2024二次函数应用专题汇编.docx

2024年全国中考数学试题分类解析汇编（159套63专题）专题23：二次函数的应用（实际问题）一、选择题1. （2024四川资阳3分）如图是二次函数y=a2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax'bx+cvO的解集是【】A.-l<x<5B.x>5C.XV-I且x>5D.-IVX或x>5【答案】Do【考点】二次函数与不等式（组），二次函数的性质。【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与X轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c<O的解集:由图象得：对称轴是x=2,其中一个点的坐标为（5,0）,，图象与X轴的另一个交点坐标为（-1,0）o由图象可知：a2+bx+cv的解集即是y<0的解集，x<-1或x>5。故选D。二、填空题1. （2024浙江绍兴5分）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发觉铅球行进高度y（m）与水平距离X（m）之间的关系为y=-（x-4）2+3,由此可知铅球推出的距离是Amo【答案】IOo【考点】二次函数的应用。【分析】在函数式y=-（x-4）2+3中，令y=0,得-Aa-4）2+3=0,解得X=I0,x1=-2（舍去），铅球推出的距离是IOmo2. （2024湖北襄阳3分）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.52,该型号飞机着陆后滑行m才能停下来.【答案】600o【考点】二次函数的应用。【分析】依据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值。一1.5V0,函数有最大值。FM看瑞=600,即飞机着陆后滑行600米才能停止。3. （2024山东济南3分）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC,当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需【答案】36o【考点】二次函数的应用【分析】设在10秒时到达A点，在26秒时到达B,VlO秒时和26秒时拱梁的高度相同，A,B关于对称轴对称。则从A到B须要16秒，从A到D须要8秒。，从O到D须要10+8=18秒。，从O到C须要2×18=36秒。三、解答题1. （2024重庆市10分）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理,另一种是通过企业的自身设备进行处理.某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理实力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行.1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y（吨）与月份X（l<x6,且X取整数）之间满意的函数关系如下表：月份X（月）123456输送的污水量y（吨）12000600040003000240020007至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份X（7x12,且X取整数）之间满意二次函数关系式为y2=a2+c（aW0）.其图象如图所示.1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：Zi（元）与月份X之间满意函数关系式：z1=Ix,该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）2与月份X之间满意函数关系式：z2=x-jtX2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元.（1）请视察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关学问，分别干脆写出y,y2与X之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业确定扩大产能并将全部污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%,同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a-30）%,为激励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助.若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值.（参考数据：231152,41920.5,8028.4）【答案】解：（1）依据表格中数据可以得出Xy二定值,则W与X之间的函数关系为反比例函数关系：y,=-oX将(1,12000)代入得：k=l×12000=12000,yl=12222(ix6,且X取整数)。X依据图象可以得出：图象过(7,10049),(12,10144)点，代入yz=a2+c得：49a+c=10049.,a=l，解得：O144a+c=10144c=10000Ay2=X2+10000(7x12,且X取整数)。(2)当lx6,且X取整数时：W=y.21+(12000-y).22=三-*"ooo一等=-1000x2+1OOOOx-3000=-1000(x-5)2+2200oVa=-1000<0,lx6,二当x=5时，W址大二22000(元)。当7x12时，且X取整数时：W=2×(12000-y)+1.5y2=2×(12000-x2-10000)+1.5(x2+10000)19=-x2+1900o2Va=-<0,对称轴为x=0,当7x12时，W随X的增大而减小，2J当x=7时，W最大=18975.5(元)。V22000>18975.5,去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元。(3)由题意得：12000(l+a%)×1.5×1+(a-30)%×(1-50%)=18000,设l=a%,整理得：10FH7l13=0,解得：口卫"叵。20V80928.4,U0.57,仁-2.27(舍去)。a57o答：a整数值是57。【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质,解一元二次方程。【分析】（I）利用表格中数据可以得出Xy=定值，则y与X之间的函数关系为反比例函数关系，求出即可。再利用函数图象得出：图象过（7,10049）,（12,10144）点，求出二次函数解析式即可。（2）利用当lx6时，以及当7x12时，分别求出处理污水的费用，即可得出答案。（3）利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%,同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a30）%,得出等式12000（l+a%）xl.5xl+（a30）%x（1-50%）=18000,进而求出即可。2. （2024安徽省14分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满意关系式y=a（x-6+h.已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m。（1）当h=2.6时，求y与X的关系式（不要求写出自变量X的取值范围）（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球肯定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。-I球网:I边界6O18【答案】解：(1)把x=0,y=,及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h,即2=a(0-6)2+2.6,.*.a=-60/.当h=2.6时，y与X的关系式为y=(x6)2+2.6(2)当h=2.6时，y=(-6)2+2.660当x=9时，y=(9-6)2+2.6=2.45>2.43,，球能越过网。Y当y=0时，BP-(18-x)2+2.6=0,解得x=6+I>18,，球会过界。60(3)把x=0,y=2,代入到y=a(x-6)2+hWa=。36x=9时，y=-(96)2+h=2+31>2.433642-hX=I8时，y=(186)2+h=8-3<036由解得h。若球肯定能越过球网，又不出边界，h的取值范围为hB°3【考点】二次函数的性质和应用。【分析】（1）利用h=2.6,将（0,2）点，代入解析式求出即可。（2）利用h=2.6,当x=9时，y=-（96）2+2.6=2.45与球网高度比较；当y=0时，60解出X值与球场的边界距离比较，即可得出结论。（3）依据球经过点（0,2）点，得到a与h的关系式。由x=9时球肯定能越过球网得到y>2.43；由x=18时球不出边界得到y0°分别得出h的取值范围，即可得出答案。3. （2024浙江嘉兴、舟山12分）某汽车租赁公司拥有20辆汽车.据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元.设公司每日租出工辆车时，日收益为y元.（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）（1）公司每日租出X辆车时，每辆车的日租金为元（用含X的代数式表示）；（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？【答案】解：1400-50x.(2)根据题意得：y=x(-50x+1400)-4800=-50x2+1400x-4800=-50(-14)2+5000.当x=14时，在范围内，y有最大值50。0二.当日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大值为5000元.(3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，即：y=0,即：50(-14)2+5000=0,解得Xi=24,=4,.三24不合题意，舍去.当日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏.【考点】二次函数的应用，二次函数的最值，解一元二次方程.【分析】(1)某汽车租赁公司拥有加辆汽车.据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出,当每辆车的日租金每噌加50元，未租出的车格增加1辆，当全部未租出时，每辆租金为1400+20x50=1400元，公司每日租出X辆车时，每辆车的日租金为：1400-50x(2)根据已知得到的二次函数关系应用二次函数的最值求得日收益的最大值即可.(3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，即：y三50(x-14)2+5000三0,求出X即可.4. (2024浙江台州12分)某汽车在刹车后行驶的距离S(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系得部分数据如下表：时间I(秒)00.20.40.60.81.01.2行驶距离S(米)02.85.27.28.81010.8(I)依据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；(2)选择适当的函数表示S与t之间的关系，求出相应的函数解析式;(3)刹车后汽车行驶了多长距离才停止？当t分别为5t2(tVt2)时，对应S的值分别为Si,S2,请比较久与包的大小，并说明1.t,比较结果的实际意义.【答案】解:（2）由散点图可知该函数为二次函数。设二次函数的解析式为：s=a+bt+a ；抛物线经过点（0,0）,c=0o又由点（0.2,2.8）,（1,10）可得：0.04a+0.2b=2.8fa=-5a+b=10b=15经检验，其余各点均在s=-5F+15t上。 二次函数的解析式为：s=-5t2+15to（3）汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离。 s=-5t+15t=sftH,当I二时，滑行距离最大，为竺。I2j42445因此，刹车后汽车行驶了丝米才停止。4s Si/ + 15t=-5t +15»:s=-5d+15t,.,.s1=-5t12+15t1,S2=-5t22+15t2o$2-5t"÷15t-1.=三-=-5t9+15l2t2YliVt2，5t+15(5t)+15)=5«2-L)>0。<>tt2'tt2其实际意义是刹车后到包时间内的平均速到tl时间内的度小于刹车后平均速度。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质和应用，不等式的应用。【分析】（1）描点作图即可。（2）首先推断函数为二次函数。用待定系数法，由所给的随意三点即可求出函数解析式。（3）将函数解析式表示成顶点式（或用公式求），即可求得答案。（4）求出包与丝，用差值法比较大小。tt25. （2024江苏常州7分）某商场购进一批L型服装（数量足够多），进价为40元/件，以60元/件销售，每天销售20件。依据市场调研，若每件每降1元，则每天销售数量比原来多3件。现商场确定对L型服装开展降价促销活动，每件降价X元（X为正整数）。在促销期间，商场要想每天获得最大销售利润，每件降价多少元？每天最大销售毛利润为多少？（注：每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差）【答案】解：依据题意，商场每天的销售毛利润Z=（60-40-）（20+3x）=-32+40x+400.当X=一色=一竺二62时，函数Z取得最大值。2a-33?2为正整数，且7-6*<6一6,33当x=7时，商场每天的销售毛利润最大，最大销售毛利润为-37z+407+400=533o答：商场要想每天获得最大销售利润，每件降价7元，每天最大销售毛利润为533元。【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。【分析】求出二次函数的最值，找出X最接近最值点的整数值即可。6. （2024江苏无锡8分）如图，在边长为24Cm的正方形纸片ABCD匕剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形态的包装盒（A.B.C.D四个顶点正好重合于上底面上一点）.已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=X（cm）.（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问X应取何值？AEFB【答案】解：（1）依据题意，知这个正方体的底面边长a=Jx,EF=2a=2x,x+2x+x=24,解得：x=6o则a=6>2,V=a3=（6y2）3=432>2（Cm3）；（2）设包装盒的底面边长为acm,高为hem,则a二忘x,24-2x.*.S=4ah+a2=42x2（12-x）+（xj2=-6x2+96x=-6（x-8）2+238qV0<x<12,当x=8时,S取得最大值384cm2.【考点】二次函数的应用。【分析】（I）依据已知得出这个正方体的底面边长a=JiX,EF=5/2a=2x,再利用AB=24cm,求出X即可得出这个包装盒的体积Vo（2）利用已知表示出包装盒的表面，从而利用函数最值求出即可。7. （2024江苏盐城12分）学问迁移：当>0且x>0时，因为（«-幸）20,所以x-2G+g0,从而XXX+42&（当XX=JZ时取等号）.记函数y=x+g（a>0,x>0）,由上述结论可知：当X=JZ时,该函数有X最小值为24.干脆应用：已知函数X=MX>0)与函数M=L(X>0),则当X=X时,M+y2取得最小值为.变形应用：已知函数M=X+l(x>-1)与函数M=(X+If+4(x>-1),求区的最小值，凹并指出取得该最小值时相应的X的值.实际应用:已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,共360元；二是燃油费,每千米为1.6元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为0.001.设该汽车一次运输的路程为X千米，求当X为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？【答案】解：直接应用：1；2.小顿."=竺尤1i=(x+D+/-(Xf，ylx+1x+1,."有最小值为2&=4.乃当x+l=J5,即x=l时取得该最小值.螭应用：设该汽车平均每千米的运输成本为V元，则0.OOlx2+1.6x+360CCCl,36011rCCCMl360000x11ry=0.00Ix4+1.6=0.001(xH)+1.6,XXX二.当X=360000=600(千米)时，该汽车平均每千米的运输成本y最低，最低成本为OOOl×2j360000+1.6=2.8元.【考点】二次函数的应用，几何不等式.【分析】干脆运用：可以干脆套用题意所给的结论，即可得出结果：:函数y=1+03>0,工>0),由上述结论可知：当X=Jl时,该函数有最小值为26,函数M=Hr>0)与函数K=L(X>0),则当x=l时，X%+上取得最小值为2«=2。变形运用：先得出&的表达式，然后将x+1看做一个整体，再运用所给结论即可。%实际运用：设该汽车平均每千米的运输成本为y元，则可表示出平均每千米的运输成本，利用所给的结论即可得出答案。8. (2024江苏扬州12分)已知抛物线y=a2+bx+c经过A(-l,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线1是抛物线的对称轴.(1)求抛物线的函数关系式：(2)设点P是直线1上的一个动点，当aPAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线1上是否存在点M,使aMAC为等腰三角形？若存在，干脆写出全部符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：(1)VA(-1,0)、B(3,0)经过抛物线y=a2+bx+c,可设抛物线为y=a(x÷l)(-3)o又.C(0,3)经过抛物线，代入，得3=a(0+1)(03),即a-1。工抛物线的解析式为y=-(x+l)(-3),即y=-2+2x+3.(2)连接BC,直线BC与直线1的交点为P。则此时的点P,使aPAC的周长最小。3k+b=0b=3，解得:k=-l b=3设直线BC的解析式为y=kx÷b,将B(3,O),C(0,3)代入,得：二直线BC的函数关系式y=-÷3o当xl时，y=2,即P的坐标(1,2)。(3)存在。点M的坐标为(1,6),(1,-6),(1,1),(1,0)o【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段中垂线的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质。【分析】(1)可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可。(2)由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么依据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC,那么BC与直线1的交点即为符合条件的P点。(3)由于aMAC的腰和底没有明确，因此要分三种状况来探讨：OMA=AC.MA=MC.AC=MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示AMAC的三边长，再按上面的三种状况列式求解：;抛物线的对称轴为：x=l,设M(l,m)oVA(-1,0)、C(0,3),MA2=m2+4,MC2=m2-6m+10,AC2=IOo若MA=MC,则MA2=MC2,得：m2÷4=m2-6m+10,得：m=lo若MA=AC,则MA?=AC?,得：m2÷4=10,得：m=±#。若MC=AC,WJMC2=AC2,得：m2-6m+10=10,得：m=0,m=6,当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去。综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1,6),(1,-6),(1,1),(1,0)。9. (2024福建莆田8分)如图，某种新型导弹从地面放射点L处放射，在初始竖直加速飞行阶段，导弹上升的高度y(km)与飞行时间X(三)之间的关系式为y=,2+1186(0x10).放射3s后，导弹到达A点，此时位于与L同一水平面的R处雷达站测得AR的距离是2km,再过3s后，导弹到达B点.（4分）求放射点L与雷达站R之间的距离；（2）（4分）当导弹到达B点时，求雷达站测得的仰角（即NBRL）的正切值.【答案】解：（1）把x=3代入y =即 AL= 1 o在RtaARL中，AR=2,：.LR=AR2-Al3=22-l2=y3。171(2)把x=3+3=6代入y=x+X,得y=3,即BL=3。186/BL3/TAtanZBRL=-7三=3。1.R。答：放射点L与雷达站R之间的距离为6km,雷达站测得的仰角的正切值3【考点】二次函数的应用，解直角三角形的应用（仰角俯角问题），勾股定理，锐角三角函数定义。【分析】（1）在解析式中，把x=3代入函数解析式，即可求得AL的长，在直角ALR中，利用勾股定理即可求得LR的长。（2）在解析式中，把x=6代入函数解析式，即可求得AL的长，在直角BLR中，依据正切函数的定义即可求解。10. （2024湖北武汉10分）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16m,AE=8m,抛物线的顶点C到ED的距离是Ilm,以ED所在的直线为X轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻起先的40h内，水面与河底ED的距离h（单位：m）随时间t（单位：h）的改变满意函数关系h=-i-(t-19)2+8(0l40)且当水面到顶点C的距离不大于5m时，需禁止船只通3【答案】解：(1)设抛物线的为y=a2+H,由题意得B(8,8),64a+ll=8,解得a=-3。643抛物线的解析式y=-x2+llo64当h=6时，6=一一(t-19)2+8,解得t=35,t2=3o12835-3=32(小时)。答：需32小时禁止船只通行。【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】(1)依据抛物线特点设出二次函数解析式，把B坐标代入即可求解。(2)水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6,把6代人所给二次函数关系式，求得t的值，相减即可得到禁止船只通行的时间。H.(2024湖北黄冈12分)某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元,销售单价定为3000元.在该产品的试销期间，为了促销，激励商家购买该新型产品，公司确定商家一次购买这种新型产品不超过IO件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元.(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？(2)设商家一次购买这种产品X件，开发公司所获的利润为y元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围.(3)该公司的销售人员发觉：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而削减这状况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)【答案】解：(1)设件数为X,依题意，得300010(-10)=2600,解得x=50。答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。(2)当0x10时，y=(3000-2400)x=600x：当10Vx50时，y=3000-10(-10)-2400x,BPy=-10x2+700x;当x>50时，y=(2600-2400)x=200a600x(0x10,且X为整数)Ay=-IOx2÷7(X)x(l()<x5(),且X为整数)0200x(x>50,且X为整数)700CU(3)由y=-102+7OoX可知抛物线开口向下，当x=-国画=35时，禾IJ润y有最大值，此时，销售单价为300010(-10)=2750元，答：公司应将最低销售单价调整为2750元。【考点】二次函数的应用。【分析】(1)设件数为X,则销售单价为3000-10(x-IO)元，依据销售单价恰好为2600元,列方程求解。(2)由利润y=销售单价X件数，及销售单价均不低于2600元，按0x10,10<x<50,x>50三种状况列出函数关系式。(3)由(2)的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时X的值，确定销售单价。12.(2024湖南岳阳10分)我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm,锅深3dm,锅盖高Idm(锅口直径与锅盖直径视为相同)，建立干脆坐标系如图所示，假如把锅纵断面的抛物线的记为Ci,把锅盖纵断面的抛物线记为C2.(I)求Cl和C2的解析式；(2)如图，过点B作直线BE：y=L-1交Cl于点E(-2,-),连接OE、BC,在33X轴上求一点P,使以点P、B、C为顶点的APBC与aBOE相像，求出P点的坐标；(3)假如(2)中的直线BE保持不变，抛物线Cl或C2上是否存在一点Q,使得aEBQ的面积最大？若存在，求出Q的坐标和aEBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由.【答案】解：(1)Y抛物线Ci、C2都过点A(-3,0)、B(3,0),二设它们的解析式为：y=a(x-3)(x+3)o 抛物线Cl还经过D(0,-3),-3=a(0-3)(0+3),解得a二1。3 '.抛物线Ci：y=；(x-3)(x+3),即y=g2-3(-3x3)° 抛物线C2还经过A(0,1),l=a(0-3)(0+3),a=-91 IC，抛物线C2：y="(x3)(x+3),即y=-x+l(3x3)°992 2):直线BE：y=gx-l必过(0,-1),ZCBO=ZEBO(tanZCBO=tanZEBO=)。3由E点坐标可知：tanNAOE*1,即NAoErNCBO,3，它们的补角NEOBNCBx°若以点P、B、C为顶点的aPBC与ABOE相像，只需考虑两种状况:NCBPI=NEB0,且OB：BE=BPi:BC,由已知和勾股定理，得0B=3,BE=斗,BC=10o3:%叵=BP:W,3得：BPi=-,OPi=OB-BP=-o/.Pi(-,O)555P2BC=EBO,且BC：BP2=OB:BE,即：IO：BP2=3:,得:BP2=-，OP2=BP2-OB=-OP2(-)3999O).率为-3,综上所述，符合条件的P点有：Pi (-, O). P2 ( - , 0)o 59(3)如图，作直线1直线BE,设直线1： y=x+bo当直线I与抛物线Ci只有一个交点时：-x+b= - X2 - 31 即：x2-x- (3b+9) =Oo33由二(1) 2÷4 (3b+9) =Oo 得 b=-2。12I35此时，X=, y=- 0212135J 该交点 Q2 (，212过点Q2作Q2F_LBE于点F,则由BE： y=x- 1可用相像得QiF的斜设 Q2F： y=-3x÷mo 将 Q2 ( g, 代入，可得 m=-。,QzF:C 17 y=-3xo121125联立 BE 和 Q2F,解得 X=-J y=-o AF (-)o824824二02到直线BE： y=x> 1的距离Q2F：当直线1与抛物线C2只有一个交点时：！+b=-x2+l,BP：x2+3x+9b39-9=0o由4=32+4(9b-9)=Oo得b=°。4此时，X,y=-0该交点Ql(>一)o2424同上方法可得Ql到直线BE：y=-1的距离：与普。.5回27加_25加27加_亚V。84040402(33符合条件的Q点为Ql(-7)。ZXEBQ的最大面积: kjmax=-×BE×迹=L迹=竺24023408【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相像三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式，点到直线的距离，平行线的性质。【分析】(1)已知A、B、C、D四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式。13. (2024四川达州8分)问题背景若矩形的周长为1,则可求出该矩形面积的最大值.我们可以设矩形的一边长为X,面积为s,则S与X的函数关系式为：s=-x2÷(x>0),利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值.提出新问题若矩形的面积为1,则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大(小)值是多少？分析问题若设该矩形的一边长为X,周长为y,则y与X的函数关系式为：y=2(x+l)(x>0),问题就转化为探讨该函数的最大(小)值了.解决问题借鉴我们已有的探讨函数的阅历，探究函数y=2(x+g)(x>0)的最大(小)值.(1)实践操作：填写下表，并用描点法画出函数y=2(x+')(x>0)的图象：XX111I234432(2)视察猜想：视察该函数的图象，猜想当X=时，函数y=2(x+j)(x>0)有最值(填“大”或“小”)，是.(3)推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数s=-2+g(>O)的最大值,请你尝试通过配方求函数y=2(x+')(x>0)的最大(小)值，以证明你的猜想.(提示：X当x>0时，x=() 1,小，4o)【答案】解：(1)填表如下：X11112344322332y = 2 (5)2=2 (x)2-2 +f+2 4a/%二O时，y的最小值是4,即X=I时，y的最小值是4。【考点】二次函数的最值，配方法的应用。【分析】（1）分别把表中X的值代入所得函数关系式求出y的对应值填入表中，并画出函数图象即可。（2）依据（1）中函数图象的顶点坐标干脆得出结论即可。（3）利用配方法把原式化为平方的形式，再求出其最值即可。14. （2024四川巴中9分）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。假如每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）。设每件商品的售价上涨X元（X为整数），每个月的销售利润为y元，（1）求y与X的函数关系式，并干脆写出X的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？【答案】解：（1）设每件商品的售价上涨X元（X为正整数），则每件商品的利润为：（6050+x）元，总销量为：（20（MOX）件，商品利润为：y=（60-50+x）（200-10x）=-IOx2+100x+2000»原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，0V12°（2） Vy=-IOx2+100x+2000=-10（x-5）2+2250,：,当x=5时，最大月利润y=2250o答：每件商品的售价定为5元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2250元。【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。【分析】（1）依据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y与X的函数关系式。（2）依据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式（或用公式法），从而得出当x=5时得出y的最大值。15. （2024辽宁锦州10分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元.调查发觉：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就削减10件，但每件玩具售价不能高于40元.设每件玩具的销售单价上饰了X元时（x为由聚教），月销售利润为y元.（1）求y与X的函数关系式并干脆写出自变量X的取值范围.（2）每件玩具的隼价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的隼价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【答案】解：（1）fi!<Sty=（3O+x-20）（230-10x）=-10x2+130x+2300自变量X的取值范围是：OVXWlO且X为正整数。（2）当y=2520时，-10x2+130x+2300=2520,解得X尸2,X2=Il（不合题意，舍去）。当x=2时,30+x=32o每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元。（3） y=-10x2+130x+2300=-10（x-6.5,+2722.5Va=-10<0J当x=6.5时，y有最大值为2722.5。OVxWlO且X为正整数，当x=6时，30+x=36,y=2720,当x=7时，30+x=37,y=27200每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润。最大的月利润是2720元。【考点】二次函数的应用，二次函数的最值，解一元二次方程。【分析】（1）依据销售利润;销售量X销售单价即可得y与X的函数关系式。因为X为正整数，所以x>0；因为每件玩具售价不能高于40元，所以x<40-30=10°故自变量X的取值范围是：OVXWIO且X为正整数。（2）求出函数值等于2520时自变量X的值即可。（3）将函数式化为顶点式即可求。16. （2024河北省9分）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽视不计），这些薄板的形态均为正方形，边长（单位：Cm）在550之间,每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：c?）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的.浮动价与薄板的边长成正比例.在营销过程中得到了表格中的数据.薄板的边长（Cm）2030出厂价（元/张）5070（I）求一张薄板的出厂价与边长之间满意的函数关系式；（2）已知出厂一张边长为40Cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价-成本价）,求一张薄板的利润与边长之间满意的函数关系式.当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？（b4ac-h2参考公式：抛物线：y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为-2，觉D.I2a4a）【答案】解：（1）设一张薄板的边长为XCm,它的出厂价为y元，基础价为n元