专题1.6含30度角的直角三角形五大题型（北师大版）（解析版）.docx

专题1.6含30度角的直角三角形五大题型【北师大版】考卷信息：本套训练卷题量适中，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对含30度角的直角三角形的五大题型的理解！【题型1求长度】1. （2023春福建宁德九年级校考期中）如图，已知ABC中，Z-ACB=60o,BC<AB<AC.（1）在边4C上求作一点P,使得/P8C=30。；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若48=3,乙4二45。，求4C的长度.【答案】（1）见解析（2）AC=6+23.【分析】（1）过点8作BPl4C于尸即可.（2）利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理求得BP、AP的长，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可.【详解】（1）解：如图，PBC即为所求；(2)解：如图，由(1)APB=BPC=90°,Zi4=45o,J.ABP=45°,：.BP=AP,在RtABP中,AP=BP=y2AB=32×2=6,RtfiPC,PBC=30o,2PC=BCfBC2=PB2+PC2,三P（2PC）2=62+PC2,解得PC=23,/MC=1P+PC=6÷23.【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.2. （2023春安徽亳州九年级校考期中）如图是某儿童娱乐休闲广场上的一个滑梯的平面示意图，若将滑梯的滑道B。水平放置，则刚好与DE的长度相同.已知滑梯的高度AB为4米，AE的长为1米.其中E,4。三点在同一直线上，CE工DE,BALDE.（1）求滑梯的滑道8。的长；（2）若把滑梯的滑道8。改成BF,使48凡4=60。，求。尸的长.（精确至J0.1米，参考数据：31.732）【答案】（14米(2)5.2米【分析】（1）设滑道BD的长为%米，则DE=%米，即AD=。E-AE=G:-1）米，在RtZkABD中，由勾股定理得4/+4。2=802,即有42+（%一1）2=解方程即可求解；（2）先求出乙48尸=30。，可得B尸=2AF.设AF=Q米，则8尸=2米，即有AB=VBF2一力尸2=（2）2-2=3,即可得Q=殍，即AF=竿，问题随之得解.【详解】（1）由题意，得48。是直角三角形，BAD=90o,BD=DE,AB=4米，设滑道BO的长为X米，则DE=%米，9：AE=1米，AD=DE-AE=(X-I)米，在RtZkABO中，由勾股定理得AB2+AO2=8。2,即42+0-1)2=解得X=答：滑梯的滑道BO的长为葭米.(2) 乙BFA=60°,ABF=90°-BFA=90°-60°=30°,BF=2AF.设AF=Q米，则BF=2米，.AB=>BF2-AF2=（2）2-a2=3（米）.tAB=4米，.V5a=4,解得Q=竽，即A尸=竽（米）.由（1）可知，A。=DE-AE=BD-AE=工-I=竺（米），22DF=AD-AF5.2（米）.23答：DF的长约为5.2米.【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，还考查了含30。角的直角三角形的性质，灵活运用勾股定理是解得本题的关键.3.（2023春广东佛山九年级统考期末）如图，AABC是等边三角形，AB=5,点尸是乙BAC的平分线上一动点，将线段AZ7绕点A顺时针方向旋转60。得到AE,连接CF、EF.(I)尺规作图：在4尸的上方找点Q,使得DE_L4F且DE=4C；(2)在(1)的条件下，连接C。、DF.求证：AE+CD>AC；求证：ACDF是等边三角形；当AOEF是等腰三角形时，求AF的长度？【答案】(1)作图见解析(2)证明见解析；证明见解析；5或1【分析】(1)由旋转的性质可得4E=力凡FAE=60°,则AAE尸是等边三角形，由DElAF可知，。在力F的垂直平分线上，如图1,分别以4、尸为圆心，大于户的长为半径画弧，交点为M,连接EM并延长，以E为圆心，AC长为半径画弧，与EM的交点即为。，则点。即为所求；(2)如图2,连接C。、DF.ADf记DE与4C的交点为N,DF与AC的交点为“，证明C4尸三DEF(SAS),则C/=。F,乙ACF=乙EDF,由题意知上。NH=KANE=I80。一4NAE一乙4EN=60。，ACF÷LCHF+DFC=180o=Z-EDF+DHM+Z-DNHt则tDFC=匕DNH=60。,CDF是等边三角形，CD=CF,由AF+CF>ACf可得AE+CD>AC；由可证CD尸是等边三角形；由题意知，DEF=30o,AFE=60°,当ZiDE尸是等腰三角形时，分DE=DF,DE=EF,DF=EF,三种情况求解：情况一、当DE=DF时，由乙DFE=DFA+AFE>60o>30o=ZDEF,可知此情况不成立；情况二、当DE=EF时，A尸=EF=DE=AC=AB=3;情况三、当DF=E尸时，乙FDE=乙DEF=30°,如图3,记AF与DE交点为P,则4F=2PF,PF=F,EP=TDE=TAC=?由勾股定理得EP=屈委=7/=5PP,则5PF=今解得PFw进而可求4尸的值.【详解】(1)解：如图1,点。即为所求；B(2)证明：如图2,连接CO、DF、40,记OE与AC的交点为N,DF与AC的交点为H,由(1)可知，CAF=30°,AEN=DEF=AEF=30°,"CAF=乙DEF,'：AC=DE,乙CAF=乙DEF,AF=EFf.CAF三DEF(SAS),：CF=DF,乙ACF=乙EDF,由题意知4DN”=乙ANE=180°-乙NAE-UEN=60°,ACF+乙CHF+乙DFC=180°=乙EDF÷乙DHM+LDNH,1.DFC=乙DNH=60°,ACDF是等边三角形，：.CD=CF,'：AF+CF>ACf：.AE+CD>AC；由可证是等边三角形；解：由题意知，DEF=30o,Z.AFE=60°,当4OE尸是等腰三角形时，分。E=DF,DE=EF,DF=EF,三种情况求解：情况一、当DE=D尸时，乙DFE=乙DEF,:乙DFE=乙DFA+AFE>60°>30°=CDEF,此情况不成立；情况二、当DE=EF时，AF=EF=DE=AC=AB=瓜F=3:情况三、当DF=EF时，FDE=Z-DEF=30°,如图3,记AF与DE交点为P,图3贝J4F=2PF,PF=-EFfEP=-DE=-AC2222由勾股定理得EP=EF2-PF2=3PF,3PF=y,解得PF=5.AF=1：综上所述，当AOEF是等腰三角形时，力F的值为5或1.【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作垂线，垂直平分线的性质，勾股定理，含30。的直角三角形，等腰三角形的性质等知识.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.4.(2023春陕西咸阳九年级咸阳彩虹学校校考期中)综合与实践问题情境：在数学课上，老师给出了如下情境：如图1,ZkABC是等边三角形，点尸是4C边的中点，点。在直线BF上运动，连接AD,以A。为边向右侧作等边三角形ADE,连接CE,直线CE与直线BF交于点试探究线段8。与CE的数量关系及ZBMC的大小.(1)初步探究:如图1,当点。在线段BF上时，请直接写出：BD与CE的数量关系NBMC=_°深入探究：如图2,当点。在线段BF的延长线上时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立,请说明理由；拓展延伸：如图3,当点。在线段FB的延长线上时，若FM=2,BD=；,求出EM的长度.【答案】(IXX)BO=CE,60(2)成立，证明见解析(34【分析】(1)由题意易得AABD三AACE,然后根据全等三角形的性质可进行求解；(2)由题意易证ZiBAD三aG4E,则有Bo=CE,乙48D=乙4CE,然后问题可求解：(3)由题意易证84。三ASE,则有BO=CE=IABD=ACEf然后可得ABF=ABC=30%BFLAC,进而问题可求解.【详解】(1)解：YzMBC和/WE是等边三角形，：.AB=ACfAD=AE,BAC=Z-DAE=60°,BAD=乙BAC-DAC,乙CAE=乙DAE-ZJ)AC,.BAD=KCAE,：.AABD三4CF(SAS),；.BD=CE；故答案为：BD=CExY点尸是AC边的中点，AABC是等边三角形,.ABD="BF=30。，乙ACB=60°,由可知4ABD=ACE,.,.ABD=ACE=3Qot：.LBCM=90°,工乙BMC=90o-乙CBF=60°；故答案为60；(2)解：(1)中的结论还成立，理由如下：A48C是等边三角形，：.AB=AC,BAC=60°,:ADE是等边三角形，：.AD=AE,DAE=60°,.9.BAC=DAE,.*.BAD=乙BAC+乙DAC,乙CAE=乙DAE+ZD4C,即,BAD=CAE,在ABAD和ZkSE中AB=AC/.BAD=CAE,AD=AE"BAD=CtIF(SAS),：.BD=CE,Z.ABD=LACE,.,ABD+乙DBC+乙ACB=120°,.9.ACE+Z-DBC+乙ACB=120°,."BMC=60°；(3)解：A48C是等边三角形，：.AB=ACtBAC=60°,.ADE是等边三角形，.ADAE,DAE=60°,.BAC=DAE,.BAD=DAE-BAE,CAE=Z.BAC-LBhE,即4D=zG4E,在ABZlO和ZkSE中，(AB=ACBAD=CAE,(AD=AE：.BAD三ASE(SAS),：.BD=CE="乙ABD=CACE,24BC是等边三角形，尸是AC的中点.*.ABF=ABC=30%BFLACt."CFM=90。，ACM=ABF=30°,CM=2FM=4,.EM=CE+CM=：+4=.22【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键.5. （2023秋福建福州九年级统考期末）在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且BD=CE,连接A。、BE交于点F.（1）如图1,求证：AD=BE；过点E作EG_L4。于点G.如图2,若BF=I1,FG=6,求AD的长度；如图3,连接BG、CG,若BG=EG,求证：CGIAB.【答案】（1）见解析（2）23,见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合已知证明AABD三ABCE即可.（2）利用ABD三BCE,得证NGFE=60°,结合已知得到/GEF=30°,得证EF=ZFG,根据BF+EF=BE=AD=BF+2FG计算即可.证明BG=AG,利用线段的垂直平分线性质证明CG1AB.【详解】（1）等边三角形ABC,BD=CE,：.AB=BC=CA,ABD=乙BCE=60°,AB=BC：乙ABD=乙BCE,BD=CE ABD三BCE,：.AD=BE.(2)根据(1)得ABD=BCE,.,.BAD=LCBE,AD=BE; 等边三角形4BC,：.LABE+LCBE=60°,.,.ABE+BAD=60°, ：ABE+BAD=GFE,，乙GFE=60°,EGlAO,AzGEF=30。,：.EF=2FG,：BFrEF=BE=AD=BF+2FG,VfiF=11,FG=6,：.AD=F+2FG=ll+12=23.根据(1)得4ABD三BCE,：.乙BAD=乙CBE,AD=BE； 等边三角形ABC,.ABE+CBE=60°,.,.ABE+BAD=60°,a：ABE+BAD=乙GFE,：乙GFE=60°,VEGl/ID,工乙GEF=30o,TBG=EG,"GBE=Z-GEF=30o,60°,过点G作GM_LBG交BE于点H,交BC于点、M,则乙G/B=90。一ZGBF设ZIEBC = a,则NBAO =乙EBC = 0, GAE = 600 -Q"GBM = 30o + ,乙GMB =乙GHB - EBM = 60o-a,在Rt AGE中，GEA = 90° - /.GAE = 90° - (60o -) = 30o÷,.Zi4EF = 60o + ,在 AAGE,AMGB 中，(GAE =乙 GMBAEG = GBM ,(GE = GB AGE MGB(AAS),BM = AE, AG = MG,连接AM,如图，Y乙4GM=180°-乙FGH=120°GAM=GMA=30°又YCA=CB,CM=CE,在ABEC,AAMC中，(AC=BCACM=BCE(CM=CE/.BEC三TlMC(SAS)."CAM=EBC=a,.zMlG=60-2=30o,.=15°,.GAE=6Qo-a=45o,ZkAGE是等腰直角三角形，：.AG=GE,：.BG=AG,<CA=CB,CG是线段AB垂直平分线，：.CG1AB.【点睛】本题考查了等边三角形的性质,三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质，等边三角形的性质是解题的关键.6.(2023春江西吉安九年级校联考期中)将一副三角板ABC和OEF如图(1)放置,其中乙4BC=乙EDF=90°,乙4=30。，乙E=45。，8C与。尸共线，将OEF沿C8方向平移，当E尸经过AC的中点。时，直线EF交AB于点【分析】过。作04_L4G于H,乙ABC=乙EDF=90。,A=30°,乙E=45。，得出NOGA=45。，根据30。所对直角边等于斜边的一半得出4C=28C=6,由点。是4C的中点，得出AO=3,再根据勾股定理即可得0G；【详解】."ABC=90。，：.Z.FBG=90°,：ZF=乙FGB=45°,LOGA=45°,vzl=30o,FC=3,二AC=2BC=6,点。是4C的中点，.AO=3,过。作OHlAG于H,.AHO=LOHG=90°,13.OH=二Ao=R221.32OG=yj20H=.故答案为：苧【点睛】该题主要考查了直角三角形30。所对直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点，解答的关键是掌握这些知识点并能够熟练运用【题型2求最值】1. （2023秋福建龙岩九年级龙岩二中校考期中）如图，在4BC中，ACB=90o,Z-ABC=30°,将4BC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为。（0。V180。），得到AMNC,P,Q分别是AC、MN的中点，AC=2t,连接PQ,则旋转时PQ长度的最大值是（）FNA.26tB.23fC.6tD.3t【答案】D【分析】当P、C、。三点共线时，PQ最长，根据图形求出此时的旋转角即可求出PQ的长.【详解】解：如图，当AABC旋转到P、C、0三点共线时，PQ最长， 乙N=ABC=30°,乙MCN=UCB=90o,Q是MN的中点,.CQ=MQ=CM, .CMQ是等边三角形，乙M=LMCQ=MCQ=60°, P、C、。三点共线， =乙ACM=180°-乙MCQ=180°-60°=120°,AC=2tf CP=-AC=t,AB=MN=2AC=4t,24C中点为P,MN中点为Q,NMCN=90。， CQ=LMN=2t,CP=-AC=322PQ=CP+CQ=2t+£=33故选：D.【点睛】本题考查了等边三角形的判定，旋转的性质的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，直角三角形30。角所对的边是斜边的半，熟练运用旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角：旋转前、后的图形全等是解题的关键.2. （2023春江苏常州九年级校考期中）阅读：如果两个动点到一个定点的距离的比为定值，且这两个动点与定点连线所成角的度数也为定值，那么这两动点的运动路径相同.应用：如图，点O是长方形48C。的对角线AC的中点，BC=3,以。为直角顶点的RtOPQ的顶点P在边40上，BAC=ZQ=60°,当户在4。上运动时，OQ的最大值为（）A.1B.3C.2D.23【答案】C【分析】根据题意，确定出点Q的轨迹为一条线段，确定出点P在。两点时，点Q的位置，即可求解.【详解】解：由题意可得：点Q的轨迹为一条线段，NQ=60。，POQ=90°，乙OPQ=30°又；乙BAD=90o,BAC=60°"CAD=30°Rt4BC中，BC=3,CAD=30°设A8=x,iAC=2%,由勾股定理可得：/+33=4/解得=3F=3,AC=23,：.AO=3当P与A重合时，过点。作OFj_OA交AD于点如下图:VCAD=30o,NoPQ=30。.Q在线段AD上，AFO=60°点Q与点F重合由勾股定理可得：OQ=I,PQ=2当PD重合时，过点。作OEIO。交Be于点E,连接DE,EF,如下图:由题意可得：OD=OC,0CD=60°ZkODC为等边三角形，即。O=CD=OC=5,NoOC=60。VzFCD=ZEOD=90o,OD=CDfDE=DEODE三CDE(HL)/.0DE=0DC=30°,此时，点Q在射线DE上J.0ED=60°,则点Q与点E重合,点Q的轨迹为线段EF由此可得，当P与。重合时，OQ最大，为DE的长度在RtZkOED中，Oo=5,NoDE=30。，可得：OE=1,DE=2即OQ最大为2,故选：C【点睛】此题考查了长方形的性质，勾股定理，含30。直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，确定出点Q的轨迹.3. (2023春陕西安康九年级校考期中)如图，在平行四边形ABC。中，点E,尸分别在边AB,AD±,折叠AEF使得点4落在CD上，若乙48C=120o,AD=43,AB=8,则BE长度的最大值为.【答案】2【分析】由折叠的性质可知AE=GE,当GE_LA8时，GE的长度取最小值，则AE的长度取最小值，此时BE的长度取最大值，过点。作0，_L4B于点H,则。，=GE=AE,由含30度角宜角三角形的性质以及勾股定理可得DH=AE=GE=6,从而即可得到答案.【详解】解：由折叠的性质可知AE=GE,当GEI48时，GE的长度取最小值，贝ME的长度取最小值，此时BE的长度取最大值，.四边形4BC。是平行四边形，ADBCf 乙DAB+EABC=180°,.CDAB=180o-ABC=180°-120°=60°,如图，过点D作。H_LAB于点H,则04=GE=4E,在RtZkADH中，DAH=60°, 乙ADH=90°-DAH=30°,：.AH=AD=2>3,：.DH=>JAD2-AH2=6, AE和GE长度的最小值为6,故BE长度的最大值为AB-AE=8-6=2,故答案为：2.【点晴】本题主要考查了平行四边形的性质、含30度角直角三角形的性质、勾股定理、折叠的性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键.4.（2023秋天津和平九年级校考期中）如图，在AABC中，AC=2+21NBAC=45。，LACB=30°,将AABC绕点B按逆时针方向旋转，得到AA8C,点E为线段AB中点，点尸是线段AC上的动点，WABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点入.（1）如图，线段AB=；（2）则线段EPl的最大值为,最小值为.【答案】224+22-2【分析】（1）过点8作BoIAC于点0,根据直角三角形的性质和勾股定理即可得：（2）当P在4C上运动至垂足点。，ZkABC绕点B旋转，点P的对应点Pl在线段AB上时，EPl最小；当心,38三点共线，点P运动到点C时，EPl最大.【详解】解：（1）如图，过点8作BOIAC于点。，连接8P,BPu BAC=45o,ACB=30°,.430是等腰直角三角形，BC=2BD,.AD=BD,设AD=BD=x(x>0),则BC=2f.CD=>!BC2-BD2=3x, AC=AD+CD2+23, X+3x=2+23,解得=2,.AB=yAD2+BD2=2x=22,故答案为：22:(2) 点E为线段48中点，8E=豺B=由旋转的性质得：BP=BP1，EP1BPl-BE=BP-BE,则当P,E,B三点共线，且P在AC上运动至垂足点。时，EPl的值最小，最小值为BPBE=BO-BE=2-2,又EP1BP1+BE=BP+BE,BC=2BD=4,当Pi,瓦8三点共线，且P运动到点C时，EPl的值最大，最大值为BP+BE=BC+BE=4+L故答案为：4+2,2-2.【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、三角形三边关系的应用等等，熟知相关知识是解题的关键.5. （2023春江苏九年级统考期末）如图,在RtABC中，ACB=90o,ABC=30o,5C=2,点P是边4B上的一动点，将AABC绕点C按逆时针方向旋转一周得到小夕C,点E是边AC的中点，则在旋转过程中【答案】23+l【分析】先根据含有30。角的直角三角形的性质可得AB=4,由勾股定理可得BC=25,由旋转的性质可得Al=4。=2,由点E是边HC的中点可得AE=CE=1,当点P与点B重合，点P、C、E、4在同一直线上时，PE最大，由PE=BC+CE,即可得到答案.【详解】解：4AeB=90。，ABC=30o,AC=2fAB=2AC=2x2=4,.BC=AB2-AC2=42-22=23,由旋转的性质可得：A,C=AC=2,点E是边AC的中点，.A,E=CE=-A,C=-×2=1,22如图所示，当点P与点8重合，点P、C、E、在同一直线上时，PE最大，止匕时PE=FC+CF=23+1,故答案为：23+l.【点睛】本题主要考查了含有30。角的豆角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握含有30。角的直角三角形的性质，旋转的性质，是解题的关键.6. （2023春陕西西安九年级校考期中）如图，在RtAABC中，ACB=90o,B=30o,AC=4,D,E是AB边上的两个动点，满足AD=BE,连接C。、CE,求CO+CE的最小值【答案】8【分析】过点4B分别作AC的垂线和BC的垂线交于点M,连接MC,ME,先证AACB三AM8C,得48=MC,再证AC4Z）三AMBE,得CD=ME,进而得出CD+CE=ME+CE,当C,E,M三点不共线时，ME+CE>MC；当C,E,M三点共线时，ME+CE=MC,然后根据直角三角形中，30。的角所对的直角边等于斜边的一半求出48的值，从而得出结果.【详解】过点48分别作AC的垂线和BC的垂线交于点M,连接MeME,ACB=90o,MAlAC,.AMCB,VMB1BC.ACWB,AC=MB,乙CAB=MBA,BC=CB,ACB=MBC=90°,ACB-MBC,AB=MCVAD=BE,CAD三MBE,：CD=MEtCD+CE=ME+CE,当C,E,M三点不共线时，ME+CE>MCi当C,E,M三点共线时，ME+CE=MC.CO+CE的最小值是MC的长，：B=30°,乙ACB=90o,:AB=2AC,：AC=4,.AB=8,MC=AB=8,.CD+CE的最小值是8.故答案为：8.【点睛】木题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，直角三角形的性质，正确作出辅助线找出恰当的全等三角形是解本题的关键.【题型3求面积】1. （2023春湖南衡阳九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点4、A2.&/在轴上，当、B2、/品在直线y=要上，若AI（Lo）,且448A2、A2B2A3n4l%4+都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为Si、S2、S3Sn.则52023可表示为.【答案】22吁3次【分析】直线y=苧无与X轴的成角乙BIOAl=30。，可得nO/A2=30°，-OBnAn=30o,OB1A2=90°,.,OBnAn+1=90°；根据等腰三角形的性质可知AIBl=1,B2A2=OA2=2,B3A3=4,.,BnAn=2f根据勾股定理可得当殳=百，¾¾=23,.,BnBn+1=2n-13,再由面积公式即可求解.【详解】解：FAi%A2'A282A3AAn%4+都是等边三角形，.A1B1WA2B2U3B3-WAnBn,B1A2B2A3B3A4-BnAn+lf直线y=日文与不轴的成角NBIoAl=30o,OA1B1=120°,.乙OBIAl=30o>。41AJB»V41(0),.%A1B1=1,同理乙OB2A2=30°，/-OBnAn=30°,B2A2=OA2=2,B3A3=4,.,¾i4n=2n1f.ZTlBIO=30o,A11A2=60%.OB1A2=90o=A2BB2i同理匕O%A3=90o,.,OBnAn+1=90°,.B1B2=V3»B2B=23>.»BnBn+1=2n-1-3>.S1=I×1×3=y,S2=I×2×23=23,.,Sn=×2n-1X2n_13=22n-33:故答案是：22n-35.【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形，并求出每边长、应用相似三角形规律求解是解题的关键.2. （2023春福建龙岩九年级校考期中）如图，在中，ABC=60o,AB=6,BC=10,则4ABC面积是;若以AC为边向外作等边AACD,连BD,则BO长为.B【答案】15314【分析】过点A作AMJ.8。于M,由直角三角形的性质求出BM=3,由勾股定理求出AM的长，由三角形面积公式可得出答案；以AB为边作等边三角形ABE,连接EC,过点E作EF_LBC,交C8的延长线于凡证明EAC三BAD(SAS),得出BO=EC,由勾股定理求H(E的长，则可得出答案.【详解】解：过点A作4M_L8C于M,VZ-ABC=60o,BA=6,.BAM=30o,8M=3,.AM=Vab2-BM2=33,.SAABC=BC-AM=×IOx33=153;以A8为边作等边三角形4BE,连接EC,过点E作EFlBC,交CB的延长线于凡ABEACD都为等边三角形，EAB=DAC=60°,AE=AB,.EAB+BAC=LDAC+乙BAC,即NEAC=BAD,在2iE4C和ABAD中，(AE=ABEAC=Z.BAD,(AD=AC,EAC=BAD(SAS')>BD=EC,.EBA=60%ABC=60o,乙EBC=120°,.EBF=60%4/EB=30。，ESC,BC=10,EB=6,.EF=33,FB=3,FC=10+3=13,EC2=FC2÷EF2=196,BD=EC=14.故答案为：155,14.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键.3. (2023春陕西西安九年级高新一中校考期末)如图，平行四边形ABCD中,z=60o,AB1AC,AB=3,对角线AC绕着对称中心。按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交A。、BC于点E、F,若BF=2CF,【答案】学【分析】根据平行四边形的性质及全等三角形的判定可知AAOE三COF(ASA),再根据直角三角形的性质及勾股定理即可解答.【详解】解：过点。作。“18C,垂足为H,四边形ABC。是平行四边形，：.0A=OCfABCDf：乙CAD=ACB,AOE=COF,40E三COF(ASA),*aoe=SACoF，4E=CF,'：ABLACt."BAC=90。，Vz=60o,AB=3,.,.ACB=30°,：BC=6,：.AC=yBC2-AB2=33,：.OC=W,2,:OHLBC,：.乙OHC=90°,Vz½f=30o,：.0H=,4；BF=2CFf；BC=BF+CF=3CF,=6,：.CF=BC=×6=2,33,Scof=CFOH=×2=阴影部分的面积为2X乎=芋，42故答案为苧.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，掌握平行四边形的性质是解题的关键.4. (2023春陕西咸阳九年级统考期中)【问题背景】如图1,在等腰直角AABC中，AB=AC1BAC=90°,则边BC与边48的数量关系为BC=48.(1)如图2,在等腰AABC中，AB=AC,BAC=120°,作4。IBC于点。，则得到边BC与边AB的数量关系为【迁移应用】(2)如图3,ZkABC和ZiAOE都是等腰三角形，LBAC=DAE=120°,。、E、C三点共线，连接8。，求证：AADB三4AEC;求40、BD.CD之间的数量关系；【拓展延伸】(3)如图4,ZMBC与/1/)£1都是等腰直角三角形，LBAC=DAE=90°,连接BD并延长，交4C于点F,连接EF、CE.若BF=6,4CBF=15。，BAD=30°,求AAE尸的面积.图4【答案】(1)BC=WAB(2)见解析。C=8。+5>W(3)9【分析】(1)根据等腰三角形三线合一，含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可；(2)利用SAS进行证明即可；由全等三角形的性质可得80=EC,由(1)可知：DE=WAD,即可得结论：(3)过点E作AC于”，连接EF,由含30度角的直角三角形的性质先求出的长，再由三角形的面积公式进行求解即可.【详解】解：(1)BC=WAB,理由如下：9：AB=AC,BAC=120。,4。1BC,"B="=30。，BD=CD=-BC,2：.AB=2AD,BD=yAB2-AD2=34D,：.BC=2y3AD,.8C=14B;(2)Vz4C=DAE=120o,1.DAB=CAE=120o-BAE,DAB=EAC,AB=ACA08三FC(SAS);。C=BO+5az),理由如下：VADB=AECt：BD=EC,由(1)可知：DE=31D,：DC=DE+EC,DCBD+V3AD;(3)如图4,过点E作EH_LAC于"，连接EP,48C是等腰直角三角形，：.AB=AC=63,ABC=ACB=45°,VzCfiF=15°,.ABD=30°,又：乙BAD=30°,：.ABD=BAD,DAF=AFD=60°,：.AD=BD,力DF是等边三角形，：AD=BD=DF=AF,9ABD=30o,BAC=90°,：.BA=14F=63,.'.AF=G=AD=BD=DF,9：Z.DAE=90otAD=AE,：.AE=6tFAE=30%,:EHLAC,：.EH=AE=3,Smef=豺FEH=IX6x3=9.故答案为：9.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.【题型4含30度角的直角三角形在坐标系中的运用】1.(2023春河北保定九年级校考期中)将A按如图方式放在平面直角坐标系中，其中乙084=90。，乙1=30。，顶点A的坐标为(I,3),将绕原点逆时针旋转，每次旋转60。，则第2023次旋转结束时,点A对应点的坐标为()A.(-23t0)B.(23,0)C.(-3,-3)D.(-3,3)【答案】D【分析】根据旋转性质，可知6次旋转为1个循环，故先需要求出前6次循环对应的A点坐标即可，利用全等三角形性质求出第一次旋转对应的A点坐标，之后第2次旋转，根据图形位置以及。力长，即可求出，第3、4、5次分别利用关于原点中心对称，即可求出，最后一次和A点重合，再判断第2023次属于循环中的第1次，最后即可得出答案.【详解】解：由题意可知：6次旋转为1个循环，故只需要求出前6次循环对应的A点坐标即可第一次旋转时：过点A作X轴的垂线，垂足为G如下图所示：由A的坐标为(S,3)可知：OB=AAB=3,V乙4=30°