与圆相关的位置关系（11种模型）.docx

题型：四点共一题型二：圆周角定理题量三:垂径定理题型四:切割线定理题型五:切线长定理与圆相关的位置关系重难点04与圆相关的位置关系（U种模型）题型六：弦切角定理题型匕相交弦定理题型八：阿基米德折弦定理题型九：相交回问题题型h阅中的定值问题题型十一:圆中的最值问题题型一：四点共圆一.填空题（共1小题）1.（2021秋自贡期末）如图，8。为边长为。的菱形ABCD的对角线，N8AD=60°,点M,N分别从点A,B同时出发，以相同的速度沿A8,Bz）向终点8和。运动，连接Z）M和AMoM和AN相交于点P,连接8P,则8P的最小值为Ia-CVl【分析】由菱形ABCD中N8AO=60°得到aA8O为等边三角形、AB=AD,得到NDAM=NABN=60°,由点M和点N的时间和速度相同得到AM=8N,得证aDAMgZXABM得到NAZ）M=NBAM再结合NZMP+NB4N=60°得到N尸D4+N¾O=60°,从而得到NAPD=120°,延长CO至点E,使得ED=CD,连接AE,则是等边三角形，得到AE=ED=AD=a.ZEAD=ZED=ZAED=60°,得到NDEA+NAPO=180°、ZEAD+NDAP+NEOA+NADP=180°,即得点A、P、D、E四点共圆，记为OO,连接BO交C）O于点P,此时BP最小，过点。作。”_LE。于点H,连接OO,OE,则NEOO=2NE4。=120o,NoHZ）=90°,从而得到Oo的半径的长，ZHDO=30o,进而得到NoZ）B=90°,结合BD=求得08的长，最后得到80的最小值.【解答】解：菱形ABCo中NBAQ=60°,AB。为等边三角形，AB=AD,：.AB=AD=BD=a,NOAM=NA8N=60°,Y点M和点N的时间和速度相同，：AM=BN,AMzZXABN(SAS),：ZADM=ZBAN,VZDAP+ZBAN=ZDAM=60o,ZPDA+ZMD=60o,ZAPD=120°,延长8至点E,使得EO=CQ,连接AE,则AAEO是等边三角形，.AE=ED=AD=a,ZEAD=ZEDA=ZAED=60o,ZDEA+ZAPD=180o,NEAD+NOAP+NEOA+NAQP=180°,点A、P、DsE四点共圆，记为。O,连接8。交。于点P,此时BP最小，过点。作0"1EO于点”，连接0。，则NEOQ=2NE4Q=120°,0HD=9C,DH=Xed=Iu,22；NHDO=30°,JLa_,r=OD=里叵a，ZODB=ZEDA+ZADB-ZODE=60o+60°-30°cos303-32=90。,0VD2+BD2(-a)2+a2=-a,-BPttl=OB-r=挈a-与a=亨a，故答案为：也a3【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、垂径定理、全等三角形的判定与性质、四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线、构造等边三角形解决问题，熟知圆外一点到圆上点的距离的最小值判断.二.解答题（共5小题）2.（2022松北区三模）如图，已知四边形ABCO内接于G）0,连接AC、BD,ZADC+2ZACD=180°.（1）求证：80平分NABC（2）如图2,若4OB+JlBAC=90°,求证：AB=AC.2（3）在（2）的条件下，连接。并延长交OO于点E交48、AC于点“、K,连接E8,当AC=30,BE=Il时，求tanNABC的值.【分析】（1）利用圆内接四边形的性质，等式的性质和角平分线的定义解答即可；（2）设NBAC=2,利用圆周角定理，三角形的内角和定理和等腰三角形的判定定理解答即可；（3）连接CE并延长至点M,使EM=E8,连接AE,AM,过点A作AN_LCM于点M连接0A,OC,利用圆周角定理和线段垂直平分线的判定与性质得到EA=EC,通过证明AAENgZAE8,得到AM=A8,设EN=m,则MN=EN+EM=m+11,则CN=m+11,EA=EC=EN+NC=2m+,利用勾股定理列出关于用的方程，解方程求得加值，则EN=7,EA=I×7+ll=25,利用勾股定理求得AM利用直角三角形的边角关系定理求得tan/AEM利用圆周角定理和等量代换的性质即可得出结论.【解答】（1）证明：四边形ABa）内接于。0,；NAQC+NABC=180°.VZADC+2Z4CD=180o,/.NABC=2NACD.*：ZASD=ZACDt：,ZABC=2ZASD,平分NABC（2）证明：设NBAC=2, ZADB+ZBAC=90o,2ZADB=90o-a. ：ZADB=NACB,.NACB=90°-a. ZBAC+ZABC+ZACB=180°,ZABC=I80o-2a-(90o-a)=90o-a,：.ZABC=乙ACB,：.AB=ACx(3)解：连接CE并延长至点M,使EM=E8,连接AE,AM,过点A作AN上CM于点N,连接04,OC,如图，由（1）知：80平分NA8C,：NABD=NCBD,AD=CD.：.AD=CD.点D在线段AC的垂直平分线上，'：OA=OC, 点O在线段AC的垂直平分线上， OD是线段C的垂直平分线， 点七在。上，/,EA=EC.YNAEM+NAEC=180°,ZAEC=ZABC,ZEM+ZABC=180°. 四边形4E8C为圆的内接四边形，ZAE+ZACB=180°. ：NABC=NACB,：ZAEM=ZAEB.在£；%和中，AE=AE<Zaem=Zaeb,EM=EBAAENAAEB（SASJ.AM=AB,由（2）知：AB=AC,AM=AC=30.4LLCM,：MN=CN,设EN=m,则MN=EN+EM=w+ll,/.CN=m+LEA=EC=EN+NC=2n+ll.,.9AN2=AE1-EN2,AN2=AC2-CV2,AAE2-EN2=AC1-CN2tJ（2zm+11）2-ZM2=302-（w+ll）2,解得：用=7或旭=23,5（不合题意，舍去），*/W=7.：EN=7,EA=2×7+11=25,V=ea2-en2=24.*.tanNAEN=EN7'：ZABC=NAEM.*.tanNABC=tan/AEN=7【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，全等三角形的判定与性质，依据题意构造恰当的辅助线是解题的关键.3.（2022遵义）综合与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用上述结论进行探究.提出问题：如图1,在线段AC同侧有两点8,D,连接A。，A3,BC,CD,如果NB=N。，那么4,B,C,。四点在同一个圆上.探究展示:如图2,作经过点A,C,。的。0,在劣弧AC上取一点E（不与4,。重合），连接AE,CE,则NAEC+/£>=180°（依据1）VZB=ZDJZAEC+ZB=180° 点A,B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），点B,。在点A,C,E所确定的OO上（依据2） 点A,B,C,。四点在同一个圆上反思归纳：（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同直线上的三个点有且只有个IL.（2）如图3,在四边形A8C。中，Z1=Z2,/3=45°,则N4的度数为45°.拓展探究：（3）如图4,己知AASC是等腰三角形，AB=AC,点。在SC上（不与8C的中点重合），连接AD作点C关于AO的对称点E,连接仍并延长交Ao的延长线于凡连接AE,DE.求证：AfD,BfE四点共圆；若48=2,AOAF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由.A【分析】（1）根据圆内接四边形的性质、过三点的圆解答即可;（2）根据四点共圆、圆周角定理解答;(3)根据轴对称的性质得到AE=AC,DE=DC,ZAEC=ZACE,NDEC=NDCE,进而得到NAro=NA8C,证明结论；连接CR证明aA8OsZa尸8,根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.【解答】(1)解：依据1：圆内接四边形对角互补：依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆，故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；(2)解：VZ1=Z2, 点A,B,C,。四点在同一个圆上，Z3=Z4,.N3=45°,.N4=45°,故答案为：45°；(3)证明：VAB=AC,：.ZABC=NACB, ：点E与点C关于AD的对称，AE=ACfDE=DC,：.ZAEC=ZACEfNDEC=NDCE,：.ZAED=ZAC,：.ZAED=NABC,A,D,B,七四点共圆；解：AOAF的值不会发生变化，理由如下：如图4,连接CE丁点七与点C关于AD的对称，：.FE=FC,：.NFEC=ZFCE,.'.ZFED=ZFCDt A,D,B,E四点共圆，：NFED=/BAF,：NBAF=FCD,A,B,F,C四点共圆，：ZAFB=ZACB=NABe,：ZBAd=ZFAB, XABDsXAFB, AD=AB*ABAF,ad*af=ab2=s.图4【点评】本题考查的是四点共圆、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质，正确理解四点共圆的条件是解题的关键.4.(2022春金山区校级月考)如图，A8为半圆O的直径，48=8,过8作AB的垂线8Q,点。为直线BQ上一点，连接AC交半圆O于点E,以8为圆心，BC为半径作圆弧交AE于点O(Z)不与A重合).(1)如图1,连接OE、OB交于点G,若G为aABE重心时，求COSNo84的值；(2)如图2,设tanCA8=x,-=y,求y关于X的函数关系式，并写出定义域；GE"(3)延长8。交会于点R延长尸0交射线CB于点P,设。3与线段48交于点H,连接QH,NAQH的度数是否发生变化，若不变，请求出度数；若变化，请至少给出两种不同情况下所对应的度数；若P08s2A8C,求AC的长.【分析】(1)连接8E,过点。作。KJ_AB于点K,由直径所对的圆周角是直角可得N4E8=NBEC=90°,根据等腰三角形性质可得CE=QE由G为aABE重心，可得点。是AE的中点，再运用勾股定理和三角函数定义即可得出答案；(2)连接8E,过点E作EMA8,交Bc)的延长线于点M,由石MAB,可得480GSMOE,Z84OS笈),再结合已知可得:)，=延,BC=8x,运用勾股定理AC=JaB2+BC2CD=82+(8x)2=81+x2*利用三角函数定义即可得出答案；(3)如图3,延长AB交。8于点M,连接CM,由NC8W=90°,BM=BC,可得NM=45°,再根据四边形8”M是圆内接四边形，即可得出答案；分两种情况：当里=堕=1时，设/A8尸=N尸=,则NBAC=NAoF=2,ZBDC=BCAB2ZACB=3,利用直角三角形性质可得2a+3a=90°,解得：a=18°,故NBAC=36°,如图5,作等腰4H7K,RT=RK,ZTRK=36a,则NRTK=NRKT=72°,作NRTK的平分线交RK于点G,作RHLTK于点H,GMLTK于点M,推出TG=TX=RG,设TG=TK=RG=LGK=m(>0),根据a7GKsR7,可求得m=娓进而求得cos36o2=遍+1,即可求出AC当理=强时，如图6,设。尸交AC于点”，连接8E,则NPOB4ABBC=ZACBt可证得C8E=NE8产=NA8P=30°,得出NC=60°,即可求得AC【解答】解：(I)如图1,连接BE,过点。作。KJM8于点K,AB为半圆。的直径，ZAEB=ZBEC=90o,以8为圆心，BC为半径作圆弧交AE于点。，/,BD=BCt：.CE=DEi为A4BE重心，。为AB的中点，点。是AE的中点，：.AD=DE,：.AD=DE=ce=1ac,3TcosC=丝=至，BCAC：.BC2=IAC2f3在RtZUBC中，AB2+BC2=AC2f82+aC2=AC2,3解得：AC=46C=42>AD=4粕,3；BD=BC=4近,VDKlAB,BC；DK/BCt.BK_CD_2II.，I-,ABAC3，BK=4B=W3316在RtZBOK中，COSNOBA=驳=T=-=2jE;BD423（2）如图2,连接BE,过点E作EMA&交Bo的延长线于点M,°：EMAB,BOGS例OE,ABADSAMED,._GO_OBAB-ADy-一IIymm三三,GEEMEMDE:0为AB的中点，.AB=20B,.GO_OB_1xAB_1xAD_ADGEEM2EM2DECDVtanZCA=x,AB=Sf*=Xt即BC=8x,AB'AC=VaB2+BC2=V82+（8x）2=8V1+x2,.cosC=%=K,BCAC.CE=BC2（如）JAC8l+x2Vl+x2；CD=2CE=16X2,Vl+x2,AD=AC-CD=Wi+/-*2=,82,8-82v-AD-1+xL,1-x2-CD当x；2x2Vl+x2.AO>0,8-8x2>0,0<x<l,14)，=，定义域为OVXVh-2x2(3)NAD”的度数不变，理由如下：如图3,延长AB交。8于点M,连接CM,*：BCLAB,NCBM=90°,YBM=BC,.NM=45°,I四边形CDHM是圆内接四边形，,NCO"+/M=I80°,YNCO"+NAOH=180°,ZADH=ZM=45o,ZADH=45°,度数不变.:APOBsRABC,NPBo=NABC=90°, PB=OB=L或PB=OB *BCAB2ABBC,当段=毁=JL时，a8=8,08=4,NPoB=NCAB,BCAB2/OB=OFf NABF=ZF,设NAB产=Nr=,则NBAC=NAO尸=2,ZBDC=NACB=3a,VZBC+ZACB=90o,2+3=90o,解得：a=18°,AZBAC=36°,如图5,作等腰/?»,RT=RK,TRK=36°,则NRTK=NRKT=72°,作NRTK的平分线交RK于点G,作RH_LTK于点”，GM_LTK于点M,则NHTG=NGTK=36°,：/RTG=TRK=36°,：.RG=TG, NTGK=NK=72°,：.TG=TK=RG,设TG=TK=RG=1,GK=m(w>0),：/GTK=ZTRK,NK=NK,atgksartk,TGGK即1m欣Tir'MT,n1+m-1=0,/w>0,w-5-1*Hl,，2,RK=疾",2：RHLTKt*.TH=HK=L2,RHrRK2-HK2=，5+产，:GM"RH,OKGMs丛KRH,h.11,=GKj即KQ2,*KHRK,±5+l,22.KM=3-疾,4TM=1-3-辰=娓+,44,CosNGTM=史=返色，即CoS36。=返11,TG44在图4,RtZXABC中，旭=CoSNBAC=COS360=遍十】AC4.AC=48÷遍+1=8>4当里=迈时，如图6,设O产交AC于点"，连接BE,则NPo8=AC8,ABBC.NC48+NACB=90°,NPoB=NAOF,ZCAfi+ZAOF=90°,ZO7A=90o,BPOFLAE,VZAEB=90°，：.ZAHO=NAEB,：OF/BE,：/F=/EBF,：0B=OF,JZF=ABF,；BC=BD,BELCD,：ACBE=NEBF,，ZCBE=ZEBF=ZABF,ZCBE=ZEBF=ZABF=W,ZC=90oNCBE=60°,.AC=应=_§_=W,sinCSin6003综上所述，AC的长为8U-8或独巨.3【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题.5. （2022春长沙月考）已知点M、N分别在aABC的边AB、Ae上，且不同于所在边的端点，满足MC=AaNB=AB,P关于直线BC的对称点为A,求证：弘是NMPN的角平分线.A【分析】首先说明/8MC+N8PC=180°,得8、M、。、P四点共圆.则/MRl=NMPC-NAPC=NMBC-NCAP=ABC+NACB-90°,同理，ZNP=ZABC+ZACB-9O°,从而证明结论.【解答】证明：如图，由题意知NAMC=NBAC=NBPC,：.ZBMC+ZBPC=ISOo,:.B、M、C、P四点共圆./.MPA=MPC-ZAPC=ZMBC-ZCAP=ZC+ZC-90o,同理，ZNPA=ZABC+ZACB-90o,：.ZMPA=ZNPA,Rl是NMPN的角平分线.【点评】本题主要考查了等腰三角形和轴对称的性质，四点共圆等知识，利用四点共圆进行角度的转化是解题的关键.6. （2022春鼓楼区校级月考）如图，在AABC中，AB=C,AD±BCf垂足为D,E为AD的中点，DF上BE,垂足为凡CF交AD于点G.求证：（1）ZCFd=ZCAD,【分析】（1）连接AF,并延长交8C于N,根据相似三角形的判定定理证aBO尸S推出，匹_=幽，再证尸S2ae/，推出NC尸Z）=NA尸E,证出A、F.D、C四点共圆DFEF即可；（2）根据已知推出NEPG=NAB。，证尸、N、D、G四点共圆，推出NEG尸=NAN。，根据三角形的外角性质推出NEG户>NE/G即可.【解答】(1)证明：连接AR并延长交BC于N,VAD±BC,DF±BE,：/DFE=ZADB,：ZBDF=ADEF,VBD=DC,DE=AE,VZBDF=ZDEFfNEFD=NBFD=90°,ABDFsLDEF,.BD=DE*DFW则匹=里DFEF：ZAEF=NCDF,：,ACDFSAAEF,：.NCFD=ZAFEt.NCFD+AEF=9Q0,ZAFE+ZCFE=90o,NAOC=NAR7=90°,，A、尸、力、C四点共圆，：.ZCFD=ZCAD.(2)证明：YNBA。+NABo=90°,CFAEFG=EFD=90°,ZCFD=ZCAD=NBAD,：ZEFG=NABD,VCF-LAD,ADlBC,，尸、N、。、G四点共圆，：.ZEGF=/AND,/AND>NABD,ZEFG=NABD,：NEGF>/EFG,：.DG<EF.B ND【点评】木题综合考查了相似三角形的性质和判定，四点共圆等知识点，此题难度较大，对学生提出了较高的要求，但题型较好.题型二：圆周角定理一.解答题(共6小题)1.(2022鹿城区校级三模)如图1,菱形ABCo中，点E为Co边上的动点，作48CE的外接圆，交对角线AC于点尸，连结7FE,FB,已知A8=5,AC=8.(1)求证：FE=FD.(2)如图2,记E8,AC交于点P,若FP：PC=2：3,求OE的长.(3)当阳。的其中一个内角等于NOC8,求。E的长.【分析】(1)根据菱形性质可得：8C=QC,NBCA=NQCA,进而证明45C尸0ZOC(S4S),再利用圆内接四边形性质，即可证得结论；(2)如图2,连接BD交AC于点。，设0F=x,则CF=x+4,由勾股定理得BF2=OF2+OB2=/+9,再由7P:PC=2：3,可得FP=2。/=2(x+4),再证明尸PScfb,可得现55FP="，BF2=FP-CF,即2+9=2(x+4)(x+4),得出x=1,OF=I,CF=5=CD,DF2BF5=BF2=IO,再利用。正ESqcE即可得出答案；(3)由于NPB尸=NECF=JLNz)C8,NPBFWNDCB,所以分两种情况：当NBPF=NDCB2时，当NBFP=NOC8时，分别求出。E即可.【解答】(1)证明：如图1,四边形ABCO是菱形，：BC=DC,ZBCA=ZDC,在ABC尸和aOC尸中，BC=DC<Zbca=Zdca,CF=CFBCFDCF(SAS),：.ZCBF=ZCDF,四边形BCEr是圆内接四边形，ZCF÷ZCEF=180o,NDEF+NCEF=180°, ZCBF=NDEF,：CDF=NDEF,：.FE=FD.(2)解：如图2,连接8。交AC于点O, 四边形48C。是菱形，：.ACLBD.QA=OC=Lc=工X8=4,22在RtABCO中，OBrBC2_2=4§2_42=3,设。4=x,则C产=x+4,在RtZ8F0中，BF1=OF1+OB1=x2+32=,v2+9, FP：PC=2：3,：.FP=2.CF=2-(+4),55VEF=EF,."EBF=NDCA,:ZBCA=ZDCA,."EBF=NBCA, ：NBFP=NCFB,：.ABFPsACFB, BF=CF *FPBF,.BF2=FPCF,即x2+9=2(x+4)(x+4),5解得：=或彳=也(不符合题意，舍去)，3OF=LCF=S=CD,DF1=BF2=：.ZCFD=ZCDF=NDEF,：.ZDFE=NDCF, ：ZDEF=ZFDC, £>FESQCRDF=DC*DEDF=f=2(3)当NBP尸=NoCB时,"DCB=2BCA,：NBPF=2NBCA,*：NBPF=NBCA+NCBE,：.ZBCA=ZCBE,：.CE=BFtYBF=DF=EF,工CE=DF=EF,连接BD交AC于点。过点E作EHj_AC于点”，如图3,设。r=JG则Cr=X+4,FH=CH=LCF=工(x+4),22由(2)得：OC=4,Co=5,DF1=EF1=CE=xl,YcosNDCo=Sl=生，即2""二生CECDCE5CE=-(x+4),8.+9=S(x+4)2,8解得：x=4(舍去)或X=丝，39.CE=S(+4)=SX(-11+4)=1?5,883939：.DE=CD-CE=5-12=Z;3939当NBFr=NDCB时,如图4,连接8。交AC于点O,过点8作BrLeO于点。：BFP=DCB,BC=BE*,BC=BE=5,YBTLCD,：.CT=ET=A.CE,2'：BDLAC,：BD0C=CDBT，t6X4=587,=24,5SRtBCT,CTrBC2取2=2一管）?=看，DE=CD-2CT=5-2×2.=11,55.NPBF=NECF=工NDCB,2：/PBF4DCB,【点评】本题属于圆的综合题，考查r菱形的性质，圆的性质，圆周角定理，圆内接四边形性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握圆的性质、相似三角形的判定和性质，运用分类讨论思想解决问题，属于中考压轴题.2.(2022镇海区二模)如图L在平面直角坐标系中，直线AB：y=H+5(<0)与x轴交于点B,与），轴交于点A,点C是X轴负半轴上一点，过A、B、C三点的QM（圆心M落在第四象限）交），轴负半轴于点。，连结CD,已知NACB=2Af>C=2.（1）NDAB=90°（请用的代数式表示）,并求证：DA=DBx（2）若女=-工，求点D的坐标；2（3）如图2,连结AM并延长，交BC于点F,交0M于点E,若4尸=泥，求8尸的长；若38F=2OO,请直接写出四边形ABOC的面积.【分析】（1）利用圆周角定理和直角三角形性质及三角形内角和定理即可证得结论；（2）根据题意先确定A、8的坐标，再运用勾股定理求得0。，即可得出点。的坐标；（3）如图2,连接BEfDEf可证得aDAC0£?DE（AAS）t得出AC=DEt再得出NABC=NDAE,再证明AOAFS2oba,利用相似三角形性质和勾股定理即可求得答案；设BF=2a,0D=3afOF=b,则0B=2a+b,又OA=yf,由空=堕，可求得A=Ja2二OFOAVa0-a,即OF=Ya2+5一小再得出OB=OF+小运用勾股定理建立方程求解即可得出=/区，即可得出08、。的值，再利用ACOOS2AO8,求出。C,利用S四3电形ABDC=SMBC+SaDBC，即可求得答案.【解答】解：（1）VZABO=ZADC=a,ZADB=ZACB=2a,NAoB=NBoD=90°,ZDAB=90oNABO=90°-,ZDBC=90o-ZADB=90o-2,ZABD=ZCBD+ZABC=9Qo-2a+a=90o-a,：NDAB=NABD,：.DA=DBi故答案为：90o-a；（2）如图1,若&=_1,直线AB的解析式为y=L+,22当X=O时，y=, 点A的坐标是(0,甘)，当y=0时，即O=-Lv+a/5»2X=2/5»，点8的坐标是(2U,0),OA=5,OBs：.DB=DA=AO+OD=+ODf在RtZBOO中，DB2=OD2+OB2,J(5+OD)2=OD1+(25)2,/.OD=?而,2 点。的坐标是(0,-多叵)；2(3)如图2,连接BE,DE, ：DA=DB,：,ZDEB=ZDCAf ；AE是G)M的直径，ZADE=90°, ：NACB=NADB=2a,：NBDE=ZADE-NADB=90°-2,VZDAC=90o-ZACB=90o-2a,：.ZDAC=ZBDE,在ADAC和48E>E中，rZDCA=ZDEB<Zdac=Zbde,DA=DB：ADACQ4BDE(AAS),：.AC=DEi：.NABC=NDAE,YNAOB=NA。产=90°，：A0AFsXOBA,OA-OB II一,OFOAVOA=5.AF=巫,'0F=VAF-OA2(6)2-(5)2=1,.O8=i=5,OF.*.BF=OB-OF=5-1=4；9：3BF=2OD,.BF_2 -9OD3设B尸=2,OD=3a,其中>0,由知：ZXOA尸S2O84, OA=OB"ofoa,设。产=b(b>0),则。8=2+b,又OA=遥, V_2a+b,.b1+2ab-5=0, "=2±审嬴=-"行，">0,=a2+5-a,OF=a2+5,a, B=OF+BF=y-a÷2÷a由（1）知：DB=DAf：,DB=DA=OA+OD=5+3a,在RlZBOO中，ON+O那=Bb1, .(3a)2+(a2+5+fl)2=(5+3)2,解得：=±Z,3.OO=3=4, BF=2a=-, OF3京-T阴)2+5-芈=咚,OBV OO o=35, ；NAOC=NABc,NAOB=NCOO=90°,:.XCODSXAOB,OA=OB"OC0D,：,OAOD=OB-OC,即遥义4代=3遥0。，.oc=_ZL,3VADlfiC,S四边形A8DC=SaA8C+SzO8C=A(OB+OC)×OA+A(08+0C)×0D22=Ax(35+,Z)×5+A×(35+-)×452323=325【点评】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数的图象和性质，三角形面积,解一元二次方程等，综合性强，难度较大.3.(2022南岗区校级二模)己知：ZA8C内接于0。，连接。A,点。在。上，连接AQ,交BC于点E,ZCAd=ZBAO.(1)如图1,求证：ADLBC;(2)如图2,过点。作OFI.AB于点R交BC于点G,求证：CD=DG;(3)如图3,在(2)的条件下，若2NBA。-ZADB=3ZCAD,2AE=3DE,AC=L求线段OA的长.(2)利用同弧所对的圆周角相等，推导出NBCO=NR40,ZDGE=/GCD,即可证明；(3)连接。D、OB.DC,由同弧所对的圆周角相等可得NBoO=2N8AO,ZAB0=ZBA0=ZCAD,NCAD=NDBc在aBOO中，ZBOD=180°2(NOBA+NOBC),则NBO。=NAO8+3NCAO=I80°-2(NO8A+NO8C),点。作OH_LAB交于H,可得NAOB=ZHOB,由N"OB+3NCAO=180°-2(ZOBA+ZOBC),90o-NABo+3NABO=180°-2(NOBA+N08C),可得NAOO=90°,连接AG,ZGAF=45o,可得AAFG是等腰直角三角形，能求出A尸=G尸=返,设AE=3tED=Ix,在RtDF中，25x2=A+22(返+Jl-52)2,解得/=2_或/=_!_,当工2=2_时，AO=Y:当X2=-I-时，2vi0x104510245AO=H,此情况不成立.6【解答】(1)证明：延长Ao交00于点M,连接CM,:AM为。的直径，NACM=90°,NCAM+NM=90°,'：ZCAM=ZBAd,NM=NB,J.ZBAD+ZB=90o,ZAfB=90°,D±BC;(2)证明：VDFlAB,ZABG+ZFGB=90o,*：ADLBCfZABE+ZEAB=90q,ZBAE=NBGF,VBD=BD,NBCD=NBAD,"DGE=NGCD,：,CD=GD；(3)解：连接O。、OB、DC,VBD=BD,Abod=IABAD,:ZCAD=ZBAOfZABO=ZBAO=ZCAd,VCD=CD,一./CAD=NDBC,在ABDO中，ZBOD=180°-2(NOBA+NOBC),*：2ZBAD-ZADB=3ZCAD,NBoo=ZADB+3ZCAD=180o-2(ZOBA+ZOBOf过点O作OHLAB交于H,：ZADB=NHOB,.NHO8+3NCAo=I80°-2(NoB4+NOBC),90oNA8O+3NABO=180°-2(ZOBA+ZOBC45o=2ZOBA+ZOBC=ZABD,：.ZAOD=90o,连接AG,'：CD=DG,AD.LCG,AO_L平分CG,*AC=AGt/.ZDAC=ZDAGt.ZOAB=NABo=ZCADf/.ZDAG=ZOABtVZDO=45o,ZGAF=45o,VAC=LAG=1,*：GFA.AFfZXAFG是等腰直角三角形，：AF=GF=叵,2t2AE=3DE,设AE=3x,ED=2f解得x2=,1045VD=5x,.AO=f2当2=Ju,a。=恒，DF=BF=近,102：AB=2.Zv,2,AO=返；2当=Ju,Ao=ZI,DF=BF=I4566.A8=Z,3.52-TL,33【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的性质，圆周角与圆心角的关系，直角三角形的性质，同弧所对的圆周角相等是解题的关键.4.(2022南岗区校级开学)四边形ABCQ内接于。，连接AC、BDtZDAC+2ZBDC=180°.(1)如图1,求证：/BAC=/BCD；(2)如图2,点H在BC上,HF/AB,交AC于点G,交CD于点F,CF=AG,求证：AB=HG+CH(3)如图3,在(2)条件下，弦AC为Oo直径，点M在线段上，连AM、OM,ZMAC=45°,若BM=2,OM：AB=5:6,求线段FG的长.DD图1图2图3【分析】(1)利用三角形内角和定理，同弧作对的圆周角相等，推导出NBQC=NBCO,ZBAC=NBDC,即可证明；(2)过G作GQ/BH交AB于点Q,证明AAQGgZXC"/7(AAS)t四边形BHGQ是平行四边形，即可证明；(3)过点M作MKLAC交于点K,过点。作。Nj交于点M设A8=6x,AB=Sx,由AMK是等腰直角三角形，分别求出AM=¢+36J，AK=MKK18X2+2，在RtAMOK中，KO=yJ7乂22,在RtAMON中，MN=4x,NC=2+4x,在RtACON中，CO=25x2+16x+4,建立方程J18J+2+72-2=7252+i6x+4，解得工=1，再由GH+CH=6,GH/ON,=H,解得GH=2,CH=4,NH=2,由(2)知，FH=BH,36则GF=8-2=6.【解答】(1)证明：