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课题函数的单调性与极值课时2课时(90min)教学目标知识技能目标：(1)熟练掌握函数单调性的判别方法(2)理解极值的概念，熟练掌握求函数极值的方法(3)养成整体思维的习惯，提高应用知识解决实际问题的能力素质目标：(1)通过教学活动，培养学生仔细观察、善于思考、勇于创新的科学素养(2)通过引导探究，开发学生的学习潜能，逐步培养学生养成运用数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯教学重难点教学重点：判定函数的单调性，求函数的极值，利用函数单调性证明不等式教学难点：求函数的极值，利用函数单调性证明不等式教学方法讲解法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，复预习本节课内容【学生】完成课前任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】按照老师要求签到问题导入【教师】提出问题：函数的单调性应如何判别?【学生】聆听、思考、讨论、回答传授新知【教师】通过大家的发言和讲解，引入新的知识点，讲解函数单调性与极值的相关知识一、函数单调性的判别方法【教师】提出函数单调性的判别方法在高中我们学过函数单调性的判定，为了进一步学习，将函数单调性的判定叙述如下：定理I(函数单调性的判定法)设函数.y=/(X)在3,勿上连续，在3,份内可导.(1)如果在3,力内f()>0,那么函数y=fx)在。，加上单调增加；(2)如果在(。，力内f,(x)<0,那么函数y=f(x)在la,b上单调减少.定理是以闭区间为例叙述的，若将闭区间换成其他区间，结论仍然成立.如果可导函数在某些点处导数为零，而在其余各点处导数恒大于零(或小于零)，这时函数在该区间内仍为单调增加(或单调减少).如鬲函数y=X3的导数.v'=3/。，等号仅在X=O时成立，它在(YO,+8),内是单调增加的.【教师】通过例题，帮助学生掌握函数单调性的判别方法例1讨论函数/(X)=Ind+X2)单调性.解/(%)=ln(l+X2)的定义域为(Yo,+8),在定义域内f(x)连续、可导，且l+x"显然X=O时，/'(0)=0;当XVO时，f'(x)<0；当工>0时，/'(力>0.所以/(x)=In(I+/)在(-00,0上单调减少；在0,+8)上单调增加.例2讨论函数/*)=YF的单调性.解函数/Cr)=MF的定义域为(一8，+8).显然X=O时，/'(X)不由；当x<0时，/'(X)VO;当刀>0时，,()>0.所以/(1)="在(YO,0上单调减少；在0,+8)上单调增加(如图3-1所示).图3-1我们注意到，有些函数在它的定义域内不是单调的，但我们用导数等于零或导数不存在的点来划分函数的定义域后,就能保证它的导数在各个子区间内符号不变，从而得出函数在每个子区间上的单调性.为方便起见，我们将导数为零的点，称为函数的驻点.将连续不可导点称为函数的尖点.现将求函数/(X)的单调区间的一般步骤归纳如下：(1)确定函数/(")的定义域；(2)求函数的导数，确定驻点和尖点；(3)以驻点和尖点为分界点，按照从小到大的顺序将定义域划分为若干个子区间冽表讨论人力在各个子区间内f,M的符号，根据判定法确定函数f(x)的单调区间2例3确定函数/(X)=X(X-I)7的单调区间.解(1)/(%)=x(x-l)3的定义域是(9，+8).(2)5x-33*C-I22(x)=U-l)3+-x(x-l)3=显然，驻点是x=;尖点是x=l.3(3)以X=和X=1为分界点将(e，+8)分为三个子区间，列表讨论：V351(1,+00),(x)+0-+/（八）/由上表可知，函数f(x)的单调增加区间为-co弓和1,+8),单调减少区间为1,1二、函数的极值及其求法1、函数极值的定义【教师】提出函数极值的定义由图3-2可以看出，y=/(x)在点2及-5的函数值/(/)和U5)比它邻近各点的函数值都大，而在X，王，4的函数值f(),/(x4/(毛)比它们邻近各点的函数值都小，对于这种性质和对应点的函数值，我们给出如下定义：定义1设函数/(A-)在A0的某邻域U(Xo,6)内有定义，如果对于该邻域内异于-o的任一X,均有fW</()(或f()>f(Xc).那么就称/()是函数/(X)的一个极大值(或极小值)，点11叫做函数的极大点(或极小点)，函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点统称为极值点.如图3-2中/(玉)，f(X4)f/(乙)是函数/(%)的极小值内，加七是/(3)的极小点，f(X2')是函数fx的极大值，毛，G是/()的极大点.关于函数的极值，做以下几点说明：(1)极值是函数值，而极值点是函数取得极值时自变量的值，两者不能混淆.(2)函数的极值是一个局部概念，如果/()是函数fx的一个极大值，那只是就X0附近的一个局部范围来说f(0)比/(X)在其余各点处的函数值都大,而在/(X)的整个定义域来说lf(X0)不一定是函数/(X)的最大值，关于极小值也类似.(3)极大值不一定比极小值大，如图3-2中，极大值/(七)比极小值/U6)还小.2、函数极值的判定和求法【教师】提出函数极值的判定法则和求法由图3-2可以看到，在函数取得极值处的曲线的切线是水平的，或是垂直于X轴的，但曲线上有水平切线或垂直于X轴的切线的地方,函数不一定取得极值，如图中X=W处，曲线上有水平切线，但/(七)不是极值可见，使函数取极值的点只可能是函数的驻点或尖点，由图3-2还可看到，对连续函数来说，函数在单调增加和单调减少区间的分界点处取得极值，即函数由单调增加转变单调减少点处取得极大值：而函数由单调减少转变到单调增加点处取得极小值，于是有下面的定理.定理2(极值判定法则1)设函数f(X)在点X11处连续，且在X11的某去心邻域内可导，如果在左右与近旁：(1)当<小时，l(x)>0,而X>/时，,(x)<0,那么函数/(幻在/处取得极大值八%).(2)当工<与时，/'(X)VO,而时，()>O,那么函数/(X)在人处取得极小值/(*).(3)当X<与与AT>/时，fXx)的符号保持不变，那么函数F(X)在处没有极值.于是,若函数/(X)在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，则可以按下列步骤来求/(X)在该区间内的极值点和相应的极值：(1)写出函数的定义域；(2)求导数广。),并找出定义域内的全部驻点和尖点；(3)考察fx)的符号在每个驻点或尖点的左、右邻域的情形，以确定该点是否为极值点.为方便起见，表进行讨论；(4)求出各极值点的函数值，得函数/(X)的全部极值.【教师】通过例题，帮助学生掌握函数极值的判定和求法例4求函数/Cr)=(2x-5)潺的极值.解(1)函数的定义域为(F,+8).W-10Y1(2)求导,(x)=(2x3-5x3)*=-1,得驻点x=l,尖点X=0.(3)以X=0,X=I为分界点将(to,+8)分为三个子区间，列表讨论：X(-oo,0)O(0,1)1(1»+)/'(X)+一O+f()Z极大值O极小值-3Z(4)由上表可知，函数的极大值为/(0)=0；极小值为/=-3.定理3(极值判定法则2)若函数/*)在点/处二阶可导，且/'(%)=0,/"(o)O,则(1)当f"()<0时，函数/(X)在点与处取得极大值/(%).(2)当广(飞)>0时，函数/(幻在点/处取得极小值/(%).应当注意的是，当/'(不)=0,/"(/)=0时，定理3就不能应用，此时，函数/*)在/处可能有极值，也可能没有极值，需改用定理2予以确定.例5求函数f(x)=SinX+cosx在0,2上的极值.解求导八X)=CoSX-SinX,令八工)=。求得在。，2兀内的驻点为5X=-,X=944求二阶导数得/"(%)=-sinX-CoSX.因为广(：)二应<0,/"(牛)=应>0,故/()在X=E处取得极大值=应，在X=y处取得极小值/用=-2.【学生】聆听、思考、理解、记忆拓展训练【教师】综合应用函数的单调性和极值的计算【学生】聆听、记录、思考强化练习【教师】对学生进行分组，每组选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，完成以下习题1 .判定下列函数在指定区间单调性：(1) /(x)=arctanX-X,x(>,÷);(2)/(x)=x-sinx,x0,2;(3)f(x)=cotx,x(0,).2 .求下列函数的极值点和极值：(1) y=2x3-6x2-18x+7;(2)y=x-ln(l+x)【学生】分组、思考、讨论、解题【教师】公布正确答案，并讲解解题思路【学生】聆听、思考、对比自己的计算结果和演算过程，提升解题技巧课堂小结【教师】简要总结本节课的要点函数单调性的判别方法函数极值的判定和求法【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成能力训练3-2的习题【学生】完成课后任务教学反思