《7543~1.docx

课题拉普拉斯变换的概念及性质课时2课时(90min)教学目标知识技能目标：(1)理解拉普拉斯变换的有关概念(2)掌握拉普拉斯变换的性质(3)理解单位脉冲函数的定义，并掌握单位脉冲函数6(f)的拉氏变换素质目标：(1)通过融入数学家拉普拉斯的故事，坚定学生理想信念，厚植爱国主义情怀(2)培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识拉普拉斯变换的应用，培养学生善于探索的思维品质教学重睚点教学重点：拉普拉斯变换的有关概念和性质,单位脉冲函数的定义教学难点：单位脉冲函数5(。的拉氏变换教学方法讲解法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课要讲的知识【学生】完成课前任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】按照老师要求签到问题导入【教师】提出问题：什么是拉普拉斯变换？它有什么作用？【学生】聆听、思考、讨论、回答传授新知【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解拉普拉斯变换的概念及性质等知识一、拉普拉斯变换的概念【教师】提出拉普拉斯变换的概念在数学运算中，为了把较复杂的运算转换为较简单的运算，常常采用某种变换方法，我们熟悉的对数变换就是一个很好的例子.借助于糠变换可将乘方、开方运算转化为乘除运算，将乘除运算转化为加减运算.拉普拉斯变换是将微积分运算转化为代数运算.定义1设函数/(r)在生0时有定义，若广义积分J；(XdZ,在S的某一区域内收敛，则确定了一个以S为自变量的新函数，记作F(三)l即F(5)=x(r)e-¾.(11-1)式(11-1)称为/(/)的拉氏变换式，记作Lf(t)l即F(三)=Uf(t).函数F(s)称为/的拉氏变换(或/(r)的象函数)；/(r)称为F(s)的拉氏逆变换(或F(三)的象原函数)，/(，)=LdF(s).说明：(1)拉氏变换中，只要求/(Z)在生O时有定义，为了研究方便，以后总假定kO时，/(/)三O;(2)拉氏变换是一种积分变换，一般说来，在科学技术中遇到的函数的拉氏变换总是存在的；(3)参数S可在复数范围内取值.为了方便起见，本章我们把S作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用.【教师】通过例题的讲解，使学生熟悉拉普拉斯变换的相关概念例1求指数函数/=e'""20,。为实数)的拉氏变换.解Le'=J；e",e,fdr=*ec5),drI+8I=(s>a).a-sJ0S-a即Heal=(s>a).s-a例2求函数f(t)=at(r.O,为常数)的拉氏变换.r+8,Clr+-a>解"ml=。S=-ord(e-j,)=，（5>0）.S例3求正弦函数/()=sinr(t.O,为常数)的拉氏变换.解Lsinr=J()sinyre-'7d=e"(ssinx+rcos的):=232(s>0)s+”即Lsint=-0-(5>0).S-+同理可得SLcost=:(5>0).s+0,f<0,例4求单位阶梯函数U)=I的拉氏变换.1,r0,解根据拉氏变换的定义，有+00IF-11+8Ile-5,dr=e"i,l="(.v>0).05Lj°S所以=-(s>o).S二、拉氏变换的性质我们知道了如何用定义求一个函数的拉氏变换，对于较复杂函数的拉氏变换，可以应用拉氏变换的性质.1 .线性性质【教师】讲解拉氏变换的线性性质若生，的是常数，且UM)=,i2(0=B(三).则+a2f2(r)=aiLfi(/)+a2Lf2(t)=4E(三)+出E(三).(11-2)同样，拉氏逆变换也具有线性性质，即,tz1f;(5)+a2F2(s)=ayI7lFl(5)+a2LiF2(s).【教师】通过例题，帮助学生掌握拉氏变换的线性性质例5求函数/=l-e,+It的拉氏变换.解L-Qa,+2t=1-Le-at+2Lt112=+ss+as2 .平移性质【教师】讲解拉氏变换的平移性质若L"(f)=F(s),则1.ea,f(t)=F(s-a)(a为常数).(11-3)可见，对象原函数f(t)乘以etw,相当于对象函数尸(三)作位移a.同样,F(5-a)=et,z,(5)=efl(0.【教师】通过例题,帮助学生掌握拉氏变换的平移性质例6求Ltea,Lc-atsint和Le-fl,cost.解因为“H=,Lsint=,Hcost=-.sS-+s+由平移性质得Lteat=16-KL(Sint=；7(s+a)2+2rr,s+aUcostJ=；(S+d)+GJT3 .延滞性质【教师】讲解拉氏变换的延滞性质若/«)=尸(三),则对于CO有(11-4)(-r)=e-rT(5).说明：将函数/“一7)与/比较，f(t)是从40开始有非零数值，而f(t-)则是从/=r开始才有非零数值，即延迟了时间.从它们的图像来看，/(，-7)的图像是由/的图像沿f轴向右平移距离而得，如图11-1所示.这个性质表明，函数/延迟时间7的拉氏变换等于它的象函数/(三)乘以指数因子e-".A)Wr)M图n-【教师】通过例题，帮助学生掌握拉氏变换的延滞性质O,r<r,例7求函数,)=,的拉氏变换.1,t.t解由例4可知S利用延滞性质得1.w(/-r)=e-M-.S4.微分性质【教师】讲解拉氏变换的微分性质若£/«)=F(三),则4/'。)=S尸一/(0),(H-5)即函数导数的拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数S,再减去函数的初始值.一般地，有u/(n)()j=,L(r)-,(0)-r-70)-A0(O).特别地，如果/(0)=r(0)=广(0)="T(O)=0,则有1.lfint)snLlf(t)=snF(s).利用这个性质，可将f(t)的微分方程转化为F(三)的代数方程.5.积分性质【教师】讲解拉氏变换的积分性质若Lf(t)=尸(三)(SWo)且f(t)连续，贝U4;/可=?.从拉氏变换的微分、积分性质可以看出，经过拉氏变换后，可将函数的微积分运算转化为代数运算.这是拉氏变换的一个重要特点.例8求/(/)=t,'n为自然数)的拉氏变换.解法1因为ff="I，=n(n-l)tn2，/"%)=!故有/(0)=no)=Ir(O)=A0(O)=0.利用微分性质，有1.fint)=snLf(t).即wL(/)=Lj.又因为/%)=!=!助=?代入上式便得mLg)=产-解法2因为=Jd,r=f>d，F-利用积分性质，得ZM=4M=IU=5，2=2dl=-L=-4=,LJf)Jssss1.t3=£3rdt=-Lt2=-1=,Lj0JsS.VS以此类推，有4门=也”网乎E咚"LM现将拉氏变换的几个性质和在实际应用中常用的一些函数的象函数分别列于表II-I和表11-2.表11-1拉氏变换的性质序号设以/=尸(三)1Lalfl(t)+a2f1(t)=1L;(r)+a2Lf2(t)2巧=F(s-a)3W(f)=eFF(三)(r>0)4£/(/)=,vF(5)-/(0)uw=SW-s"T()-SFo)尸(0)5电"(间=?6M=/,闫«>07卬了二(Tyw")(三)8f厂"、)小11-2常用函数的拉氏变换表序号/(0P(三)1火)12M()£S3t1J24r(«=1,2,.)加TTr5a761eatS(S+d)7teat(s-4)28tneat(n=l,2,.)川（严9sintS2+210costSS2+211snt+SSine+<cos0s2+212CQst+)scos-snsi+213Mnt26M(52+(2)214sint3tcost2-(S?+/)?15fcost(52+<2)216eaint(S+a)2+217e-gtcostS+4G+4+118-!y(I-COSt?/)s(s2+a2)序号19e,-ezwa-bs-a)s-b)201sjs211yt1了三、单位脉冲函数及其拉氏变换1单位脉冲函数（狄拉克函数）【教师】提出单位脉冲函数（狄拉克函数）的定义在许多实际问题中，常常会遇到具有冲击性质的量，如在一瞬间的大作用力或超高压.这些物理现象都具有脉冲的性质研究这类问题，不能用通常的函数表示，为此我们介绍一种特殊函数.定义2设1 aa)=« yO,O t W £,其他.当£o时，函数序列(/)的极限(r)=lim(r),tfO称为狄拉克函数，简记为b-函数，工程技术中常称为单位脉冲函数.当，工0时，(t)=o,而，=0时，M)的值为无穷大，即()的图形如图11-2所示.显然对任何U>0,有()d=jl=l.所以，我们规定广必)山二1.J-00有些工程书中，将函数用一个长度等于1的有向线段来表示(图11-3),这个线段的长度表示6-函b-函数有下述重要性质(也称为6-函数的筛选性质):设f(t)是(YO,+8)上的连续函数，则(t)f(t)在(YO,+8)上的积分等于/(r)在/=0处的函数值，即÷0M)fdf=(O).(11-6)一B注意：函数是一个广义函数，它没有普通意义下的函数值，不能用通常意义下“值的对应关系”来定义.2.单位脉冲函数b()的拉氏变换【教师】讲解单位脉冲函数W)拉氏变换的求法解法1先求用拉氏变换1.(t)=o+X()edr=e-',d/='d-厂).所以，义，)的拉氏变换为1-e-sL(t)=IimH(t)=Iim=IimeTf=1(极限运用罗必达法则).eOQ£seO因此，()=l.解法2因为当rv时，b")=0,所以有1.(r)=Ib()e"df=fb(r)e'd.JOJ-由b函数的筛选性质(11-6),得ZW)=eT0=l.【学生】聆听、思考、理解、记忆强化练习【教师】组织学生以小组为单位,完成以下习题(1) Q)=2eT(2) /(r)=?-7r+3【学生】分组、思考、讨论、解题【教师】公布正确答案，并讲解解题思路【学生】聆听、思考、对比自己的计算结果和演算过程，提升解题技巧课堂小结【教师】简要总结本节课的要点本课主要学习了拉普拉斯变换的相关概念和性质，以及单位脉冲函数及其拉氏变换等知识【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成能力训练11-1的习题【学生】完成课后任务教学反思