《概率论与数理统计》教案第24课区间估计、单正态总体均值与方差的区间估计.docx

课题区间估计、单正态总体均值与方差的区间估计课时2课时(90min)教学目标知识技能目标：(1)理解区间估计、置信区间的概念(2)掌握对单个正态总体均值与方差的区间估计素质目标：(1)帮助学生掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系(2)培养学生的辩证唯物主义观教学重睚点教学重点：区间估计、置信区间、置信度的概念教学难点：对单个正态总体均值与方差的区间估计教学方法讲练结合法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，搜集并了解区间估计及单正态总体均值与单方差的区间估计的相关知识【学生】完成课前任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】按照老师要求签到互动导入【教师】提出问题：什么是区间估计？【学生】思考、讨论、回答传授新知【教师】通过大家的发言，讲解区间估计及单正态总体均值与方差的区间估计的相关知识第三节区间估计【教师】提出区间估计的概念由由参数的点估计可知，可以用样本的均值与方差来估计总体的均值与方差.在有些情况下，这种估计按照一定的判别标准(无偏性、有效性、一致性)是相当好的.但是有时对总体参数估计不满足于只是一个具体值，而是要估计总体参数落入某一区域,以及参数落入这一区域的概率.这样的区域通常用区间的形式给出,同时给出此区间包含参数真实值的概率，这种形式的估计称为区间估计.【教师】提出置信区间、置信下限、置信上限和置信度的定义定义1设总体X的分布函数是2(X；°),其中夕是未知参数.给定(°<<l),若由样本XiX2，X”确定的两个统计量”(X,X2,，Xn)和4区,Xi，Xn)满足p(l<<2)=l-a则称随机区间M.4)是参数O的置信度为I-a的置信区间.其中和“称为置信度为1一的双侧置信区间的置信下限和置信上限，1一0称为置信度.a是事前给定的一个比较小的谴，它是指参数估计不准的概率，即参数未被区间'a)涵盖的概率，Ig取=0.05或。=0.01例如，设参数“满足条件"3572<"<53.47)=96%,则参数0的置信度为96%的置信区间为(35,72,53.47),其中置信下限自=35.72,置信上限用=53.47对于给定的置信度，根据样本来确定未知参数夕的置信区间，称为参数的区间估计.求未知参数'的置信区间的一般步骤如下：(1)先选择一个合适的估计方法对总体的未知参数。做出估计，由此估计量出发，构造样本的函数u,要求U的分布已知，且含有待估参数e,但不含其他未知参数.(2)对于给定的置信度，找到两个常数叫"，使P("<U<6)=l-(当U为连续型随机变量时，aa一般取b为U的2分位数，取a为U的万分位数).(3)把不等式vU<b"变形,使得A(XiX2，»n)<0<2Xx>X2,，X”),则区间(自，就是的一个置信度为1-的置信区间.第四节正态总体均值与方差的区间估计由于服从正态分布的总体广泛存在，而且很多统计量的极限分布是正态分布，因此，下面专门介绍正态总体N(,2)中的参数和2的区间估计.一、单正态总体均值与方差的区间估计设总体XN(",，X,X?,X"是正态总体X的样本.1.1 态总体均期的区间估计(1)Cr已知时的置信区间根据第六章统计量的抽样分布定理知U=N(O,1)yn因方差/已知，于是，对给定置信度1 - a必存在,使P=-a将上式括号内的不等式作等价变换得P(Xia/2宕<<X+Ua/2=即得的置信区间(7-6)(X_"2若'X+ua)2君)【教师】通过例题，介绍b?已知时的置信区间的求法例】现随机地从一批服从正态分布N"''°022)的零件中抽取16个，分别测其长度(单位：Cm)如下：2.14 ,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12f2.13,2.10,2.15 ,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11.估计该批零件的平均长度4,并求的置信度为95%的置信区间.（解析详见教材）（2）。未知时的置信区间由于方差未知，所以不能再像方差已知一样，用U的分布导出的区间估计.根据第六章统计量的抽样分布定理知于是，利用T的分布可导出方差/未知时正态总体的区间估计，给定置信度1-2,则必存在%2（一1）,VL式T)对上式作等价变换得P（XTa/2（VX+心（因此，的置信区间为1X-如式T）；'X+勒2（-D字I"S3.（7-7）【教师】通过例题，介绍°未知时的置信区间的求法例2从一批零件中抽取16个零件，测得它们的直径（单位：mm）如下：12.15,12.12,12.01,12.08,12.09,12.16,12.03,12.01,12.06,12.13,12.07,12.11,12.08,12.01,12.03,12.06.设这批零件的直径服从正态分布NW6）.求零件直径的均值对应于置信度为0.95的置信区间.（解析详见教材）2.正态总体方差。的区间估计（1）已知时方差人的区间估计设XjX2,是总体的样本，由于XiN（",）=,2,'），因此N(0,)根据Z-分布的定义，有Xi一因期望已知，于是，给定置信度a,可在7分布表中查得自由度为n的上侧分位点/式）及%-a/2（"）,使XiP他(2町,人a2于是有P比.2()<上(受卫)</2()=1一。将上式作等价变换得Z(Xj-)2Z(XLM2P<2<-lH=I-CTIXatlWJ因此，正态分布总体在期望已知时方差02的置信度为I-a的置信区间为'W(Xj)2Xi/r=l2<Xal2W'Xf-a>2W)(7.8)标准差的置信度为1-a的置信区间为后(Xi)2忙(Xi)2J-<!,J_*1<1W2(),12()J,7_()【教师】通过例题，介绍已知时方差0?的置信区间的求法例3一批钢筋的20个样品的屈服点(单位：t7cm2)为4.98,5.11,5.20,5.11,5.00,5.35f5.61,4.88,5.27,5.38,5.46,5.27,5.23,4.96,5.15,4.77,5.35,538,5.54,5.20.设屈月艮点服从正态分布N(521,b?),求屈服点总体方差b,及标准差。的置信度为95%的置信区间.(解析详见教材)(2)“未知时方差人的区间估计2Z(Xi-M2在未知的情况下，可以用X作为的估计量，并用S-DS-代替E,根据第六章统计量的抽样分布定理知2(n-)S22/八Z=1f-Z(«-1)同"已知一样，给定置信度1一仪，可在/分布表中查得自由度为-1的上侧分位点X-al2flf使pS.Z(H-1)U(n-l)S2IJ22/、，D=5i/于是有Pl将一P因IZ沈a/2(D<2<启/2(I上式作等价变换得'(W-I)S2,(ZZ-I)S2)1A<<-=1-(ZznST)Ze2(T)J比，正态总体在未知时方差b?的置信(w-1)52(W-I)S2)=I-aa望为l-的置信区间为（瘟5T）'ZL/Z-Dj标准差的置信度为1一&的置信E，（n-i）s2I（n-i）S2、W间为(7-10)W/MD“心2（T）J【教师】通过例题，介绍未知时例4从某厂生产的滚珠中随机抽耳14.6,15.0,14.7,15.1,14.9,14/若滚珠直径服从正态分布Nw'b（证明详见教材）【学生】聆听、思考、理解、记忆（7-11）方差/的置信区间的求法又10个，测得滚珠的直径（单位：mm）如下：,15.0,15.1,15.2,14.8.）且未知，求滚珠直径方差°?的置信度为95%的置信区间.拓展训练【教师】给出题目，组织学生以小组为单位进行解题1 .设在正常条件下，某种机床加工的小孔孑噂（单位：Cm）X"（'），=0.048.现测得1。个小孔孔径的平均值为1.416,试求均值的置信度为0.95的置信区间.2 .设有一批某厂生产的鸡精，每袋净重（单位：g）''4）.现任取8袋测得净重为12.1,11.9,12.4,12.3,11.9,12.1,12.4,12.1.试求均值的置信区间（c=°°l）.【学生】聆听、思考、讨论、解题【教师】公布正确答案，讲解解题步骤【学生】对比答案和解题步骤，提高自身解题技巧课堂小结【教师】简要总结本节课的要点区间估计单正态总体均值与方差的区间估计【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业（1）完成教材习题7中的1、2题；（2）登录APP回淇他学习平台直看相若C三徽.【学生】完成课后任务教学反思