求异面直线8P与AG所成角的余弦值;题型二求直线与平面所成的角例3（2020安徽省淮北市高三一模（理）在直角梯形ABCD（如图1）,NABC=90°，BC/AD,AO=8,AB=BC=4,M为线段A。中点.将aA8C沿AC折起，使平面48C_L平面AC。，得到儿何体B-ACD（如图2）.（1）求证：CZ）_L平面48C；（2）求AB与平面8。W所成角。的正弦值.例4（2019日照模拟）在三棱柱A8C-A5G中，侧面A88A为矩形，A8=2,A=22,。是AA的中点，8。与ABl交于点。，且Coi.平面ABBIA.（1）证明：BClAfii;（2）若OC=OA,求直线。与平面ABC所成角的正弦值.题型三求二面角例5（2020福建省泉州市高三质检（理）如图，四棱锥尸ABCO的底面是正方形，?A_L平面A5CO,AELPD.（1）证明：AE_L平面PC。：（2）若AP=A8，求二面角B-PC-。的余弦值.例6（2020陕西省高三教学质量检测（理）如图，已知四棱锥尸ABCD的底面为直角梯形，ZADC为直角，A?_L平面A5CO,BC:AD:CD=5:4:2,且CD=LIi(1)求证：BPLACx(2)若AP=Cr),求二面角。一pc-3的余弦值.玩转练习1.【2017课标II,理10】已知直三棱柱ABC-ABG中，ZABC=120,AB=2,BC=CC1=L则异面直线ABl与BG所成角的余弦值为OA.3B.巫C.叵D.昱25532. (2019全国I理18)如图，直四棱柱A8CD-4BIClDI的底面是菱形，AAI=4,48=2,ZBAD=60o,E,M,N分别是8C,BB1,ND的中点.(1)证明：MN平面ClDE；(2)求二面角4M4-N的正弦值.3. （2019北京理16）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA_L平面4BCD,ADVCD,ADPBC,PA=AD=CD=I9BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且竺=.PC3(I)求证：COJ_平面尸40；(II)求二面角尸一隹一尸的余弦值；（III）设点G在P8上，且"二2判断直线4G是否在平面AEF内，说明理由.PB34. （2019浙江19）如图，已知三棱柱ABC-A&G,平面AACel，平面A3C,NA3C=90°,/BAC=30°,AA=AiC=AC,EyF分别是AC,AiBi的中点