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课题无穷级数的概念和性质课时2课时(90min)教学目标知识技能目标：(1)了解无穷级数的有关概念,如一般项、部分和、和、收敛、发散等(2)掌握级数的四个性质和一条推论(3)学会利用无穷级数的性质衡量级数的敛散性素质目标：(1)合理的以数学思维方式思考问题(2)善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型的素养教学重难点教学重点：级数收敛和发散的概念教学难点：用无穷级数的性质判别级数的敛散性教学方法讲解法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课的知识【学生】完成课前任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】按照老师要求签到问题导入【教师】提出问遨：请回顾高中学习的等比数列和等差数列的概念。【学生】聆听、思考、讨论、回答传授新知【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解常数顶级数的概念与性质等知识一、引例【教师】通过引例，引入无穷级数的概念引例【无限循环小数问题】级数的初步思想实际上已经蕴涵在算术中的无限循环小数概念里了.我们知道，将！化为小数时，就会出现无限循环小数，=0.3,现在我们把03来分析一下，看从中能得到什么启示.330.3=,1033331010010IO20.333=F1-IO1003lo一般地，可以得到如下一个表达式八”C33330.333=+丁47+-10IO2IO310"显然，如果-8,那么我们就得到o13333310IO2IO310"即13333-=1z47+310IO2IO310"这样，！这个有限的数量就被表示成无穷多个数相加的形式.从这个例子中我们可以看到，无穷多个数3相加可能得到一个确定的有限常数，从而，无穷多个数相加在一定条件下是有意义的.二、无穷级数的基本概念【教师】提出无穷级数的定义，并强调级数的分类定义1对于无穷数列，4，%，把它的各项依次用加号连接的表示式M1+W2+M3+Mn+.(1-1)称为无穷级数，简称为级数.记为XWn,其中叫称为级数的第1项，”2称为级数的第2项，.，“称为级数n第项，也称为通项或一般项.如果%是数值，则级数称为常数项级数；如果%是函数，则级数nlJI=I称为函数项级数.定义2对于级数的部分和数列szt,若f00时有极限为S,即n三lIimS“=S.0G则称该级数收敛，S称为级数的和，即S=Z%=%+"2+"+(1-2)n=l此时，也称级数收敛于S.若数列sll没有极限，则称该级数发散.当级数收敛时，其和S与部分和S”的差称为级数的余项，记为R11,即凡=S-S,=-+/,+?+在近似计算中，以部分和近似代替级数的和，所产生的误差I&I”【教师】通过例题，帮助学生掌握级数的敛散性的求法例1讨论级数1+2+3+是否发散.解因为级数的部分和Sz,=l + 2÷3 +=:"f8("8),即部分和数列5”发散，从而级数发散.例2讨论级数Y-的敛散性.M"5+l)解级数的部分和n(n+l)由于IimSn=IimI,所以该级数收敛.Sn÷1例3判断级数Yln的敛散性.解由于In2里=ln(+l)-lnn(/:=1,2,),得到Sn=(In2-In1)+(In3-In2)+ln(w+l)-ln/?=ln(w+1)，因为Iim5m=)imln(2+1)=+,所以级数发散.三、无穷级数的基本性质【教师】提出无穷级数的性质性质1：若级数收敛，其和5,则对任一锄七级数也收敛，其和为kSn=1n=l性质2：若级数SX与£>“分别收敛于Sl与S2,则级数£（”±匕）也收敛，且其和为，±s?.n=l=lM=I性质3：若级数收敛，则对该级数的项任意加（或去）括号后，所成的级数仍收敛，且其和不变.n=l性质4:增加、去掉或改变级数的有限项,不改变级数的敛散性.性质5:（级数收敛的必要条件）若级数W“收敛，则Iim/二O.I"-B【教师】通过例题，帮助学生掌握利用无穷级数的性质判断级数敛散性的方法例4判断级数ZL一；的敛散性.解级数的一般项%=用一.因为5z+41.1.33lmw=Iim=-0,“"-M5+45所以，由级数收敛的必要条件知，该级数发散.【学生】聆听、思考、理解、记忆拓展训练【教师】讲解级数的性质需要注意的事项【学生】聆听、记录、思考强化练习【教师】对学生进行分组，每组选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，完成以下习题（1）求级数52+的和.+1）2J（2）证明调和级数£,=1+:+.+-+是发散的.占23（3）考察级数上三台和E（TJ的敛散性.【学生】分组、思考、讨论、解题【教师】公布正确答案，并讲解解题思路【学生】聆听、思考、对比自己的计算结果和演算过程，提升解题技巧课堂小结【教师】简要总结本节课的要点本课主要学习了无穷级数的概念、无穷级数的性质、判断级数的敛散性【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成能力训练10-1的习题【学生】完成课后任务教学反思
