《概率论与数理统计》教案第16课方差.docx

课题方差课时2课时(90min)教学目标知识技能目标：(1)理解方差、标准差的概念(2)能够利用方差的定义和性质计算随机变量的方差和标准差(3)掌握用切比雪夫不等式估算随机变量概率的方法.素质目标：(1)帮助学生树立正确看待随机现象的世界观,掌握统计估计的思想与方法(2)训练学生的抽象思维、逻辑推理和发散思维的能力教学重难点教学重点：方差、标准差的概念教学难点：用切比雪夫不等式估算随机变量概率的方法教学方法讲练结合法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，搜集并了解方差的相关知识【学生】完成课前任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】按照老师要求签到互动导入【教师】提出问即：什么是方差？【学生】思考、讨论、回答传授新知【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解方差的相关知识【教师】通过例子，引出方差的概念先从例子说起.例如，有一批灯泡，其平均寿命是E(X)=1000h,仅由这一指标我们还不能判定这批灯泡的质量好坏.事实上，有可能其中绝大部分灯泡的寿命都在9501050h；也有可能其中约有一半是高质量的，它们的寿命大约有1300h,另一半却是质量很差的，其寿命大约只有700h.为要评定这批灯泡质量的好坏，还需进一步考察灯泡寿命X与其均值E(X)=1OOO的偏离程度.若偏离程度较小，表示质量比较稳定.从这个意义上来说，我们认为质量较好.前面也曾提到一个白领一年十二个月的收入是一个随机变量，但人们往往关注月平均收入，但两份月平均收入相同的工作，哪份工作会更好呢？这个时候就要考虑每个月实际收入和平均收入的偏离程度.由此可见，研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么，用怎样的方法去度量这个偏离程度呢？容易看到，EX-E(X)I能度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.但由于此式带有绝对值，计算不便，所以，通常用EllXE(X),2)来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.由此可见，研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么，用怎样的方法去度量这个偏离程度呢？容易看到，E(X-E(X)能度量随机变量X与其均值或X)的偏离程度.但由于此式带有绝对值，计算不便，所以，通常用石HX-E(X)来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.这就是本节要介绍的重要概念一方差.一、方差的定义【教师】提出方差和标准差的定义定义1设X是一个随机变量，若印X一E(X)'存在,则称如X-E(X)FBX的方差,记为O(X)或Var。),即D(X)=Var(X)=EX-F(X)2)(4.H)在实际应用中，还引入了量,记为0(此，称为标准差或均方差.由定义知，°(X)描述了随机变量X与其期望E(X)的偏离程度.Z)(X)越小，说明X的取值越集中；反之，°(x)越大，说明X的取值越分散.阿石同样也描述了随机变量X的偏离程度.若X为离散型随机变量，其分布律为P(X=XA)伙=1'2'),则由式(4-11)有D(X)=X(Xi-E(X)2Pi*=,(4-12)若X为连续型随机变量，其概率密度函数为JX),则由式(4-11)有(4-13)(4-14)O(X)=J：(x-E(X)2/*)去随机变量X的方差也可以按以下公式计算：D(X)=E(X2)_e(x)2证由数学期望的性质可知：D(X)=EX-E(X)t=EX2-2XE(X)+E(X)f=E(X2)2E(X)E(X)+E(X)f=E(X2)-E(X)f【教师】通过例题，介绍方差的求法例】设随机变量X(0'D分布，求D(X).例2设随机变量X尸(分布,求O(X).例3设随机变量xuQ'加，求D(X).例4设随机变量X服从指数分布，其概率密度为其中4>0,求D(X).例5设随机变量XN(",?),求D(X)(解析详见教材)二、方差的性质【教师】介绍方差的性质假设以下讨论的随即变量的方差均存在，则随机变量的方差具有下列一些性质：性质1设随机变量X,则对于任意常数a,b,有D(aX+b)=a2D(X)(4.,5)讦D(aX+b)=EaX+b-E(aX+Z?)2)HLl=EaX+b-aE(X)-bf=EcX-E(X)2=a1EX-E(X)2=a?D(X)推论1设b为常数，则Z)S)=°,即常数的方差为().推论2设X为随机变量,a为常数,则Z)SX)=a2D(X)推论3设X为随机变量，则D(X)=Of),即X与一X的方差相同.性质2设X'V为相互独立的随机变量，则有D(X+K)=D(X)+D(Y)(4/6)证由方差的定义有D(x+y)=£x+r-£(x+y)2)=EXY-E(X)-E(X)=EX-E(X)+Y-E(Y2=EX-EXYEY-E(Y)f)÷2EX-E(X)r-£(/)由于X与丫相互独立，所以X-E(X)与Y-E(Y)也相互独立，由数学期望性质知EXE(X)/E(y)=O所以。(X+y)=D(X)+5丫)推论】X'V为相互独立的随机变量，"'"为任意常数，有D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)O(X-Y)=D(X)+D(Y)推论2X，X?''X”为n个相互独立的随机变量，44'为任意常数，则有Ml。禺Lt。")/=/Hl【教师】通过例题，介绍利用方差的性质进行求解的方法例6设随机变量X8(”，P),求。(X),Y=Xf例7设随机变量X,E(X)=",Q(X)=b,称b为X的标准化变量.证明E(K)=O,D(K)=I例8XVX2,X"为n个相互独立的随机变量，E(Xj)=J。(Xj)="，i=0,l,2,，令X=-Yxz-白，求E(X),Q(X)例9设随机变量X与丫相互独立，且*N(720,3()2),Xn(640,25?),求瞬px>tPx+r>i4(解析详见教材)定义2对随机变量X及正整数攵，若以XA)存在，则称E(Xb为X的k阶原点矩，简称攵阶矩；若EXY(X)力存在,则称印X"门为X的攵阶中心矩.易知随机变量X的1阶原点矩就是X的数学期望；X的1阶中心矩为O;X的2阶中心矩为X的方差.某些常见分布的数学期望和方差如表4-9所示，希望读者熟记，将来可以直接使用其中的结论.表4-9分布名称及记号参数分布律或概率密度数学期望方差(OJ)分布0<p<P×=k=pk(-prk(2=0,1)PP(I-P)二项分布B0t,P)0<p<"1PX=4=cy(I-P)I(A=O,L，)叩p(l-p)泊松分布PU)2>0PX=A=e"g(k=0,1,2,)均匀分布U(a,b)a<b,a<x<bfxb-a0,其他a+b212指数分布E()2>0即产'Q°o,%,()171I7正态分布N,2),>0IifAX)=而L(-OO<X<+<)2三、切比雪夫不等式【教师】提出切比雪夫不等式切比雪夫不等式设随机变量X具有有限数学期望E(X)=和方差°(X)=b*,则对于任意的正数£>0,有P(IX-4E),即P(X-<).P(X-A)=l“/。心,9"(x)dx证JIX-JW-M£一,-yx(x-£(X)2/(x)dx=2?(|X<).J-即£.推论O(X)=O的充要条件是随机变量X依概率1取常数C=E(X),即PX=E(X)=证设D(X)=人=0,则对于任意正整数,由切比雪夫不等式，有PX-E(X)三1-=0l"B/PX-E(X)<-.1即,pfX-F(X)<-=l但概率不能大于1,故任取正整数n,有In),所以PX=E(X)=反之，若AX=E(X)=1,则可证明O(X)=°(读者可自行证明).在概率论的许多不等式中，切比雪夫不等式是最基本和最重要的不等式.切比雪夫不等式利用期望和方差，对事件X-E(X)I©的概率进行估计，且无需知道随机变量X的分布，这使得它在理论研究及实际应用中都很有价值.从切比雪夫不等式还可以看出，当方差越小时，事件X-E(X)I口发生的概率也越小，这表明随机变量X的取值也就越集中在其“中心"4X)的附近.可见,方差的确是刻画随机变量X取值集中程度的一个量，在下一章我们还将看到，切比雪夫不等式估计是大数定律的理论基础.但是这种估计是比较粗糙的，如果已经知道随机变量的分布时，那么所需求的概率就可以确切地计算出来，也就没有必要利用这一不等式进行估计了.【教师】通过例迤，介绍利用切比雪夫不等式进行求解的方法例】O设X为随机变量，且E(X)=,ZXX)=",试用切比雪夫不等式估计P(X-.3)例Il有一批种子，其中良种占%,现从中任取6O(X)粒，试用切比雪夫不等式估计6OOo粒种子中良种2所占比例与力之差的绝对值不超过0.01的概率.(解析详见教材)【学生】聆听、思考、理解、记忆【教师】给出题目，组织学生以小组为单位进行解题1 .设连续型随机变量X的概率密度为拓展训练l+x,-1,x<0,f(x)=-x,0x<l,D(X).0,其他.2 .已知随机变量X的概率密度为fkx+b,0,x<l,7./(X)=八甘.且E(X)=7；-求：Q(X)和Jo(X).0,其他，12【学生】聆听、思考、讨论、解题【教师】公布正确答案，讲解解题步骤【学生】对比答案和解题步骤，提高自身解题技巧课堂小结【教师】简要总结本节课的要点方差的定义方差的性质切比雪夫不等式【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业(I)完邮材中的习题42;(2)除APP蝌酵习平相【学生】完成课后任务教学反思