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课题二阶常系数齐次线性微分方程课时2课时(90min)教学目标知识技能目标：(1)理解二阶线性方程解的结构，掌握齐次线性方程的通解(2)掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。素质目标：(1)让学生明白建立简单应用问题中的微分方程,体会联系的多样化(2)培养学生主动交流的合作精神，培养学生善于探索的思维品质教学重睚点教学重点：二阶线性方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法教学难点：二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法教学方法讲解法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，回顾高中学习的函数概念【学生】完成课前任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】按照老师要求签到案例导入【教师】提出问题：火车沿水平直线轨道运动，设火车质量为M,机动牵引力为F,阻力为+by,其中人均为常数，V为火车的速度.若已知火车的初速度与初位移均为零，求火车的运动方程S=SQ).试问：你能写出运动方程吗？【学生】聆听、思考、讨论、回答【教师】公布正确答案，并引入二阶常系数齐次线性微分方程传授新知【教师】引入新的知识点，讲解二阶常系数齐次线性微分方程的相关知识二阶常系数线性微分方程在工程技术中用的很多,特别是在电学、力学中遇到的机会更多.下面看一个实际问题.【教师】通过引例，提出二阶常系数线性齐次微分方程的定义引例质量为1克的质点，受力的作用沿直线离开中心点，已知作用力与质点到中心点的距离成正比(比例系数为4)；外界阻力与运动速度成正比(比例系数为3).运动开始时，质点距中心点1厘米，速度为0.求质点的运动规律.分析设S表示路程，表示时间则人石为速度,S"=为为加速度.根据题意：作用力=4s,外界阻力=-3一,dr质点所受的合外力=4s-3匕，d/由牛顿第二定律尸=以，得这个微分方程是二阶的，系数都是常数，且S,s'S*的幕次都是一次的.像这种类型的微分方程，就是我们本节将三学习的二阶常系数线性齐次微分方程.一般地，形如yn÷py,+y=O的方程称为二阶常系数线性齐次微分方程，其中PM都是常数.【教师】讲解二阶常系数线性齐次微分方程的解法下面讨论二阶常系数线性齐次微分方程的解法.首先容易验证方程.v"+），'+分，=0的解有如下结论：若刃，为是方程7+py,+gy=0的两个特解，则（1）力，刃的线性组合clyi+也是方程的解，其中G，G是任意常数；（2）若&工常数，则Cj+G%是方程的通解.上述结论称为解的结构定理.由以上结论可知，求方程y"+py'+qy=0的通解，关键在于求出方程不成比例的两个特解为，尤.根据方程的特点，可以看出"%必须是同类型函数，才能使等式右端等于零，而函数求导后是同类型函数的只有指数函数，于是我们猜想函数y=efx（，为待定常数）可能是方程/+），'+/，=。的解.为此，求出/=用"，/=rerx,并代入方程，得erjc(r2+pr+q)=O.而e"0,因此/应满足r2+pr+q=O.即当Z是代数方程/+pr+夕=O的根时，y=erv就是齐次方程y"+处=O的解.因此，我们称方程/+pr+q=O是方程y"+py,+qy=O的特征方程，特征方程的根称为特征根.由于，特征方程r2+pr+q=O的特征根有三种情况，根据二阶常系数线性齐次微分方程解的结构，可以得到三种情况下方程/+p+=0的通解(见下表).惭正方程r2+pr+q=O通解形式两个相异实根rxr2y=C1e,ir+C2e两个相等实根4=弓=y=(Cl+C2x)erx一对共柜复根£2=。±夕，y=ex(C1cosx+C2sinx)由以上讨论可知，求二阶常系数线性齐次微分方程y*+py,+qy=O的通解步骤如下：(1)写出对应的特征方程r2+pr+q=O;(2)求出特征根/;r2;(3)根据小弓的三种不同情况，写出方程的通解.【教师】通过例蓬，帮助学生掌握二阶常系数线性齐次微分方程的应用例1求下列微分方程的通解：(1)/-5+6y=0;(2)，-2y'+y=0;(3)y+2+5j=0.解(1)对应的特征方程为r2-5r+6=0,特征根为4=2,4=3,所以通解为j=C1e2x÷C2e3v.解(2)对应的特征方程为r-2r+l=0,特征根为4=弓=1,所以通解为y=(G+G)e',解(3)对应的特征方程为产+2r+5=0,特征根为"=T+2i,G=T-2i,所以通解为y=尸GCOS2x÷C2sin2x)例2求引例1中的问题.解在引例1中建立的微分方程为d2s方“-3-¾=0,dr初始条1牛为I,小sC=1，IX=OE=0.x=0对应的特征方程为/+34=0,特征根为4=Yr2=1,所以通解为5=Cle-4z+(72e,.于是5=-4c"ldrC2e,.把初始条件Sln=1,I-V=OCkdrx-0=0代入上面两式,得1=C+C2>0=-4C1+C2.14解得G=±,c=-.因此，质点的运动规律是5-5容如果电例3【电容器放电问题】设有一个由电阻R=180Q、自感L=20H、电C=l280F组成的串联电路，如图6-3所示，当开关闭合后，电容器开始放电，容器上原有电量为0.01C,试分析电容器的放电规律.do图6-3解设任意时刻电容器上的电量为Q=QQ),则电流中.由闭合回路上电压的代数和等于零可得uc+ul+ur=o.因为tc=-=280,UL=LE=20爷，UR=Ri=180与于是得280。+20邛+180吆=0,drdr即挈+98+14。=0.drdr初始条件QLT=O.01,丝=0.特征方程为r+9r+14=0f特征根为/J=-2,r2=-l,所以通解为Q=Gea+Ge'.于是些二一2GeT-7C,e”.d/把初始条件Qi=O=0.01,=O代入上面两式，得d/r=<JC1+C2=0.01,(2C1+7C2=O,解得C1=0.014,C2=-0.004.因此，电容器的放电规律是Q=0.014e-”-0.004ef.【学生】聆听、思考、理解、记忆强化练习【教师】组织学生以小组为单位，完成以下习题求下列微分方程的通解.(1) /+y-2y=0(2) /-10y+25y=0【学生】分组、思考、讨论、解题【教师】公布正确答案，并讲解解题思路【学生】聆听、思考、对比自己的计算结果和演算过程，提升解题技巧课堂小结【教师】简要总结本节课的要点二阶常系数齐次线性微分方程解的性质及通解结构二阶常系数齐次线性微分方程的解法【学生】总结回顾知识点【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成能力训练6-4的习题【学生】完成课后任务作业布置教学反思