《概率论与数理统计》教案第25课双正态总体均值与方差的区间估计、单侧置信区间.docx

课题双正态总体均值与方差的区间估计、单侧置信区间课时2课时(90min)教学目标知识技能目标：(1)掌握双正态总体均值与方差的区间估计(2)理解单侧置信区间的概念素质目标：(1)帮助学生掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系(2)培养学生的辩证唯物主义观教学重睚点教学重点：单侧置信区间的概念教学难点：双正态总体均值与方差的区间估计教学方法讲练结合法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，搜集并了解双正态总体均值与方差的区间估计及单侧置信区间的相关知识【学生】完成课前任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】按照老师要求签到互动导入【教师】提出问题：请举例说明，在什么情况下会对两个对象的同一特征进行比较？【学生】思考、讨论、回答传授新知【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解双正态总体均值与方差的区间估计及单侧置信区间的相关知识二、双正态总体均值与方差的区间估计在实际中，常常要对两个对象的同一特征进行比较，如电子元件、药品、原材料、生产线等.下面在正态总体的情形下展开讨论.设X1,X2，X,；，工是分别来自两个相互独立的正态总体xn(m，。：)和'2)的样本，X方应应分别是两样本的均值和方差，给定置信水平为1-(°<<D.下面主要讨论两个总体均值差从一42和方差比0；的区间估计.1.两个正态总体均值差"一"的区间估计由样本的独立性可知，亍和少是独立的，所以E(X-Y)=E(X)-E()=-2fmn因此，一少服从正态分布ImJ.X-歹经标准化后可得U=X_:：(MF)N(0,1)Nmn(7-12)下面对此分情况进行讨论.(1)当'?都已知时=X-YA=Ai-A2f，*，由上面的讨论可知，"M"，/),因此，求两个正态总体均值差氏的区间估计就相当于求单个正态总体的参数为的区间估计.由于'%都已知，所以已知，故给定置信度1-。，由式(7-12)知，正态总体"的参数为的区间估计为S-ua2,tl+%2)f7-13)即正态总体均值差从一2的置信区间为(7-14)(7-15)其中5l1)S+5-1)S;V m+n-2【教师】通过例题，介绍5'%都已知时置信区间的求法例5两台机床加工同一种轴,第一台机床加工的轴的椭圆度X(单位：mm)月员从方差为'=0025的正态分布，第二台机床加工的轴的椭圆度Y服从方差为°；=°062的正态分布.现分别从两台机床所加工的轴中随机抽取200根和150根，测量其椭圆度,经计算得:第一台机床：i=200,X=O.081；第二台机床：%=150,y=°.062给定置信度为95%,试求两台机床加工的轴的平均椭圆度之差的置信区间.(解析详见教材)(2)当5'%未知，但5=%=0时U=N(0,1)J+，由式(7-12)可知，Vm分布，但若cr未知，这时该怎么样构造统计量呢？根据统计量的抽样分布定理知T=X_歹；(从一外)«+_2)鼠用故给定置信度1一。，由式(7-7)得正态总体均值差M一例的置信区间为X-YTam(fn+n-2)J+TSg,X-Y+tal2(n+w-2)【教师】通过例题，介绍，?未知但0=%二0时置信区间的求法例6某公司利用两条自动化流水线灌装矿泉水，现从生产线上分别随机抽取样本X'，'X12和小马''3，测量每瓶所装矿泉水的体积(单位：mL).计算得到样本均值X=501.1,V=499.7，样本方差£=2,4,s；=4.7,设这两条流水线所装的矿泉水体积X'丫都服从正态分布，分别为N(M'°?)和M2，/)求必一必的置信度为().95的置信区间.(解析详见教材)(3)当百未知，且5%,但容量团'很大(大于50)时1/Zt1Zt_S；=-(X,-X)2Sl=-Y(Yi-Y)2，这时可用估计量fni-'来近似代替，用估计量-1”来近似代替X _丫_%24j+ j，X -丫 + "a2.两个正态总体方差比6的区间估计 设两个独立正态总体为X N(M，l2)X和Y的两个子样XiX2， ，X”,和X，匕(1 )当从'任已知时由7分布的定义可得mnX(XLM)2(-2)22Z2(W) » 22并且它们之间相互独立，所以nt Z(XLM)2尸=T卜 F(H)立(K-外) /=1给定置信度i-a ,则存在可"2( M ' )( 1»Z(Xj 一 必)2P Fia)T1这化-私)2 5).(7-16), Na2，区)，其中M, 5,外，%均未知.现分别取总体 4''匕，下面考虑在这种情况下方差比0；的区间估计问题.5)t,七式如),使X<Fa,2(ntn) =-a整理得°；,于是这与5'%已知时的情况一样，由式(7-14)可知，正态总体均值差从一任的置信度为1-的置信区间为n(Xi-)2这(Z-死)2 /=IFaj2(m,m冗_山2。"，）因此，区的置信度为1 - a的置信区间为, mm、“Z（XiJZ（Xj-M）2.i=l* J=Im±（Yi-2）2 F。，式m'）'力（匕外心乂） < 1=1j=i7或, / ， 、Z（Xj-从）2Z（Xj-刈）2T- KF2（，T FaS3，立（匕-任）2吃（匕-任）2/-II-I/, 同理可得，'的置信度为1 - a的置信区间为忐（工-必）2,这（匕-外）2JlJl这（Xi"4（“），这（Xjf）2"“2（， <1=11=1/或”这（工-必）2力（匕-外尸T6”2（"，）'Tg/式帆，）坦（XLM）2小（XiJ2 i=!1=1(7-17)(7-18)(7-19)(7-20 )（2）当M'外未知时根据统计量抽样分布定理知=SS1F(m-1, w-l)给定置信度1一。,则存在可52（mT,"D , Fa,2（m-lfn-l），使n S1212<Fa,2(m-fn-l) = l-a整理得p(s:I<b；<s；1(S；/r72(n-Ln-);S：K-2(ZM-1,一1),I：因此，°；的置信度为1-a的置信区间为SS；I、Faf2(m-tn-l)'S；F,at2-1,-1);或冬,耳52（-1，4LI），去.笈/2（_1d2%）.（7-22）同理可得，的置信度为I一。的置信区间为S1,SJ（S；Fa,2（n-,m-）,S12Fa,2（n-,m-）（723）或誓K-a/2（mT，T），z2（w-l,n-l）g5.（7-24）【教师】通过例题，介绍当M'生未知时置信区间的求法例7某自动机床加工同类型套筒，假设套筒的直径服从正态分布.现在从A和B两个不同班次的产品中各抽取了5个套筒，测量它们的直径，得如下数据（单位：mm）:A班：2.066,2.063,2.068,2.060,2.067；B班：2.058,2,057,2.063,2.059,2.060.试求两个班所加工套筒直径的方差之比的置信度为09）的置信区间.（解析详见教材）第五节单侧置信区间【教师】通过举例，引出单侧置信区间的概念在前面的讨论中，我们所求的未知参数°的置信区间或'4）都是双侧的.然而，在解决某些问题时，我们可能不是同时关心它们的"上限"和"下限"，即有时"上限"和"下限"的重要性是不对称的，我们可能只关心某一个界限.因此，在某些问题中，只需要讨论单侧置信上限或下限就可以了.例如，对于产品的寿命，就平均寿命这个参数而言，由于寿命越长越好，当然重要的只是“下限"；又如，对于次品率来说，当然希望次品率越低越好，我们关心的是一批产品次品率P的“上限”.由此实际背景，我们引进单侧置信区间的概念.【教师】提出单侧置信区间的定义定义1设总体X的分布函数是RX；仍其中夕是未知参数又设'X?，'x”是总体的f样本对给定的值（°<<D,若统计量'X"）满足P>i=-a,（7.25）则称随机区间M，+°0）为夕的置信度为I-a的单侧置信区间,并称«为置信度为I-&的单侧置信下限；若统计量a，%'*?，X"）满足P<z=-a,（7.26）则称随机区间（f°，4）为夕的置信度为I-a的单侧置信区间,并称依为置信度为I-a的单侧置信上限.至于求单侧置信区间的步骤，只需将第三节中求置信区间的第二步按要求定出中的一个，第三步略改即可.【教师】通过例题，介绍,已知未知时单侧置信下限的求法例1设XiX2，'X"是总体XN(，)的样本，且2已知，“未知求的置信度为l-(O<<l)的单侧置信下限(解析详见教材)【学生】聆听、思考、理解、记忆拓展训练【教师】给出题目，组织学生以小组为单位进行解题为了估计磷肥对某种农作物的增产作用，分别各选IO块土地，分别做施肥和不施肥的试验，设施肥的亩22产量XN(M,不施肥的亩产量YN(2»2).测得如下数据：IO10_iny-av-ca-)=6400X(,-y)=2400%11210,X600,Y-540,=(J=I取道信水平为95%,求施肥和不施肥的平均亩产之差从以2的置信区间.【学生】聆听、思考、讨论、解题【教师】公布正确答案，讲解解题步骤【学生】对比答案和解题步骤，提高自身解题技巧课堂小结【教师】简要总结本节课的要点双正态总体均值与方差的区间估计单侧置信区间【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业(I)完蝴材习题74中的3、4题，习题7-5和总习题七；(2)登录APP崩他学习平台查看相关知识链接。【学生】完成课后任务教学反思