《概率论与数理统计》教案第14课二维随机变量函数的分布.docx
课题二维随机变量函数的分布课时2课时(90min)教学目标知识技能目标：(1)理解z=x+v的函数分布(2)王聊M=max(X,丫)和N=min(X,Y)的函数分布(3)会求两个独立随机变量简单函数的分布(和、极大、极小)(4)了解有限个正态分布的线性组合仍是正态分布的结果素质目标：(1)帮助学生树立正确看待随机现象的世界观，掌握统计估计的思想与方法(2)训练学生的抽象思维、逻辑推理和发散思维的能力教学重难点教学重点：Z=X+Y的函数分布，M=max(X,丫)和N=min(X,Y)的函数分布教学难点：求两个独立随机变量简单函数的分布(和、极大、极小)教学方法讲练结合法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件,搜集并了解二维随机变量函数分布的相关知识【学生】完成课前任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】按照老师要求签到互动导入【教师】提出问题：利用二维随机变量的函数分布可以解决哪些实际问题？【学生】聆听、思考、回答传授新知【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解两种特殊函数关系的函数分布一、z=X+丫的分布设二维离散型随机变量(X'r)的分布律为P(X=xifY=yj)=Pij(Z,y=1,2,-)若随机变量Z是X和Y的和，即Z=X+y,则Z的任一可能值I是X的可能值Xi和Y的可能值力的和：Zk=Xi+Yj由上式及概率的加法公式，有P(Z=Zk)=ZZP(X=xi,Y=Yj)=ZP(X=XifY=zk-xi),(3-18)或者P(Z=ZQ=ZP(X=Zr=)(3-19)例1设二维离散型随机变量(X'K)的分布律如表3-15所示.表3-15-10100.10.20.1I0.30.11.1.2求z=x+y的分布律.(解析详见教材)对于连续型随机变量，若(X丫)的联合密度为f(r')'),则如何求z=x+y的密度函数呢？先求Z的分布函数：由分布函数的定义知对任意Z有%(Z)=P(Z副Z)=P(X+yZ),由于事件X+y,z利介于事件(X,y)eD:x+y,z,于是B(Z)=P(X,y)£0,所以(见图3-9)B(z)=JJ(x,y)cUdy=/*，y)Ckdy=J(x,y)dAdyDx+ynz图3-9If(x,y)dyt-v+x在积分中，Z和X是固定的，令一，则得B(Z)=匚/«-y)dfdy=匚J二-y»>,)dydr由概率密度的定义，得+oof(z-yfy)dy¢0由于Xy的对称性，也有fz(z)=f(x,z-x)dx上两式为Z=X+Y密度函数的一般公式.特别地，当X''相互独立时，由于对一切X，N都有/(My)=人()4a),此时z=X+丫的密度函数公式为r+®r+(3-20 )(2)=7x(z-y)(y),fx(x)f(z-x)dx'或上式称为卷积公式.例2设XN(，b2),yN(，)，且X与Y相互独立，求z=+y的瞬密度.(解析详见教材)定理1设XlX2，'X”相互独立，且X,/)(“=1'2'')，则其和Z=X,+X2+X11仍服从正态分布，且X+X2+X"N(m+4+n,12+<7J+。；)例3两台同样自动记录仪，每台无故障工作时间服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当期发生故障时停用而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度函数/(幻.(解析详见教材)_M=max(XY)nN=min(X,Y)hh一及BuTj1P设随机变量X'Y相互独立，其分布函数分别为f×和耳()')，由于"=max(X'Y)不大于Z等价于X和Y都不大于z,故有Fm(z)=PMz=PXz,F三Jz(=PXzPY?z=Fx(z)Fy(z)(3_21)类似地，可得N=mill(X'丫)的分布函数：CV(Z)=PN,z=l-PN>z=l-PX>zfY>z=I-PX>zPY>Z=-FxMl-F(z)(3_22)上述结果容易推广到n个相互独立的随机变量的情况.设XjX2，'X”是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为G)=1，2,)，则M=max(Xl,X2,'X")及N=min(X1,X2,Xn)的分布函数分别为Fttm(z)=Fxi(Z)Fxj(Z)Fx(z)rFmin(z)=l-l-Fx、(z)l-Fx2(Z)1-F.(Z)特别地，当XLX2，'X”相互独立且具有相同分布函数Fa)时，有%(Z)=S(Z)Fnin(z)=l-l-F(z)例4设系统L由两个相互独立的子系统。'L联接而成，联接方式分别为串联、并联、备用(当系统£(损坏时,系统L开始工作)，如图3-10所示.设4'4的寿命分别为X，Y,已知它们的概率密度分别为(ae-ax,x>0,夕e",y>0,AU)=nU)=jn09x,0,0,y99,其中，a>0t且,.试分别就以上三种联接方式写出L寿命Z的瞬密度.I-I|-1L1_L1_XYy-X1-X-JW回(a)串联(b)并联(C)备用图3-10(解析详见教材)【学生】聆听、思考、理解、记忆拓展训练【教师】给出题目，组织学生以小组为单位进行解题设随机变量(X,y)的联合概率密度为fcxe,Ovxvyv+,/(V,J)=<0.其它.(1)求常数c;(2)X与y是否独立？为什么？(3)求r(Xy),fv(yX);(4)求"Xv1Yv2,"Xviy=2;(5)求(x,y)的联合分布函数；(6)求Z=X+Y的密度函数；(7)求尸X+yvl;(8)求Pmin(X,F)<1【学生】聆听、思考、讨论、解题【教师】公布正确答案，讲解解题步骤【学生】对比答案和解题步骤，提高自身解题技巧课堂小结【教师】简要总结本节课的要点z=x+y的函数分布M=max(X,丫)和N=min(X,Y)的函数分布【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业(1)完瞬对中的习题3-4及总习题三;(2)登录APP或其他学习平台查看相海Q识镯第【学生】完成课后任务教学反思
