5_4_均值不等式一星到五星.docx

积定求和2【一星】1.（2022北京朝阳高一期末）已知>0,则X+；的最小值为（）A.2B.2C,22D.4【答案】C【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答.【详解】因为,贝J+22gl=2",当且仅当x=2即X=企时取“二”XXX所以4+7的最小值为2故选：C【一星】2.（2022北京丰台高一期末）已知QO,那么2+3+:的最小值是（）A.23B,43C.2+23D.2+4。【答案】D【分析】利用基本不等式求解.【详解】因为。>0,= 2÷43 ,"T* I I4所以 2 + 3 + 2 + a当且仅当%=；,即。二岁时，等号成立，故选：D【一星】3.（2022北京昌平高二期末）已知>O,y>O,且个=9,则中的最小值为.【答案】6【分析】根据基本不等式，即可求解.【详解】解：->Oty>Ox+y2而=6,（当且仅当x=y=3,取“二”）故答案为：6.【提负号】_Y2【二星】4.（2022北京临川学校高二期中（文）函数y=8-9±>0）的最大2X值是（）A.6B.8C.10D.18【答案】A2【解析】因为“0,所以3>o,±>o,2X所以0=8一一=8一8一2后q=6,当且仅当即工=1时，等号成立，V2所以y=8-q,（x>0）的最大值是6,2X故选：A【隐藏积为定值的条件】【三星】5.（2022北京八中高二期末）已知二次函数/（x）=aE2+2x+c（xR）的值域为【0,内）,则+&的最小值为（）caA.4B.6C.8D.10【答案】A【分析】根据函数值域可推出双=1,利用均值不等式即可求解.【详解】因为二次函数f（x）=+2x+c（xeR）的值域为0,+）,所以W4O,=4-46rc=0即ac=l,a>O,c>O,所以g+32田=24=4,当且仅当B=T,即c=g,=2时等号成立，故选：A和定求积【一星】6.（2022北京八中高二阶段练习）若。，都为正实数，2ab=,则帅的最大值是（）AaR1r1DLA-9b,8b,4U2【答案】B【分析】由基本不等式，结合题中条件，直接求解，即可得出结果.【详解】因为。，都为正实数,2a+b=,而Z2abif2a+by1所以即义丁卜W,当且仅当为=匕,即=（力=T时，必取最大值g故选：D【一星】7.（2022北京东城高一期末）已知实数.jy满足/+V=2,那么D的最大值为（）A.-J-B.；C.1D.242【答案】C【分析】根据重要不等式/+VN2孙即可求最值，注意等号成立条件.【详解】由Y+V=22孙，可得知Wi,当且仅当=y=或=y=-时等号成立.故选：C.【一星】8.(2022北京市第五中学高一期末)已知实数工，V满足，/+2y2=4,则孙的最大值为()A.22B.1C.2D.2【三星】9.(2022上海复旦附中高二期末)已知实数。、b满足片+助2=2,则(1+(1+从)的最大值为.25【答案】VO【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为/+»2=2,所以(/+1)+2电+1)=5,所以(/+1)+292+l)=52府可再用，即2(+渺+)与，即d+)(v+)/,当且仅当H+1=?仅2+1),即从+1=5,/+1=T时取等号，故(1+"乂1+从)的最大值为与.O25故答案为：VO配凑【一星】10.(2022北京北理工附中高二阶段练习)已知Cl,那么x+-½的x-1最小值为.【答案】3【分析】根据给定条件，利用配凑的思想结合均值不等式求解作答.【详解】因工1,贝Jx+-=x-l+-5+l2j(x-l)+=3,当且仅当x-1x-1Vx-1X-I=J7,即户2时取“二”,X1所以x+工的最小值为3.x-1【二星】11(2022北京海淀实验中学高一期中)当m时，不等式x+Q0恒成立，则实数。的取值范围.【答案】SB【详解】试题分析：当Ql时，尸1>0不等式A-=.恒成立，则a-x+i,Xa+-=x-l+-+12Hx3)×-+1=3,则q3,故填1.x-1Jminx-1x-1Vx-1(-,3.考点：1、基本不等式；2、恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查基本不等式以及不等式恒成立问题，属于中档题.不等式恒成立问题常见方法：分离参数“K/3)恒成立(x)min即可)或口”(x)恒成立(0”(x)mx即可)；数形结合(y=")图象在y=g()上方即可)；讨论最值/(.%»。或/(x)m0恒成立；讨论参数.本题是利用方法利用基本不等式求得/("的最小值，从而求得的取值范围.【三星】12.(2022辽宁丹东高二期末)若Ql,则函数y=+W舁的最小值为()A.4B.5C.7D.9【答案】C【分析】利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为x>l,所以-l>O,所以i+整32(1,+4x-1X-I="+2+缶=(1)+/32j(l)V+3=7,当且仅当(X-I)=Fi,即、=3时取等号，所以函数.v=x+分的最小值为7；故选：C【五星】13.（2022天津外国语大学附属外国语学校高三阶段练习）已知%y为正实数，则?+坦的最小值为【答案】y16【分析】将原式变形为7+工！,结合基本不等式即可求得最值.X【详解】., y 1 16 由题得 >提=丁工，设J=f(f>O),贝J/S=J=/+2+；22.1(/+2)-2=8-2=6X2+/2+tY2+t当且仅当f=2时取等.所以9+贵的最小值为6Za十y故答案为：61的妙用【一星】14.（2022贵州六盘水市第二中学高一阶段练习）已知4>0,b>0,则（。+6）（：+'j的最小值为.【答案】18【分析】利用基本不等式所需的“积为定值”即可求解.【详解】心。,匕>。,/1J28、八2b8、八C万Solo.（+Z?）!-+-1=10+÷-10+2J×-=10+8=18当且仅当日岁,即力=2时，等号成立，.（）（：+£的最小值为区故答案为：18.IQ【一星】15.（2022北京景山学校模拟预测）若正实数，满足+b=l,则的最小值为【答案】16【解析】，+；=（+3口+；）=10+却多利用基本不等式即可求解.abab）ab【详解】Q0+8=1,又a>0,h>0,（b9aI-=-13当且仅当即a=：,b=等号成立，a+b=Iab）min故答案为：6【二星】16.（2022四川省广汉中学高二开学考试（理）已知已，且+y=4,L3的最小值是.y【答案】1+当2【分析】利用基本不等式，结合“V的变换，即可求解.【详解】,ywR+13lfl3、lf4y3xloIy3x13%y4（Xy），4（xy）yJ2,当且仅当?=费时，EPx=2（-l）,y=6-2J时，等号成立.故答案为：T2【二星】17.（2022黑龙江大庆市东风中学高二期末）已知>0,8>0,且14一+r=l,则。+人的最小值为.ab【答案】9【分析】化简+8=(+份d+3),再利用基本不等式求解.【详解】解：由题得“+b=(+b)g+令=5+/+,5+2j*3=9.当且仅当，=3为=6时等号成立.所以。+人的最小值为9.故答案为：9隐藏“定值”的条件【三星】18.(2022上海市实验学校高三开学考试)已知OVXV1,则?+4的XI-X最小值为()A.50B.49C.25D.7【答案】B【分析】由？+4=&+1-工)(2+4)结合基本不等式求解即可.XI-XXI-X【详解】因为0vx<l,所以OVIr<1,根据基本不等式，916z1、/916、CU9(1-X)16x、CU/9(1-x)16x.八-+=(x+l-x)(-+)=25+-+25+2J-=49,X-xXl-xX1-xVX1-x当且仅当也=R=警，即X=：时等号成立，所以2+*的最小值为49.X-x7X-x故选：B.【四星】19.(2022云南丽江市教育科学研究所高二期末)已知y为正实数，且x+2)，=孙，则+2.y的最小值是()A.2B.4C,8D.16【答案】C【分析】应用基本不等式“V的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件.【详解】因为x+2y=q,所以：+；=1,而乂)，为正实数，y所以(x+2y)仔=4+2+”4+2J=8,y)yX当且仅当x=4,y=2时取等号，故+2)'的最小值为8.故选：C【五星】20.(2022湖北襄阳五中高三开学考试)若正数。，人满足2+8=1,则V+3的最小值是一2-2«2-b【答案】¥一：3 2【分析】设=22.j=2-力得至|仁+3+2-。=:(+-)(_1+2)一。，结2-2a2-bMv23uv2合基本不等式，即可求解.2"详解】S,u=2-2a=2-h,则a=号力=2-u,可得+v=3(f>0),1所以abl2u2-v1231、/2、32-2a2-buvmv23uv2Irv2、3、IrJy2312232213Mv23Vwv23232当且仅当u=6-3,"=3-3时，等号成立，取得最小值.凑定值【三星】21.(2022北京八十中高三开学考试)已知都是正数，且4 1+y=2,则7+亦的最小值为()13QA.yB.2C.ID.3【答案】C【分析】利用基本不等式中“V的妙用，令(x+2)+(y+l)=5,即可求解.【详解】由题意知，x+2>0,y+l>0,(x+2)÷(y+l)=5,贝I=J"(x+2)+(y+l)+-Ijx+2y+15lvfv-fx+2y+1J2 55 4(y÷l) + 2x+2j+15+ 4(2Mx÷2V x+2 y+121当且仅当 = f y =:时，41a÷ 取最小值- x+2 y+1成取目5.故选：C.凑结构【三星】22.(2022江苏常州市平陵高级中学高三开学考试)已知正实数。力满4I足F=l，则0+2的最小值为.a+bb+【答案】8【分析】根据0+2匕=(总+±)(a+b)+(b+)结合基本不等式即可得解.【详解】解:因为E+3=1,所以+2b=(熹+六)(0+b)+(b+l)T4(0+1)a+b4(+l)a+b=4+1-1+-+4+2J-=8,a+bb+Va+bb+1当且仅当迎?L鬻，即"4,6=2时，取等号,a+bb+1所以+2的最小值为8.故答案为：8.条件不直接给出【四星】23.(2022安徽高三开学考试)设直线7%+翅+1=0(m>0,>0)经过点12(-2,-1),则的最小值为()mnA.16B.8C.4D.2【答案】B【分析】由直线过点(-2,T)可得2“=1(心0,>0),根据基本不等式乘“V19法即可求24的最小值.mn【详解】解：因为直线7x+y+l=0（m>0,>0）经过点,所以一一+1=0,EP2n+n=l(>0,>0).1.12(1Can4/n所以一+=f(2m+n=4+HinnmnJmn=1 ,即，:时取等号.4+2J-=8,Vmn当且仅当4二处且2m+mn12所以上+4的最小值为8.mn故选B【四星】24.（2022山东日照高三开学考试）设正实数机，满足m+=2,则【答案】C【分析】由基本不等式“r的妙用进行求解【详解】解：因为正实数机,n,m+n=2,-rn1nm+nnm1、Cntn15所以一+=+=+-2J+=m2nm4m44NJn444当且仅当二=F且?+=2,即吁"=J时取等号，此时取得最小值J,m4w3,34故选：C12【四星】25.（2022湖南株洲二中高一开学考试）正数为满足,+：=2,若存ab在力满足不等式2+力<f+3x有解，则实数X的取值范围为.【答案】(y,-4)5L+8)【分析】根据题意,得到北自汕+端用44+94,结合基本不等式，即可求解.I2【详解】由题意，正实数，力满足L厂2，贝 I 2 + b = 5 Qa + b)2+电+讣如+2)珞+ 2厝卜4 ,当且仅当2=时，即。="=2时，等号成立，即2a+8的最小值为4,ab又由不等式2+bv2+3有解,可得Y+3>4,P.r2+3x-4>0,解得x<T或Ql,即实数X的取值范围为(YT)5Ly).故答案：(y,-4)51,+8).二次比一次型分式求最值【二星】26.(2022云南红河高一期末)函数“力=二产(>o)的最小值是()A.2B.3C.4D.5【答案】B【分析】利用基本不等式可求得函数/W的最小值.【详解】当x>0时，f(x)=-+-=x+l2yx+l=3,当且仅当x=l时，等号成立，故/(x)的最小值为3.故选：B.【三星】27.(2022湖北枣阳一中高三阶段练习)函数y=立?。>2)的最小值为【答案】7【分析】换元转化成基本不等式的形式，利用积为定值即可求和的最小值.【详解】令l2=7,t>0;则(r+2)2+r+2-52+5/+11八)-=+-+5>7（当且仅当Ul,即X=3时，等号成立），故函数"H=以F,X（2,+8）的最小值为7X2故答案为：7【三星】28.（2022辽宁抚顺高二期末）已知a>Ob>Oab=则"上"+a+b的最小值为（）A.2B.4C.22D.42【答案】B【分析】对原式化简，然后根据基本不等式求解.【详解】因为a>。，b>O,ab=l.所以2+z+6=（+72+6=（K娟+4=+"-",当且仅当=6=l时，等a+ba+ba+ba+b号成立故选：B.【四星】29.（2022河北张家口高二期末）函数"R=亚亚亘的最大八刃4x2+1值是（）753A.2B.4C.7D.444【答案】CI9I9-【分析】化简函数/（X）=VF+#+1=J2皿1,结合基本不等式，Ii1OA+O+y1-V【详解】由题意，函数/U） =#2+ 0(16/+1)4x2 +1即可求解.(x2÷1)(16x2+1)_16x4+17x2+TW+)-164+8x2+1又由16f+58,当且仅当16/=2，即r=±g时等号成立，192595所以十募F一记，所以J京KZx1即函数/（X）的最大值是*故选：C.多次利用基本不等式【三星】30.（2022黑龙江缓芬河市高级中学高三阶段练习）若实数。,满足=,贝Jo+b的最小值为（）A.2B.2C.22D.4【答案】C【分析】由基本不等式求最小值即可.【详解】因为L+:=疝，所以>0,力>0,a0=尽2怎,ab2,当且仅当=Z?=及时等号成立，a+b2寂2立,前一不等号当且仅当=b时取等号，两个等号能同时取得，综上,a=b=五时，+匕取得最小值20.故选：C.换元【二星】31.（2022贵州遵义高一期末）负实数X,J满足+y=-2,则一；的最小值为()A.OB.1C.-t>f2D.y/3【答案】A【分析】根据题意有人=7-2,再代入X-I根据基本不等式求解最小值即可y【详解】根据题意有工=7-2,x-l=-y-l-2=(-y)+A-2?2小(y)?W2=0,当且仅当y=T,X=T时取等号.故选：A【三星】32.(2022福建三明高二期末)已知正实数,匕满足。+»2,则2曲+'的最小值是()aSQA.-B.3C.D.22+l【答案】A【分析】由已知得，代入得2时+'=2(26-1)+3,令l=f,根据baZb-L基本不等式可求得答案.【详解】解：因为+Q,所以=2->0,所以()v%v2,所以2"+卜2(2一牛+白=2(21)+白，令乃-1*,则b=g,且-l<f<3,所以2"+工=2-£=2什工+>2,”+!=2，当且仅当，即，at2t2V2/22乙32=；，=；时，取等号，所以2"+L的最小值是1a2故选：A.【三星】33.(2022河北青龙满族自治县实验中学高三开学考试)已知实数X,y满足“"2=3,则益而悬了的最小值为【答案】【分析】通过换元，设(2x+y)2=,”,(x-2y)2=j,再根据题干中/+=3这个条件，即可得到?+=15,然后利用均值不等式即可得到答案.【详解】设(2x+y)2=m,(m>Q)t(x-2y)2=nt(n>0)可得m+=(2x+y)2+(x-2y)2=5(x2+y2)=15,贝JK+7TF=T7(，制+)(一+)=77(2+)=(2+2/)=(2x+y)(x-2y)15mn15mn15Vwn15当且仅当己=%,即加=；时，等号成立.mn24故答案为：A.【四星】34.(2022江苏南京高三开学考试)设。，匕20,且2"=1,则蓝的最小值为.【答案】0【分析】由题可得=与1上，代入蓝,结合均值不等式即可得出答案.4b【详解】因为2&+b=i,所以”(-FJ=恁m,所以,b4b44力2丫44。2'当且仅当a=O*=l时取等.所以/的最小值为0.故答案为：0.【五星】35.(2022辽宁高二期末)若实数力满足4"-6=4,则5/+2"的最小值为【答案】4分析】由4"_6=4可得/一?=1+)-2=1,令+g=x,则可得. = l(.÷i = x-l，代入方+2而化简后，利用基本不等式可求得结果b_2x，等号在,即昔,一竽,或一手斥差时成立.所以5/+2"的最小值为4.故答案为：4题型不明确【四星】36.(2022浙江慈溪中学高三开学考试)已知正实数X、y满足14-+-÷4=y+y,则+y的最小值为()A.13-2B,2C.2+BD.2+L4【答案】C14【分析】在等式；+；/4=x+)，的两边同乘以X+)，结合基本不等式可得出关于yX+.V的二次不等式，即可解得Ky的最小值.14【详解】因为正实数八v½-+-÷4=x+y,y等式两边同乘以元+)'可得(x÷y)2=4(x+y)+5+-+4(x+y)+5+2-=4(x÷y)+9,所以，(x+y)2-4(x+y)-90,因为x+y>O,解得工+”2+加,当且仅当V=2x时，等号成立.因此，X+)'的最小值为2+11故选：C.【四星】37.(2022湖北高三开学考试)已知正数满足+3b+3+J=18,则ab+%的最大值是.【答案】9+36【分析】设f=+%,表达出f(18),结合基本不等式求解最值，再根据二次不等式求解即可.34【详解】设f=+%,则一+y=18,所以f（18）=（+助产+£）=15+艺+手15+2=27,当且仅当2a=3?时取等号.所以一+27,O,解得9-3#翻9+36,即+3的最大值9+3#,当且仅当2a=3b,即=3+#，Z>=2+tf时取等号.故答案为：9+36【四星】38.（2022湖南长沙市雅礼洋湖实验中学高二开学考试）a>b>c,nN+,且+J-'-恒成立，贝心的最大值为一.a-bb-ca-c【答案】4【分析】将不等式变形分离出，不等式恒成立即大于等于右边的最小值；由于a_c=a-b+b-c,凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值.【详解】解：由于_=+户-恒成立，且"Ca-bb-ca-c只要心m+E的最小值即可a-ca-ca-h+b-ca-h+h-ca-bb-ca-hCb-ca-b=2+.a-b>O , b-c>O ,故 4 ,因此4基本不等式+其他39.（2022北京市第十二中学三模）设4>O,b>O,则ua+b4t'是÷÷的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【分析】由。>。,b>G,可得2+64,得"44=±,利用基本不等式L+J2g即证，反之可以取值举反例.ahNab【详解】先证充分性成立，>O,b>O,a+b4,.24aba+b4,得士之：,则一十22xg=1,当且仅当=%=2时等号成立，所以Z+%4"是+?1”的充分条件；ab再证必要性不成立，由>O,b>O,-+1,即令,b=4,得%成立，但»=">44，所以,la+b4,'是小卜”的不必要条件；综上，Z+匕<4"是"l+11”的充分不必要条件.ab故选：A.40.（2022江苏南京市中华中学高一阶段练习）若命题“对任意的Xe（O,E）,"'-阳>0恒成立”为假命题，则7的取值范围为（）XA.+oo）B,（2,+oo）C.（-oo,2D.（e【答案】A【分析】根据原命题为真可得m<（x+3=2,即可得出命题为假命题时机的Vxmin取值范围.【详解】当原命题为真时，m<"j:恒成立，即+=2,由命题为假命题，则m2.故选：A.41.（2022北京八十中高二期末）已知Q>O,y>0,且x+2户与，若不等式/+2y>阳2+恒成立，则实数用的取值范围为.【答案】（T2）【分析】利用基本不等式求出工+2）；的最小值，进而得出机的范围.【详解】vx>0,y>0,x+2y=xy,21-,T-=I,Xyx+2y=（x+2y）（-+-）=4+XyyX当且仅当巴=",即x=4,y=2时等号成立，yXx+2），的最小值为8,由+2/力<8解得7<机<2,实数，的取值范围是（T，2）故答案为：（-4,2）.