海淀进修：二模后三角函数与导数的复习建议.docx

三角函数与导数一、2015年北京卷考试说明(理)1.三角函数考试内容要求层次ABC三角函数任意角的概念和弧度制弧度与角度的互化任意角的正弦、余弦、正切的定义用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切诱导公式同角三角函数的根本关系周期函数的定义、三角函数的周期性函数y=sinx,y=cosx,y=tanX的图象和性质函数y=Asn(x)的图象用三角函数解决一些简单的实际问题三角恒等变换两角和与差的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式简单的恒等变换解三角形正弦定理、余弦定理解三角形2,函数与导数要求层次考试内容ABC函数函数的概念与表示映射单调性与最大（小）值奇偶性函数的模型及其应用函数的零点二分法函数模型的应用导数概念及其几何意义导数的概念导数的几何意义导数的运算根据导数定义求函数y=c,y=戈,y=Y,y=xy=-iy=4x的导数X导数的四那么运算简单的复合函数（仅限于形如/（奴+力）的导数导数公式表导数在研究函数中的应用利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）利用导数解决某些实际问题定积分与微积分根本定理定积分的概念微积分根本定理二、各区试题覆盖内容1.三角函数考查内容试题覆盖任意角的概念和弧度制东城二模文14弧度与角度的互化任意角的正弦、余弦、正切的定义海淀期中文9,朝阳期末理9,海淀一模理4,石景山一模文9,西城二模理11特殊角的三角函数值海淀期中15.1,朝阳期中理15.1,海淀期末15.1,东城期末文15.2,朝阳期末文16.2,丰台期末文15,海淀二模理5,海淀二模文12,东城二模文13,用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦和正切石景山一模理15诱导公式海淀期中15.1,西城期末文15.1,朝阳期末理9,海淀一模理15同角三角函数的根本关系海淀期中17.1,朝阳期中理10,朝阳期中文10,东城期末文5,西城一模理11,周期函数的定义、三角函数的周期性海淀期中理14,朝阳期中理15.2,丰台期末理15.1,函数y=sin%,y=cosx,y=tanx的图象和性质海淀期中15.2,朝阳期中理15.2,朝阳期中文16,海淀期末15.2,西城期末文15.2,东城期末理15.2,丰台期末15,石景山期末文16.2,海淀一模理15,海淀二模文15,西城二模文15,东城二模理15函数y=Asin3x+e）的图象海淀期中理4,14,朝阳期中理7,朝阳期中文4,西城期末理152东城期末理15.1,东城期末文15.1,朝阳期末理3,朝阳期末文16.1,石景山期末文16.1,西城一模理15.2,丰台一模理7,海淀二模理5,用三角函数解决一些简单的实际问题朝阳期中理7,朝阳期中理14,朝阳期末文6,东城一模文14,西城二模理14,东城二模文14两角和与差的正弦、余弦、正切公式海淀期中15.2,朝阳期中理10,朝阳期中理15,朝阳期中文10,海淀期末15.2,朝阳期末文16.2,石景山期末理15.2二倍角的正弦、余弦、正切公式海淀期中17.1,朝阳期中理14,朝阳期中文16.2,西城期末文15.1,东城期末文5,朝阳期末文14,海淀一模理15.1,东城一模理15.2简单的恒等变换朝阳期中文16,西城期末理15.1,朝阳期末理6,朝阳期末文16.1,丰台期末15,西城一模理15,朝阳一模理15,西城二模文15,东城二模理15,东城二模文16,正弦定理、余弦定理海淀期中17.2,朝阳期中16,西城期末3,东城期末理11,丰台期末理4,石景山期末理15.1,昌平期末理7,海淀一模理12,海淀一模文15,西城一模文11,海淀二模文6,解三角形海淀期中17,朝阳期中文8,东城期末文6,海淀一模文15,西城一模文15,东城一模理15,东城一模文16,石景山一模理15.2,石景山一模文16,海淀二模理15,西城二模理15,丰台二模理15,2,函数与导数考查内容试题覆盖奇偶性海淀期末理19对称性海淀期中文18,朝阳期末理14,东城二模理7函数的零点海淀期中文7,海淀期末理19,海淀期末文19,朝阳期末理14,西城一模理18,东城一模理18,朝阳一模理18,海淀二模理18函数模型的应用丰台二模理7导数的概念海淀期末理7,导数的几何意义海淀期中理20,海淀期中文20,海淀期末文19,西城期末理18,文20,东城期末理18,文20,丰台期末文18,海淀一模文20,东城一模文18,朝阳一模文20,丰台一模理18,丰台一模文20,海淀二模理18,文13,西城二模文20,东城二模文20,丰台二模文20利用导数研究函数的单调性（其中多项式函数不超过三次）海淀期中理18,海淀期中文18,朝阳期中理18,19,朝阳期中文20,东城期末理18,朝阳期末理14,18,石景山期末理18,文20,海淀一模理18,文20,西城一模文20,东城一模理18,文18,朝阳一模文20,丰台一模文20,石景山一模理18,文20,海淀二模文19,西城二模理18,丰台二模文20函数的极值、最值（其中多项式函数不超过三次）海淀期中理18,20,海淀期中文20,朝阳期中理19,朝阳期中文19,20,海淀期末理19,海淀期末文20,东城期末理18,文20,朝阳期末理14,18,朝阳期末文19,丰台期末理18,文18,石景山期末理18,文20,海淀一模理18,文20,西城一模理18,文20,东城一模理18,文18,朝阳一模理18,文20,丰台一模理18,文20,石景山一模理18,文20,海淀二模理7,理18,文13,文19,西城二模理5,理18,文20,东城二模理18,文20,丰台二模理20,文20利用导数解决某些实际问题三、各区典型试题回忆1 .三角函数1.1 任意角的三角函数【东城二模文14如图,ABC是边长为1的止三角形，以A为圆心，AC为半径,沿逆时针方向画圆弧,交BA延长线于A，记弧C4的长为以8为圆心，为半径，沿逆时针方向画圆弧，交CB延长线于A2,记弧44的长为4；以。为圆心，CA2为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AC延长线于A3,记弧AA的长为那么4+4+/3=4兀.如此继续以A为圆心，A4为半径，沿逆时针方向画圆弧，交AA延长线于At,记弧A3A4的长为乙，当弧长/,=8时，n=2.37【西城二模理11】角的终边经过点(一3,4),那么CoSa=_5_；cos"=_253Jr47rl【朝阳期末文10】sina=-,a(-,),那么COSa=_-；tan(-+a)=_-52-547补充：【2012年高考辽宁卷理科7】Sina-COSa=&(0,兀)，那么tan=（八）A.也DJ222013年大纲高考理13是第三象限角,sina=-L,那么cota=.2直3【2014大纲高考理第3题】设=sin33。的=COS55°,c=tan350,那么(C)A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b【石景山一模理15】在平面直角坐标系XOy中，设锐角。的始边与X轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P(X,%)，将射线OP绕坐标原点。按逆时针方向旋转/后与单位圆交于点Q(X2，必)记F()=X+%.(I)求函数/()的值域；（三）设AA5C的角A6,C所对的边分别为a,b,c,假设/(C)=,且=0,c=l,求。.(I)f(a)=sina+cosa=Jlsin(6z+),故/()(l,>.4(II)b=.补充：【2013年西城二模】如图，在直角坐标系Xoy中，角的顶点是原点，始边与X轴正半轴重合,终边交单位圆于点A,且(工,巴).将角的终边按逆时针方向旋转色，交单位圆于点3.记623A(x1,y1),B(x2,y2).(I)假设项=；,求乙；(口)分别过AB作X轴的垂线，垂足依次为GD.记AAO解：(I ) x2 = cos(a +=-COSaSlna =l-266的面积为S,ABOD的面积为S?.假设R=2S2,求角的值.1.2三角函数的图象与性质【朝阳期中理7】如图，某地天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Assx-)+b(其中>0<<),那么估计中午12时的温度近似为(B)A.30*CB.27aCC.25CD.24七TTJT【丰台一模理7将函数y=cos(-x-)图象向左平移2个长度单位，再把所得图象上各点的横坐标263缩短到原来的一半(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(C),汲、IC/1笈、A.y=cos(x+-)B.y=Cos-xC.=cosxD.y=cos(-x-)【朝阳期末理3】设函数f(x)=sin(2x-攵的图象为C,下面结论中正确的选项是(B)TrA.函数/(X)的最小正周期是2兀B.图象C关于点(30)对称6C.图象C可由函数g(x)=sin2x的图象向右平移事个单位得到D.函数/3在区间(若与上是增函数【海淀期中理14】函数F(X)=ASin(3+0)(A,3,0是常数，A>0,g>0)的最小正周期为,设集合M=值线”为曲线y=/(x)在点(x0,/(x0)处的切线，x010,兀).假设集合M中有且只有两条直线互相垂直，那么。=2；A=-.2【东城二模文13】设函数/(x)=COSX,x(0,2)的两个的零点为玉，X2,且方程/(X)=机有两JT个不同的实根/，假设把这四个数按从小到大排列构成等差数列，那么实数2=-弓-.【海淀二模文12满足cos(+尸)=cos+cos/的,夕的一组值是.【东城一模文14】C是曲线y=Ji三7(T<x0)上一点，Co垂直于y轴，。是垂足，点A的坐标是(一1,0).设ZCAO=，(其中。表示原点)，将AC+8表示成关于。的函数f(),那么f()=2cos。一cos26,。呜/(。)的最大值为【西城二模理文14如图，正方形A8CZ)的边长为2,。为AO的中点，射线OP从OA出发，绕着点0顺时针方向旋转至O。，在旋转的过程中，记NAO尸为X(Xe0,),O尸所经过的在正方形ABCo内的区域(阴影局部)的面积S=(x),那么对于函数/(x)有以下三个结论：Sfg)=曰；任意x0,都有/弓-X)+/(+K)=4；任意xeO,g,都有/(x)+(乃一x)=4;戮AOI任意X,X,e(1,兀)，且x2,都有一-<0；2X1-X2函数/")在区间弓述)上为减函数.其中所有正确结论的序号是.jrjr补充：【2012年新课标理9>0,函数/(x)=sin(5+§在F)上单调递减，那么回的取值范围是（八）A.',/B.',/C.(0,D.(0,2【海淀期末理15】函数/(x)=cos(x+8)(0<°<)的局部图象如下图.(I)写出"及图中方的值；(11)设g(%)=(X)+/(%+；)，求函数g()在区间U上的最大值和最小值.解：(I)夕的值是g%的值是63(II)当心+q=0,即x=-!时，g(x)取得最大值6；当兀V+二=生，即X=L时，g(x)取得33333最小值-3.2【西城期末理151函数/(x)=2j5Sin日COS二+cos2R的局部442图象如下图.(I)求函数/(x)的最小正周期和单调递增区间；(II)设点B是图象上的最高点，点A是图象与X轴的交点，求tanNBAO的值.(I)解：F(X)的最小正周期为4兀，单调递增区间为4E,4E+L(ZZ).（三）解：UnZBAO=-=-.AC3补充：设函数/(x)=ASin(S+°)(其中，A>0,g>0,-<°<7)在X=工处取得最大值2,其图象与X轴的相邻两个交点的距离为求尤)的解析式；在给出的直角坐标系中，画出函数y=W在区间0,加上的简图.【西城期末文15函数"r)=l-2sin2(%-'),xR.4TT7(I)求函数/3的最小正周期；(II)判断函数/3在区间一与上66是否为增函数？并说明理由.(I)解：因为f(x)=sin2x,所以函数/(x)的最小正周期T=苧=.JrTl（三）解：函数/(x)在区间-上,乙上是增函数.66【东城二模理15】函数/(X) =sin2x-2sin2 xsinx(I)求f(x)的定义域及其最大值；（三）求/(x)在(0,)上的单调递增区间.解：1I)由Sin尤W0,得/(幻的定义域为%RxhZ兀,AZ./(x)的最大值为2垃.371(II)/(x)在(0,兀)上的单调递增区间为一,兀).4补充：【2014湖北理17】某实验室一天的温度(单位：°C)随时间f(单位：力)的变化近似满足函数关系/=10百CoSaf-Sins0,24).(I)求实验室这一天的最大温差；(II)假设要求实验室温度不高于11°C,那么在哪段时间实验室需要降温？解：I实验室的最大温差为4°C.11)在10时到18时实验室需要降温.1.3解三角形Tr【朝阳期末理6】在A48C中，B=-,那么SinAsinC的最大值是(D)4A.B.%.立Dx4424【东城期末文6】如下图，为了测量某湖泊两侧A,3间的距离，某同学首先选定了与A,B不共线的一点C,然后给出了四种测量方案：(AABC的角A,B,C所对的边分别记为,b,C)测量A,C,匕测量b,C测量A,B,a测量。，b,B那么一定能确定A,B间距离的所有方案的序号为(A)A.B.C.D.©【海淀一模理12】在A3C中，假设=,c=6,NA=E,那么/3的大小为'或空.41212【昌平期末理7】在aA5C中，角A,8,C对应的边分别为4,0,c.假设=l,A=3(),那么"8=60”是”=小”的（八）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【朝阳期中理14】如图，在水平地面上有两座直立的相距60m的铁塔AAI和88从塔AAI的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角.那么从塔的底部看塔4A顶部的仰角的正切值为g：塔8片的高为45m.【石景山期末理15】如下图,在四边形ABC。中，ABLDA,CE=布,2ZADC=一；E为AO边上一点，DE=L£4=2,3(I)求SinZCED的值；(11)求BE的长.cos ZAEB解：(I)SinZCED=-(II)BE=7【海淀一模文17】在ABC中，Sin2A=SinBsinC.Tr(I)假设NA=2,求NB的大小；（三）假设。C=I,求AABC的面积的最大值.3Irr解：(I)ZB=-.(II)当A48C是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值J., = cos.234【海淀二模理15】在A3C中，c=5,Z?=26,(I)求。的值；口)求证：NB=2NA解：(I)=3.补充*在AABC中，角A,B,C的对边分别为,b,c,且4加inA=巾.(I)求SinB的值；（三）假设mb,C成等差数列，公差大于0,求CoSA-cosC的值.11j解：(I)由4加inA=由小和正弦定理得SinB=(II)法一：由,b,C成等差数列，即=+c由正弦定理得sin4+sinC=2sin8=乎.设COSAcosC=x,72+2,得22CoS(A+C)=w+2.又aVb<c,A<B<C,所以0°<B<90°,且COSA>cosC,故COS(A+C)=-cos8=点代入式得X2=,.因此COSA8SC=坐.法二：因为小b,C成等差数列，设公差为d(d>O)所以，a=b-dyc=b+dtI3因为VbVc,所以0。<8<90。，cosB=1-sinB=-,4na2+c2-b2(b-dy+(b+d)2-b?b2+2d2又"F-)=云F所以=712,又b,d>4,所以b=6d,=(7-l)J,c=(7+lM1.UA厂b2+c2-a2a2+b2-c2-Jl因此CoSA-COSC=2bcIab2【西城二模理15】在锐角A8C中，角A,B,C所对的边分别为",c,67=7,b=3,7sin÷sinA=23(I)求角A的大小；(II)求A8C的面积.解：(I)A=.(II)AABC的面积S=J/?CSinA=JX32=.2.函数与导数2.1导数的几何意义【海淀期末理7】某堆雪在融化过程中，其体积V(单位：m3)与融化时间Z(单近似满足函数关系：V(r)=H(10-r)3为常数)，其图象如下图.记此堆雪10化开始到结束的平均融化速度为Im3h).那么瞬时融化速度等于Im3h)的时刻中的(C)IOO【海淀期末文19】函数/(X)二邑X(I)假设曲线y=(x)在点(XO,/(/)处的切线方程为-y=0,求/的值;CX-C(I)解：/(X)=.因为切线办一y=0过原点(0,0),所以XXo=2.(1) = O, d)=4,所以,。=1,b = .2【东城期末文20】函数/Cr)=lnx-陵2,。，beR(I)假设Fa)在X=I处与直线y=-g相切，求，力的值;【西城期末理18】函数/(x)=2一儿3>0)和g()=mx的图象有公共点P,且在点P处的切线相同.(I)假设点P的坐标为求,力的值;e(II) a=b,求切点P的坐标.解：(I)a=2e2,b=3e.(II)切点尸的坐标为(!)【丰台期末文18】函数/()=+=-le(II)过点8(V)能否存在曲线y=(x)的切线，请说明理由.解：（三）当l0时存在切线；当，>0时不存在切线.【海淀一模文20】函数/(x)=ln%+,(aw).X(I)求函数/(x)的单调区间；（三）假设存在两条直线y=依+4，y=or+HSlWa)都是曲线y=f(x)的切线，求实数的取值范围；(III)假设何/(x)0=0,l),求实数4的取值范围.解：(I)当<0时，函数F(X)的单调递减区间是(0,+8).当。>0时，/(%)的单调递减区间是(O,'),单调递增区间是(！,+8).aa(II)实数的取值范围为(4,+8).(III)实数4的取值范围为佃|4>0.补充“2013年四川理】函数/(x)="+2+凡工其中“是实数设4即“须)，(2,(2)Inx,x>O为该函数图象上的两点,且王<W.(I)指出函数/(X)的单调区间；(11)假设函数/(x)的图象在点AB处的切线互相垂直,且/<O，求七一X的最小值；(III)假设函数/(x)的图象在点AB处的切线重合,求a的取值范围.解：(I)函数"x)的单调递减区间为(一8,-1),单调递增区间为TO),(0,+)3I（三）当玉=一月/2=5时，/一丹取最小值为L(III) 的取值范围是(一1n2-l,o).2.2函数单调性与极值、最值问题【海淀二模理7】是定义域为R的偶函数，当x0时，/。)=(工+1)3/:那么函数/(x)的极值点的个数是(C)A.5B.4C.3D.2OX- a【朝阳期中理18】函数F(X)=M?R(I)求函数/(x)的单调区间;(II)假设F(X)在(1,2)上是单调函数，求。的取值范围.解：(I)当二O时，函数/(X)的单调增区间为(-?,0),(0,+?).当>0时，函数/(x)的单调增区间为x?(?,0),(2a,+?),单调减区间为(0,),(a,2a).当v时，函数f(x)的单调增区间为工？(?92a),(0,+?),单调减区间为(2,),(。,0).(II)或。=l或22.2【朝阳期中理19】函数y=(x),假设在区间(一2,2)内有且仅有一个使得f(x°)=l成立，那么称函数f(x)具有性质M.(I)假设/(x)=SinX+2,判断f()是否具有性质M,说明理由；(II)假设函数/(幻=f+2皿+2m+1具有性质M，试求实数加的取值范围.解：(I)/(X)具有性质M(II)实数机的取值范围是加-或”>2或机=O【海淀期末理19】函数/(x)=cosx+xsinX,x-,.(I)判断函数/(X)的奇偶性，并证明你的结论；(II)求集合A=xI/(X)=0中元素的个数；(III)当lvv2时，问函数/(X)有多少个极值点？(只需写出结论)解：(I)函数/(X)是偶函数(II)当。0时，集合A=x(X)=0中元素的个数为0；当。=O时，集合A=x(X)=0中元素的个数为1；当。<0时，集合A=xI/(X)=0中元素的个数为2.(III)函数/(x)有3个极值点.【西城一模文20】设N,函数/(X)=等，函数g(x)q,(0,y).(I)判断函数/(幻在区间(0,+8)上是否为单调函数，并说明理由；(Ii)假设当=1时，对任意的e(°，+8)，都有f(z)Wf三gcq)成立，求实数r的取值范围；【海淀二模文19函数/()=inxr+2,其中o0(I)求/(x)的单调区间;(II)假设对任意的wl,e,总存在wl，e，使得f(%)+(x2)=4,求实数。值.解：(I)当。<0时，对Vx(0,+8),(x)<(),所以/(x)的单调递减区间为(0,+8)；当。>0时，/(x)的单调递增区间为(0,。)，单调递减区间为(4,+8).(II)实数。的值为e+l补充：f(x)=ax-ntX(O,e,e是自然常数，R设g(x)=J一%+3从-28.当=I时，假设对任意玉(0,e,存在使/(X)g(X2),求力的取值范围.解：对任意(0,e,存在WW1,2,使)g(%2)等价于/(X)rninNg(xz)nin对任意玉(0,e,任意/E1,2,使)g(%2)等价于/()minNg(X2)max.对存在(0,e,存在WW1,2,使)g(%2)等价于Fa)InaXNga2)min对存在再(0,e,任意W1,2,使f(X)g(%2)等价于，(演)InaXNga2)ma【西城二模文20】函数/(X)=上二，其中eR1+x(I)当时，求函数/(X)的图象在点(IJ)处的切线方程；4(II)当>0时，证明：存在实数?>0,使得对任意的R,都有TnWWm成立；(III)当=2时，是否存在实数使得关于X的方程/(X)=伙x-)仅有负实数解？当时的情2形又如何？(只需写出结论)解：(I)函数/(X)的图象在点(IJ(I)处的切线方程为4x+3y-4=0(II)当XWl时,0()(1)；当x>l时,/(2)()<0.记M=maxI/(XI)I,*2)l，当>0时，存在实数mM,+o0),使得对任意的实数X,不等式-mWf(X)W加恒成立.(III)解：当与。=2时，不存在实数2,使得关于实数X的方程/(x)=HX-。)仅有负实数解.2【丰台二模理20】函数/(X)=电竺口(a>0).X(I)求函数/(x)的最大值；(II)如果关于工的方程InX+1=以有两解，写出人的取值范围(只需写出结论)；解：(I)所以当X=：时，/(x)展大值=/(；)=*(II)当0<6<l时，方程InX+1=反有两解.【丰台期末理18】函数/(幻=X+e-A-L(I)求函数/(x)的极小值；(11)如果直线y="-1与函数/(X)的图象无交点，求上的取值范围.解：(I)当X=O时函数有极小值/(幻极小值寸(O)=O.（三）当攵(l-e,l时，y=履一1与/()无交点.【西城一模理18】设N',函数/(X)=绊，函数冢外=二，(0,÷).(I)当=1时，写出函数y=(x)-l零点个数，并说明理由；(II)假设曲线y=(x)与曲线y=g(x)分别位于直线/：y=l的两侧，求的所有可能取值.(I)证明：函数y=()-l不存在零点.(II)的取值集合为U,2.