专题05椭圆9种常考题型归类（解析版）.docx

专题05椭圆9种常考题型归类Il题型归纳II题型OlJ求椭圆的标准方程B.+工=15c+=1D.x,+-=132【解析】因为椭圆。的焦点为K(O,-2),6(0,2),设椭圆的标准方程为aPec=2依题意4。=12,解得=3,b=逐,a2=h2+c2所以椭圆C的标准方程为匕 9+E=,5故选：B.2. (2022秋西城区期末)如图是一个椭圆形拱桥，当水面在/处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面2?，水面宽66，那么当水位上升时，水面宽度为(6mA.3j3n【解析】如图所示，建立平面直角坐标系,由题意可知，椭圆的长半轴长=3,短半轴长人=2,所以椭圆方程为：+-=1,94令y=l得，X=±手，故水面的宽度为：3L故选：A.3. (2022秋平谷区期末)已知椭圆C:=+斗=l(4>S>0)的两个焦点是小居，点M("l)在ab椭圆。上，且右焦点E(,0).O为坐标原点，直线/与直线OM平行，且与椭圆交于A,4两点.连接M4、与X轴交于点O,E.(I)求椭圆C的标准方程；(II)求证：100+OE=2&.【解析】(I)因为右焦点鸟(&,0),.左焦点6(-"，0),点M(血，1)在椭圆C上，.24=IWI+1"=3+1=4,.=2,c=2,.=4-2=2,所以C的方程为T+f=1;（三）证明：设A(±,yj,Bx2,y2),直线AB的斜率为等，设直线/的方程为y = x + z,联立方程组2y = x + t,2 ,消去y,X v 1一+ = 142fX2+j2tx+r-2=0,所以+毛=一"，N/=/-2,直线MA的直线方程为y-l=上-),斗-2令y=0,则/=一+应，同理/=一+应y>-i%所以OO+OEI=I+应|=|2五一(y%yy2-1大石5-向吟5-，)+(&-向吟，-DE岳田-(+与)+(/-1)5+W-2万,(乂-1)(必-1)(yT)(%-D把内+赴=一"，x1x2=t2一2代入整理得|0。+0臼=2近.题型02椭圆的简单性质4. (2022秋丰台区校级期末)椭圆2炉+V=I的焦点坐标为()A.耳(T0),6。,0)C. F卜冬0),5(乎,0)【解析】椭圆2 + V=l化为+。= 1,B. (0,-l), Q(M)D. Fi (O, F2 (0,故选：D.5. （2022秋房山区期末）椭圆看 + Ql的焦距是（）A. 6B. 8C. 1022【解析】由二 +匕=1得：d =25 16 = 9,解得：c = 3, 16 25焦距为2 = 6 .D. 12椭圆的焦点三角形6. （2022秋通州区期末）己知椭圆:+=1的焦点分别为K，F2,点尸为椭圆上一点，则IP甲+1PEI=()A.2B.4C.6D.8【解析】因为椭圆?+=1的焦点分别为6，F2,点尸为椭圆上一点，由椭圆的定义可知，P4+PE=2=4,故选：B.7. （2022秋大兴区期末）设月，K是椭圆C:工+二=1的两个焦点，点?在椭圆C上，PK=4,94则I"1=（）A.1B.2C.3D.4【解析】椭圆方程为三十£=1,点尸在椭圆上，94AlP耳+Pg=2a=6,IP/=；1=4,.JP玛I=2,故选：B.8. （2022秋西城区校级期末）己知椭圆与+3=1（0匕3）的两个焦点分别为片，F2,离心率为半，点P在椭圆上，若PFPE=0,则4户耳人的面积为.【解析】由椭圆的方程可得焦点在X轴J窝心率e=J=当，可得从=3,所以椭圆的方程为：三十二=1,所以C?=9-3=6,93因为PGPK=O,所以PK_L”,则P6f+p玛2=IG玛2,由椭圆的定义可得(IPKl+1P玛1)2-2IPKHPFl=IF1F22=4c2,即21PKHP玛I=42-4c2=4从,所以IPKHP玛I=2=6,所以S-T,用%6=3,故答案为：3.9. （2022秋丰台区校级期末）已知椭圆C：E + 9/1的左、右焦点分别是小小点尸在椭圆C上，且/尸耳鸟=60。，则4PK鸟的面积是.【解析】由题意可得=3,c=9-5=2.设I尸用=根，|尸£，则"；+Q、。，解得初=1，=:，n=m+16-86cos6022故小PFF?的面积是FxF21sin60o=××4×=-故答案为：巫.22210.（2022秋海淀区校级期末）已知椭圆Mg+/=1（"八°）的左、右焦点分别是不fi，A（O,b）,且是面积为G的正三角形.过尸I垂直于的直线交椭圆/于A,C两点，则AABC的周长为.【解析】如图，设O=c,则/=/+因乙AGK面积为如，且其为正三角形,又IoAl=6,则 <b = y3c2c = 3b = 3c= 1则 = 2,又直线BC过"，与AE垂直，八耳鸟为正三角形，则直线BC为AB中垂线,则A8=叫IACI=ICE又IBel=I跖|+|耳c,故ABC的周长C=I%+W"+IKC+1玛Cl,又C,B在椭圆上，则由椭圆定义有C=%=8.故答案为：8.题型04椭圆的离心率问题（2。22秋朝阳区校级期末）己知椭圆»如。）的离心率吗，则X）A. 2B. 3C. 2D. 3【解析】椭圆的焦点在X轴上时，从<4,故力=JJ ；椭圆的焦点在y轴上时，b2>4,J=p华；故选：B.12. （2022秋东城区校级期末）设椭圆C:=+斗=l（>8>0）的左、右焦点分别为6，居，P为a'b2直线x=1上一点，入Pe是底角为3(T的等腰三角形，则椭圆。的离心率为()A.3B.1C.坦D.33224【解析】如图，设直线X=Ta与X轴交于点Q，由已知得NW6=N4Pg=30。，NPBQ=60。，PQJ_x轴，.JP6I=I耳鸟I=2c,户为直线X=网上点，AlQEb网一c,22桃=2QEl=2（当-C）=2c，.3a=4c»，椭圆C的离心率为e=£=?.a4故选：D.2213. (2022秋平谷区期末)已知不入分别是椭圆*本=l(>0>°)的左、右焦点，?是椭圆a上一点，且明垂直于北轴，CosZFlPF2,则椭圆的离心率为()A.-B.-C.D.2252【解析】P居J_x轴，不妨设IPKl=Z,IP4l=2一工，aab2由CoSN4桃=3,可得一7二|，2aa可得5从=6«2_3后，.6=昉2=8(-c2),.2q2=8c2,e(0,l),解得e=£=La2故选：A.14. (2022秋朝阳区校级期末)己知耳，居分别椭圆1+4=l(>b>0)的左右焦点，尸为椭圆a'b上一点，满足NPKE=线段P耳交y轴于点Q，若IQKl=岳，则椭圆的离心率是()A.-B.C.D.2-l223【解析】由题意可知P(c,2)，P耳居为直角三角形，点。为斜边外;的中点，ar222.PFxI=2>2c,PF,i=-=ac,aaPFi+PF2=2a,22.2缶+=2,整理可得(与2一2应£+1=0,aaa解得=>21»a故选：D.15. (2022秋丰台区校级期末)己知点A,8是椭圆W:=+2=l(4>8>0)长轴上的两个顶点,ab点P在椭圆上(异于A,4两点)，若直线PA,PB斜率之积为伫竺，则椭圆的离心率为(3a)D.°-tiA，8是椭网W长轴上的两个顶点，点P在椭圆上,设Pa),%),则4+普=1,A(-a,0),B(,0),aZr及N一片则%=上q=-=4-=-,x0+ax0-ax0-a-0a直线PA,/归斜率之积为巴生，.纥竺=-4，3a3aa".3c2+4ac-4a2=0,a3e2+4e-4=0,.(%-2)(e+2)=0,e(0,l),7/.3e-2=0»解得e=3故选：C.2)16. (2023春海淀区校级期末)已知椭圆C:£+£=l(a>10)的左、右焦点分别为小入，点P在椭圆。上，且PE_L耳玛，过P作耳P的垂线交X轴于点A,若IAEI=；c,记椭圆的离心率为e,贝J=（）A.B.3-5C.正-1D.-22【解析】由于椭圆C:+=l（a>6>0）的左、右焦点分别为耳，居，点?在椭圆C上，且a"PF2LFlF2t过尸作耳P的垂线交X轴于点4,IAEI=Jc,记椭圆的离心率为e,则由射影定理可得IPF212=JFlF2AF21=2c'×=c2,/.PF2=c.RaPFIF2中,IpEl=JC2+（2c）2=底.再根据椭圆的定义，可得IPE+P6=24,即J5c+c=24,c5/51m.>3>/5:.e=,则e=,a22故选：A.222217. （2022秋石景山区期末）设椭圆G：£+l（a小0）离心率为e,双曲线Q："l的渐近线的斜率均小于斗，则椭圆Cl的离心率C的取值范围是（）A.（噜,1）B.（手）C噜）D.（技+8）【解析】根据双曲线方程。2：捺-£=1可得，其渐近线方程为y=±x,又因为且渐近线的斜率小于撞，即0<2<毡，5a5所以，椭圆Ci的离心率e=£a即椭圆离心率e的取值范围是*D故选：B.题型05椭圆的弦长问题18.（2022秋丰台区校级期末）过椭圆上+X=I的焦点且垂直于X轴的直线/被椭圆截得的弦长43是.【解析】过椭圆+£=1的焦点(±1,0),43过椭圆+=1的焦点且垂直于X轴的直线/,不妨经过右焦点(1,0).43a可得x=l时，y=±,2过椭圆+汇=1的焦点且垂直于X轴的直线/被椭圆截得的弦长是：3.43故答案为：3.19. (2022秋东城区期末)已知椭圆E:4+=l(>0>0)的离心率为也，一个顶点为A(0,l).aZr2(I)求椭圆上的方程；4L（三）若求点A的直线/与椭圆上的另一个交点为4,且IABI=2,求点B的坐标.3【解析】(/)因为椭圆E:=+A7=(a>Z?>0)的离心率为-,上顶点为A(0,1),ah2所以b=l,£=,即=a2因为/=从+。2,所以勿2=从+。2,所以b=c=l,所以=,所以椭圆石的方程为+V=.(II)由题意易知，斜率不存在时不符合要求.当直线的斜率存在时，设直线/的斜率为3则直线/:y="+l,由；W整理得"-O,因为A(0,1),则6(4日,2k2+l2k2+l由A8=芈，WlABI=TiTF-I-|=3+1J化简得&4+公_2=0,解得公=1或-2(舍),41所以点B的坐标为(±-,-).3320. (2022秋石景山区期末)已知椭圆。的两个焦点分别为M(-,O)和鸟(点,0),点尸(&,1)在椭圆上.(I)求椭圆。的方程；（三）过点M(LO)作倾斜角为3万的直线/交椭圆。于A、B两点,求线段AB的长度.【解析】(I)由题意知，焦点在X轴上，且c=,2a=jP+PEl=a(2)2+1+02+1=4,故=2,所以从=a2-C2=2,故椭圆的标准方程为：4 +£ = 1.2,(II)由已知得/的斜率为Ian二二7故/的方程为：y=-x+lf代入椭圆标准方程整理后得：3x2-4x-2=0,显然=40>0,设A(XI,j1)»(x2,y2),42则%+9=§，王刍=一§，心IABI=JI+k?+七4,工2=,J)?+4x.=.2221. (2022秋北京期末)已知椭圆E:+2=1过点P(-2,l)和。(2").a2b(I)求椭圆石的方程；(II)过点G(0,2)作直线/交椭圆E于不同的两点A,B,直线BA交y轴于点直线必交y轴于点N.若IGMlGN=2,求直线/的方程.【解析】(/)由题意可得:=2,4+4=1»ai=b2+c2fcrb2联立解得a-2>2,b=5/2>c=y/b，.椭圆E的方程为三+反=1.82（三）直线/的斜率不存在时，A(0,2),8(0,-&)，即M(O,应)，N(O,-),满足IGMlGN=2,此时直线/的方程为X=0直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=区+2,A(xi,yl),B(x2,y2),=16222. (2023春东城区校级期末)已知椭圆石：5 + £ = 13。)的左、右顶点分别为A，A2, I AA 1=4,椭圆E的离心率为暗.(1)求椭圆上的标准方程;(2)过O(LO)作直线/与椭圆E交于不同的两点M, N,其中/与X轴不重合,直线AM与直线x = 交于点P,判断直线A2N与OP的位置关系，并说明理由.jl2-32(l+4Ar2)>0,化为<-1或A>J.2216k8+电=一百'西'直线RA的方程为：y-l=%二I(X+2),xl+2令X=0,可得=生与L.X1+2直线PB的方程为：),-1=卫二I(X+2),X2+2令X=0,可得ZV=/J.2+2,GMGN=2,c2-l×2-2%+WX2+ 2为：(442-4k-l)x1x2-4(x1+x2)-8=0».(42-4-l)×-4-4×(-)-8=0l+4k1+4k化为：k=-,不满足>0，舍去.2综上可得直线/的方程为x=0.I题型06 I直线和椭圆的综合应用【解析】(I)2*设椭圆A方=1的半焦距为C ,由已知点A,A2的坐标分别为(-40),Q0),因为IA41=4,所以加=4,所以=2,又椭圆E的离心率为立，所以£=走，2a2所以c=6所以b=Ja?一c?=1,2所以椭圆E的标准方程为+/=1；4-(2)因为直线MN丐X轴不重合，且过点所以可设直线MN的方程为x=my+l,X=my+联立方程f2,消去X可得(3w2+4)y2+6ny-9=0,一+=I143=36w2+36(3w2+4)>O,设Afa,yj,N(X2，y2)»6m9Y+%=-T-T-7>,2=-T-T-T，3"+43m+4A(-2,0),4(2,0),>2则直线AiM的方程为y=匚3+2),X1+2代入X=3可得y=9',即尸(士，9»22(x1+2)22(x1+2)9.所以软尸=竽2=骂，£-1X+22则LFp=上一且L=型=3(,+七,x2-2xl+2my2-1myx+3(ny+3)(zw%-O因为3(y+y2)-2myly2=3()+C=0.即k-kl,l,=0,3m+43m"÷4所以kAjN=kDP»所以直线A2N与Z)P平行.23.(2022秋朝阳区期末)己知椭圆C:=+马=l(>8>0)的右顶点A(2,0),F为椭圆C上的动a'b点，且点P不在X轴上，O是坐标原点，AOP面积的最大值为1.(I)求椭圆。的方程及离心率；(II)过点”(TO)的直线PH与椭圆C交于另一点Q,直线AP,AQ分别与)，轴相交于点E,f.当IMI=2时，求直线尸的方程.【解析】(/)因为AQP面积的最大值为4而，所以Lh=L22又因为右顶点A(2,0),故=2,C2=a2-b2所以b=l,c=6,所以椭圆。的方程为工+V=,离心率为3.42（三）当直线/W的斜率不存在时，直线P”的方程为x=T.显然APQAM.因为IPQl=6,所以M=gPQ=手/2.不合题意.当直线PH的斜率存在时，设直线PH的方程为y=(x+l),y=k（x+1）,得（1+4公）/+8心+（4公-4）=0,T+4/=4显然>0.设P(XI，)，Q(X2，、2)，且XIH±2,贝 IJM+占=-，与 =4A2-41+4F直线AP的方程为y=-（x-2）,X1-2令X=0,得点E的纵坐标左=二生，则E（0,二生），xj2xl-2宜线4Q的方程为丁二一;左一。-2）,X2-2同理可得尸（0,二迟）.X22所以IEFr-2y2KI_2|力（$-2）一）*电-2）|_2|“（七+1）（七一2）一女（+1）（占-2）卜6|周4一3Xy-2x2-2（1-2X2-2）（a,-2）（x2-2）ajxj-2（i+2）+4所以31ZHXl-X2Hxx2-2(+x2)+4,即3ky(xi+x2)2-4x1x2=|xix2-2(x1+a)+4,可得3伙|Sk2、，4公-4,4公-4oSk2i)-4xr=Hr+2×7+4.l+42l+4k2+4k21+4公36k21+42解得k=±f,6所以直线PH的方程为X-#.y+1=0或x+#y+1=0.24. （2022秋朝阳区校级期末）已知椭圆E的焦点在X轴上，离心率为立，对称轴为坐标轴，且2经过点（1,-）.（1）求椭圆E的方程；（2）直线/:y="-2与椭圆E相交于A、3两点，且原点O在以AB为直径的圆上，求直线/斜率女的值.22【解析】（1）由题意设椭圆E的方程为：+4=Ka>>0）,a"b"再由离心率e=JI一与=,可得a?=4b2,三+= =162-4×12(l + 4jt2)>0,可得F>2,4将点。,4）代入椭网的方程可得:可得廿=1,4=4,所以椭圆E的方程为：+/=1：(2)设A(X,j1),B(x2,y2)f且 X + A2 =16kl+4k2联立二2,整理可得：(1+4公)/一16"+12=0,x+4y-=4C12A:23224-42YM=(牝-2)(5-2)=K%2-2A+2)+4=7-r7+4=y'因为原点O在以AB为直径的圆上，所以OAoB=0,4一4>1?即x,+yM=0,即土+±丁=0,可得公=4,符合>(),1+4K1+4K解得A=±2,即直线/斜率4的值为±2.2225. (2022秋西城区期末)己知椭圆C:二十马二l(>匕>0)的一个焦点为F("),其长轴长是ab短轴长的2倍.(I)求椭圆。的方程；(II)记斜率为1且过点F的直线为/,判断椭圆C上是否存在关于直线/对称的两点A,B?若存在，求直线AB的方程；若不存在，说明理由.【解析】(I)由题意可得C=G="2-从，a=2b,解得/=4,b2=,所以椭圆C的方程为：工+J=1：4(II)由题意可得直线/的方程为y=X-6，假设存在A，B满足条件，则可得直线/为线段AB的中垂线，所以直线AB的斜率为T,设直线AB的方程为y=r+f,设A区，,B(x2,y2),则Afi的中点,竺声)，由题意可得。在直线/上，联立卜二一"：，整理可得：5x2-8ax+42-4=0,X-+4y-=4可得=64-4x5x(4/-4)>0,即*<5,即-有<，<4，8/、-8/c2x+=y,M+y2=(+x>)+2r=-y+2r=-,所以。(曳，£),55将D的坐标代入直线/上，可得：=y-3.可得/=¥>6,不符合>(),所以椭圆上不存在关于直线/的对称A，B两点.2226. (2022秋房山区期末)己知椭圆C:+与=l(4>8>0)经过点P(2,3),且点尸到两个焦点的a'b"距离之和为8.(I)求椭圆C的方程；（三）直线/：¥="+?与椭圆C分别相交于A,3两点，直线%,总分别与)，轴交于点M,N.试问是否存在直线/,使得线段MN的垂直平分线经过点P,如果存在，写出一条满足条件的直线/的方程，并证明；如果不存在，请说明理由.【解析】(I)因为点P到两个焦点的距离之和为8,故由椭圆的定义可知，加=8,所以a=4,22椭圆C的方程为言方=1,22又椭圆C:+=a>b>0)经过点P(2,3),a'b4Or-所以;+2=1,解得b=2L22故椭圆C的方程为：+-=1：1612（三）设A(,y),B(x2,必)，联立直线/与椭圆C的方程，可得，16+12=1，整理得,(16Ar2+12)+32hnx+16(m2-12)=O,y=kx+m因为直线Ly="+m与椭圆C分别相交于A,8两点，所以>0,化简得163+12->0,故16公+12>加;-32hn16(zh2-12)%+“前Tl?M=询石，又P(2,3),可设直线尸4r-3=出2-。一2),设直线P8:y-3=互口*-2),X12X2一2故=2LT«2)+3,%=&三(-2)+3,x1-2X2-2若线段MN的垂直平分线经过点P,必有为+)%=6,故有上E.(-2)+3+*±(-2)+3=6,xl-2X2-2整理得，Al+hl=ot即-2)(y-3)=-(%-3)-2),x1-22-2整理得，x2yl+x1>,2-3(x1+x2)-2(>,1+y2)+12=0,又X=村+加，y2=kx2+m,所以毛(咫+m)+x1(乜+w)-3(j+x2)-2(ji+y2)+12=0»整理得2kxyx2+(W-3-2k)xx+xz)-4/n+12=0,利用韦达定理，得322(加-12)16公+12(m-3- 2k) 32kn16,+12-4m + 12 = 0即32©京-12)-(m-3-2k)32m+(12-411)(16A:2+12)=0,整理得-8%+2加+4S+3-m=0,所以4k28k+3=m一2hn,即（2左一3）（2左一I）=MI-2幻，当k;时，2k-3=-m,此时，直线/为：y=kx+3-2k,此时直线过点P（2,3）,不符合题意;=-,取6=1,满足16X+12>,2此时，满足题意的直线/为：y='x+l（答案不唯）.2I题型07 I椭圆的最值范围问题27（2。22秋平谷区期末）己知椭圆噂+13小。）的短轴长为4,离心率为冬点P为圆M：d+y2=6上任意一点，O为坐标原点.（I）求椭圆C的标准方程；（II）记线段QP与椭圆C交点为Q,求IPQI的取值范围.【解析】（I）由题意可知：3=4,e=E=或，又=/一°2,a3/.<7=3»b=2f.椭圆的标准方程：+-=1；94（II）由圆M:d+y2=i6由题意可知：圆心M即为坐标原点O（0,0）,半径厂=4,.PQ=OP-OQ=4-OQ,设。(石,凶),.= + rtlx1-3.3,当X=O时，IOQL.=2,当=±3时，I。IM=3,尸。I的取值范围口,2.28.（2023春丰台区校级期末）已知椭圆G:。/叱八。）的离心率为看且过点Pa（1）求椭圆G的方程;（2）若过点M（l,0）的直线与椭圆G交于两点A,B,设点N（L0）,求INA+NB的范围.2【解析】（1）椭圆G:=+=l（>b>0）的离心率为立，且过点PQ立），arh22所以椭圆G的方程为匕+丁=；4(2)当直线AB斜率为0时，/,yy=°,42,0),B(2,0),N(；,0),所以¼+N8=(-2,0)+(3,0)=(-l,0),所以INA+NB|=1,22当直线AB斜率不为0时，设A（4,yj,B（x2,y2）,直线Ae的方程为:X=my+联立方程组可得f7,得到(>+4)y2+2my-3=0,+y=I14=4m2+12(n2+4)=6m2+48>O,由根与系数的关系得到y+ % =-一”m +4-3rn2 +4N(g,O)，所以44+N8=(x-J,y)+(x2-；,%)=(%+再-Lyl+力)，,、，,2m、,-ZW2+411Jx,+-=m(y,+y,)+l=m(；)+1=；,w+4m+4所以INA+NB=J()2+(-舄W4-4m2+16_/w4+8w2+16-12m2_LI2fn2mi+8m2+16Vm4+8m2+16vm4+8n2+16当Z=O时，N4+N8=11=1,当相0时，¼+N8=1,Sm2+8+-.2J-+8=16,"+T"V"当且仅当6=E时取等,m122 o 16 nr ÷ 8 + -rm所以1Jre&)-2÷8÷ 2故INA+NB的范围为:综上所述：9+附的范围为：1l.29. (2022秋延庆区期末)已知椭圆C的两个焦点分别是G(T,0),6(1,0),椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于2,O为坐标原点，直线/:y=2x+z与椭圆C相交于A,B(不重合)两点.(I)求椭圆C的标准方程；(II)求机的取值范围；(III)求IABl的最大值.22【解析】(I)由已知可设椭圆的标准方程为5+3=l(匕0),arZr所以2a=20可得=V,因为c=l,所以b=Ja2-c?=1,所以椭圆C的标准方程为y+y2=l;y=2x+n（三）直线:y=2x+m与椭圆C的方程联立炉，消去y,整理得9x2+Stnx+2/-2=0,由=64h2-4×9×(2m2一2)>0,可得3vmV3,即机的取值范围是(-3,3)；(III)设A(XI,yj,B(x2,y2),r¼/H、r4n8？2nr-2由(II)可Gi玉+/=9Xj=G贝U I A5= > + 22 IX, -X21= 7s ×y(xl +x2)2 -4xia2 =>5×当且仅当W=O时等号成立，所以A8的最大值为半.30. (2022秋西城区校级期末)已知椭圆。:必2+3冲2=(m>0)的长轴长为2指，。为坐标原点.(I)求椭圆C的方程和离心率；(2)设点A(3,0),动点B在)，轴上，动点尸在椭圆C上，且尸在y轴的右侧，若IBAHBP求四边形OPAB面积的最小值.【解析】(1)椭圆C：，Hd+3,到2=,即为5+4=,所以/=_L,/=_,11m3mtn3m2=»h2=-»可得2=2-=2>',in3nmtn=,可得=tj6»b-j2,622即有椭圆C:工+E=1,62由C=tJa2-b2=2»即e=£=：a3(2)设AP中点为O,由84R5P,所以8£>_LAP,由题意，可得直线%的斜率存在，P(X0,yo)(yoO),则以*12.&),直线AP的斜率为砥P=T直线B。的斜率为-=三玉，kAP%可得比的方程为y比=主色(工一至2),2J02令x=0可得y='Y+为2-9,即eg空1E),2%2为V+=1,可得片=6-3寸，62化简可得5(0,-2乎-3),2%11-2V2-3则四边形OPAB的面积为S=SA(MP+S岫m=-×3y0÷-×3VI222y0=(2y0÷-).22y0l.-=33,22j02Y2yfi当且仅当2%=777J,即%=±噂-五，、历时，等号成立.2%I2所以四边形OPAB面积的最小值为.JS型082231.(2022秋顺义区期末)已知椭圆C:=+二=l(>0)的焦点在X轴上，且经过点E(2,),左a24顶点为O,右焦点为尸.(I)求椭圆。的离心率和DEF的面积；(II)己知直线)，=米+1与椭圆。交于A,8两点.过点8作直线y=4的垂线，垂足为G.判断直线AG是否于)，轴交于定点？请说明理由.22【解析】(I)因为+上=l(>0)经过点E(2,),a449I-所以一5+-=l(>0),解得=2j.az422所以椭圆C:三+E=1,C=后方=2,84所以e=£=立；a2j22因为左顶点为。，右焦点为F,所以D(-2,0),尸(2,0),所以SgEF=J(2+2)x=2+.(II)己知直线)，=依+1与椭圆C交于A,B两点.过点8作直线)，=4的垂线，垂足为G,设A(x1,),B(x2,j2),则G(x2，4),则AG的方程为,-4=上旦。-占），A2-E令户0,则y=4（3+1）+4-4%=34+/一4%，x2xX2-X1X2-X1X2_/_1联立0+彳,可得（1+2公）W+4日6=0,y=Ax+1因为y=丘+1过定点(0,1),(0,1)在椭圆内，所以y=奴+1与椭圆恒有两个交点,4k1 + 2?-（x1+x2） + x2-4x1可得y = 2X2-A1所以村x2=一£正=?(%+/)代入,故直线AG与y轴交于定点(0,1).221o32.(2022秋西城区校级期末)已知椭圆C:+与=1(。匕0)的离心率为且经过点(-1,-马.crb22(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点(U)作直线/与椭圆相交于A,3两点，试问在X轴上是否存在定点Q,使得两条不同直线QA,恰好关于X轴对称，若存在，求出点0的坐标，若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题意，C1厂QH=2a1=b2+c2解得，b=y/3.19,c=ll+=椭圆C的标准方程为三+£=1；43在4轴上假设存在点Q,使得QA,QB恰好关于X轴对称,设A(玉，%),8(5，2)，再设直线/：工=少+1,(r,0)»,+,得（4+3m2）y2+6my-9=0.3+4-12=0"'m6/m9则TTX"一际由"0A+&0B=O，可得"'+'=O，X/Z即乂(叫2+1-0+y2(fny+1-0=0,可得2myly2+(1-r)(+2)=0.则2m(-)÷(l-r)(-7)=0.得4-f=0,即1=4.4+3/n4+3/n故在K轴上是否存在定点。(4,0),使得两条不同直线。A,。心恰好关于X轴对称.2233.(2022秋海淀区校级期末)已知椭圆C:乌+=1(稣匕>0)的焦距和长半轴长都为2.过椭ab圆C的右焦点F作斜率为kk0)的直线/与椭圆。相交于尸，Q两点.(I)求椭圆C的方程；（三）设点A是椭圆。的左顶点，直线AP,AQ分别与直线x=4相交于点M,N.求证：以MN为直径的圆恒过点F.【解析】(I)由焦距和长半轴长都为2,可得c=l,=2,b=>a2-c2=3,22则椭圆方程为±+±=1；43(II)证明：尸(1,0),A(-2,0),直线/的方程为y=2(x-l),联立椭圆方程可得(3+4X)2一8公工+4犬-12=0,直线/过椭圆的焦点，显然直线/与椭圆相交.设P(X1,y),(x2,%)，则xl+x2=>,X1X2=当，直线AP的方程为y=(%+2),3+4k=3+4kx+2可令x=4,得加=即”(4,色_),x1+2X1+2同理可得N(4,X2 +2),所以尸M=(3,M , FZV = (3,1 +2X2+ 2)，又FMFN=9+(西+2)*2+2)2k2-2Sk2=9+36/(X-I)31)=9+361、Xd2-(+)+1=9+'3+43-3+4卜.(x1+2)(x2+2)xix2+2(xl+x2)+44k2-1216k，3+42+3+4Ar2+orf2936A，£=9+=9-9=0.36公3+4F所以以MN为直径的圆恒过点F.234. (2023春东城区校级期末)已知椭圆七:二+丁2=13>1)的左右顶点分别为片、A,点M在Ea"上(异于左右顶点)、且4A4M面积的最大值为2过点和点N(4,0)的直线/与E交于另外一点、B,且8关于X轴的对称点为C.（1）求椭圆E的标准方程；（2）试判断直线MC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由;（3）线段MC的长度IMCl能否为下列值：.?（直接写出结论即可）33【解析】（1）当“在短轴的端点时，取得面积的最大值，则SAAW=J22=2,4个.2所以椭圆E的标准方程为：÷=1（2）N（4,0）,依题意可知直线/的斜率存在且不为0,设直线/的方程为y=R(x-4),设8(X,y1),(x,y2),C(x1,一凶),y=(x-4)联立1/,消去y并化简得(1+4F)X2-32k2+64%2-4=o,+y=14rrrl32k2Mk2-Ar所以+%=7正小