2024二次函数2024年汇编大题周矶中学专题复习.docx

【点评】本题是一次函数、二次函数的用，求表达式，求极值。一次函数求极值是依据y随X求一张薄板的利润与边长这之间满意的函数关系式。查的重点内容。教学时要多加留意。难度中等。（2024河北省24,9分）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽视不计）这些薄板的形态均为正方形，边长（单位：Cm）在550之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：Cmb成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据，：.P=-x2+2x+025（2）Va=-<0.当x=-2=-=25（在5'50之间）时,252“2x（）25薄板的边长（cm）2030,4×-×I0-22P,4ac-b-I25；4,4×H）出厂价（元/张）5070（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满意的函数关系式；即出厂一张边长为25Cin的薄板，所获得的利润最大，最大利润为35元【注：边民的取值范围不作为扣分点】（2）已知出厂一张边长为40Cm的薄板，获得利润是26元（利润=出厂价-成本价）。的增大而增大还是缩小：二次函数的极值分为两部分：顶点极值和非顶点极值。是每次中考都要考当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？参考公式：抛物线y=ax2+hx+c（a0）的顶点坐标是（一人、出土.I24a）【解析】（1）依据每张薄板的出厂价（服位：元）由基础价和浮动价两部分组成，设出出厂价的表达式（为一次函数）再依据表格中的数据，求出解析式。（2）依据利润=出厂价-成本价，列出利润的关系式，为二次函数，再利用顶点坐标，求出当边长为多少时，博班利润最大？最大利润是多少？但是须要验证顶点的横坐标在不在X的取值范围内。【答案】解：（1）设一张薄板的边长为XCm,它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元,则y=kx+n2分.（5O=2O+hk=2由表格中数据得八，解得y=2x+10（7O=3O+n=l（）（2）设一张范板的利润为P元,它的成本价为mx,元，由题意得P=ymX"=2x+10-mx'将x=40,P=26代入P=2x+10mx'中，得26=2x40+10-mxdO?解得m=-!-(2024黑龙江省绥化市，23,6分)如图，二次函数y=0-4x+c的图像经过坐标原点，与“轴交与点A(-4,0).(1)求此二次函数的解析式：(2)在抛物线上存在点P,满意S,a8=8,请干脆写出点P的坐标.【解析】解：(1)把点A(-4,0)及原点(0.0)代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答：Jc = O,×(-4 )2-4×(-4 )+c=0 解得。=-1C=O所以，此二次函数的解析式为y=-x'7x:(2)依据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在X轴的上方与下方两种状况解答即可.由已知条件得(2)Y点A的坐标为(-4,0),A0=4,设点P到X轴的距离为h,RJSw=×4h=4,解得h=4, 当点P在X轴上方时，-2-4x=4,解得x=-2,所以，点P的坐标为(-2,4)： 当点P在X轴下方时，-J4x=-4,解得X产-2+2J,x2=-2-22所以，点P的坐标为(-2+2JT,-4)或(-2-2J,-4),综上所述，点P的坐标是：(-2,4X(-2+22.-4×(-2-22,-4).【答案】J=-X2-4%；点P的坐标是:(-2,4)、(-2+22,-4)、(-2-22,-4).【点评】本题号查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，(2)要留意分点P在X轴的上方与下方两种状况探讨求解.难度中等.Va>O,.AB=稣亚二年亚Ial。乂.CD=4""="2-4c.从-4c9Xr1-40c4a4'a4。,病F=£,L=(”尸.bi-4ac>0,Vb2-4cc>0,b2-4ac=l2.点评：本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与X轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等.(2024甘南兰州，27,10分)若刈、x?是关于X一元二次方程ax>+bx+c=0(a0)的两个根，则方hc程的两个根XI、X?和系数a、b、C有如下关系：x+,=-t,xx,=t.把它们称为一元二次方a"a程根与系数关系定理。假如设二次函数y=a2x+c(a0)的图象与X轴的两个交点为A(x,0),B(X2,0).利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：ab=i-=(-i+x2)2-4x1x2=T=参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax+bx+c(a>0)的图象与X轴的两个交点A(l,0),B(2,0),抛物线的顶点为C,明显CABC为等腰三角形.(1)当AABC为等腰直角三角形时，求从-44c的值；(2)当AABC为等边三角形时，求从-40c的值.解析：(1)当AABC为直角三角形时，由于AC=BC,所以AABC为等腰直角三角形，过C作CD_LABylh4C于D,则AB=2CD.依据本题定理和结论，得到A8=J71-依据顶点坐标公式，得到冏CD=4acb'=b'-4ac,列出方程，解方程即可求出从一4c的值：4a4a(2)当aABC为等边三角形时，解直角AACD,得CD=6AD=更AB,据此列出方程，解方2程即可求出从-4。的值.解：(1)当AABC为等腰直角三角形时，过C作CD_LAB于D,则AB=2CD;抛物线与X轴有两个交点，JZX=FTac>0,则IbLlacI=IZTac.【点评】本题考查二次函数的性质：二次函数的求法、二次函数对称轴的求法、二次函数对称轴的求法以及对称的性质.待定系数法求二次函数的解析式是二次函数常考查的问题，二次函数性质的综合应用在中考中常作为压轴题考杳.(2024山东省滨州中考，24,10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax'bx+c经过A(-2,-4),O(0,0),B(2,0)三点.(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式：(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+0M的最小值.【解析】(D将A、0、B三点代入此抛物线求出抛物线的解析式即可。(2)求出此抛物线的对称轴以及对称轴的垂直平分线的方程，画出它们，由几何关系可求得AM+0M的最小值.解：(D把A(-2,-4),0<0,0),B(2,0)三点的坐标代入y=ax4bx+c中，得Na-2b+c=-44a+2b+c=0c=0解这个方程组，得a=-,b=l,c=0所以解析式为y=-Lr.2可得(2)由y=-l2+x=-i(x-1)斗,222抛物线的对称轴为x=l,并且对称轴垂直平分线段OBAOM=BMOM+AM=BM+AM连接AB交直线x=l于M点，则此时OM+AM最小过点A作ANlx轴于点N,½RtAB,AB=an2+bn242+42=42,因此OM+AM最小值为49解：(1).抛物线)，=§f+纵+C经过B(0,4),c=4.顶点在直线X=?上，.-2=3,b=-22a232IO.所求的函数关系式为：y=-2-+433(2)½RtAB0,0A=3,0B=4,.,.AB=Q42+OB2=5四边形ABCD是菱形，.,.BC=CD=DA=B=5,C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),2If)当x=5时，y=×52×5+4=4332,in当x=2时，y=-×22-×2+4=033点C和点D都在所求抛物线上：5k + b = 42k+b = 0（3）设CD与对称轴交于点P,则P为所求的点,48设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,则,解得：k=±,b=-33.48.y=-x-335458252当X=/时，y=-×-=-,P(-,-)2323323(4)VMN/7BD,OMNOBD,OMONuntON1=，即一=.得ON=-IOBOD422设对称轴交X轴于点F,则SMNgI='(P尸+OM)O/=!2+)2=2+2223246*S,ha-OMONt-t=t2224Iisi215Sf=-ZVF-PF=-t)×-=-t+-22366c5512z15xI217z八S=-+r-(一一r+-)=_t+z(0<z<4)46466412S存在最大值.(2024甘肃兰州，28,12分)如图，RtAABO的两直角边0A、OB分别在X轴的负半轴和y轴的正9,半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(-3,0)、(0,4),抛物线y=j-+bx+c经过点B,且顶点在直线X=S上.2(1)求抛物线对应的函数关系式；(2)若把ZXABO沿X轴向右平移得到aDCE,点A、B、0的对应点分别是D、C、E,当四边形ABCD是菱形时，试推断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连结BD,已知在对称轴上存在一点P是的APBD的周长最小，求出P点的坐标；(4)在(2)、(3)条件下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点0、B不重合)，过点M作MNBD交X轴与点N,连结PM、PN,设OM的长为t,ZkPMN的面积为S,求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围。S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由。(2)依据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5,4)、(2,0),利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可.(3)首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b,求出解析式，当x=时，求出y即可：(4)利用MN/7BD,得出AOMNsZiOBD,进而得出0£=型，得到ON=!"/，进而表示出APMNOBOD2的面积，利用二次函数最值求出即可.,c12171z172289由S=一r+1=一一(/)"+412461441 7QQ.当，=时，S取得最大值为Fr6144此时点M的坐标为（0,口）.6点评：此题主要考杳了二次函数的综合应用，以及菱形性质和待定系数法求解析式，求图形面积最值，利用二次函数的最值求出是解题关键，难度较大.代入函数解析式得：2:亚-织£,93解得：x=3+5,x2=3-S,即可得满意条件的有两个，R<3+3,23）,p.（3-3.23）.OP3故可得B0A=60°,设Ql坐标为（x,返J基x）,过点Ql作QF_Lx轴,93.,0B0Q1A.,.ZQ>0A=30o,故可得OF=JF,即x=3匹-2亚x）,93解得：x=9或x=0（舍去），即可得Ql坐标为（9,33>,依据因数的对称性可得。坐标为（-3,33）.点评：此题属于二次函数的综合题目，涉及了相像三角形的判定与性质，三角形的面枳及一元二次方程的解，综合性较强.(2024贵州遵义，27,分)如图，已知抛物线y=ax'+bx+c(a#0)的图象经过原点0,交X轴于点A,其顶点B的坐标为(3,-3).(1)求抛物线的函数解析式及点A的坐标：(2)在抛物线上求点P,使Swtt=2%s;(3)在抛物线上是否存在点Q,使AAQO与AAOB相像？假如存在，恳求出Q点的坐标；假如不存在，请说明理由.解析：(1依据函数经过原点，可得c=0,然后依据函数的对称轴，及函数图象经过点(3,-g)可得出函数解析式，依据二次函数的对称性可干脆得出点A的坐标.(2)依据题意可得点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为25,代入函数解析式可得出点P的横坐标；(3)先求出/BOA的度数，然后可确定/QQA=的度数，继而利用解直角三角形的学问求出X，得出QI的坐标，利用二次函数图象函数的对称性可得出Q：的坐标.答案：解：(1)由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax"+bx(a0),又Y函数的顶点坐标为(3,-3Xf-k-32a3,9a+3b=-M3a=T解得：CL故函数解析式为：尸X-萼X.由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为(6,0)：2 2)：Sjwx2Sw)6,点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为23-.抛物线的解析式为y=-x:-3x(2).抛物线的解析式为y=-x2-3x393.顶点E(=；),对称轴为x=-2242VB(1,-4)-X2-3x=-4解得用=1,不=-4C(-4,-4)*SAAK=5×6×-152由月、B两点坐标为(-2,2),(1,-4)可求得直线AB的解析式为：y=-2x-23设抛物线对称轴与AB交于点F,则F点坐标为(-二，1)2EI=-I=-44*SffixSEF÷SBEF=XX3-248(3),*S皿=O/8SHE=L5.当点D与点C重合时，明显满意条件。当点D与点C不重合忖,过点C作AB的平行线CD,其对应的一次函数解析式为y=-2x-12令-2xT2=-X：-3x解得汨=3,刖=-4（舍）当x=3时，y=-18.存在另一点D（3,-18）满意条件。【点评】（1）利用反比例函数求点的坐标，并求出抛物线的解析式。（2）中利用解析式求出各个点的坐标，再求三角形的面积。（3）利用同底等高的原理作出平行线，找出另一点并求坐标。(2024呼和浩特，25,12分)(12分)如图，抛物线y=d+6+c(丛0)与双曲线,=&相交于X点力、B,且抛物线经过坐标原点，点/的坐标为(-2,2),点夕在第四象限内，过点5作直线玄.丫轴，点。为直线附与抛物线的另一交点，已知直线比'与轴之间的距离是点4到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为仇(1)求双曲线和抛物线的解析式：(2)计算与43.的面积：(3)在抛物线上是否存在点使板的面积等于跖的面积的8倍。若存在，恳求出点。的坐标：若不存在，请说明理由。【解析】二次函数、反比例函数综合题【答案】解：(1)Y点/(-2,2)在双曲线y=&上X.,.k=-44.双曲线的解析式为y=-XVBC与X轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍可设B点坐标为(m,Tm)(M>0)代入双曲线解析式得Bl=I，抛物线y=v?+显+c过点/<-2,2)、B(1,-4)、0(0,0)4-26+c=2b = -3C = Oa+b+c=-4解得c=0(2024湖北武汉，23,10分)如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮席线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED距离是11米，以ED所在的直线为X轴，抛物线的对称轴y轴建立平面直角坐标系，(1)求抛物线的解析式；(2)已知从某时刻起先的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时)的改变满意函数关系h=-(/-19)2+8(OWtW40)128且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？解析：1、依据题意可得A,B,C,三点坐标分别为(-8,8)(0,11)(8,8),利用待定系数法，设抛物线解析式为y=ax'c,有F=81,：解方程组即可H=C2、水面到顶点C的距离不大于5米，即函数值不小大于11-5=6,解方程一一!一«-19尸+8128=6即可解：1、依题有顶点C的坐标为(0,11),点B的坐标为(8,8),设抛物线解析式为y=ax'+c3335W.抛物线解析式为y=-1ll642、令一一!-«-19)2+8=11-5,解得J=35,如=3128画山h=-(r-19)2+8(OWt<40)的图像，128由图像改变趋势可知，当3tW35时，水面到顶点C的距离不大于5米，需禁止船只通行，禁止船只通行时间为353=32(时)答：禁止船只通行时间为32小时.点评：难度中等I1O由C点为直线与抛物线y-L./一2的交点，则点C的横、纵坐标满意卜v=Q'_2（y=2x-2解得1'"一°C（舍）点C的坐标为（4,6）IM=6Iy2=-2(2)直线x=3分别交直线AB和交抛物线G于D、E两点。53.*.y11=4,y=-,.DE=-22VFG：DE=4：3.FG=2;直线分别交直线AB和抛物线C于F、G两点。yp=2a-2,yc=-a-2,.*.FG=12a-a21=222解得a,=2,aj=2+22,ax=2-22（3）解法一：设直线亚交y轴于T,过点N作MUy轴于点H。设点M坐标为（t,0）,抛物线Q的解析式为y=-x2-2-m20=-/2-2-m,C.-2-m=-y=-/22222；点P坐标为（0,-r2）,2点N是直线AB与抛物线y-!jLt?的交点，则点N的横，纵坐标满意221,1,V=-JCV"22y=2x-2解得'二2-'72=2+'(舍去).点N坐标为(2-t,2-2t)IM=2-2/y2=2+21NQ=2-2t,MQ=NQ,MOT,ZNHT均为等腰直角三角形，MO=NO,HT=HN,OT=t,NT=2NH=2(2-t),PT=-t+-t22TPN平分YNQ,NQ/7TPZMNP=ZPNQ=ZTPN.,.PT=NT,(2024湖北武汉，25,12分)如图1、点A为抛物线G：y-2的顶点，点B的坐标为(1,0),2直线AB交抛物线G于另一点C,(D求点C的坐标；(2)如图1,平行于y轴的直线x=3交直线AB于点D,交抛物线C于点E,平行于y轴的直线X=a交直线AB于F,交抛物线C于G,若FG：DE=4:3,求a的值。(3)如图2将抛物线C向下平移m(m>0)个单位得到抛物线G旦抛物线G的顶点为点P交X轴负半轴于点M,交射线BC于点N,N(UX轴于点Q,当NP平分NMNQ时，求m的值。解析：1、求C点的坐标，可首先利用待定系数法求出直线AB的解析式，联立直线与抛物线得到方程组，求解方程组即可；32、依据题意，DE的长度可求又FG：DE=4:3,故可求FG=2即Iy1-ycI=2,把x=a代人两2个函数解析式，用a表示F、G、纵坐标，得到关于a的方程即可：3、解决本题关键在于抓住小P之间的联系，可设点M坐标为(t,0),依据待定系数法得抛物线G解析式为y=!/一J/,即P点坐标为(0,-Ir2),又直线AB与抛物线G的222交点N坐标为(2-t,2-2t),从而有NM0=45°,进而MN与y轴交点为T(0,-t),由特别角三角函数和线段和差有NT=(2-t),PT=-t+-t-,又PN平分MNQ,NQTP故/MNP=/2PNQ=ZTPN,PT=NT,BP-t+-t2=2(2-t),从而求得t值，进而求得m.2解：(1)当X=O时，y=-2,.A(0,-2)设直线AB的解析式为y=kx+b,有-2=b八，解得O=k+bb=-2直线AB的解析式为y=2-2.,.-t+=2(2-t),.t=-2L匕=2(舍去)2-2-m=-1=-(-2>2)',.*.m=222解法二，设N坐标为(t,2t-2),抛物线Q的解析式为y=1'2-m,25211-2-11)22，点P坐标为(O,-Z2+2t-2)2同解法一可得NMNQ=45°,.ZPNQ=-MNQ=22.5°.2过点P作PFJ_NQ于点F,在FN上截取FJ=FP,连线JP,NJ=JP=iPF=FJJNF=(2+1)PF,即(2t-2)-e!+2t-2)=(2+l)t2.*.t1=22+2,t2=0(),/.m=-t-2t=2m=22点评：本题以二次函数为背景，考察了待定系数法，函数与方程组，抛物线与直线所截线段长度的计算，特别角的三角函数，平行线、角平分线的性质等相关学问，以及数形结合的数学思想，1、2问难度不大，2问学生需留意分类探讨，也可以对线段的长度加肯定值达到分类探讨的效果；3问难度较大，学生不简洁找到问题的突破口，学生可以先进行必要的计算，边算边找，只要找到“网QM50,问题就较为明晰了.当l-2时，PQBO.11(2)由(1)知：0A=8,0B=6,AB=IO.如图所示，过点P作PD_LX轴于点D,则PDBO, AP PE,abob'HP10-3t-pc,解得 PD=6-Et.10 6PD=-l2t (6-Jt) =6t - Jt2= - J (t - )，5,25553.S与t之间的函数关系式为：S=2(t -王)-+5 (0<t<l), 553当时，S取得最大值，最大值为5(平方单位).如图所示，当S取最大值时，t=3.PD=6 - =3, PD=O,又 PDBO, 52：此时PD为()加的中位线，则OD=-=4, 2.P (4, 3).又 AQ=2t=M, AOQ=OA - AQ=JJ, .,.Q (JJ, 0).333依题意，“向量PQ”的坐标为(JJ-4, 0-3),即(2, -3).33.当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为(2 -3).图(2024湖南衡阳市，27,10)如图，A、B两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),点P由点B动身沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为斜秒3个单位长度，点Q由A动身沿AO(O为坐标原点)方向向点。作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ,若设运动时间为t(OVtV卫)3秒.答案如下问题：(1)当t为何值时，PQ/7B0?(2)设AAQP的面积为S,求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值：若我们规定：点P、Q的坐标分别为(x“yl),(2,y三),则新坐标(xlx”y三-y)称为“向接PQ”的坐标.当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标.解析：(1如图所示，当PQB0时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式鲤兽，求ABAO山t的值：(2)求S关系式的要点是求得AAQP的高，如图所示，过点P作过点P作PD_LX轴于点D,构造平行线PDB0,由线段比例关系鲤J求得PD,从而S可求出.S与t之间的函数关系式是一ABOE个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值；本问关键是求出点P、Q的坐标.当S取最大值时，可推出此时PD为aOAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标：求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义(XLX“y2-y.),即可求解.答案：解：(DVAsB两点的坐标分别是(8,0)、(0,6),则OB=6,0A=8,b=VoB2+OA2=762+8210如图，当PQBO时，AQ=2t,BP=3t,则AP=IO-3t.V PQ/B0,.AP AC"abTc'即号吟解得喧,图点评：本题是典型的动点型问题，解题过程中，综合利用了平行线分线段成比例定理（或相像三角形的判定与性质）、勾股定理、二次函数求极值及三角形中位线性质等学问点.第（2）问中，给出了“向量PQ”的坐标的新定义，为题目增加了新意，不过同学们无须为此迷惑，求解过程依旧是利用自己所熟识的数学学问.(2)令AB为直线为y=*x+2,丫点A(2百，0)在直线上，AO=K123+2,.*.k=-,3JAB的解析式为y=-x+2.3(3) YD点与O点关于AB对称，.0D=0A=2LD点的横坐标为JL纵坐标为3,即D(JL3).因为厂一过点D,，3=g,*k=3J5X3(3)VAP=t,AQ=!t,OQ=23-t.22点P到OQ的距离为t.2.".SC«=-(2<>3-t)t=-(t-2y3)2+-.22282r4依题意，Ur<23.得ovt4,2r>0当t=26时，S有最大值为.【点评】本题是考查一次函数、反比例函数和二次函数，由函数及满意函数图象的点，求出相关点的坐标，然后用待定系数法，求出抛物线的解析式：再依据二次函数的最值求解问题.（2024湖南省张家界市25题12分）犹如，抛物线），=一/+：+2与X轴交于c、A两点，与y轴交于点B,OB=4点O关于直线AB的对称点为D,E为线段AB的中点.（1）分别求出点A、点B的坐标（2）求直线AB的解析式（3）若反比例函数F=A的图像过点D,求JI值.X（4）两动点P、Q同时从点A动身，分别沿AB.AO方向向B、0移动，点P每秒移动1个中位，点Q将秒移动!个单位，设APOQ的面积为S,移动时间为t,问：S是否存在最大值？若存在，求2出这个最大值，并求出此时的t值，若不存在，请说明理由.【分析】（1）求抛物线与X轴的交点的横坐标，即求函数值为0时，X的值：（2）利用待定系数法可求；（3）求出D点的坐标，再代入反比例函数关系式即可求k值：（4）利用二次函数的最值求解.【解答】解：令y=0,即-x?+9石x+2=0,解答XL立，2=23.33,C（»0）»（23>0）(2024年四川省巴中市,29,9)某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件：假如每件商品的售价上涨I元，则蜉个月少卖IO件(每件售价不能高于72元)，设蜉件商品的售价上涨X元(X为整数)，每个月的销售利洞为y元.(1)求y与X的函数关系式并干脆写出自变量X的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少？【解析】依据题意，y=(6O-5O+x)(200-K)X),整理得，y=IOx1+100x+2000(0<x12)；由得y=T0x4IooX+20OO=-IO(X-5)2+2250,当x=5时，最大月利润y为2250元。【答案】(Dy=-10xi+100x+2000(0<x12)当x=5时，最大月利润y=2250元【点评】本题是二次函数的应用问题，“最大利润问题”，依据题意精确的确定函数关系式是解决问题的关键.(2024山东H照，22,9分)如图，矩形的8的两边长?!左18cm,用Kknb点只0分别从月、6同时动身，尸在边力?上沿43方向以蜉秒2cm的速度匀速运动，。在边史上沿留方向以每秒ICm的速度匀速运动.设运动时间为“秒，月图的面积为y(cm?).(1)求J，关于*的函数关系式，并写出X的取值范围；(2)求胸的面积的最大值.解析：先运用三角形的面积公式求出y关于X的函数关系式，然后运用公式法或配方法把函数化成顶点式，再依据X的取值范围求所得函数的最大值，进而解决问题.解：(1)YS荷,PBBQ,PB=AB-AP=3-2x,BQ=x,2.*.y=(182a,)X,即JUV+9*(0启4);2aSi(2)由(1)知：产一f+9*,；.产-Gr)2+一,249Y当0r5时，y随*的增大而增大，而0启4,，当口忖，ytto=20,即如?的最大面积是20遍.点评：本题考杳了列函数关系式表示几何关系的实力以及二次函数的最值的求法，解题的关键是用，r表示相关线段的长，然后关键三角形的面积公式求出J，关于，r的函数关系式，难点是求函数的最大值.CE=JCG2+GE2=22+42=25,.AE=yOE2+OA2=22+42=25.AE=CE(3)相像由于y=-2-3x+4,令X=0,则y=4.。(0,4)直线"C的解析式为y=-2x+2同理可求直线AO的解析式为:y=x+4t(y=-2x+2iX=-3"+4JT故交点”(一1,一与)，易求得，RF=当、BC=3店,AB=S可知：=,又ZABF=NCBA,故ABABCBFAB5【点评】：几何与坐标是中考中重点考查的内容。本g主要考查用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，求直线与坐标轴交点的坐标，并能娴熟将点的坐标转换为线段的长，利用勾股定理进行计算。能依据题目的特点娴熟选择相像三角形的判定定理(2024深圳市22,9分)如图8,已知力BC的三个顶点坐标分别为4(-4,0),3(1,0),C(-2,6)(1)求经过小B、。三点抛物线的解析式(2)设直线比'交y轴于点E连接也；求证：AE=CE(3)设抛物线与丁轴交于点。连接/!。交叱于点E试问以小B、F为顶点的三角形与重相【解析】：(1)已知三点的坐标，代入二次函数的一般式，或利用二次函数的交点式，求出待定系数.b,c的值。(2)求出直线砥的解析式及点£的坐标，过点。向y轴作垂线，通过计算月氏应的长来说明才£4及(3)抓住/ABC是这两个三角形的公共角，证明它们的央边是否对应成比例即可。【解答1如图81(1)解：设抛物线的解析式为y=a(x-XI)(X-工2)=。(*+4)(工一1)C(一2,6)在抛物线上，.6=(-2+4)(-2-l),.=-l故y=r2_3x+4为所求(2)过点(作血j，轴于点6有OG=6,CG=2(1.0),C(-2.6),设直线BC的解析式为.v=x+Mf=A+bax=0U、，解之得I故顼0,2),OE=26=-2k+61=2（2024山西，24,10分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克6。元出售，平均符天可售出100千克，后来经过市场调查发觉，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的状况下，为尽可能让利于顾客，巅得市场，该店应按原售价的几折出售？【解析】（1）解：设每千克核桃应降价X元.1分依据题意，得（60-x-40）（100+2x20）=2240.4分2化简，得×2-10x+24=0解得x=4,x三=6.6分答：每千克核桃应降价4元或6元.7分（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元.8分此时，售价为：60-6=54（元），X100%=90%9分60答：该店应按原售价的九折出售.10分【答案】T）每F克核桃应降价4元或6元.（2）该店应按原售价的九折出售.【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，利用实际生活问题构建出数学模型，考生解决此类问题的关键是充分挖掘出题目中的等量关系，然后将实际问题转化为数学问题，从而解决实际问题.难度中等.y.D当点Q在Ql位置时，Ql的纵坐标为3,代入抛物线可得点Ql的坐标为(2,3)：当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为-3,代入抛物线可得点Q2坐标为(1+0,-3)：当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为-3,代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为(l-吊-3)：综上可得满意题意的点Q有三个，分别为：Q(2,3),Q2(l+7,-3),Q1(1-7-3).(3)点B作BB'_LAC于点F,使B'F=BF,则B'为点B关于直线AC的时称点.连接B'D交直线AC与点M则点Y为所求，过点B'作B'E_LX轴于点E.VZl和/2都是/3的余角，Z1=Z2.,.RtAOC-RtAEB.CoF"bf=ab,由A(-1,0),B(3,0),C(0,3)得0A=l,0B=3,0C=3,.,.AC=1C>AB=4.310VlC.,.BB,=2BF=-21.VlC由/1=/2可得RtZkAOCsRiAB,EB,.AO_CQ_CA",EzBEBBy'(2024山西，26,14分)综合与实践：如图，在平面克角坐标系中，抛物线y=-x>+2x+3与X轴交于A.B两点，与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点.(1)求直线AC的解析式及B.D两点的坐标；(2)点P是X轴上一个动点，过P作直线1AC交抛物线于点Q,摸索窕：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q,使以点A.P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请干脆写出符合条件的点Q的坐标：若不存在，请说明理由.<3)请在直线AC上找一点M,使ABDV的周长最小，求出Y点的坐标.【解析】当y=0时，-xl+2x+3=0,解得xl=-Lx2=3.点A在点B的左侧，A.B的坐标分别为(-1,0),(3,0).当x=0时，y=3.C点的坐标为(0,3)设直线AC的解析式为y=kx+b(k.0),直线AC的解析式为y=3x+3.Vy=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,顶点D的坐标为(1,4).(2)抛物线上有三个这样的点Q,(3)M点的坐标为(-2,笆).3535【点评】本题综合考查了二次函数中用配方法求顶点坐标、与两坐标轴的交点的求法、特定系数法求直线解析式、三角形相像的判定及性质：平面上两点之间最短距离的转化思想、数形结合思想、分类探讨思想等多个学问点和多个初数的数学思想的综合，对考生在学问和实力上均提出了很南的要求，能很好的区分不同层次的号生，达到拉开不同层次考生差距的目的.难度较大.1二3二万b135,B,EBE24