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课题多元函数与偏导数课时4课时(180min)教学目标知识技能目标：(1)理解多元函数的概念，掌握计算多元函数的极限，理解偏导数的概念(2)证明多元函数的连续性素质目标：(1)解决问题，要从本质出发，多思维、多角度思考(2)了解和认识事物的全面,要多方面考虑教学重睚点教学重点：多元函数的概念，计算多元函数的极限和判断多元函数的连续性，偏导数的概念教学难点：证明多元函数在某一点或区间上的连续性教学方法讲解费、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课的知识【学生】完成课前任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】按照老师要求签到问题导入【教师】提出问题：请简述函数的概念。【学生】聆听、思考、回答传授新知【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解多元函数与偏导数的相关知识一、多元函数的概念【教师】通过两个引例，引入多元函数的定义在很多自然现象和实际问题中，经常会遇到多个变量之间的依赖关系.引例1【直角三角形面积】直角三角形面积S与底边长X,高y之间具有关系O1S=-xy2(x>o,y>o)其中，底边长X和高y是两个独立的变量，当X,y在一定范围内取一对数值'y)时，直角三角形面积S都有一个确定的值与之对应.引例2【理想气体状态方程】理想气体的压强p与体积V,绝对温度T之间有下列的依赖关系RTp=v(v>0,T>°,R为常量).这里V,T在一定范围内取定一对数值(丫'丁)时，压强P就有一个确定的值与之对应.上面两个例子的具体意义虽各不相同，但它们却有共同的性质.抽出这些问题的共性就可得出以下二元函数的定义：设有三个变量×,y,zf如果当变量X,y在一定范围内任取一对值(X')')时，变量Z按照一定的法则，总有确定的数值和这对值对应，则称Z是X,y的二元函数,记作z=f(xfy)或z=z(fy).其中，X,y称为自变量，z称为函数或因变量，自变量X,y的变化范围称为函数的定义域.当自变量×,y分别取“。，%时，函数Z的对应值称为二元函数z=(-y)当X=AO,y=%时的函数值，记作f(工。'为)或或Wfg.类似地，可以定义三元函数"二f(Xty'Z)以及三元以上的函数.二元及二元以上的函数统称为多元函数.与一元函数类似，确定二元函数的定义域时，也分为两种情况：(1)当自变量和因变量具有实际意义时，我们以自变量的实际意义确定函数的定义域；(2)当函数是用一般解析式表达,自变量没有明确的实际意义时，我们以使自变量有意义的范围作为函数的定义域.表示二元函数定义域的方法一般有两种：(1)用自变量X,y满足的不等式或不等式组表示；(2)用XQr坐标平面上的平面点集表示.【教师】通过例题，帮助学生掌握多元函数定义域的求法例1求函数Z=yl-x2-y2的定义域.解由根式函数的要求可知，该函数的定义域满足X2÷y21,所以，定义域为O=(x,y)*+y2,i.即函数定义域的图形是以原点为圆心，半径为1的圆内及圆周上点的全体.例2求函数Z=ln(x+)，)的定义域.解函数的定义域为x+y>O,即O=(x,y)X+y>.在几何上其图形为XOr平面上位于直线y=T上方的半平面，但不包括直线本身，如图8-2阴影部分所示.图8-2二、偏导数的概念【教师】提出偏导数的定义研究一元函数变化率时引入了导数的概念，对于多元函数也需要讨论它的变化率.在实际问题中，常常需要了解一个受到多种因素制约的变量，在其他因素固定不变的情况下，该变量只随一种因素变化的变嶙问题.定义8.1.2设函数z=/(x,y)在点(%,%)的某一邻域内有定义,当y固定在V0而X在X0处有增量Ar时，相应函数有增量/(o+x,>o)-(o)，如果极限Hm/(一+5%)-/(一，/),vO八Y存在，则称此极限值为函数Z=/(X,)，)在点(立,%)处对X的偏导数，记为告,或(I'或斗=厮,或r(XO'%).uXv=OXxxqy)>'=)尸儿类似地，可以定义函数z=f(fy)在点(x0,%)处对y处的偏导数，记为也=limf(>v%+Ay)-f(%,%)yX=MV0Ayy=也可记为V,或乩，或火(Xo，%).CyEby治>,=>b如果函数z=(x,y)在平面区域。内每一点3,y)处对X的偏导数t(x,y)都存在,那么这个偏导数显然将随Xj取值不同而变化，即它仍是XJ的函数，我们称其为函数z=f(fy)对自变量X的偏导函数，当，或*，或z：，或t(x,y)OXOX类似地,可以定义函数Z=f(fy)对自变量y的偏导函数43,y)t记作,或一,或Z；,或火(%,),).yy由偏导数的概念可知£(xo，%)=f：(x，y)|,，/：(%，为)=y)y=wy=)b以后在不混淆的情况下也把偏导函数简称偏导数.偏导数的概念可雌广到二元以上的函数，如三元函数=f(X,y,Z)在点(fy,Z)处对X的偏导数定义为Ax,y,z)=lim"-z)-"x,y,Z)ADr【教师】通过例题，帮助学生掌握多元函数偏导数的求法例3求z=/+3济，+y2在点(1,2)处的偏导数.解把y看作常量，得主=2x+3y.把X看作常量，得=3x÷2y.xy将x=l,y=2带入上面的结果，得=2×l+3×2=8,=3×l+2×2=7.xV-Iy-y=2尸2例4求z=/的偏导数解把y看作常量，得【学生】聆听、思考、包=.把X看作常量，得自=第'.Inx.xy理解、记忆强化练习【教师】对学生进行分(1)证明Iim(xy)(0.0(2)求函数z=V(3)设，,y)=(4)z=esin(2x(5)已知气态方者组，每组选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，完成以下习题-r不存在.)X+y(x>0)的偏导数.vsiny+求人及+)，)，求生,纥xye,/C日必蝌r、-IX.-TdPVT.PV=RT(R是常数)，求证：=1.VTPy/2(6)设/Xx,y)=【学生】分组、思考、【教师】公布正确答案【学生】聆听、思考、%2+/,求工(0,0),4(0,0).0,2+y2=0讨论、解题,并讲解解题思路对比自己的计算结果和演算过程，提升解题技巧课堂小结【教师】简要总结本节课的要点本节课主要学习了多元函数的概念，多元函数定义与的求法，偏导数的概念，以及多元函数偏导数的求法【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成能力训练8-1的习题【学生】完成课后任务教学反思